Eduardo Araujo - 2Avaliação_Métodos_Computacionais_SENAI_CIMATEC

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Florêncio Mendes Oliveira Filho 
Métodos Computacionais – SENAI CIMATEC 
Docente: Florêncio Mendes Oliveira Filho 
 
Aluno(a): Eduardo De Araujo Rocha______________ Data:19/05/2020 
Atividade: 2° avaliação / Tópico: Sistemas Não Lineares - Método dos Mínimos 
Quadrados – Interpolação 
Obs. (1). Identifique-se, marcando com um “x” o horário da sua aula. 
( X ) terça feira pela tarde - ( ) Quinta feira pela noite 
( ) Sexta feira pela tarde - ( ) Sexta feira pela noite 
Obs. (2). Favor organizar suas respostas (tabelas, ...). Sua organização 
(FORMATAÇÂO) colabora para o entendimento e correção do docente 
responsável pela administração da disciplina. 
 
1° Questão: Valor = 2.0 pontos 
Com relação ao sistema de equações {
𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 = 9
𝑥1 . 𝑥2 . 𝑥3 = 1
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3
2 = 0
. Usando o 
método de Newton-Raphson (MNR), dado o chute inicial de: {
𝑥1
0 = 0.7
𝑥2
0 = 1.5
𝑥3
0 = 1.5
, podemos 
afirmar que os valores de 𝒙𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟐𝟕𝟒𝟔; 𝒙𝟐 = 𝟐, 𝟒𝟗𝟏𝟑𝟕𝟔 e 𝒙𝟑 = 𝟏. 𝟔𝟓𝟑𝟓𝟏𝟖 
ocorre na iteração de número? Justifique sua resposta por meio de uma 
planilha no Excel. 
 
[ 2*X1 2*2X2 2*X3 ] 
| X2*X3 X1*X3 X1*X2 | 
[ 1 1 (-2)*X3 ] 
 
 
PEIMEIRA 
ITERAÇÃO 
 
SEGUNDA 
ITERAÇÃO 
 
TERCEIRA 
ITERAÇÃO 
 QUARTA 
ITERAÇÃO 
 QUINTA 
ITERAÇÃO 
S= 0,7000 S= -0,42415 S= 0,10675 S= 0,25391 S= 0,24272 
 
1,5000 
 
3,18949 
 
2,62049 2,49834 2,49140 
 
1,5000 
 
1,67178 
 
1,65156 1,65356 1,65352 
 
Resultados obtidos a partir do cálculo do jacobiano no software Octave 
 
 
“Entrega: 
24/05/2020” 
 Valor = 10.0 
pontos 
 
Florêncio Mendes Oliveira Filho 
2° Questão: Valor = 2.0 pontos (INTERPOLAÇÃO) 
Dada a tabela a seguir, de valores de uma função 𝑓, 
 
 
 
faça o seguinte: 
a) Calcule 𝑓(0.20) por interpolação linear de Lagrange. 
b) Calcule 𝑓(0.22) por meio de uma polinomial de terceiro grau (Método 
de Newton ou Gregory-Newton). 
 
a) 
 
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 PROD Y 
0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 0,27 0,29 0,31 
 
x 0,2 0,05 0,03 0,01 -0,01 -0,03 -0,05 -0,07 -0,09 -0,11 1,55925E-13 
 
x0 0,15 1 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,1 -0,12 -0,14 -0,16 1,03219E-09 0,1761 
x1 0,17 0,02 1 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,1 -0,12 -0,14 -1,29024E-10 0,2304 
x2 0,19 0,04 0,02 1 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,1 -0,12 3,6864E-11 0,2788 
x3 0,21 0,06 0,04 0,02 1 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,1 -1,8432E-11 0,3222 
x4 0,23 0,08 0,06 0,04 0,02 1 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 1,47456E-11 0,3617 
x5 0,25 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 1 -0,02 -0,04 -0,06 -1,8432E-11 0,3979 
x6 0,27 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 1 -0,02 -0,04 3,6864E-11 0,4314 
x7 0,29 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 1 -0,02 -1,29024E-10 0,4624 
x8 0,31 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 1 1,03219E-09 0,4914 
 
F(0,20) = 0,301036 
 
 
b) 
x ordem 0 1ª ordem 2ª ordem 3ª ordem 
0,17 0,2304 
0,19 0,2788 2,42 -6,25 
0,21 0,3222 2,17 -4,875 22,91666667 
0,23 0,3617 1,975 
 
FORMULA 
Pn(x)= F(X0) + ((X-X0)* f[X,X1]) + ((X-X0)* (X-X1)* f([X0,X1,X2]) + ((X0-X1)* (X-X1)*(X2-X1)* f([X0,X1,X2,X3]) 
 
F(0,22) = 0,34236875 
 
Florêncio Mendes Oliveira Filho 
3° Questão: Valor = 2.0 pontos (INTERPOLAÇÃO) 
A resistência à compressão do concreto, 𝜎, descreve com o aumento da razão 
água / cimento (𝜔
𝑐⁄ ) em galões por saco de cimento. 
 
 
 
 
Pergunta-se: 
Qual a razão água / cimento necessária para obter uma compreensão do 
concreto de 6.0 galões por saco de cimento? Estime por meio de um polinômio 
de 4° ordem (Lagrange e Newton). 
 
 
LAGRANGE 
 
x0 x1 x2 x3 x4 PROD Y 
4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 
 
x 6 1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 -1,40625 
 
x0 4,5 3 -1 -2 -3 -4 72 7000 
x1 5,5 1 1 -1 -2 -3 -6 5237 
x2 6,5 2 1 1 -1 -2 4 4123 
x3 7,5 3 2 1 1 -1 -6 3107 
x4 8,5 4 3 2 1 1 24 2580 
 
F(6) = 4837,682 
 
NEWTON 
x f(x) 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 
4,5 7000 
 -1763 
5,5 5237 324,5 
 -1114 -91,8333 
6,5 4123 49 39,25 
 -1016 65,16667 
7,5 3107 244,5 
 -527 
8,5 2580 
 
F(6) = 4655,391 
Florêncio Mendes Oliveira Filho 
4° Questão: Valor = 2.0 pontos (METODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS) 
Determine a equação da parábola no plano (𝑥, 𝑦) que passa pela origem, tem 
eixo vertical e melhor se ajusta aos pontos (−1,3), (1,1), (2,5), no sentido de 
mínimos quadrados. 
𝒇 =
𝟐𝟎 𝒙𝟐
𝟏𝟏
−
𝟏𝟐 𝒙
𝟏𝟏
 
 
A questão foi resolvida no software octave, resultando no gráfico 
apresentado e na equação acima. O erro envolvido foi de E = 0.022727 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Florêncio Mendes Oliveira Filho 
5° Questão: Valor = 2.0 pontos 
Dados os valores funcionais 
 
Calcule: 
a) Interpole adequadamente por interpolação de segundo grau e use para 
calcular 𝑓(0.7). 
 
𝒇(𝒙) = 𝟏. 𝟗𝟎𝟐𝟑𝒙𝟐 + 𝟏. 𝟗𝟓𝟐𝟓𝒙 + 𝟎. 𝟎𝟗𝟒𝟓𝟎𝟒 
 
𝒇(𝟎, 𝟕) = 𝟐. 𝟑𝟗𝟑𝟑 
 
 
b) Sabendo-se que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥), delimite o erro cometido em 
(a). 
 
𝒇(𝟎, 𝟕) = 𝟐. 𝟑𝟖𝟕𝟐 
 
𝒆 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟏𝟐𝟐𝟓 
 
 
Resultados obtidos a partir do cálculo no software Octave