Determine o valor de \( \cos 105^\circ \). a) \( -\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) \) b) \( -1 \) c) \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

Para determinar o valor de \( \cos 105^\circ \), podemos usar a identidade trigonométrica \( \cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta) \). Assim, \( \cos 105^\circ = \cos(180^\circ - 75^\circ) = -\cos 75^\circ \). Para encontrar o valor de \( \cos 75^\circ \), podemos usar a identidade trigonométrica \( \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ \). Sabemos que \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) e \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \). Substituindo na fórmula, temos: \( \cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \). Portanto, o valor de \( \cos 105^\circ \) é \( -\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) \). Assim, a alternativa correta é a) \( -\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) \).