Lista11C2 - Monitoria - (15-04-2016) Gabarito

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Universidade Federal do Para´
Ca´lculo II - Projeto Newton - 2015/4
Professores: Jeroˆnimo e Juaci
11a Lista de exerc´ıcios para monitoria
1. Determine o volume do so´lido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x+ 2y + z = 6.
Soluc¸a˜o:
Acima temos a regia˜o D de integrac¸a˜o, note que podemos tomar: 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3− 3
2
x.
Assim o volume requerido na questa˜o pode ser obtido pela seguinte integral:
V =
∫ 2
0
∫ 3− 3
2
x
0
(6− 3x− 2y) dydx (1)
Portanto:
∫ 2
0
∫ 3− 3
2
x
0
(6− 3x− 2y) dydx =
∫ 2
0
[
6y − 3xy − y2]3− 32x
0
dx
=
∫ 2
0
[
6
(
3− 3
2
x
)
− 3x
(
3− 3
2
x
)
−
(
3− 3
2
x
)2]
dx
=
∫ 2
0
(
9
4
x2 − 9x+ 9
)
dx
=
[
3
4
x3 − 9
2
x2 + 9x
]2
0
= 6
2. Determine o volume do so´lido dado.
1
Abaixo do plano x− 2y + z = 1 e acima da regia˜o limitada por x+ y = 1 e x2 + y = 1.
Soluc¸a˜o:
Para determinar o volume deste so´lido precisamos identificar a regia˜o de integrac¸a˜o.
Em seguida iremos calcular a integral dupla da func¸a˜o f(x, y) = 1 − x + 2y sobre esta regia˜o para
assim determinar o volume do so´lido.
V =
∫∫
R
f(x, y) dA =
∫ 1
0
∫ 1−x2
1−x
(1− x+ 2y) dy dx
∫ 1
0
[∫ 1−x2
1−x
(1− x+ 2y) dy
]
dx
Iremos resolver a primeira integral que esta´ entre colchetes:∫ 1−x2
1−x
(1− x+ 2y) dy =
[
y − xy + y2∣∣1−x2
1−x
]
= x4 + x3 − 5x2 + 3x
Iremos resolver agora a segunda integral que esta´ fora dos colchetes:∫ 1
0
(x4 + x3 − 5x2 + 3x) dx =
[
1
5
x5 +
1
4
x4 − 5
3
x3 +
3
2
x2
∣∣∣∣1
0
]
=
17
60
3. Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.∫∫
D
x2y dA,
em que D e´ a metade superior do disco com centro na origem e raio 5.
Soluc¸a˜o: Esboc¸ando a regia˜o D, encontramos a seguinte figura:
2
A regia˜o D pode ser descrita como
D = {(x, y)|y > 0, 0 6 x2 + y2 6 25}.
Em coordenadas polares, temos
D = {(r, θ), 0 6 θ 6 pi, 0 6 r 6 5}.
Portanto, a integral em coordenadas polares sera´
∫∫
D
x2y dA =
∫ pi
0
∫ 5
0
r3 cos2 θsenθ drdθ
Calculando a integral acima iteradamente, resolvendo primeiramente a integral interna, temos:∫ 5
0
r3senθ cos2 θdr =
[
r4
4
senθ cos2 θ
]5
0
=
625
4
senθ cos2 θ.
Da´ı, ∫∫
D
x2y dA =
∫ pi
0
625
4
senθ cos2 θ dθ
Calculamos a integral acima por substituic¸a˜o simples, fazendo u = cos θ ⇒ du = −senθdθ ⇒
−du = senθdθ. Logo: ∫ pi
0
625
4
senθ cos2 θ dθ =
625
4
∫ −1
1
−u2 du
=
625
4
∫ 1
−1
u2 du
=
625
4
[
u3
3
]1
−1
=
625
4
(
1
3
+
1
3
)
=
625
6
.
4. Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.∫∫
R
sen(x2 + y2) dA,
em que R e´ a regia˜o do primeiro quadrante entre os c´ırculos com centro na origem e raios 1 e 3.
Soluc¸a˜o: Esboc¸ando a regia˜o R, encontramos:
3
Dessa forma, conclu´ımos que
1 6 r 6 3, 0 6 θ 6 pi
2
.
Sendo assim, a integral a ser calculada sera´∫∫
R
sen(x2 + y2) dA =
∫ pi
2
0
∫ 3
1
rsen(r2 cos2 θ + r2sen2θ) drdθ =
∫ pi
2
0
∫ 3
1
rsen(r2) drdθ.
Calculando iteradamente a integral, temos:∫ pi
2
0
∫ 3
1
rsen(r2) drdθ =
∫ pi
2
0
[∫ 3
1
rsen(r2) dr
]
dθ.
Resolvendo a integral entre colchetes, por substituic¸a˜o simples, fazendo u = r2 ⇒ du = 2r dr ⇒
1
2du = r dr, teremos: ∫ 3
1
rsen(r2) dr =
1
2
∫ 9
1
senu du
=
1
2
[
cosu
]9
1
=
1
2
(cos 9− cos 1).
Logo: ∫ pi
2
0
∫ 3
1
rsen(r2) drdθ =
∫ pi
2
0
1
2
(cos 9− cos 1)dθ
=
1
2
(cos 9− cos 1)
∫ pi
2
0
dθ
=
1
2
(cos 9− cos 1)
[
θ
]pi
2
0
=
pi
4
(cos 9− cos 1).
Questo˜es 5 e 6 - Utilize coordenadas polares para determinar o volume do so´lido dado.
5. Abaixo do paraboloide z = 18− 2x2 − 2y2 e acima do plano xy.
Soluc¸a˜o:
Abaixo temos o so´lido no qual queremos determinar seu volume.
4
Para determianar o volume deste so´lido iremos utilzar a transformac¸a˜o para coordenadas polares:{
x = ρ cos(θ)
y = ρ sen(θ)
Ao convertermos para coordenadas polares temos os seguintes limites de integrac¸a˜o:
0 ≤ ρ ≤ 3
0 ≤ θ ≤ 2pi
Integral dupla em coordenadas polares:
V =
∫∫
R
f(x, y) dA =
∫∫
Rθρ
f(ρ cos(θ), ρ sen(θ)) ρ dρ dθ
=
∫ 2pi
0
∫ 3
0
(
18− 2 (ρ cos(θ))2 − 2 (ρ sen(θ))2
)
ρ dρ dθ
=
∫ 2pi
0
[∫ 3
0
(18ρ− 2ρ3) dρ
]
dθ
Iremos resolver a primeira integral que esta´ entre colchetes:∫ 3
0
(18ρ− 2ρ3) dρ = 2
∫ 3
0
(9ρ− ρ3) dρ
= 2
[
9
2
ρ2 − 1
4
ρ4
∣∣∣∣3
0
]
=
81
2
5
Agora podemos resolver a segunda integral que esta´ fora dos colchetes:∫ 2pi
0
81
2
dθ =
81
2
∫ 2pi
0
dθ
=
81
2
[
θ|2pi0
]
= 81pi
6. A regia˜o dentro do c´ırculo (x− 1)2 + y2 = 1 e fora do c´ırculo x2 + y2 = 1.
Soluc¸a˜o:
Para determinar o volume deste so´lido, iremos calcular esta integral utilizando a transformac¸a˜o para
coordenadas polares: 
x = ρ cos(θ)
y = ρ sen(θ)
ρ2 = x2 + y2
Precisamos transformar as duas equac¸o˜es, do cone e da esfera, para as coordenadas polares.
1) Equac¸a˜o do cone:
z =
√
x2 + y2 ⇐⇒ z =
√
ρ2
⇐⇒ z = ρ
2) Equac¸a˜o da esfera:
x2 + y2 + z2 = 1 ⇐⇒ ρ2 + z2 = 1
⇐⇒ z2 = 1− ρ2
⇐⇒ z =
√
1− ρ2
6
Agora precisamos identificar a regia˜o de integrac¸a˜o para assim determinar a variac¸a˜o das coordenadas
polares ρ e θ.
z = z
ρ =
√
1− ρ2
ρ2 = 1− ρ2
ρ =
√
2
2
1) Variac¸a˜o da coordenada ρ:
0 ≤ ρ ≤
√
2
2
2) Variac¸a˜o da coordenada θ:
0 ≤ θ ≤ 2pi
Na fugura abaixo temos a regia˜o de integrac¸a˜o (circulo de centro na origem e raio
√
2
2 ) e acima da
regia˜o o so´lido no qual queremos determinar o seu volume:
Para determinar o volume V deste so´lido iremos calcular o volume abaixo da esfera VE e subtrair pelo
volume abaixo do cone VC .
V = VE − VC
1) Volume abaixo da esfera VE :
VE =
∫∫
Rθρ
z(ρ cos(θ), ρ sen(θ)) ρ dρ dθ
VE =
∫∫
Rθρ
√
1− ρ2 ρ dρ dθ
7
VE =
∫ 2pi
0
[∫ √2
2
0
ρ
√
1− ρ2 dρ
]
dθ
Iremos resolver a primeira integral que esta´ entre colchetes, para isso iremos aplicar a substituic¸a˜o a
seguir
u = 1− ρ2
dρ =
du
−2ρ
Limites de integrac¸a˜o:
u(0) = 1
u
(√
2
2
)
=
1
2
Logo: ∫ √2
2
0
ρ
√
1− ρ2 dρ =
∫ 1
1
2
ρ
√
u
du
−2ρ
1
2
∫ 1
1
2
√
u du =
1
2
[
2
3
u
√
u
∣∣∣∣1
1
2
]
=
1
3
[
1−
(
1
2
√
1
2
)]
=
4−√2
12
Agora podemos resolver a segunda integral que esta´ fora dos colchetes:∫ 2pi
0
4−√2
12
dθ =
4−√2
12
∫ 2pi
0
dθ
=
4−√2
12
[
θ|2pi0
]
=
4−√2
12
[2pi − 0]
=
4−√2
6
pi
2) Volume abaixo do cone VC :
VC =
∫∫
Rθρ
z(ρ cos(θ), ρ sen(θ)) ρ dρ dθ =
∫∫
Rθρ
ρ ρ dρ dθ
VC =
∫ 2pi
0
[∫ √2
2
0
ρ2 dρ
]
dθ
8
Iremos resolver a primeira integral que esta´ entre colchetes:
∫ √2
2
0
ρ2 dρ =
 1
3
ρ3
∣∣∣∣
√
2
2
0

=
1
3
(√2
2
)3
− 0

=
√
2
12
Agora podemos resolver a segunda integral que esta´ fora dos colchetes:∫ 2pi
0
√
2
12
dθ =
√
2
12
∫ 2pi
0
dθ
=
√
2
12
[
θ|2pi0
]
=
√
2
12
[2pi − 0]
=
√
2
6
pi
Portanto o volume do so´lido em questa˜o e´
V = VE − VC
V =
4−√2
6
pi −
√
2
6
pi
V =
1
3
pi
(
2−
√
2
)
Questo˜es 7 e 8 - Utilize a integral dupla para determinar a a´rea da regia˜o.
7. Um lac¸o da rosa´cea ρ = cos(3θ).
Soluc¸a˜o:
Para determinar a a´rea de um lac¸o da rosa´cea de treˆs pe´talas, iremos calcular esta integral utili-
zando a transformac¸a˜o para coordenadas polares:{
x = ρcos(θ)
y = ρ sen(θ)
Abaixo temos a curva ρ = cos(3θ) em coordenadas polares:
9
Precisamos determinar a variac¸a˜o das coordenadas polares ρ e θ.
1) Variac¸a˜o da coordenada ρ:
0 ≤ ρ ≤ cos(3θ)
2) Variac¸a˜o da coordenada θ:
Para determinar a variac¸a˜o da coordenada θ iremos analizar para quais valores de θ, ρ = 0
ρ = cos(3θ)
0 = cos(3θ)
3θ = arccos(0)
3θ =
npi
2
θ =
npi
6
(n ı´mpar)
Um dos lac¸os da rosa´cea de treˆs pe´talas apresenta simetria em relac¸a˜o ao eixo x, portanto a variac¸a˜o
de θ e´
−pi
6
≤ θ ≤ pi
6
A´rea:
10
A =
∫∫
B
dA
A =
∫∫
Bθρ
ρ dρ dθ =
∫ pi
6
−pi
6
∫ cos(3θ)
0
ρ dρ dθ
A =
∫ pi
6
−pi
6
[∫ cos(3θ)
0
ρ dρ
]
dθ
Iremos resolver a primeira integral que esta´ entre colchetes:∫ cos(3θ)
0
ρ dρ =
[
ρ2
2
∣∣∣∣cos(3θ)
0
]
=
[
cos2(3θ)
2
− 0
2
]
=
1
2
cos2(3θ)
Agora podemos resolver a segunda integral que esta´ fora dos colchetes:∫ pi
6
−pi
6
1
2
cos2(3θ) dθ =
1
2
∫ pi
6
−pi
6
cos2(3θ) dθ
=
1
2
∫ pi
6
−pi
6
1 + cos(2(3θ))
2
dθ
=
1
4
∫ pi
6
−pi
6
(1 + cos(6θ)) dθ
=
1
4
[
θ +
sen(6θ)
6
∣∣∣∣pi6
−pi
6
]
=
1
4
[
pi
6
+
sen(pi)
6
−
(
−pi
6
+
sen(−pi)
6
)]
=
1
4
[pi
6
+
pi
6
]
=
1
4
(pi
3
)
=
pi
12
11
Logo a a´rea de um lac¸o da rosa´cea de treˆs pe´talas e´
A =
pi
12
8. A regia˜o dentro do c´ırculo (x− 1)2 + y2 = 1 e fora do c´ırculo x2 + y2 = 1.
Soluc¸a˜o:
Abaixo temos regia˜o no plano xy na qual queremos calcular sua a´rea:
Para determinar a a´rea desta regia˜o, iremos calcular esta integral utilizando a transformac¸a˜o para
coordenadas polares: {
x = ρ cos(θ)
y = ρ sen(θ)
Precisamos transformar as duas equac¸o˜es da circunfereˆncia para as coordenadas polares.
1) x2 + y2 = 1:
x2 + y2 = 1 ⇐⇒ ρ2 cos2(θ) + ρ2sen2(θ) = 1
⇐⇒ ρ2 (cos2(θ) + sen2(θ)) = 1
⇐⇒ ρ2 = 1
⇐⇒ ρ = 1
12
2) (x− 1)2 + y2 = 1:
(x− 1)2 + y2 = 1 ⇐⇒ (ρ cos(θ)− 1)2 + ρ2sen2(θ) = 1
⇐⇒ ρ2 cos2(θ)− 2ρ cos(θ) + 1 + sen2(θ) = 1
⇐⇒ ρ2 (cos2(θ) + sen2(θ)) = 2ρ cos(θ)− 1 + 1
⇐⇒ ρ2 = 2ρ cos(θ)
⇐⇒ ρ = 2 cos(θ)
Agora precisamos determinar a variac¸a˜o das coordenadas polares ρ e θ.
1) Variac¸a˜o da coordenada ρ:
Como queremos a a´rea dentro do c´ırculo (x− 1)2 + y2 = 1 e fora do c´ırculo x2 + y2 = 1, a variac¸a˜o da
coordenada polar ρ sera´ da circunfereˆncia que esta´ mais pro´xima do origem (ρ = 1) para a que esta´
mais distante (ρ = 2 cos(θ)).
1 ≤ ρ ≤ 2 cos(θ)
2) Variac¸a˜o da coordenada θ:
Para determinar a variac¸a˜o da coordenada θ iremos analizar para quais valores de θ, ρ = ρ
ρ = ρ
1 = 2 cos(θ)
cos(θ) =
1
2
θ = arccos
(
1
2
)
θ = ±pi
3
Portanto a variac¸a˜o de θ e´
−pi
3
≤ θ ≤ pi
3
A´rea:
13
A =
∫∫
B
dA
A =
∫∫
Bθρ
ρ dρ dθ =
∫ pi
3
−pi
3
∫ 2 cos(θ)
1
ρ dρ dθ
A =
∫ pi
3
−pi
3
[∫ 2 cos(θ)
1
ρ dρ
]
dθ
Iremos resolver a primeira integral que esta´ entre colchetes:∫ 2 cos(θ)
1
ρ dρ =
[
ρ2
2
∣∣∣∣2 cos(θ)
1
]
=
[
4 cos2(θ)
2
− 1
2
]
=
1
2
(
4 cos2(θ)− 1)
14
Agora podemos resolver a segunda integral que esta´ fora dos colchetes:∫ pi
3
−pi
3
1
2
(
4 cos2(θ)− 1) dθ = 1
2
∫ pi
3
−pi
3
(
4 cos2(θ)− 1) dθ
=
1
2
∫ pi
3
−pi
3
(
4
(
1 + cos(2θ)
2
)
− 1
)
dθ
=
1
2
∫ pi
3
−pi
3
(2 + 2 cos(2θ)− 1) dθ
=
1
2
∫ pi
3
−pi
3
(1 + 2 cos(2θ)) dθ
=
1
2
[
θ + sen(2θ)|
pi
3
−pi
3
]
=
1
2
[
pi
3
+ sen
(
2pi
3
)
−
[
−pi
3
+ sen
(
−2pi
3
)]]
=
1
2
[
pi
3
+
√
3
2
+
pi
3
+
√
3
2
]
=
1
2
[
2pi
3
+
√
3
]
=
pi
3
+
√
3
2
Logo a a´rea dentro do c´ırculo (x− 1)2 + y2 = 1 e fora do c´ırculo x2 + y2 = 1 e´
A =
pi
3
+
√
3
2
9. Calcule a integral iterada. ∫ 4
0
∫ 2
1
∫ pi
pi
2
xz2 cos(y) dy dx dz
Soluc¸a˜o:
∫ 4
0
[∫ 2
1
(∫ pi
pi
2
xz2 cos(y) dy
)
dx
]
dz
Iremos resolver a primeira integral que esta´ entre pareˆnteses:∫ pi
pi
2
xz2 cos(y) dy = xz2
∫ pi
pi
2
cos(y) dy
= xz2
[
sen(y)|pipi
2
]
= −xz2
15
Iremos resolver a segunda integral que esta´ entre colchetes:∫ 2
1
−xz2 dx = −z2
∫ 2
1
x dx
= −z2
[
1
2
x2
∣∣∣∣2
1
]
= −3
2
z2
Iremos resolver agora a terceira integral que esta´ fora dos colchetes:∫ 4
0
−3
2
z2 dz = −3
2
∫ 4
0
z2 dz
= −3
2
[
1
3
z3
∣∣∣∣4
0
]
= −32
10. Calcule a integral iterada. ∫ √pi
0
∫ x
0
∫ xz
0
x2 sen(y) dy dz dx
Soluc¸a˜o:
∫ √pi
0
[∫ x
0
(∫ xz
0
x2 sen(y) dy
)
dz
]
dx
Iremos resolver a primeira integral que esta´ entre pareˆnteses:∫ xz
0
x2 sen(y) dy = x2
∫ xz
0
sen(y) dy
= x2 [−cos(y)|xz0 ]
= x2 − x2 cos(xz)
Iremos resolver a segunda integral que esta´ entre colchetes:∫ x
0
(x2 − x2 cos(xz)) dz = x2
∫ x
0
dz − x2
∫ x
0
cos(xz) dz
= x2 [z|x0 ]− x2
[
1
x
sen(xz)
∣∣∣∣x
0
]
= x3 − x sen(x2)
Iremos resolver agora a terceira integral que esta´ fora dos colchetes:∫ √pi
0
(x3 − x sen(x2)) dx =
∫ √pi
0
x3 −
∫ √pi
0
x sen(x2) dx
=
[
1
4
x4
∣∣∣∣
√
pi
0
]
−
[
−1
2
cos(x2)
∣∣∣∣
√
pi
0
]
=
1
4
(pi2 − 4)
16