recursos computacionais no ensino de matematica

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UNINTER

Pedro
18/06/2024
Prévia do material em texto
Recursos Computacionais no Ensino 
de Matemática (MA36) 
Victor Giraldo (UFRJ), Francisco Mattos (UERJ), Paulo 
Caetano (UFSCar) 
Concepção do Material 
 De forma geral, o livro é estruturado por atividades 
seguidas de discussão sobre essas atividades, enfocando: 
• objetivos; 
• conteúdos matemáticos tratados; 
• papel do uso da tecnologia (vantagens e limitações). 
 Essas discussões não são precedidas de textos teóricos de 
educação matemática ou sobre tecnologias no ensino. Os 
docentes responsáveis pela disciplina podem acrescentar 
textos com essas características, quando considerarem 
apropriados. 
 Toda a reflexão sobre o uso de tecnologias digitais em sala de 
aula de Matemática é organizada a partir das discussões 
sobre as atividades propostas. 
Concepção do Material 
 As atividades são planejadas para execução, prioritariamente, em 
softwares gratuitos. Os capítulos são organizados pelos tipos de 
recursos empregados. 
 Entretanto, o foco da discussão não está nos softwares ou nos 
recursos computacionais específicos, e sim nas atividades 
em si. Assim, muitas atividades podem ser feitas com diversos 
softwares diferentes. 
 O livro não é concebido para ser um manual de uso de softwares 
educacionais, mas sim para aprofundar a reflexão dos 
professores sobre o uso de tecnologias digitais em sala de 
aula de Matemática. 
 O objetivo é capacitar o professor para planejar a integração de 
tecnologias digitais na sala de aula, escolhendo softwares e recursos 
de acordo com as especificidades de cada contexto. 
 
Concepção do Material 
 Procuramos explorar não só as potencialidades técnicas dos 
softwares, mas sobretudo suas limitações (erros de 
arredondamento, interpolação, etc.). 
 Os objetivos são: 
• evitar que os alunos formem uma ideia sobre o computador 
como “critério absoluto de validação de fatos matemáticos”, 
mostrando que os resultados da máquina devem sempre ser 
interpretados à luz de argumentos matemáticos (e não ao 
contrário); 
• aproveitar a exploração dessas limitações para aprofundar a 
compreensão dos alunos da “Matemática que está por trás”. 
 
 
Concepção do Material 
 De forma geral, as atividades procuram conduzir a conclusões 
e generalizações matemáticas, sem o apoio do 
computador. 
 Os professores devem ser orientados no sentido de que, em 
sala de aula, as atividades com o computador devem, sempre 
que possível, ser complementadas com discussões e 
argumentações matemáticas, sem o uso de tecnologias. 
 As abordagem pedagógica com o uso de tecnologias digitais 
deve ser planejada de tal forma que a aprendizagem dos 
conceitos matemáticos dos alunos não dependa 
permanentemente do apoio dessas tecnologias. 
 
Concepção do Material 
 De forma geral, as atividades não são planejas para a aplicação 
direta em sala de aula. 
 O objetivo é capacitar o professor a refletir e avaliar o 
uso de tecnologias e, a partir daí, criar suas próprias 
atividades, de acordo com as especificidades de cada público 
de alunos. Este deve ser o principal papel da disciplina. 
 Muitas atividades estão em nível superior à Matemática dos 
ensinos fundamental e médio, visando colocar o professor em 
uma posição de aprendiz com o uso de tecnologias, com 
estratégia para promover as reflexões acima. 
 
Concepção do Material 
 Visando as considerações feitas anteriormente, ao final de cada 
grupo de atividades com objetivos (mais ou menos) 
semelhantes são propostas atividades de fechamento do 
tipo: 
 
Concepção do Material 
 Os professores-cursistas devem ser estimulados a fazer essas 
atividades de fechamento e trazer suas propostas para 
discussão em sala de aula, com os colegas e docente 
responsável pela disciplina. 
 Recomendamos também que as atividades de fechamento 
sejam empregadas na avaliação da disciplina. 
 
Concepção do Material 
 O livro é estruturado em 8 capítulos, divididos em seções, 
totalizando 24 seções. 
 Na estrutura do PROFMAT, cada seção corresponde a uma 
Unidade. Em cada semana de aulas, são abordadas 2 
Unidades. 
 Nesta oficina, discutiremos atividades dos 5 capítulos iniciais: 
1. O Uso da Calculadora no Ensino de Matemática 
2. Planilhas Eletrônicas 
3. Ambientes Gráficos 
4. Ambientes de Geometria Dinâmica 
5. Sistemas de Computação Algébrica e Simbólica 
 
Recursos Computacionais no Ensino de Matemática
Victor Giraldo (UFRJ)
Paulo Caetano (UFSCar)
Francisco Mattos (UERJ / CP2)
13 de Janeiro de 2012
Conteúdo
1 O Uso da Calculadora no Ensino de Matemática 5
1.1 Operações e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Aproximações, Arredondamentos e Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Planilhas Eletrônicas 17
2.1 Simbologia Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Tratamento da Informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Ambientes Gráficos 31
3.1 Articulando Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Faḿılias de Funções Dependendo de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Pontos de Vista e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Mais Explorações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Ambientes de Geometria Dinâmica 63
4.1 Explorando a Geometria de Forma Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Aprofundando a Exploração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Articulando Geometria e Funções: Manipulando Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Articulando Geometria e Funções: Novos Olhares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Sistemas de Computação Algébrica e Simbólica 81
5.1 Explorando Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Operando com Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Conceitos Básicos do Cálculo Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Explorações Aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Ensino a Distância 91
6.1 Ambientes Virtuais de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Aprendizagem Colaborativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Projetos de Ensino a Distância – Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Projetos de Ensino a Distância – Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Pesquisas Eletrônicas, Processadores de Texto e Hipertexto 99
7.1 Pesquisas Eletrônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Processadores de Texto e Hipertexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8 Critérios e Instrumentos para Avaliação de Softwares Educativos 115
8.1 Avaliação de Softwares Educativos – Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.2 Avaliação de Softwares Educativos – Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3
Caṕıtulo 1
O Uso da Calculadora no Ensino de
Matemática
Introdução
A entrada das tecnologias digitais na sala de aula de Matemática, sobretudo nas últimas duas décadas,
foi acompanhada de um intenso debate sobre seus efeitos na aprendizagem. Inicialmente, este debate,
que não se restringiu ao Brasil e se espalhou por todos os páıses em que recursos computacionais foram
sistematicamente introduzidos na escola, concentrou-se na tentativa de responder à questão se tais
efeitos seriam “benéficos” ou “maléficos”. Por exemplo, especificamente sobre o uso de calculadoras
no ensino de Matemática, o pesquisador inglês David Tall [57] já observava há 10 anos passados:
O uso de calculadoras e computadoresem Matemática nem sempre tem sido tão bem sucedido
quanto poderia ser. Na Inglaterra, o uso de calculadoras com crianças tem sido desencorajado na
esperança de que sua ausência permitiria que as crianças construissem relações aritméticas men-
tais. Talvez esta atitude tenha mais a ver com o mal uso da calculadora (para efetuar cálculos
sem ter que pensar) do que com qualquer falha inerente ao próprio aparato. Bem usada – para
encorajar reflexão sobre idéias matemáticas – a calculadora pode ser muito benéfica.
David Tall, 2001, p.212 (tradução nossa)
Neste sentido, temores iniciais de que o uso de calculadoras na sala de aula, por si só, atrofiaria
as habilidades aritméticas dos alunos eram, de certa forma, mal colocados. Os efeitos da ferramenta
na aprendizagem estão muito mais relacionados com a forma como ela é usada do que com suas
caracteŕısticas intŕınsecas. De fato, esta constatação aplica-se a qualquer tecnologia usada no ensino,
seja esta de natureza computacional ou não. Hoje, as tecnologias digitais estão cada vez mais presentes
em praticamente todos os setores da atividade humana, portanto não faria sentido bani-las da sala de
aula – sob pena de tornar a escola tão anacrônica em relação à vida exterior a seus muros a ponto de ter
um efeito inócuo na formação dos alunos. Paralelamente a isso, a reflexão sobre os usos pedagógicos
dessas tecnologias vem amadurecendo. Assim, o foco do debate deslocou-se da questão de se as tecno-
logias digitais têm efeitos benéficos para a aprendizagem, para a questão de como usá-las de forma
que seus efeitos sejam benéficos para a aprendizagem.
As calculadoras são certamente as tecnologias digitais mais simples, baratas e de mais fácil uso.
Mesmo as calculadoras com menos recursos matemáticos podem ser usadas de forma a enriquecer signi-
ficativamente a abordagem. Seu uso como instrumento didático oferece ao contexto de sala de aula, em
situações espećıficas, uma metodologia de ensino que permite ao professor dinamizar de modo simples
as aulas teóricas tratadas geralmente com metodologias tradicionais. O objetivo central deste primeiro
5
6 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Caṕıtulo é discutir como é posśıvel desenvolver atividades pedagógicas1 interessantes e enriquecedoras
mesmo quando se dispõe apenas de recursos computacionais ḿınimos. Por isso, todas as atividades
propostas podem ser feitas com a calculadoras simples (em geral chamadas calculadoras de bol-
so), que dispõem apenas das quatro operações elementares. Atividades de natureza mais complexa, que
demandariam mais recursos tecnológicos serão abordadas nos caṕıtulos subsequentes. O Caṕıtulo está
dividido em duas seções: na primeira, o foco das atividades estará mais na estrutura as operações e suas
propriedades; e na segunda nas caracteŕısticas da representação decimal, com ênfase em aproximações
e erros.
1.1 Operações e Propriedades
Nesta seção, propomos atividades com objetivo de utilizar a calculadora para enriquecer a aprendizagem
da estrutura das operações elementares (principalmente com números inteiros) e suas propriedades. Em
geral, essas propriedades são ensinadas como “regras”, enunciadas no quadro negro. Atividades com
a calculadora podem articular-se com a abordagem tradicional de sala de aula, oferecendo aos alunos
uma oportunidade de lidar com a estrutura das operações de forma mais concreta e dinâmica.
Para que esses objetivos sejam atingidos, é fundamental que os alunos sejam encorajados a in-
terpretar matematicamente os resultados da máquina e a desenvolver uma atitude cŕıtica
em relação a estes – em lugar de simplesmente aceitá-los como verdades inquestionáveis. Assim,
o papel da calculadora em sala de aula não deve se limitar a apenas “conferir” resultados obtidos
manualmente. Seu uso é mais rico em situações cuja interpretação pelos alunos leve ao aprofundamento
da compreensão sobre as propriedades matemáticas envolvidas, por exemplo, por meio da exploração de
resultados inesperados ou aparentemente errados. Por este motivo, o papel do professor em planejar e
aplicar adequadamente as atividades é decisivo – não é a calculadora, por si só, que pode trazer efeitos
positivos (ou negativos) à aprendizagem, e sim a forma como ela é empregada em sala de aula.
Atividades
1. Considere os números: 49, 71 e 180. Com a ajuda da calculadora, construa exemplos de operações
(adição, subtração, multiplicação e divisão), que tenham cada um desses números como resulta-
dos.
(a) Primeiro, dê exemplos de operações envolvendo apenas números naturais.
(b) Agora, use quaisquer números (podendo ser inteiros, racionais ou irracionais).
2. Suponha que você queira fazer uma conta envolvendo números grandes, como por exemplo:
987123 × 110357. É bem provável que use uma calculadora para obter o resultado. Como
se tratam de números com muitos algarismos, mesmo com uma calculadora, não é imposśıvel
enganar-se ao digitar algum algarismo e obter um resultado errado.
(a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado:
989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique a sua resposta.
(b) Constatando que o resultado anterior não estava correto, você apaga e digita novamente os
dados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estar
certo? Justifique a sua resposta.
(c) Quantos algarismos você espera que o resultado tenha?
1Grande parte as atividades propostas neste Caṕıtulo foram inspiradas ou adaptadas diretamente de [46]. Agradecemos
o autor e amigo Carlos Mathias pelas ideias e conversas inspiradoras.
1.1. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES 7
(d) Qual deve ser o último algarismo do resultado?
(e) Você seria capaz de descobrir que erros você cometeu nos ı́tens (a) e (b)?
3. Suponha que você queira saber o resultado da conta 7× (581 + 399), com ajuda de uma calcu-
ladora. Você digita os dados e a máquina fornece o resultado 4466. O resultado está correto? O
que você acha que aconteceu?
As atividades iniciais 1 a 3 procuram explorar apenas as propriedades das operações elementares,
sendo apropriadas para alunos do 1o. segmento ou do ińıcio do 2o. segmento de ensino fundamental. A
atividade 1 tem por objetivo inverter a lógica usual de resolver contas e obter resultados, propondo que
os alunos inventem diferentes contas que levem a um mesmo resultado dado. O exerćıcio de inventar
contas pode ser explorado pelo professor para a reflexão sobre as propriedades das operações, além
de colaborar com a prática de cálculo mental, estimulando os estudantes a pensarem sobre a relação
entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. Para isso, o professor pode ainda incluir na
atividade questões chave mais direcionadas, como por exemplo:
• Quantas multiplicações você consegue exibir, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado
seja 49? E 71? E 180?
• Observando que 90 + 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de adição que dêem o
mesmo resultado?
• Observando que 2× 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de multiplicação, apenas
com números inteiros, que dêem o mesmo resultado?
• Observando que 2 × 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de multiplicação, com
números inteiros ou frações, que dêem o mesmo resultado?
• Pode existir uma adição, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e uma das
parcelas seja 60?
• Pode existir uma adição, envolvendo números inteiros, cujo resultado seja 49 e uma das parcelas
seja 60?
• Pode existir uma multiplicação, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e um
dos fatores seja 60?
• Pode existir uma multiplicação, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e um
dos fatores seja 40?
• Pode existir uma multiplicação cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60?
• Pode existiruma multiplicação cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40?
• Em uma adição, quando você aumenta uma das parcelas, o que deve acontecer com a outra para
que o resultado não se altere?
• Em uma subtração, quando você aumenta um dos termos, o que deve acontecer com o outro
para que o resultado não se altere?
• Em uma multiplicação, quando você aumenta um dos fatores, o que deve acontecer com o outro
para que o resultado não se altere?
• Em uma divisão, quando você aumenta o dividendo, o que deve acontecer com o divisor para que
o resultado não se altere?
• Que propriedades das operações você empregou para chegar às conclusões acima?
8 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Questões como as exemplificadas acima podem contribuir com a compreensão de algumas proprie-
dades importantes das operações. Por exemplo, quando adicionamos um número a uma das parcelas
de uma soma, para manter o mesmo resultado, devemos subtrair o mesmo número da segunda parcela.
Verificações análogas podem ser propostas para as demais operações. Tais verificações podem favorecer
a exploração da relação entre as operações e sua respectivas inversas, além da relação entre as ordens
de grandeza do resultado e dos operandos. As questões podem ainda ser empregadas na exploração das
limitações das operações em cada um dos conjuntos numéricos. Em particular, é importante chamar
atenção para o fato de que a quantidade de multiplicações resultando em número dado está relacionada
com a quantidade de fatores primos deste número (por exemplo, no caso da atividade 1 proposta acima,
são dados um número primo e dois números compostos, sendo um quadrado de um primo e o outro com
diversos divisores distintos). Finalmente, o exerćıcio de procurar por um dos termos de uma operação,
dados o outro termo e o resultado, pode ser explorado como uma introdução à noção de equação.
Na atividade 1, o papel da calculadora é apenas o de dar mais agilidade aos cálculos, permitindo
que o aluno foque mais atenção na reflexão sobre o comportamento dos resultados e as propriedades
operatórias empregadas. É importante observar que a atividade não deve se resumir à mera
verificação de resultados com a calculadora. Seu desenvolvimento em sala de aula deve
sempre incluir as justificativas matemáticas desses resultados. Por outro lado, o uso da calcu-
ladora em sala de aula não precisa – e não deve – limitar-se simplesmente a facilitar ou conferir contas.
As atividades 2 e 3 enfocam a interpretação cŕıtica de resultados produzidos por usos errôneos da
calculadora, visando estimular a formação de uma expectativa para os resultados, e o desenvolvimento
prática da verificação por meio de estimativas e cálculo mental.
Quando os alunos no ensino fundamental memorizam os algoritmos das operações, sem entender sua
estrutura, dificilmente eles desenvolverão qualquer noção das relações entre o resultado e os operandos.
Nestes casos, resultados provenientes de erros na aplicação dos algoritmos são aceitos, mesmo quando
claramente incompat́ıveis com a conta efetuada. Se os cálculos são feitos com a calculadora, os resul-
tados são geralmente aceitos como corretos sem hesitação.
Na atividade 2, podemos verificar que os resultados dados nos ı́tens 2a e 2b são incompat́ıveis com
os fatores da multiplicação. Uma estimativa simples fornece-nos uma ideia da ordem de grandeza dos
resultado da conta. Como 987123 > 9×105 e 110357 > 105, então 987123×110357 > 9×105×105 =
9×1010, isto é, 987123×110357 tem pelo menos 11 algarismos. Além disso, como os fatores terminam
com os algarismos 3 e 7, o último algarismo do produto deve ser necessariamente 1. Os resultados
989455911 e 108935822554 dos 2a e 2b são obtidos pela omissão ou troca de algarismos na conta.
Assim, 989455911 = 87123× 11357 e 108935822554 = 987122× 110357. De forma semelhante, na
atividade 3, percebemos que o resultado de 7× (581+399) deve ser múltiplo de 10, portanto não pode
ser 4466. O erro decorre da omissão dos parênteses, isto é, 4466 = 7× 581 + 399.
Há uma ampla gama de atividades com objetivos semelhantes a estes que podem ser propostas,
dependendo do ano escolar. As atividades anteriores constituem apenas alguns exemplos. Sugerimos
que você formule outras, levando em conta as especificidades de seu público de alunos.
Atividades
4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso da calculadora)?
1.1. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES 9
5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para
as turmas em que você leciona. Que questões chave você incluiria na atividade, para ajudar a
direcionar a resolução dos alunos.
Reconhecendo Padrões e Regularidades
As atividades a seguir exploram o reconhecimento de padrões nos resultados de operações aritméticas.
Em livros didáticos do ensino fundamental, não é incomum encontrarmos exerćıcios do tipo “complete
a sequência”, que pedem que o aluno reconheça e generalize um padrão numérico ou geométrico em
uma sequência, a partir de um pequeno conjunto de termos dados. O reconhecimento de padrões é
sem dúvida uma habilidade fundamental para o desenvolvimento do pensamento matemático elementar.
Entretanto, é importante considerar que a regra de formação de uma sequência não pode ser inferida
tendo como base apenas a verificação de um conjunto finito de exemplos (uma sequência numérica não
precisa nem mesmo ter uma regra algébrica de formação).
Assim, as atividades que se seguem não visam apenas inferir o padrão a partir da verificação dos
exemplos dados e generalizá-lo para outros números quaisquer. O objetivo é reconhecer o padrão, jus-
tificá-lo matematicamente, e determinar para que outros números este pode ser generalizado. A busca
por essas justificativas matemáticas pode ajudar na compreensão dos algoritmos das operações e suas
relações com a estrutura do sistema de numeração decimal. As atividades propostas abordam padrões
nas representações decimais de números naturais (6 e 7) e de números racionais (8 e 9).
Atividades
6. Use a calculadora para fazer as seguintes contas de multiplicação por 11: 13 × 11, 24 × 11,
35× 11. Observe que há um padrão nos resultados.
(a) Descreva o padrão observado.
(b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
(c) Este padrão vale para qualquer multiplicação de um número de dois algarismos por 11?
Justifique sua resposta.
(d) O que acontece se multiplicamos um número com mais de dois algarismos por 11? Também
observaremos algum tipo de padrão? Justifique sua resposta.
7. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 21× 202, 48× 202, 35× 202, 17× 202.
(a) Descreva o padrão observado nos resultados.
(b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
(c) Para que tipo de multiplicação esse padrão vale? Justifique sua resposta.
8. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 9, 2 ÷ 9, . . ., 8 ÷ 9. Explique o padrão
observado nos resultados.
9. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 99, 25 ÷ 9, 43 ÷ 9, 76 ÷ 9. Explique o
padrão observado nos resultados.
Na atividade 6, observamos que se um número natural n possui 2 algarismos quando representado
na forma decimal, então podemos escreve-lo na forma n = 10a+b, com a, b ∈ N, 0 6 a, b < 10. Logo:
11n = 11 (10a+ b) = 10 (10a+ b) + (10a+ b) = 100a+ 10 (a+ b) + b
10 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Observe queo desenvolvimento acima reproduz os passos do algoritmo usual da multiplicação. Por-
tanto, se n = 10a+b é um número com 2 algarismos, cuja soma é menor que 10, então a representação
decimal de 11n tem três algarismos, sendo o das centenas a, o das dezenas a + b e o das unidades
b. Na atividade 7, o padrão observado pode ser justificado de forma análoga. O papel da calculadora
nessas atividades é justamente permitir que o aluno obtenha os resultados sem usar o algoritmo, para
posteriormente refletir sobre o mesmo com base no padrão observado.
Nas atividades 8 e 9, é interessante chamar a atenção dos alunos para a determinação da fração
geratriz de um d́ızima periódica como soma de uma progressão geométrica infinita.
Atividades
10. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 9.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso da calculadora)?
11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 9, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
Aprofundando a Compreensão das Operações
Como já comentamos, existem muitas outras formas de explorar os recursos das calculadoras simples
para enriquecer a aprendizagem das operações elementares, sua estrutura e suas propriedades. A ideia
geral é aproveitar os recursos da calculadora para oferecer aos alunos uma visão das opera-
ções que seja diferente da abordagem usual de sala de aula, e que se articula e enriqueça
essa abordagem. Nas atividades a seguir, damos mais alguns exemplos. Porém leitor é fortemente
encorajado a elaborar outras, de acordo com as caracteŕısticas e dificuldades espećıficas de seu público
de alunos (como vimos propondo). Atividades como as 14 a 17 podem ser aplicadas em forma de jogo
entre os alunos.
Atividades
12. (a) Digite 2 + 3 na calculadora. Em seguida, tecle o sinal de = várias vezes. Tome nota dos
números que vão aparecendo na tela. Que tipo de sequência esses números formam?
(b) Agora, faça a mesma experiência com a multiplicação: digite 2 × 3 na calculadora e, em
seguida, o sinal de = várias vezes. Que tipo de sequência esses números formam?
13. (a) Suponha que você tenha depositado R$150, 00 em uma caderneta de poupança que rende
0, 7% ao mês. Passado o primeiro mês, você terá R$150, 00+R$150, 00× 0,7
100
= R$150, 00×
1, 007 = R$151, 05. Quantos meses você deverá esperar (sem fazer nenhum saque ou novo
depósito) para obter 10% a mais da quantia aplicada?
Você poderá responder esta pergunta usando uma calculadora de bolso apenas com as quatro
operações elementares. Multiplique 150 por 1, 007 e aperte a tecla = sucessivamente, até
que o resultado mostrado na tela fique ultrapasse 150 × 1, 1 = 165. Conte o número de
vezes que a tecla = foi pressionada.
1.1. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES 11
(b) Repita a experiência, supondo agora que você tenha aplicado R$350, 00 e queira obter um
lucro de 10% da quantia inicial.
(c) As respostas dos ı́tens anteriores dependem da quantia aplicada? Justifique sua respostas
com base em argumentos matemáticos.
14. Complete as espaços em branco nas expressões abaixo, com os sinais das quatro operações
elementares (+, −, × e ÷), de forma que as igualdades sejam válidas.
(a) (53 � 36) � 15 = 1335 (b) 53 � 36 � 15 = 1923
(c) 17 � (25 � 83) = −41 (d) 11 � 17 � 23 = 4301
(e) (14 � 66) � 16 = 5 (f) 14 � 66 � 16 = 18, 125
15. Use uma calculadora para encontrar aproximações para os números a seguir, empregados apenas
as teclas numéricas e as teclas + , − , × , ÷ ,
√
e = (isto é, sem empregar a tecla de
potenciação a um expoente qualquer, se houver).
(a) 30,5 (b) 3−0,125 (c) 4
√
3 (d) 33,125
16. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 3 , 8 , + , − e = estão funcionando.
Você conseguiria obter todos os números naturais de 1 a 10 apenas usando essas teclas?
17. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 5 , + , − , × , ÷ e = estão funcionando.
Obtenha cada um dos números naturais de 1 a 10 apenas usando o menor número posśıvel de
teclas.
Na maior parte das calculadoras de bolso, quando pressionamos a tecla correspondente ao sinal de
igualdade seguidamente, a última operação realizada é repetida. Este recurso pode ser empregado no
ensino de diversas maneiras. As atividades 12 e 13 apresentam duas sugestões neste sentido.
Na atividade 14, em lugar de obter os resultados conhecendo os operandos e as operações, a proposta
é que os alunos descubram as operações conhecendo os operandos e os resultados. Para escolher os
sinais que tornam as igualdades verdadeiras, eles deverão avaliar as relações entre os operandos e os
resultados (tais como ordens de grandeza e caracteŕısticas da representação decimal), assim como nas
atividades 2 e 3.
A atividade 15 visa à exploração das propriedades de potenciação e radiciação, por meio da decom-
posição potências de diversos expoentes em ráızes quadradas. De forma semelhante, na resolução das
atividades 16 e 17, os alunos deverão decompor números naturais de 1 a 10 de diferentes maneiras.
O exerćıcio de decompor números naturais de diferentes formas é importante para a compreensão dos
sistema de numeração decimal e das estruturas dos algoritmos das quatro operações.
Atividades
18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 12 a 17.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso da calculadora)?
19. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 12 a 17, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
12 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
1.2 Aproximações, Arredondamentos e Erros
Na seção 1.1, destacamos a importância do desenvolvimento de uma atitude de interpretação cŕıtica
dos resultados produzidos pela calculadora por parte dos alunos. As atividades 2 e 3 daquela seção
visavam à formação dessa atitude cŕıtica a partir de usos errôneos da máquina, isto é, erros cometidos
pelo próprio usuário. Entretanto, não são apenas erros de uso que provocam resultados aparentemente
errados ou inesperados – estes podem ser causados por limitações inerentes à própria máquina.
Tais resultados são produzidos, de forma geral, por erros de arredondamento: como uma calculadora
só tem capacidade para armazenar números com representação decimal finita, todos os números com
representação infinita (e mesmo aqueles com representação finita, porém superior a capacidade da
máquina) são aproximados por números com representação finita. Isto é, as calculadoras (pelo menos
as mais simples) não operam com números com representação decimal infinita, e sim com aproximações
para esses números. A imprecisão nos resultados de cálculos aproximados pode aumentar quando
os erros de arredondamento são propagados, isto é, quando resultados aproximados são usados em
novos cálculos, gerando aproximações sobre aproximações. Evidentemente, algumas máquinas possuem
capacidade de armazenamento superior a outras, podendo produzir resultados mais precisos, porém
todas têm capacidade finita. Portanto cálculos com decimais infinitos envolverão necessariamente
imprecisões e erros de alguma ordem.
Desta forma, a atitude de interpretação cŕıtica dos resultados por parte dos alunos não se refereapenas a seus próprios eventuais erros de uso, mas sobretudo ao funcionamento e às limitações da
máquina. A consciência das limitações da calculadora e do fato de que ela pode produzir resultados
imprecisos ou aparentemente errados é fundamental para a compreensão de que a máquina não
pode ser usada como critério de validação matemática. Os resultados da máquina devem ser
interpretados e avaliados com base em argumentos matemáticos (e não ao contrário). Este será o
enfoque desta seção.
Algumas das atividades propostas a seguir (1 a 3) visam especificamente chamar atenção para as
limitações da calculadora, por meio da interpretação de resultados aparentemente errados ou imprecisos.
As seguintes (6 a 10) abordam processos de aproximações sucessivas, que podem ser empregados como
introdução ao conceito de limite. A prinćıpio, pode-se pensar que os erros de aproximação da máquina
constituem-se necessariamente em um obstáculo para a aprendizagem do conceito de limite. Porém,
justamente esses erros podem ser explorados pelo professor para introduzir de forma mais expĺıcita
a natureza matemática da noção de limite: o conceito matemático de limite escapa da precisão da
máquina, por melhor que esta seja, ou de qualquer precisão finita.
Atividades
1. As figuras abaixo representam resultados de certas operações matemáticas feitas em uma cal-
culadora, mostrados no visor. Sem saber as operações que foram efetuadas, é posśıvel saber se
esses números são racionais ou não, apenas nos resultados do visor? Justifique sua resposta.
1.2. APROXIMAÇÕES, ARREDONDAMENTOS E ERROS 13
2. Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado não é um número inteiro,
o visor mostrará uma aproximação desse resultado, usando todas as casas decimais dispońıveis.
Levando isso, em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas.
(a) Use a calculadora para fazer a conta 1 ÷ 3. Se você multiplicar o resultado mostrado no
visor por 3, você encontrará o número 1 novamente?
(b) Use a calculadora para fazer a conta
√
2. Se você elevar o resultado mostrado no visor a
quadrado, você encontrará o número 2 novamente?
3. Considere a conta 0, 0000111 × 9999456 ÷ 9999123. Como sabemos, podemos fazer efetuar
essa conta de diversas maneiras diferentes: (0, 0000111 × 9999456)÷ 9999123, ou 0, 0000111 ×
(9999456 ÷ 9999123), ou ainda (0, 0000111 ÷ 9999123) × 9999456. As propriedades das ope-
rações de multiplicação e divisão garantem-nos que obteremos o mesmo resultado. Use uma
calculadora para fazer a conta dessas duas maneiras. Compare os resultados. Você pode explicar
o que aconteceu?
Muitos livros didáticos do ensino básico apresentam exerćıcios propondo a classificação de números
como racionais ou irracionais, com base em sua representação decimal. Entretanto, frequentemente
tais exerćıcios não incluem informações suficientes para a conclusão pedida. O objetivo da atividade
1 é mostrar que, apenas com uma amostra finita da representação decimal de um número real, não
é posśıvel concluir se este é racional ou não. Por exemplo, embora a expressão que aparece na tela
da esquerda possa sugerir a representação de um número irracional (pois os algarismos não repetem),
trata-se apenas de uma expressão decimal finita que pode representar uma aproximação, tanto para
um irracional quanto para um racional. De fato, a representação decimal da fração 1
19
é uma d́ızima
periódica cujo peŕıodo tem 18 d́ıgitos, sendo os 16 primeiros coincidentes com a expressão dada:
1
19
= 0, 052631578947368421 .
Em continuidade, as atividades 2 e 3 ilustram erros causados por arredondamentos. Para fazer a
experiência proposta na atividade 2, os alunos poderão anotar o resultado da primeira operação que
é mostrado na tela, limpar a memória da calculadora, digitar o mesmo resultado, efetuar a operação
inversa, verificando que não se retorna ao número original. A atividade 3 exemplifica uma situação em
que um erro de arredondamento pode fazer com que a calculadora forneça resultados diferentes para
uma mesma operação efetuada em ordens diferentes (dependendo da precisão da calculadora utilizada).
Observe que neste exemplo, essencialmente, estamos multiplicando um número próximo de 0 por um
número próximo de 1. Assim, se a divisão for efetuada primeiro, em uma calculadora com precisão
baixa, esse resultado parcial pode ser arredondado para 1, afetando o resultado final.
Atividades
4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?
(d) Faria sentido aplicar essas atividades sem o uso da calculadora?
5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
14 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Aproximações e Limites
Nas atividades a seguir, lidamos com aproximações – ou em termos matemáticos formais, limites de
sequências de números reais. O conceito de limite é um dos mais importantes e centrais de toda a
Matemática, e mesmo não figurando explicitamente nos curŕıculos, este pode (e deve) ser introduzido
informalmente no ensino básico, por meio da ideia intuitiva de aproximação. A calculadora pode ser
um recurso didático de grande ajuda para esta introdução.
Em particular, a ideia de aproximação é importante para o ensino do conceito de número irracional.
Em geral, a abordagem de números irracionais no ensino básico é bastante restrita. Usualmente, rece-
bem pouca ênfase as motivações para a própria necessidade de ampliação do conjuntos dos números
reais (isto é, de que problemas matemáticos os números racionais não dão conta), e as justificativas para
propriedades referentes à representação decimal de irracionais (tais como, um número é irracional se,
e somente se, sua expressão decimal é infinita e não periódica), ou mesmo para as expressões decimais
de exemplos espećıficos de números irracionais. Aproximações para números irracionais, desenvolvidas
com ajuda da calculadora, pode enriquecer significativamente a abordagem de números irracionais, sua
representação decimal e localização na reta real.
Atividades
6. O objetivo desta atividade é determinar aproximações decimais para
√
2. Sabemos que 12 =
1 < 2 < 4 = 22. Isto nos permite concluir que 1 <
√
2 < 2. De forma análoga, temos que
1, 42 = 1, 96 < 2 < 2, 25 = 1, 52. Continuando este procedimento, use a calculadora (sem
empregar a tecla
√
) para completar a tabela abaixo, obtendo aproximações para
√
2 com n
casas decimais.
n
√
2 ∼=
1
2
3
4
5
7. Conhecendo aproximações com n casas decimais depois da v́ırgula para
√
2, podemos determinar
aproximações para 2
√
2. Complete a tabela abaixo.
n
√
2 ∼= 2
√
2 ∼=
1 1, 4
2 1, 41
3 1, 414
4 1, 4142
5 1, 41421
O procedimento acima pode nos dar certeza do número da casas decimais exatas das aproximações
para 2
√
2 obtidas? Justifique sua resposta.
8. Digite um número positivo qualquer na calculadora. Em seguida, digite a tecla
√
sucessivas
vezes. Em algum momento o visor mostrará o número 1. Explique o que aconteceu.
1.2. APROXIMAÇÕES, ARREDONDAMENTOS E ERROS 15
Em livros didáticos do ensino básico, as expressões decimais aproximadas para números irracio-
nais são quase sempre apresentadas como se fossem simplesmente dadas, sem quaisquer justificativas
teóricas. Na atividade 6, propomos um processo para determinar aproximações decimais para
√
2,
usando apenas a potenciação números racionais. Por meio desse processo, podemos (pelo menos teo-
ricamente) determinar quantas casas decimais quisermos para o número
√
2. Atividades como esta são
muito importantes para que os alunosno final do ensino fundamental e no ensino médio formem uma
ideia mais concreta dos números irracionais e sua localização na reta real.
A atividade 7 tem como objetivo introduzir um significado intuitivo (e não formalizado) para a po-
tenciação de expoente irracional. A operação de potenciação é definida primeiramente para expoentes
naturais, e posteriormente generalizada para expoentes inteiros e naturais por meio de argumentos ba-
seados na preservação de certas propriedades aritméticas (por exemplo, devemos ter a0 = 1 para a 6= 0,
pois caso contrário não valeria aman = am+n, para m,n ∈ Z). Entretanto, raramente encontramos em
livros didáticos alguma forma de conceituação para a potenciação com expoentes irracionais. Contra-
ditoriamente, alguns caṕıtulos a frente, a função exponencial é definida com doḿınio em R, sem que
esta inconsistência seja sequer apontada. De fato, a extensão da operação de potenciação dos números
racionais para os irracionais não pode ser justificada apenas por meio de argumentos algébricos (como
as extensões anteriores), e requer necessariamente uma ideia de convergência, o que a torna a sua
formulação teórica de dif́ıcil compreensão, mesmo no ensino médio. Isto não é justificativa, no entanto,
para que este problema não seja tratado, mesmo que de forma intuitiva. Em geral, os estudantes no
ensino médio não têm maiores dificuldades em explicar o que significam potenciações com expoentes
inteiros ou racionais (por exemplo, 2−3 = 1
23
, ou 2
3
4 =
4
√
23 ). Mas, é preciso também que eles atribuam
algum significado a expressões do tipo 2π – que número é esse? Uma introdução a esta discussão, que
pode ser feita com ajuda da calculadora, é o que propõe a atividade 7.
Nas atividades 6 e 7 é fundamental que fique claro para os alunos que a expressões decimais obtidas
representam aproximações para os
√
2 e 2
√
2. Os erros associados a cada uma dessas aproximações
podem ser feitos tão pequenos quanto se queira, isto é, tratam-se de sequências de números reais
convergindo aos números
√
2 e 2
√
2. Porém, essas aproximações jamais coincidirão com os números.
A atividade 8 envolve uma situação em que os arredondamentos feitos pela máquina geram um
resultado errôneo. Sabemos que, se a > 0 então lim
n→+∞
n
√
a = 1, portanto o erro | n
√
a− 1| pode ser
feito tão pequeno quanto se queira, para n ∈ N suficientemente grande. Entretanto, não podemos ter
n
√
a = 1 para nenhum a 6= 1. A discussão proposta na atividade 8 pode ser usada para mostrar que, por
melhor que seja a precisão de uma calculadora, é sempre posśıvel tomar n grande o suficiente para que
a diferença entre n
√
a e 1 fique ainda menor que esta precisão. Assim, pode-se ilustrar concretamente
o fato de que dizer que n
√
a tende a 1 significa dizer que | n
√
a− 1| fica menor que qualquer precisão
finita.
Atividades
9. Use o mesmo procedimento da atividade 6, encontre aproximações para os números abaixo, com
erro menor que 0, 01.
(a)
√
3 (b) 3
√
2 (c) 3
2
3
10. Use o mesmo procedimento da atividade 7, encontre aproximações sucessivas para o número 10π.
11. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 10.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
16 CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
(c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a
aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais
(isto é, sem o uso da calculadora)?
12. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 10, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
Caṕıtulo 2
Planilhas Eletrônicas
Introdução
Os recursos dispońıveis nas planilhas eletrônicas possibilitam diversas aplicações no ensino de Matemá-
tica. Dentre esses recursos destacam-se:
• manipulação e operações com grandes quantidades de dados numéricos;
• articulação entre diversas formas de representação;
• ferramentas lógicas;
• ferramentas estat́ısticas.
Neste Caṕıtulo, propomos atividades com planilhas eletrônicas, explorando os recursos acima em
dois campos do ensino de Matemática: simbologia algébrica, equações e funções; e tratamento da
informação.
Quando os alunos no ensino básico têm os primeiros contatos com a simbologia algébrica, não são
incomuns as dificuldades com os diferentes significados dos śımbolos (variáveis, incógnitas, constantes,
parâmetros) e com as regras sintáticas a que estão sujeitas esses śımbolos. As planilhas eletrônicas
possuem um sistema simbólico próprio. A própria experiência concreta de codificação e manipulação da
simbologia nesse sistema, especialmente a verificação de erros de codificação indicados pelo software,
pode ajudar os alunos a entenderem os significados e regras sintáticas dos śımbolos. No ensino de
funções, as planilhas eletrônicas possibilitam a articulação de diversas formas de representação,
que podem ser constrúıdas concretamente no software pelo próprio aluno, em cada situação. Essas
representações podem também ser utilizadas para a resolução numérica de equações, ou mesmo de
sistemas de equações, especialmente em situações que envolvam modelos aproximados, permitindo a
procura de soluções aproximadas em um determinado intervalo.
Na abordagem de tratamento da informação e Matemática Financeira, as planilhas podem ser em-
pregadas com dados extráıdos de situações concretas, que podem ser coletados pelos próprios alunos.
As ferramentas estat́ısticas e gráficas dispońıveis nas planilhas eletrônicas possibilitam a representação
desses dados de diferentes formas numéricas e gráficas, e a análise, comparação e inter-
pretação dessas representações, visando à formulação de conclusões e hipóteses.
17
18 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
2.1 Simbologia Algébrica
Explorando Regularidades e Limites
Nesta seção, propomos atividades utilizando os recursos das planilhas eletrônicas para a exploração de
regularidades e limites de sequências numéricas. Atividades com objetivos semelhantes já foram propos-
tas no caṕıtulo anterior. Entretanto, além das planilhas oferecem muito mais recursos e funções que as
calculadoras de bolso, seu uso em atividades desta natureza apresenta algumas diferenças importantes
do ponto de vista pedagógico, em relação ao uso da calculadora:
• De forma geral as planilhas possuem maior precisão que as calculadoras, portanto possibilitam a
visualização e o tratamento de dados numéricos com mais casas decimais.
• Os recursos das planilhas também oferecem a possibilidade de manusear os dados das atividade
de forma mais dinâmica e com menos uso de teclas, uma vez que as fórmulas e dados digitados
em uma célula podem ser generalizados para outras por meio do recurso de arrastar.
• Aa planilhas geram automaticamente um registro tanto das operações e funções matemáticas
empregadas no problema, quanto dos dados da solução. Para guardar tais registros com o uso
da calculadora, é preciso manter um controle paralelo em papel.
• Por outro lado, os śımbolos encontrados nas calculadoras de bolso são essencialmente os mesmos
e obedecem às mesmas regras com que os alunos estão acostumados a lidar desde a alfabetização
matemática nos anos inicias, enquanto as planilhas eletrônicas possuem simbologia e sintaxe
próprias, cuja aprendizagem por si só demanda maior maturidade por parte do aluno.
Essas caracteŕısticas podem ser mais ou menos aproveitadas, dependendo dos objetivos pedagógi-
cas da atividade em questão e do ano escolar dos alunos. Por exemplo, para explorar propriedades das
operações e propriedades aritméticas com alunos dos anos inicias do ensinofundamental, a calculadora
é possivelmente mais adequada, por possibilitar um foco mais espećıfico nesses objetivos. Por outro
lado, a planilha eletrônica pode ser adequada em anos escolares mais adiantados, contribuindo com uma
transição gradativa do trabalho com aritmética nos anos inicias, em direção ao pensamento algébrico-
simbólico, de natureza mais sofisticada e abstrata. A atividade 1 visa justamente comparar as vantagens
e desvantagens da realização das mesmas atividades com a calculadora e com a planilha.
O uso da planilha eletrônica para construir aproximações para números irracionais (como propõem
as atividades 1 a 4) pode enriquecer significativamente a abordagem desses números. Em geral, ex-
pansões decimais para números irracionais são apresentadas no ensino básico sem maiores justificativas
matemáticas e ou manipulações concretas. As aproximações constrúıdas em planilhas eletrônicas, em-
pregadas em uma abordagem cuidadosamente planejada pelo professor, podem promover uma maior
familiaridade dos alunos com as representações decimais para números irracionais e suas pro-
priedades, especialmente quando a programação é feita por eles próprios. Em particular, a experiência
com planilhas pode fornecer uma ideia mais concreta para o fato de que as aproximações decimais
finitas para um número real dado constituem os termos de uma sequência convergente, cujo limite é
este número. Entretanto, como no Caṕıtulo 1, é importante observar ainda que devem ser exploradas
não são as potencialidades técnicas, como também as situações em que o software produz resultados
inesperados ou aparentemente errados.
Atividades
1. Repita as atividades 6 e 7 da seção 1.2 usando uma planilha eletrônica. Aumente o número de
casas decimais da aproximação. Que vantagens e desvantagens pedagógicas você vê no uso da
planilha, em relação ao uso da calculadora, para realizar esta atividade?
2.1. SIMBOLOGIA ALGÉBRICA 19
2. Digite o número 2 na célula A1 de uma planilha eletrônica. Na célula A2, digite=(A1+2/A1)/2.
Em seguida, selecione e arraste a célula A1 ao longo da coluna A. De que número os valores que
aparecem nessa coluna estão se aproximando? Justifique matematicamente a sua resposta.
3. Utilizando a mesma ideia da atividade 2, crie uma sequência de números reais que tenda a
√
3.
4. Digite o número 1 na célula A1 de uma planilha eletrônica. Na célula A2, digite =(A1+1)∧0,5.
Em seguida, selecione e arraste a célula A1 ao longo da coluna A.
De forma análoga à atividade 2, podemos concluir que o número para o qual os valores da coluna
A estão se aproximando satisfaz a equação x2 − x − 1 = 0. Esta equação possui duas ráızes
reais: x1 =
1 +
√
5
2
e x2 =
1−
√
5
2
. Por que os valores que aparecem na planilha se aproximam
da primeira raiz, e não da segunda?
5. Um aluno estava estudando o comportamento de duas sequências numéricas infinitas, para tentar
descobrir para onde elas tendiam. Sem pistas para obter a resposta, ele decidiu recorre a uma
planilha eletrônica. Para programar essa planilha, o aluno procedeu da seguinte forma:
1. A coluna A foi numerada com números naturais em sequência de 1 a 1.
2. Nas posições correspondes à primeira linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respec-
tivamente: =1/A1; =B1; =1/A1∧2; =D1.
3. Nas posições correspondes à segunda linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respec-
tivamente: =1/A2; =C1+B2; =1/A2∧2; =E1+D2.
4. A primeira e a segunda linhas da tabela foram selecionadas e arrastadas até completar a
milésima linha.
A figura abaixo mostra um trecho da planilha programada por ele.
20 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
(a) Explique o comportamento dos valores mostrados nas colunas B, C, D e E da planilha.
(b) Na sua opinião, que sequências o aluno estava tentando estudar?
(c) Você considera que a planilha pode ajudá-lo a determinar os limites procurados?
(d) Se o aluno arrastasse até a milionésima linha, em lugar de parar na milésima, você acha que
ele teria mais pistas para a resposta do problema?
(e) Determine os limites.
Como já comentamos, um primeiro objetivo das atividades anteriores é o entendimento da própria
simbologia e regras sintáticas das planilhas eletrônicas, em particular, como as fórmulas inicial-
mente digitadas em uma célula se generalizam com a ferramenta de arrastar.
Na atividade 2, os valores que aparacem na coluna A correspondem aos termos da sequência de
números reais definida recursivamente da seguinte forma:
{
x1 = 2
xn+1 =
xn + 2/xn
2
∀n > 1
(2.1)
Observando a planilha, podemos perceber que os valores que aparecem na coluna A parecem se
aproximar do número
√
2. Para ter certeza da validade deste fato, devemos buscar uma justificativa
matemática. Empregando as operações aritméticas com limites observamos que, caso o limite da
sequência (xn)n∈N definida em 2.1 exista, teremos:
lim xn+1 = lim
(
xn + 2/xn
2
)
=
lim xn + 2/ limxn
2
.
Além disso, é claro que lim xn+1 = lim xn. Portanto, x = lim xn deverá satisfazer à equação:
x =
x+ 2/x
2
,
que é equivalente a x2 = 2. Um argumento de indução finita garante-nos que, se começamos com
um termo inicial x1 > 0, então todos os demais termos da sequência (xn) definida em 2.1 serão todos
positivos. Isso nos leva a concluir que, de fato, lim xn =
√
2.
Entretanto, este argumento não está completo! Para que ele seja válido precisamos, de antemão,
ter certeza que o limite existe, pois caso contrário nenhuma das operações que foram feitas com ele
seria válida. Para demonstrar a existência do limite, começamos considerando a função real f : R→ R
definida por:
f(x) =
x + 2/x
2
.
A análise da derivada de f nos diz que a função possui um ḿınimo absoluto no ponto (
√
2,
√
2),
isto é, f(x) >
√
2 ∀ x > 0. Como xn+1 = f(xn) e já sabemos que xn > 0 ∀n ∈ N, então xn+1 >
√
2
∀n > 1, isto é, xn >
√
2 ∀n > 2. Como x1 = 2 >
√
2, então, xn >
√
2 ∀n > 1. Logo, a sequência
(xn) é limitada inferiormente por
√
2.
Agora, observe que: xn >
√
2⇒ x2
n > 2⇒ xn > 2
xn
. Portanto:
xn+1 =
xn + 2/xn
2
6
xn + xn
2
= xn ∀n > 1.
Logo, (xn) é monótona decrescente. Assim a sequência é limitada inferiormente e monótona de-
crescente, o que garante que (xn) é convergente, isto é, existe o limite.
2.1. SIMBOLOGIA ALGÉBRICA 21
A atividade 3 pede uma adaptação da atividade 2. De forma mais geral, dados a ∈ R, a > 0, e k ∈
N, você poderá obter aproximações para o número k
√
a, utilizando a sequência definida recursivamente
da seguinte forma (verifique):
{
x1 = 1
xn+1 =
(k − 1) xn + a/xn
k
∀n > 1
A atividade 4 explora uma ideia semelhante à da atividade 2, para construir uma sequência conver-
gindo ao número áureo.
Na atividade 5, as colunas B, C, D e E da planilha representam, respectivamente, os termos das
seguintes sequências:
an =
1
n
sn =
n∑
k=1
1
k
bn =
1
n2
tn =
n∑
k=1
1
k2
.
Entretanto, uma análise pouco cuidadosa dos valores mostrados na planilha pode sugerir conclusões
errôneas sobre o comportamento das sequências. Sabemos que o comportamento de convergência
dessas sequências é como dado abaixo. Provas para estes fatos podem ser facilmente encontradas em
livros de análise real.
lim
1
n
= lim
1
n2
= 0 lim
n∑
k=1
1
k
= +∞ lim
n∑
k=1
1
k2
=
π2
6
.
Assim, as sequências (an) e (bn) têm ambas limite 0. Porém, as colunas B e D da planilha (que
correspondem, respectivamente, a seus termos) parecem sugerir comportamentos distintos: os valores
mostrados nessas colunas parecem se estabilizar em 0, 001 e 0, respectivamente. Como a sequência
(an) tende a 0, seus termos não podem se estabilizar em 0, 001; e embora (bn) tenda a 0, seus termos
nunca atingem o valor 0. Isto ocorre porque (bn) converge a 0 a uma taxa inferior que a de (an).
Por outro lado, (sn) e (tn) têm comportamentos distintos: a primeira diverge a infinito, enquanto a
segunda converge aum valor finito. Porém, as colunas C e E podem sugerir o mesmo comportamento
para essas sequências: ambas parecem se estabilizar em valores finitos. Isto ocorre porque (sn) tende
a +∞ a uma taxa de crescimento muito baixa.
Os exemplos da atividade 5 mostram que a simples verificação do comportamento dos termos de uma
sequência no computador pode sugerir conclusões errôneas sobre a existência ou não de seus limites.
Sem dúvida, a programação e manipulação de sequência de números reais em planilhas eletrônicas
propicia uma experiência concreta, que pode contribuir significativamente com a aprendizagem dos
alunos. Porém, como já observamos, as conclusões devem sempre ser sustentadas por argumentos
matemáticos.
Atividades
6. Na atividade 2, começamos digitando o número 2 na célula A1 da planilha. Isto significa que o
primeiro termo da sequência definida é 2.
(a) Aproveite a planilha que você construiu na atividade 2 e altere o valor da célula A1 para 1.
O valor do limite da sequência continua o mesmo?
(b) Experimente alterar a célula A1 para outros valores positivos. Observe o comportamento
da sequência.
(c) Agora, altere a célula A1 para valores negativos. Observe o comportamento da sequência.
(d) Investigue e justifique matematicamente o que você observou nos ı́tens anteriores.
22 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
7. Na atividade 2, a planilha eletrônica foi empregada para representar o comportamento de uma
sequência definida recursivamente. Frequentemente utilizamos as propriedades de operações com
limites para determinar o limite de sequências desse tipo. Entretanto, para isso, devemos ter
garantia de antemão da existência desses limites. Caso contrário, estaremos aplicando operações
sem validade, que podem levar a conclusões errôneas. Como exemplo desses erros, considere a
sequência de números reais (an)n∈N definida da seguinte forma:
{
a1 = 2
an+1 = 1
2
(a2
n + 1), se n ≥ 1.
(a) Mostre que (an) é crescente.
(b) Use uma planilha eletrônica para representar os termos de (an).
(c) Considere o seguinte argumento para determinar o limite de (an):
Temos que x = lim an+1 = lim an. Então, podemos tomar x = lim an+1 = lim an. Logo,
an+1 =
1
2
(a2
n + 1)⇒ lim an+1 =
1
2
(
(lim an)2 + 1
)
⇒
x =
1
2
(x2 + 1)⇒ x2 − 2x + 1 = 0⇒ x = 1
Logo, lim an = 1.
Este argumento está correto? Justifique sua resposta.
(d) O que você pode concluir sobre a convergência desta sequência? Justifique sua resposta.
Suponhamos que o limite da sequência (an) da atividade 7 exista. Então este limite deve ser, por
um lado, maior ou igual a 2 (pois, pelo item 7a, (an) é crescente e seu primeiro termo é 2), e por
outro, igual 1 (pelo argumento do item 7c). Logo, (an) não é convergente. Por isso, a aplicação das
propriedades operatórias com o limite – que não existe – levam-nos a uma conclusão contraditória.
Nas atividades anteriores, observamos diferentes exemplos, em que as representações para as
sequências numéricas nas planilhas eletrônicas nem sempre sugerem, pelo menos a primeira
vista, comportamentos consistentes com o comportamento matemático. Desta forma, vimos
exemplos de: sequências convergentes e sequências divergentes a infinito cujo comportamento pode
ser facilmente observado nas planilhas, assim como sequências convergentes que parecem tender a um
limite diferente do verdadeiro e sequências divergentes a infinito que parecem convergir um limite finito
quando representadas nas planilhas. Ressaltamos que a busca pelas justificativas matemáticas
para essas aparentes diferenças de comportamento podem ser explorados pelo professor
para enriquecer a compreensão dos alunos sobre sequências e representação decimais de
números reais.
Atividades
8. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 7.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da planilha eletrônica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendi-
zagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais (isto
é, sem o uso de recursos computacionais)?
9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 7, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
2.1. SIMBOLOGIA ALGÉBRICA 23
Articulando Representações
As atividades 10 a 13 propostas a seguir procuram explorar os recursos das planilhas eletrônicas para o
traçado de funções reais de variável real. Este tema será tratado em mais detalhes no Caṕıtulo 3, em que
será discutido o uso de softwares desenhados especialmente para esse objetivo. Este não é o caso das
planilhas eletrônicas: o recurso que adaptamos para traçar gráficos de funções reais é originariamente
concebido para a representação de dados estat́ısticos em gráficos de linhas. Essa adaptação causa
algumas limitações para a realização das atividades.
Em primeiro lugar, os gráficos são obtidos pela interpolação de pontos por meio de segmentos de
reta. Assim, eles podem ter aspecto mais de poligonais do que de curvas suaves. Além disso, não é pos-
śıvel ter controle do intervalo de visualização no eixo vertical, pois este é determinado automaticamente
pelo software a partir dos valores da variável. Em alguns casos, isso pode prejudicar a visualização
dos gráficos. Entretanto, estas limitações não inviabilizam o uso das planilhas eletrônicas para a abor-
dagem de gráficos de funções em sala de aula. Como já comentamos, as limitações técnicas dos
software podem ser exploradas como potencialidades pedagógicas, para motiva explorações
matemáticas. Por exemplo, as situações em que os gráficos adquirem o aspecto de poligonais podem
ser usadas para mostrar que o método de traçar gráficos simplesmente por meio de marcação e inter-
polação de pontos pode conduzir a erros. Esta discussão é proposta aos alunos nos ı́tens 10b e 11c.
Retomaremos e aprofundaremos essa questão no Caṕıtulo 3.
Atividades
10. Nesta atividade, propomos a construção de gráficos de funções a partir de tabelas de valores.
Neste exemplo inicial, ficaremos restritos a curvas de grau menor ou igual a 2, descrevendo o
procedimento passo a passo.
1. Insira diferentes valores de entrada da função (elementos do doḿınio) na coluna A da
planilha.
2. Escreva a fórmula para a função escolhida na primeira célula da coluna B e arraste esta
célula para baixo ao longo da coluna, até o fim dos valores inseridos na coluna A.
3. Em seguida, selecione a coluna B e use o recurso do software para construir um gráfico com
os dados inseridos.
4. A figura abaixo exemplifica um tipo de sáıda posśıvel para uma parábola do tipo y =
ax2 + bx + c, com a = −1, b = −1 e c = 2.
(a) Atribua novas valores a, b e c e interprete o comportamento da função.
(b) Observe que o gráfico mostrado parece ser formado por pequenos segmentos de reta. Como
você explica esse comportamento?
24 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
11. (a) Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 1 em 1. Escreva =A1∧2 na primeira
célula da coluna B e arraste esta célula para baixo ao longo da coluna, até o fim dos valores
inseridos na coluna A. Selecione a coluna B e use o recurso do software para construir
gráficos. Observe o gráfico traçado.
(b) Agora, repita a operação, numerando a coluna A de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5. Trace o gráfico
e compare com o aspecto do gráfico anterior.
(c) Qual dos gráficos melhor retrata a curva y = x2? Como você poderia melhorar mais o
aspecto desse gráfico?
12. Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5.
(a) Escreva =A1+1 na célula B1 e =B1+1 na célula C1. Em seguida, arraste as células B1
e C1 para baixo, até o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione as colunas B e C
use o recurso do software para construirgráficos. Qual é relação entre os gráficos traçados?
(b) Agora, altere a célula B1 para =A1∧2 e arraste esta célula para baixo ao longo da coluna
B, até o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Observe as mudanças
nos dois gráficos traçados. Qual é relação entre esses gráficos?
(c) Altere novamente a célula B1 para =SEN(A1) e repita a operação do item anterior: arraste
esta célula para baixo ao longo da coluna B, até o fim dos valores inseridos na coluna A,
sem alterar a coluna C. Qual é relação entre os gráficos traçados?
13. (a) Aproveitando a construção da atividade 12, insira =A1+1 na célula B1 e =ABS(B1) na
célula C1 e arraste estas células para baixo até o fim dos valores inseridos na coluna A.
Use o recurso do software para construir os gráficos correspondentes aos dados nessas duas
colunas. Explique a relação entre os gráficos traçados.
(b) Altere a célula B1 para =A1∧2-1 e arraste-a para baixo, até o fim dos valores inseridos na
coluna A. Observe as mudanças nos gráficos e explique a relação entre eles.
(c) Agora, altere a célula B1 para =SEN(A1) e arraste-a para baixo, até o fim dos valores
inseridos na coluna A. Mais uma vez, observe as mudanças nos gráficos e explique a relação
entre eles.
(d) Repita os ı́tens anteriores, alterando a célula C1 para B1∧2. Compare o comportamento
dos diferentes gráficos traçados.
(e) Faça novas alterações nas colunas B e C, sempre procurando explicar o comportamento dos
gráficos traçados.
As atividades 10 e 11 são de caráter introdutório e visam à familiarização com os recursos dispońıveis
em planilhas eletrônicas para o traçado de gráficos. Como comentamos no ińıcio desta seção, a própria
aprendizagem da simbologia e da sintaxe do software pode ser um exerćıcio enriquecedor por si só.
A representação e manipulação de objetos matemáticos na planilha eletrônica deve obedecer a regras
sintáticas espećıficas – assim como a linguagem simbólica matemática usual. Porém, no caso do soft-
ware, a correção das regras é condição necessária para a obtenção de resultados, o que não ocorre
quando o aluno resolve problemas com papel e lápis. Assim, a experiência com a planilha pode
contribuir com aprendizagem da simbologia algébrica e com a transição do pensamento
puramente aritmético para o pensamento algébrico.
As atividades 12 e 13 exploram a idéia de composição de funções. A coluna B e C da planilha f
representam respectivamente os valores de uma função f e de uma função composta g◦f . Na atividade
12, a função g é mantida fixa e a função f é alterada (figura 2.1). Na atividade 13, as funções f e g
2.1. SIMBOLOGIA ALGÉBRICA 25
são alteradas (figura 2.2). Os recursos do software permitem que as mudanças de comportamento nos
gráficos de f e de g ◦ f sejam visualizadas ao mesmo tempo que as funções são alteradas.
No ensino médio, em geral os exerćıcios sobre composições de funções reduzem-se a procedimentos
para determinar expressões algébricas das compostas, dada as expressões algébricas das funções origi-
nais. O uso do computador permite a comparação das propriedades das funções compostas com as
propriedades das funções originais, a partir da articulação das representações algébricas, numéricas e
gráficas.
Figura 2.1: Composição de funções em planilhas eletrônicas: os gráficos de y = g(x+ 1), y = g(x2) e
y = g( sen x), sendo g(x) = x+ 1.
Figura 2.2: Composição de funções em planilhas eletrônicas: os gráficos de y = g(x+ 1), y = g(x2) e
y = g( sen x), sendo g(x) = |x|; e de y = g(x+ 1), y = g(x2) e y = g( sen x), sendo g(x) = x2.
Atividades
14. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 13.
(a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
(b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
(c) Qual é o papel da planilha eletrônica no desenvolvimento das atividades?
(d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendi-
zagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagens com recursos convencionais (isto
é, sem o uso de recursos computacionais)?
15. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 10 a 13, que seja adequada para
as turmas em que você leciona.
26 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
2.2 Tratamento da Informação e Matemática Financeira
Os recursos tecnológicos dispońıveis, atualmente com amplo uso na sociedade, ampliaram as possibilida-
des de tratamento de dados de modo a transformá-los em informações com grande potencial de análise e
aplicação em diversos campos do conhecimento. Tais possibilidades têm sido cada vez mais aplicadas no
ensino básico de Matemática, mobilizando os conhecimentos desenvolvidos pelos alunos em estat́ıstica
básica. Inclui-se áı a análise de dados obtidos em coletas emṕıricas que, mesmo quando em
grande volume, podem ser organizados e interpretados, por meio de gráficos de diversos tipos,
tabelas, e de medidas estat́ısticas de tendência central, como média, mediana e moda. Tais ferramentas
conceituais podem cumprir dupla finalidade. Por um lado, contribuem com a formação cidadã do
aluno, na medida em que oferecem acesso, de modo rápido, a diversificadas formas de apresentação
da informação, que possibilitam interpretações de situações e dão suporte a tomadas de decisões. Ao
mesmo tempo, permitem a utilização de contextos familiares do dia a dia para o aprendizado de
conceitos matemáticos e sua articulação com outros campos do conhecimento.
Assim, abordagem de tratamento da informação com apoio de recursos computacionais pode pro-
mover uma nova dinâmica à sala de aula. No ensino básico, espera-se que o trabalho com Estat́ıstica
seja calcado em um processo investigativo, por meio do qual o estudante manuseie dados desde a
coleta até a interpretação, e formulação de conclusões finais.
Apresentamos a seguir algumas atividades que visam explorar o uso de planilhas eletrônicas para
apresentar a coleta, organização, interpretação e apresentação de dados numéricos em tabelas e gráficos.
Exploramos ainda o cálculo de medidas estat́ısticas como média, mediana, moda e seus significados.
Atividades
1. Solicite aos alunos da turma formem grupos de até seis componentes e construam uma tabela
que relacione a altura (em metro) com o tamanho do palmo (em cent́ımetros) de cada um dos
estudantes. Cada grupo deve anotar esses dados em uma planilha eletrônica e usar os recursos
dispońıveis para responder as questões a seguir.
(a) Determine os valores da média, moda e mediana para os dados de seu grupo.
(b) Explique o significado estat́ıstico da média, da moda e da mediana. Podemos afirmar que
necessariamente existe um aluno da grupo cuja altura coincide exatamente com o valor da
média? E da mediana? E da moda? Justifique suas respostas.
(c) Construa uma tabela de frequência para cada uma das medidas: altura e palmo.
(d) Escolha uma representação conveniente e represente graficamente os dados: altura × palmo.
(e) Você considera que há alguma relação entre a altura e o tamanho do palmo dos colegas?
Justifique sua resposta.
(f) Anote os dados de cada um dos outros grupos e compare os dados tabelados e os valores
das medidas estat́ısticas calculadas no item 1a.
(g) Você considera que há alguma relação entre a média, da moda e da mediana das alturas e
dos tamanhos dos palmos dos diferentes grupos? Justifique sua resposta.
2. Formule uma atividade de coleta e organização de dados que possa ser aplicada em uma turma
de ensino médio.
(a) Escolha a melhor representação gráfica dentre as possibilidades da planilha eletrônica.
(b) Use as funções da planilha de cálculo e determine os valores da média, moda e mediana.
(c) Relate que conclusões você pode inferir sobre os dados coletados com base nas repre-
sentações gráficas e nas medidas?2.2. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO E MATEMÁTICA FINANCEIRA 27
Outro campo em que a educação para a cidadania pode se articular com a aprendizagem de conceitos
matemáticos importantes é a Matemática Financeira. No estágio econômico por que passa o Brasil,
com grande parte da população tendo acesso a créditos e financiamentos em modelos diversificados,
cabe ao ensino básico de Matemática oferecer ao aluno uma formação sólida neste campo.
A Matemática Financeira aplicada aos diversos ramos da atividade econômica pode repre-
sentar importante instrumento para auxiliar em análises e decisões de ordem pessoal e social.
Assim, além de servir como aporte a conceitos de outros campos, o aprendizado de Matemática Fi-
nanceira instrumentaliza o cidadão a melhor entender, interpretar e escolher adequadamente d́ıvidas,
crediários, descontos, reajustes salariais, aplicações financeiras. Dentre essas decisões, destacamos as
escolhas entre de propostas de financiamentos a longo, médio e curto prazo, relacionadas a experiências
do cotidiano.
A seguir apresentamos atividades que exploram análises de diferentes modos de composição de
financiamentos com pagamentos periódicos muito utilizados em créditos de longo prazo para aquisição
de véıculos (carros, motos) e imóveis.
Atividade
3. Para a maioria das operações financeiras as taxas de juros compostos são aplicadas a cada peŕıodo
sobre um capital aplicado ou a uma d́ıvida contratada. Desse modo, se o peŕıodo de capitalização
ou incidência dos juros difere do peŕıodo da taxa de juros informada é necessário uma conversão
de modo a adequar o peŕıodo à taxa. A tabela abaixo pode ser constrúıda com as funções de
uma planilha de cálculo.
(a) Reproduza esta planilha para as conversões indicadas e proponha a conversão para outros
valores de taxas, considerando os peŕıodos do exemplo.
(b) Apesar de não estar expĺıcita, a conversão acontece para valores de taxas dadas ao ano e
que devem ser calculadas para valores ao mês. Que valores estariam nas células Q e R se a
taxa dada fosse calculada ao ano e as taxas aplicadas ao trimestre?
(c) Simule conversões para diferentes peŕıodos (por exemplo: semestre para bimestre, etc).
(d) Observe a função referente à célula S3. Escreva uma justificativa matemática para esta
função. Que conceito matemático é empregado para encontrar os valores?
(e) Com esta mesma tabela de conversão, sem mudar a função, é posśıvel converter uma taxa
dada ao mês no sistema de juros compostos para o equivalente ao ano? Em caso afirmativo,
qual é a justificativa matemática para tal conversão?
28 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
O foco das atividades 4 a 7 a seguir está nos sistemas utilizados para financiamentos de longo prazo.
Nestes tipos de financiamentos, consideram-se sempre parcelas periódicas constitúıdas por duas partes:
a amortização, que corresponde ao que é efetivamente abatido da d́ıvida; e os juros, calculados sobre
o saldo devedor no peŕıodo do pagamento. Há duas modalidades principais encontradas no mercado
para este tipo de financiamento:
• No sistema SAC (Sistema de Amortização Constante), um valor constante é amortizado a cada
parcela. Portanto, o valor das parcelas decresce com o tempo. Este sistema é muito usado em
financiamentos de casa própria.
• No sistema PRICE, as parcelas constantes são mantidas constantes. Este pode ser mais encon-
trado em financiamentos de véıculos e bens duráveis. Muitas vezes, o sistema PRICE é informado
pelos vendedores como sendo sem juros, porém os juros totais são calculados e dilúıdos nas
parcelas fixas.
Podemos utilizar as funções estat́ısticas das planilhas eletrônicas para calcular valores para essas
modalidades de financiamento.
Atividades
4. O trecho da tabela abaixo representa um financiamento pelo sistema SAC, no valor de R$
50.000,00 para compra de um imóvel em um peŕıodo de 300 meses, com taxa de 0,9% ao
mês.
(a) Reproduza esta tabela do Sistema SAC em uma planilha de cálculo.
Observe que para utilizar células que terão valor constante devemos utilizar o rótulo da
coluna sempre entre $. Por exemplo, toda vez que nesta tabela usar a taxa fixa de 0,9%
devo criar referência a $B$3. Os valores da coluna B, de B4 em diante são obtidos pela
subtração de 1 do valor antecessor: E5=E4-1.
2.2. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO E MATEMÁTICA FINANCEIRA 29
(b) Justifique matematicamente cada um dos valores numéricos presentes nas células da linha
4 (B4:F4).
(c) O que podemos observar relacionado a cada uma das colunas?
(d) Qual o comportamento das parcelas da prestação neste sistema? Justifique.
(e) Utilize o assistente de gráficos da planilha e em único sistema cartesiano represente os valores
das colunas C, D, E, e F com as parcelas da coluna B.
(f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemos
observar em cada caso?
5. A tabela abaixo apresenta o mesmo financiamento da atividade 4, utilizando o sistema PRICE.
(a) O que podemos observar diferente nesta tabela? Justifique.
A figura abaixo ilustra a situação retratada pela tabela PRICE acima. Ou seja, temos um
valor principal e devemos encontrar as parcelas iguais, em modo composto, obtidas a partir
do VF. Cabe ressaltar que este valor pode ser obtido por meio das funções estat́ısticas da
planilha. Por exemplo o conteúdo obtido em K4 é dado por Cálculo da Prestação Constante:
=PGTO(i%; n; -VP; Vf; 0) em que:
• i é a tx de juros;
• n é a quantidade de peŕıodos;
• VP é o valor do empréstimo;
• VF é usualmente zero;
• 0 indica que os pagamentos serão ao final do peŕıodo.
30 CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRÔNICAS
(b) Justifique matematicamente cada um dos valores numéricos presentes nas células da linha
4 (J4:M4).
(c) Observe a função referente à célula S3. Escreva uma justificativa matemática para esta
função. Que conceito matemático é empregado?
(d) Qual o comportamento das parcelas da prestação neste sistema? Justifique.
(e) Utilize o assistente de gráficos da planilha e em único sistema cartesiano represente os valores
das colunas C, D, E, e F, com as parcelas da coluna B.
(f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemos
observar em cada caso?
6. Construa em uma mesma planilha as tabelas com os sistemas SAC e PRICE. Para cada um dos
casos, represente em eixos cartesianos a amortização, os juros, as prestações e saldo devedor.
Comente as vantagens e desvantagens de cada sistema.
7. Construa as tabelas análogas às anteriores, para o caso da taxa dada ao ano com peŕıodos de
prestações mensais. Veja a figura abaixo, como uma sugestão para inserir a nova entrada com
taxa ao ano.
Fecharemos este Caṕıtulo com uma atividade interessante (e talvez surpreendente) de Matemática
Financeira. Além do número π, o número irracional transcendente mais conhecido e importante da
Matemática é certamente a constante de Euler:
e = 2, 718281828459 . . .
Embora o número e tenha um papel importante em Matemática superior, além de inúmeras
aplicações na modelagem de problemas em diversas áreas, motivações para a sua introdução no ensino
básico não são muito difundidas – diferentemente do que ocorre com o número π, cuja definição como
razão entre o peŕımetro e a diagonal do ćırculo tem forte apelo geométrico. No caso da constante de
Euler, uma dificuldade está no fato de que, embora haja algumas formas equivalentes de definir este
número, todas envolvem de alguma forma o conceito de limite. Podemos definir e por meio do seguinte
limite, conhecido como Segundo Limite Fundamental do Cálculo:
e = lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n
.
Uma das formas de motivar a definição da constante de Euler envolve uma situação de Matemática
Financeira, apresentada na atividade 8. Como observará, a planilha eletrônica tem um papel importante
2.2. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO E MATEMÁTICA
recursos computacionais no ensino de matematica

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