Exericico fixação-10

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57. Problema: Resolva a integral indefinida \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{1}{2}e^{x^2} + C \). 
 Explicação: Podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. 
 
58. Problema: Encontre a derivada de \( y = \ln(\cos(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( y' = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). 
 Explicação: Usamos a regra do quociente e a derivada da função natural para calcular a 
derivada. 
 
59. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 2x 
+ 1 \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( x = 1 \) e o ponto de mínimo é \( x = 2 \). 
 Explicação: Encontramos os pontos críticos e testamos os intervalos para determinar 
os máximos e mínimos. 
 
60. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + y = \sin(x) \). 
 Resposta: A solução é \( y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x) \), onde \( C_1 \) e 
\( C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
 
61. Problema: Calcule a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \), o eixo \( x \) e 
as linhas \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). 
 Explicação: Para encontrar a área sob uma curva, integramos a função com relação a \( 
x \). 
 
62. Problema: Determine os limites laterais de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x} \) quando \( x \) se 
aproxima de 0. 
 Resposta: O limite pela esquerda e o limite pela direita são ambos \( +\infty \). 
 Explicação: O limite de \( \frac{\cos(x)}{x} \) quando \( x \) se aproxima de 0 tende para \( 
+\infty \). 
 
63. Problema: Resolva a integral indefinida \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \).