Exericico fixação-6

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Resposta: O volume é \( \frac{224}{15} 
 
 \pi \). 
 Explicação: Usamos o método dos discos ou cilindros para encontrar o volume de 
revolução. 
 
33. Problema: Resolva a integral indefinida \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2} + C \). 
 Explicação: Podemos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. 
 
34. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \frac{1}{x} \) no ponto 
(2,0.5). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \). 
 Explicação: Usamos a derivada de \( \frac{1}{x} \) para encontrar a inclinação da 
tangente e, em seguida, usamos o ponto dado para encontrar a equação da reta tangente. 
 
35. Problema: Determine os intervalos de concavidade para a função \( f(x) = \frac{1}{x^2} 
\). 
 Resposta: A função é côncava para cima em \( (-\infty, 0) \) e \( (0, \infty) \). 
 Explicação: Encontramos os pontos de inflexão e testamos os intervalos entre eles para 
determinar a concavidade. 
 
36. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 3y' + 2y = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
 
37. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{4} \). 
 Explicação: Para encontrar a área entre duas curvas, subtraímos a função inferior da 
função superior e integramos com relação a \( x \).