TEXTOD_1 (1)

Prévia do material em texto

DERIVADAS PARCIAIS E FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 
Considere a função 229),( yxyxf  . Fazendo a interseção do gráfico de f com o plano
2y obtemos geometricamente a curva 2,5 2  yxz . 
 
Gráfico 1D 
 
 
 
 
Gráfico 2D 
 
Definição: Sejam ),(,: 2 yxfzRRAf  , uma função e Ayx ),( 00 . 
Fixado 0yy  podemos considerar a função ),()( 0yxfxg  . A derivada de g no ponto 
0xx  , denominada derivada parcial de f em relação à x no ponto ),( 00 yx , é definida por 
0
000
00
),(),(
lim),(
0 xx
yxfyxf
yx
x
f
xx 





 
se o limite existir. 
Observação: Podemos também definir a derivada parcial anterior por 
x
yxfyxxf
yx
x
f
x 





),(),(
lim),( 0000
0
00
 
quando o limite existir. 
Analogamente, definimos a derivada parcial de f em relação à y no ponto ),( 00 yx por 
0
000
00
),(),(
lim),(
0 yy
yxfyxf
yx
y
f
yy 





 
Ou 
y
yxfyyxf
yx
y
f
y 





),(),(
lim),( 0000
0
00
 
quando o limite existir. 
Exemplo 1: Dada 229),( yxyxf  encontre )2,1(
x
f


 . 
Dada ),(,: 2 yxfzRRAf  
x
yxfyxxf
yx
x
f
x 





),(),(
lim),(
0
 
y
yxfyyxf
yx
y
f
y 





),(),(
lim),(
0 
Estas derivadas são chamadas derivadas de primeira ordem de f em relação à x e y
respectivamente. 
Outras notações para a derivada de f em relação à x : 
 
),();,(; 1 yxfyxfD
x
f
x


 
Já para a derivada de f em relação à y temos as notações: 
),();,(; 2 yxfyxfD
y
f
y


 
Na prática, podemos obter as derivadas parciais, usando as regras de derivação das funções de 
uma variável. Neste caso, para calcular 
x
f


 mantemos y constante e, para calcular 
y
f


, x é 
mantido constante. 
Exemplo 2: Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções: 
a) xxyyxyxf 432),( 22  
b) 2),( 22  yxyxg 
c) )2( yxsenz  
Exemplo 3: Seja 







)0,0(),(,0
)0,0(),(,
53
2
),( 22
yx
yx
yx
xy
yxf . Calcular 
x
f


 e 
y
f


. 
Solução: 
Caso 1: )0,0(),( yx (regras de derivação) 
Caso 2: )0,0(),( yx (Definição) 
Exercício: Verificar se a função yxxyz  )ln( satisfaz a equação yx
y
z
y
x
z
x 





. 
 
Interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função de duas variáveis 
 
Figura Gráfico 2D 
A derivada ),( 00 yx
x
f


 é a tangente do ângulo formado pelas retas 0yy  (no plano xy ) e a 
reta tangente à curva ),( 0yxf no ponto )),(,,( 0000 yxfyx , figura anterior. De modo 
análogo, A derivada ),( 00 yx
y
f


 é a tangente do ângulo formado pelas retas 0xx  (no plano
xy ) e a reta tangente à curva ),( 0 yxf no ponto )),(,,( 0000 yxfyx . 
 
Exemplo 4: Seja 226 yxz  . Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da 
interseção de ),( yxfz  com 2x , no ponto )1,1,2( . 
Exemplo 5: Seja xxyxz 1252 22  . Encontrar a inclinação da reta tangente à curva 
resultante da interseção de ),( yxfz  com 1y , no ponto )6,1,2(  . 
Observação: Se  n
n xxxfRRAf ,,,,: 21  
Então 
i
ninii
x
ni
i x
xxxxfxxxxxf
xxxx
x
f
i 





),,,,,(),,,,,(
lim),,,,,( 2121
0
21

 
para ni ,,2,1  , se os limites existirem. 
 
Exemplo 6: Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem da função 
)ln(),,,,( 222 wtxxyzwtzyxf  . 
 
 
Diferenciabilidade 
Considerações: 
1) O gráfico de uma função derivável não possui pontos angulosos, isto é, a curva é suave. Em 
cada ponto temos uma única reta tangente. 
2) Queremos caracterizar uma função diferenciável, ),( yxf pela suavidade do seu gráfico. 
Em cada ponto ),(,,( 0000 yxfyx do gráfico de f , deverá existir um único plano tangente, 
que represente uma “boa aproximação” de f perto de ),( 00 yx . 
 
3) Para entendermos o que é uma “boa aproximação” para a função f perto de ),( 00 yx , 
considere uma função derivável RRf : . Sabemos que, se f for derivável no ponto 0x 
sua derivada é dada por 
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx 



. 
Podemos reescrever esta equação como 
0)(
)()(
lim 0
0
0
0










xf
xx
xfxf
xx
. 
Ou 
0
)])(()([)(
lim
0
000
0








 xx
xxxfxfxf
xx
. 
Esta última equação nos mostra que a função 
))(()( 000 xxxfxfy  , 
que é a reta tangente ao gráfico de f no ponto ))(,( 00 xfx é uma “boa aproximação” de f 
perto de 0x . Em outras palavras, quando x se aproxima de 0x , a diferença entre )(xf e y 
se aproxima de zero de uma forma mais rápida do que 0xx  . 
4) Assim como a derivada de uma função de uma variável está relacionada à reta tangente ao 
gráfico de uma função, as derivadas parciais estão relacionadas com o plano tangente ao 
gráfico de uma função de duas variáveis. No entanto, neste último caso, devemos fazer uma 
análise bem mais cuidadosa, pois somente a existência das derivadas parciais, não garante que 
existirá um plano tangente. 
 
 
 
5) Se existir o plano tangente ao gráfico de ),( yxfz  no ponto )),(,,( 0000 yxfyx , esse 
plano é dado pela equação 
))(,())(,(),( 00000000 yyyx
y
f
xxyx
x
f
yxfz 





 . 
Definição: Dizemos que a função ),( yxf é diferenciável no ponto ),( 00 yx se as derivadas 
parciais ),( 00 yx
x
f


e ),( 00 yx
y
f


 existem e se 
0
)()(
)])(,())(,(),([),(
lim
2
0
2
0
00000000
),(),( 00





















 yyxx
yyyx
y
f
xxyx
x
f
yxfyxf
yxyx
 
Dizemos que f é diferenciável em um conjunto )( fDA  , se for diferenciável em todos os 
pontos de A . 
Observações: 
1) Para provar que uma função é diferenciável em ),( 00 yx usando a definição, devemos 
mostrar que as derivadas parciais existem em ),( 00 yx e além disso que o limite é zero. 
2) Se uma das derivadas parciais não existe no ponto ),( 00 yx , f não é diferenciável neste 
ponto. 
3) Se o limite anterior for diferente de zero ou não existir , f não é diferenciável no ponto
),( 00 yx . Mesmo se existirem as derivadas parciais neste ponto. 
É importante observar que nem sempre é fácil usar a definição de função é diferenciável. 
Veremos posteriormente um critério que nos permite concluir que muitas funções, que 
aparecem frequentemente na prática são diferenciáveis. 
A próxima proposição nos dá uma forma de concluir que uma função não é diferenciável. 
Proposição: Se ),( yxf é diferenciável em ),( 00 yx então f é contínua em ),( 00 yx . 
Demonstração: Segue do fato 
0)()(.
)()(
)])(,())(,(),([),(
lim 20
2
0
2
0
2
0
00000000
),(),( 00























yyxx
yyxx
yyyx
y
f
xxyx
x
f
yxfyxf
yxyx
 
Exemplo 7: Prove que a função 22),( yxyxf  é diferenciável em 2R . 
Exercícios: Verifique se as funções a seguir são diferenciáveis na origem: 
a) 22),( yxyxfz  
b) 








)0,0(),(,0
)0,0(),(,
),( 22
2
yx
yx
yx
x
yxf 
c) 








)0,0(),(,0
)0,0(),(,
2
),( 22
3
yx
yx
yx
y
yxf 
Proposição: Seja ),( 00 yx um ponto do domínio da função ),( yxf . Se ),( yxf possui 
derivadas parciais
x
f


e 
y
f


 em um conjunto aberto A que contém ),( 00 yx e se essas 
derivadas parciais são contínuas em ),( 00 yx então f é diferenciável em ),( 00 yx . 
Exemplo 8: Verificar que as funções a seguir são diferenciáveis em 2R . 
a) 22),( yxyxf  
b) xyyxxyyxf 243),( 22  
c) )(),( 2xysenyxf  
Exemplo 9: Verificar que as funções a seguir são diferenciáveis em  )0,0(2 R . 
a)
 22
),(
yx
x
yxf

 
a) 22),( yxyxf  
 
Plano tangente e vetor gradiente 
Definição: Seja RRf 2: diferenciável no ponto ),( 00 yx . Chamamos plano tangente ao 
gráfico de f no ponto )),(,,( 0000 yxfyx o plano dado pela equação 
))(,())(,(),( 00000000 yyyx
y
f
xxyx
x
f
yxfz 





 
Observação: Existir a equação de um plano não significa que ele será o plano tangente, pois f
deve ser diferenciávelem ),( 00 yx , como por exemplo, dada a função 








)0,0(),(,0
)0,0(),(,
2
),( 22
3
yx
yx
yx
y
yxf 
Temos o plano )0(2)0.(00  yxz passando no ponto ))0,0(,0,0( f mas este não é 
o plano tangente, pois a função f não é diferenciável em )0,0( , como visto no exercício 
anterior item c. 
Exemplo 10: Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas a seguir, nos 
pontos indicados: 
a)
 
)2,1,1()0,0,0(,),( 21
22 PPyxyxf  
a)
 
)2,1,1()0,0,0(,2),( 21
22 PPyxyxf  
A equação do plano tangente pode ser reescrita usando produto escalar, da forma: 
 00000000 ,),(),,(),( yyxxyx
y
f
yx
x
f
yxfz 









 
Definição: Seja ),( yxfz  uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem no ponto 
),( 00 yx . O gradiente de f no ponto ),( 00 yx é definido como 
),(),(),,(),( 00000000 yxfyx
y
f
yx
x
f
yxgradf 









 . 
Observações: 
1) Geometricamente interpretamos ),( 00 yxf como um vetor aplicado no ponto ),( 00 yx . 
Isto é, transladado paralelamente da origem para o ponto ),( 00 yx . 
2) Se estamos trabalhando com um ponto genérico ),( yx , usualmente representamos o vetor 
gradiente por 










y
f
x
f
f , 
3) Definimos o vetor gradiente de funções de mais de duas variáveis de modo análogo. Por 
exemplo, se ),,( zyxfw  então 












z
f
y
f
x
f
w ,, . 
Exemplo 11: Determinar o gradiente das funções: 
a) 
x
y
yxyxf
2
25),(  
b) 2xyzw  
Exemplo 12: Determinar o vetor gradiente da função 
2
),(
2
2 yxyxf  no ponto )3,1( . 
Exemplo 13: Determinar o vetor gradiente da função 221),( yxyxf  em )0,0( . 
 
Observações: 
1) No exemplo 13 temos que )0,0()0,0( f . Observando o gráfico da função anterior 
vemos que esta função tem valor máximo na origem. Posteriormente veremos que os 
extremos relativos de uma função diferenciável ),( yxf estão em pontos onde 0f . 
2) Uma das mais importantes propriedades do gradiente é que ele é perpendicular às curvas 
de nível de f . 
Proposição: Seja ),( yxf uma função tal que pelo ponto ),( 000 yxP passa uma curva de nível 
kC de f . Se )0,0(),( 00 yxgradf então ele é perpendicular à curva kC em ),( 00 yx , isto 
é, ele é perpendicular à reta tangente à curva kC no ponto ),( 00 yx . 
A demonstração desta proposição será feita quando estudarmos derivação implícita. 
Observação: ),( 00 yxf está situado no plano xy e foi transladado paralelamente da origem 
para o ponto ),( 00 yx . 
Exemplo 14: Verificar a proposição anterior para a função yxyxf  2),( no ponto )4,2(0P . 
Exemplo 15: Encontre a equação da reta perpendicular à curva 422  yx ponto )3,1(P . 
Observação: Seja ),,( zyxf uma função tal que, por um ponto P do espaço, passa uma 
superfície de nível S de f . Se gradf for não nulo em P , então gradf
 
é normal à S em 
.P Essa propriedade do vetor gradiente pode ser facilmente demonstrada no contexto de 
cálculo vetorial. 
 
Diferencial 
Em Cálculo Diferencial I vimos que quando temos uma função de uma variável )(xfy  a 
diferencial, dx , da variável independente é o acréscimo x e a diferencial, dy , da variável 
dependente, é definida como ,)( dxxfdy  que é aproximadamente y , ou seja, 
)()( xfxxf  . De forma análoga, a diferencial de uma função fz  em ),( yx é 
definida por 
dyyx
y
f
dxyx
x
f
dfdz ),(),(





 (*) 
Sendo ydyexdx  com yex  respectivamente os acréscimos das variáveis 
independentes yex . A expressão (*) também é denominada diferencial total de ),( yxf . 
Exemplo 16: Calcular a diferencial de xyxyxf ),( no ponto )1,1( . 
Exemplo 17: Dada a função xyyxz  22 , 
a) Determinar uma boa aproximação para o acréscimo da variável dependente quando passa 
de )1,1( para )02,1;001,1( . 
b) Calcular z quando as variáveis independentes sofrem a variação dada em (a). 
Exemplo 18: Dada a função 2xxyz  mostre que o erro quando usamos dz como z 
tende para zero quando 0x e 0y . 
Exemplo 19: Calcular a diferencial das funções: 
a) xysenz 2 
b) )ln( 2yxz  
Observação: Se ),,( zyxfw  a diferencial de ),,( zyxfw  em ),,( 000 zyx é 
dzzyx
z
f
dyzyx
y
f
dxzyx
x
f
dw ),,(),,(),,( 000000000








 . 
Exemplo 20: Calcular a diferencial da função yxyzxzyxf  2),,( 2 no ponto )
2
1
,2,1( . 
Exercício: Calcular a diferencial total de: 
a) zyxeyxz  22 
b) 433221 xxxxxxz  
 
Algumas aplicações da diferencial 
Exemplo 21: Dadas as figuras a seguir, calcular um valor aproximado para a variação da área 
quando os lados são modificados de: 
a) 4 cm e 2 cm para 4,01 cm e 2,001 cm, respectivamente, no caso do retângulo. 
b) 2 cm para 2,01 cm, 1 cm para 0,5 cm, no caso do triângulo retângulo. Dadas as figuras 
 
Exemplo 22: Vamos considerar uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: 
raio 2 cm e altura 5 cm. O custo do material usado em sua confecção é de R$ 0,81 por 
centímetro quadrado. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10% no raio e de 2% na 
altura, pergunta-se: 
a) Qual o valor aproximado do acréscimo no custo da caixa? 
b) Qual o valor exato do acréscimo no custo da caixa? 
Exemplo 22: Suponha que necessitamos encontrar um valor para a expressão 02,3)001,1( 
e não dispomos de ferramentas de cálculo (calculadora ou computador). Como podemos 
proceder? 
 
Regra da cadeia 
No estudo de funções de uma variável usamos a regra da cadeia para calcular a derivada de 
uma função composta. Usaremos agora a regra da cadeia para o caso de funções de várias 
variáveis. 
Proposição (Regra da cadeia caso 1): Sejam BeA subconjuntos abertos em ReR2
respectivamente, e sejam ),( yxfz  uma função que tem derivadas parciais de 1ª ordem 
contínuas em A , )()( tyyetxx  funções diferenciáveis em B tais que, para todo 
Bt temos que Atytx ))(),(( . 
Seja a função composta .)),(),(()( Bttytxfth  Então essa função composta é 
diferenciável para todo 
dt
dh
eBt  é dada por 
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dh
..





 . 
Exemplo 23: Verificar a fórmula anterior da regra da cadeia para 
4)(,1)(,),( 22  ttyttxxxyyxf . 
Exemplo 24: Dada ttyttxxyyxyxf  )(,)(),ln(),( 222 , encontrar.
 dt
dh
.com.
 
))(),(()( tytxfth  . 
 
Proposição (Regra da cadeia caso 2): Sejam BeA subconjuntos abertos em 2R e sejam 
),( yxfz  uma função que tem derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em A ,
),(),( yxvveyxuu  funções diferenciáveis em B tais que, para todo Byx ),( temos 
que Ayxvyxu )),(),,(( . 
Seja a função composta .),()),,(),,((),( Byxyxvyxufyxh  Então a função composta 
),( yxh
 
é diferenciável para todo Byx ),( e 
x
v
v
f
x
u
u
f
x
h












.. 
y
v
v
f
y
u
u
f
y
h












.. 
Observação: as equações anteriores podem ser reescritas na forma matricial: 








































y
v
x
v
y
u
x
u
v
f
u
f
y
h
x
h
. . 
Exemplo 25: Verificar as duas fórmulas da proposição anterior, para 
1),(,),(,4),( 22  yxyxyyxyxuvuvuf . 
Exemplo 26: Dada  senryrxyxyxyxf  ,cos,),( 222 , encontrar as derivadas 
parciais.
 


 f
e
r
f
. 
Observação: A regra da cadeia pode ser generalizada. Veja os exemplos a seguir. 
Exemplo 27: Dada a função 222 zyxw  e sabendo que 
 cos,,cos rzsensenrysenrx  
encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem da função w .em relação à 
 
 er, . 
Solução: A regra da cadeia para esse caso pode ser escrita como 
r
z
z
w
r
y
y
w
r
x
x
w
r
w

















... 
 















 z
z
wy
y
wx
x
ww
... 
 














 z
z
wy
y
wx
x
ww
... 
Exemplo 28: Seja ),( 22 rsttsrfz  , onde ),( yxf é uma função diferenciável. 
Encontrar 
t
z
e
s
z
r
z






, em função das derivadas parciais de f . 
 
Derivação Implícita 
No estudo de função real de uma variável real, em Cálculo Diferencial e Integral I, vimos que 
uma função )(xfy  é definida implicitamente pela equação 0),( yxF
 
se ao 
substituirmos y
 
por )(xf , essa equação se transforma em uma identidade. 
Analogamente, dizemos que uma função ),( yxfz  é definida implicitamente pela equação 
0),,( zyxF
 
se ao substituirmos z
 
por ),( yxf , essa equação se transforma em uma 
identidade. 
 
Exemplo 29:A função 22 yxz  é definida implicitamente pela equação 
0222  zyx . 
Uma outra situação em que podemos ter funções definidas implicitamente ocorre quando 
temos duas equações simultâneas. Por exemplo, o sistema 





0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
. 
pode definir implicitamente duas funções de uma variável )(),( xzzxyy  . 
Já o sistema 





0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
 
pode, por exemplo, definir implicitamente duas funções de duas variáveis 
),(),,( vuyyvuxx  . 
Nessas e em outras situações podemos ter, em alguns casos, a garantia de que uma função 
está definida implicitamente, mas não conseguimos explicitá-la. 
Problema: Como encontrar as derivadas parciais de funções dadas na forma implícita? 
Caso 1: Derivada de uma função ),(xfy  definida implicitamente pela equação 0),( yxF 
Admitindo que Fef são funções diferenciáveis e que no ponto ))(,( xfx temos l 0


y
F
, 
podemos obter a derivada 
dx
dy
, derivando a equação 0),( yxF em relação à x , usando a 
regra da cadeia. De fato, derivando a equação 0))(,( xyxF em relação à x obtemos 
0.. 





dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
 
Daí concluímos que 
y
F
x
F
dx
dy





 . 
Exemplo 30: Sabendo que a função diferenciável )(xfy 
 
é definida implicitamente pela 
equação 122  yx
 
determinar sua derivada 
dx
dy
. 
 
Caso 2: Derivadas parciais de uma função ),( yxfz  definida implicitamente pela equação 
0),,( zyxF . 
Admitindo que Fef são funções diferenciáveis e que no ponto )),(,,( yxfyx temos l
0


z
F
, usando a regra da cadeia, podemos obter as derivadas parciais 
y
z
e
x
z




. Derivando a 
equação 0),,( zyxF em relação à x , usando a regra da cadeia, obtemos 
0... 














x
z
z
F
x
y
y
F
x
x
x
F
. 
Como 01 





x
y
e
x
x
, concluímos que 
z
F
x
F
x
z








. 
Analogamente, derivando em relação à y , obtemos 
z
F
y
F
y
z








. 
Exemplo 31: Sabendo que a função diferenciável ),( yxfy 
 
é definida implicitamente pela 
equação 5334  zzyyx
 
determinar 
y
z
e
x
z




. 
 
Para a derivada das funções )()( xzzexyy  definidas implicitamente pelo sistema 





0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
 
E outros casos de derivação implícita, veja Cálculo B, páginas 138-142. 
 
Derivadas parciais sucessivas 
Se f éuma função de duas variáveis, então, em geral, suas derivadas parciais de 1ª ordem são 
também funções de duas variáveis. Se as derivadas dessas funções existem , elas são 
chamadas derivadas parciais de 2ª ordem de f . 
Para uma função ),( yxfz 
 
temos quatro derivadas parciais de 2ª ordem. A partir da 
derivada de f em relação à 
x
f
x


, , obtemos as seguintes derivadas parciais de 2ª ordem: 
xy
f
x
f
y
e
x
f
x
f
x 






















 2
2
2
. 
A partir da derivada 
y
f


, obtemos as seguintes derivadas parciais de 2ª ordem: 
2
22
y
f
y
f
y
e
yx
f
y
f
x 























. 
Exemplo 32:Dada a função 423),( yxyxyxf  determinar suas derivadas parciais de 2ª 
ordem. 
Exemplo 33: Dada a função  )2),( yxsenyxf  determinar 
xy
f

 2
 e 
yx
f

 2
. 
 
Ao calcular as derivadas parciais 
xy
f

 2
 e 
yx
f

 2
, no exemplo anterior vemos que 
yx
f
xy
f




 22
 Entretanto isso não acontece para todas as funções, a proposição a seguir 
destacam condições suficientes sob as quais essa igualdade acontece. 
 
Proposição (teorema de Schwartz): Seja ),( yxfz  uma função com derivadas parciais de 2ª 
ordem contínuas em um conjunto aberto 2RA  . Então 
),(),( 00
2
00
2
yx
xy
f
yx
yx
f





 
para todo Ayx ),( 00 . 
Observação: Assim como definimos as derivadas parciais de 2ª ordem, podemos definir 
derivadas parciais de ordem mais alta. 
Exemplo 34: Dada a função yxeyxf 32),(  : 
a) Calcular 
3
3
x
f


e 
3
3
y
f


. 
b) Verificar que 
2
3
2
3
yx
f
xy
f





. 
Exemplo 35: Dada a função 








)0,0(),(,0
)0,0(),(,
),( 22
3
yx
yx
yx
yx
yxf verificar que as derivadas 
parciais de 2ª ordem mistas são diferentes no ponto )0,0( . 
 
Máximos e mínimos de funções de várias variáveis 
Definição: Seja ),( yxfz  . Dizemos que )(),( 00 fDyx  é um ponto de máximo absoluto 
(ou global) de f se )(),(),,(),( 00 fDyxyxfyxf  . E dizemos que )(),( 00 fDyx  é 
um ponto de mínimo absoluto(ou global) de f se )(),(),,(),( 00 fDyxyxfyxf  . No 
primeiro caso dizemos que ),( 00 yxf é o valor máximo de f e no segundo caso o valor 
mínimo. 
Exemplo 36: O ponto )0,0( é o ponto de máximo absoluto da função .4),( 22 yxyxf  E 
também o mínimo absoluto da função .1),( 22 yxyxf  
Definição: Seja ),( yxfz  uma função de duas variáveis. Dizemos que: 
a) )(),( 00 fDyx 
 
é um ponto de máximo relativo (ou local) de f se existir uma bola aberta 
));,(( 00 ryxB tal que )(),(),,(),( 00 fDByxyxfyxf  . 
b) )(),( 00 fDyx 
 
é um ponto de mínimo relativo (ou local) de f se existir uma bola aberta 
));,(( 00 ryxB tal que )(),(),,(),( 00 fDByxyxfyxf  . 
Definição: Seja ),( yxfz  definida em um conjunto aberto 2RU  . Um ponto 
Uyx ),( 00 é um ponto crítico de f se as derivadas parciais ),(),( 0000 yx
y
f
eyx
x
f




existem e são iguais a zero ou se f não é diferenciável em Uyx ),( 00 . 
Exemplo 37: Verifique que o ponto é ponto crítico das funções: 
a) .),( 22 yxyxf  b) .2),( 22 yxyxf  
c) .),( 22 yxyxf  d) 








)0,0(),(,0
)0,0(),(,
2
),( 22
3
yx
yx
yx
y
yxf 
Proposição (condição necessária para a existência de extremos relativos ou local) 
 Seja ),( yxfz  uma função diferenciável em um conjunto aberto 2RU  . Se 
Uyx ),( 00 é um ponto extremo local (ponto de máximo ou mínimo local) de f , então 
0),(),( 0000 





yx
y
f
yx
x
f
, isto é, ),( 00 yx é um ponto crítico de f . 
Exemplo 38: Determinar os pontos críticos da função xxxyyxf 33),( 32  . 
 Proposição (condição suficiente para um ponto crítico ser extremo local) 
 Seja ),( yxfz  uma função cujas derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem são contínuas em um 
conjunto aberto que contém ),( 00 yx
 
e suponhamos que ),( 00 yx
 
seja um ponto crítico de 
f . Seja 
),(),(
),(),(
),(
2
22
2
2
2
yx
y
f
yx
yx
f
yx
xy
f
yx
x
f
yxH








 . 
Temos 
a) Se 0),(0),( 002
2
00 


 yx
x
f
eyxH , então ),( 00 yx 
é um ponto de mínimo local de f . 
b) Se 0),(0),( 002
2
00 


 yx
x
f
eyxH , então ),( 00 yx 
é um ponto de máximo local de f . 
c) Se 0),( 00 yxH , então ),( 00 yx 
é não é extremo local. Nesse caso ),( 00 yx é um ponto 
de sela. 
 d) se 0),( 00 yxH , nada se pode afirmar. 
Observação: A matriz 





















),(),(
),(),(
),(
2
22
2
2
2
yx
y
f
yx
yx
f
yx
xy
f
yx
x
f
yxH 
aparece em diversas situações em um curso de cálculo e é conhecida como matriz hessiana. O 
seu determinante, ),( yxH é chamado determinante hessiano da funçãof . 
Exemplo 39: Classifique os pontos críticos da função 
xxxyyxf 33),( 32  , 
vista no exemplo 38. 
Exemplo 40: Mostre que 5
33
),( 22 
yx
yxyxyxf tem mínimo local em )1,1( . 
Exemplo 41: Seja yxyxyxf 6622),( 33  . Analisar os pontos de máximo e mínimo de 
f no conjunto aberto a seguir. 
 
Teorema de Weierstrass: Sejam ),(,: 2 yxfzRRUf  uma função contínua no 
conjunto fechado e limitado A . Então existem APP 21 , tais que )()(,)( 21 PfPfPf  
quaisquer que seja AP . 
Exemplo 42: Seja yxyxyxf 6622),( 33  a função do exemplo anterior. Determinar o 
valor máximo e mínimo de f no conjunto B delimitado pelo triângulo ABC da figura a seguir. 
 
 
Exemplo 43: Quais as dimensões de uma caixa retangular, sem tampa, com volume 4 metros 
cúbicos e com a menor área de superfície possível? 
Exercícios: 
1) Sejam   )1,3(3,2),1,1( e os vértices de um triângulo. Qual é o ponto ),( yx tal que a soma 
dos quadrados de suas distâncias aos vértices é a menor possível? 
2) A temperatura T em qualquer ponto ),( yx do plano é dada por xxyT  223 . Qual 
a temperatura máxima e mínima em um disco fechado de raio 1 centrado na origem? 
3) Uma indústria produz dois produtos denominados A e B. O lucro da indústria pela venda de 
x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por 
xyyxyxyxL  22
2
3
2
3
10060),( . 
Suponha que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza 
o lucro. 
 
Máximos e mínimos condicionados 
Considere os seguintes problemas: 
1) Encontra o máximo da função 224),( yxyxf  . 
2) Encontra o máximo da função 224),( yxyxf  , satisfazendo a (“sujeito a”: s.a) 
equação 2 yx . 
O problema 1 é chamado problema de otimização irrestrita, solução: estudamos 
anteriormente. 
No problema 2, temos a presença de uma restrição ou vínculo. Estamos diante de um 
problema de otimização restrita, em que queremos encontrar o maior valor da função em um 
subconjunto de seu domínio, nesse caso, o subconjunto do plano xy dado pela reta 
2 yx . 
A solução do problema 1 é chamado ponto de máximo livre e a do problema 2 
 ponto de máximo condicionado de f , veja a figura a seguir. 
 
Gráfico 3D 
 
De modo geral, problemas de otimização restrita podem ser muito complexos, não havendo 
um método geral para encontrar a solução de todas as classes de problemas. Em algumas 
situações simples podemos, podemos resolvê-los como foi feito no exemplo 43, isto é, 
explicitando uma variável em função das outras, na restrição, substituindo na função objetivo 
e resolvendo o problema de otimização irrestrita resultante. 
O método de multiplicadores de Lagrange permite analisar situações mais gerais. Por meio 
deste método, um problema de otimização restrita com n variáveis e m restrições de igualdade 
é transformado em um problema de otimização irrestrita de n+m variáveis. 
Problema: Maximizar a função ),( yxf , sujeito à condição 0),( yxg . 
Usando as propriedades do vetor gradiente, vamos obter uma visualização geométrica do 
método de Lagrange, que nos permite determinar os candidatos a pontos de máximo e/ou 
mínimo de f . 
Para isso, esboçamos o gráfico de 0),( yxg e diversas curvas de nível kyxf ),( da 
função objetivo. Observando os valores crescentes de k . O valor máximo de ),( yxf sobre a 
curva 0),( yxg coincide com o maior de valor k tal que a curva kyxf ),( intercepta a 
curva 0),( yxg . Isso corre em um ponto 0P . Neste ponto as duas curvas têm a mesma 
reta tangente t , figura a seguir. 
 
Como fgrad e ggrad são perpendiculares à reta t (proposição) eles têm a mesma direção 
no ponto 0P , ou seja, ggradfgrad  para algum número real . 
No argumento geométrico anterior estávamos considerando )0,0(),(  yxg em 0P . Além 
disso, o mesmo argumento pode ser facilmente adaptado para problemas de minimização. 
Temos a seguinte proposição: 
Proposição: 
Seja ),( yxf diferenciável em um conjunto aberto U . Seja ),( yxg uma função com 
derivadas parciais contínuas em U tal que )0,0(),(  yxg para todo Vyx ),( onde 
 0),(;),(  yxgUyxV . Uma condição necessária para que Vyx ),( 00 seja extremo 
local de f em V é que 
),(),( 0000 yxgyxf   
para algum número real . 
Usando a proposição anterior, podemos dizer que os pontos de máximo e/ou mínimo 
condicionado de f devem satisfazer as equações: 
0),(, 










yxge
y
g
y
f
x
g
x
f
 
para algum número real . 
O número que torna compatível o sistema anterior é chamado multiplicador de Lagrange. O 
método proposto por Lagrange consiste, em definir a função de três variáveis: 
),(),(),,( yxgyxfyxL   , 
e observar que o sistema é equivalente à equação 0L , ou seja, 
 
0,,0,0 









L
e
y
L
x
L
. 
Assim os candidatos os extremos locais de f sobre 0),( yxg são pesquisados entre os 
pontos críticos de L . Os valores máximos e/ou mínimos de f coincidem com os valores 
máximos e/ou mínimos de L . 
Observação: O método de Lagrange só permite determinar potenciais pontos extremos. A 
classificação desses pontos deve ser feita por outros meios, como, por exemplo, argumentos 
geométricos. 
Exemplo 44: Um galpão retangular deve ser construído em um terreno com a forma de um 
triângulo, conforme a figura a seguir. Determinar a área máxima possível para o galpão. 
 
 
Exemplo 45: Determinar o ponto da curva xy 42  , no primeiro quadrante, cuja distância até 
o ponto )0,4(Q seja mínima. 
 
Problemas envolvendo funções de três variáveis e uma restrição 
Nesse caso, podemos visualizar o método fazendo um esboço do gráfico de 0).,( zyxg e 
diversas superfícies de nível kzyxf ),,( da função objeto, observando os valores 
crescentes de k . 
Como podemos observar na figura a seguir, no ponto extremo 0P , os vetores fgrad e 
ggrad são paralelos. Portanto neste ponto devemos ter gf   ,para algum número 
real . 
O método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os potenciais pontos extremantes 
de ),,( zyxfw  sobre 0).,( zyxg consiste, em definir a função lagrangeana 
),,(),,(),,,( zyxgzyxfzyxL   , 
 
e determinar os pontos ),,( zyx tais que 0L , ou seja, 
0),,(,0,0,0 








zyxge
z
L
y
L
x
L
. 
As hipóteses necessárias para a validade do método são análogas às da proposição anterior. 
De modo análogo ao visto anteriormente, os candidatos aos extremos locais de f sobre 
0),,( zyxg são pesquisados entre os pontos críticos de L . Os valores máximos e/ou 
mínimos de f coincidem com os valores máximos e/ou mínimos de L . 
Exemplo 46: Determinar o ponto do plano 632  zyx mais próximo da origem. 
Exemplo 47: Um fabricante de embalagem deve fabricar um lote de caixas retangulares de 
volume 364cmV  . Se o custo do material usado na fabricação da caixa é de R$ 0,50 por 
centímetro quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do 
material usado em sua fabricação. 
 
Para problemas envolvendo funções de três variáveis e duas restrições, veja Cálculo B, páginas 
188-190.