4resumo edo 2010

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Profª. Msc. Adriana Borssoi 
http://www.cp.cefetpr.br/borssoi 
ahborssoi@cp.cefetpr.br 
Prof. Msc. Armando Paulo da Silva 
http://www.cp.cefetpr.br/armando 
armando@utfpr.edu.br 
 GRUPO DE MATEMÁTICA 
 
Tecnologia em Automação Industrial – Tema de Equações Diferenciais 
Relação de Expressões sobre Equações Diferenciais 
 
1. Forma diferencial de uma Equação Diferencial Ordinária: 
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy 
 
 
2. Sugestão de algoritmo para a solução da EDO exata: 
Passo 0) Verificar se a equação diferencial dada é exata, ou seja, 
.
x
N
y
M





 
 
Passo 1) Fazer 
),( yxM
x
u


 
determinar 
),( yxu
expressão em x e y 
).(yk
 
 
Passo 2) Fazer 
),( yxN
y
u


 
determinar 
)(' yk
e 
).(yk
 
 
Passo 3) Substituir 
)(yk
 em 
).,( yxu
 
 
Passo 4) Fazer 
.),( cyxu 
 
 
3. Sugestão para determinação de fatores integrantes: 
Caso 1) Se 
1
( )
M N
g x
N y x
  
  
  
 é uma função dependente apenas da variável x, o fator integrante é 
determinado por: ( ).
( , )
g x dx
I x y e
 
Caso 2) Se 
1
( )
M N
h y
M y x
  
  
  
 é uma função dependente apenas da variável y, o fator integrante é 
determinado por: ( ).
( , )
h y dy
I x y e

 
Caso 3) Se 
( , ) . ( ) e ( , ) . ( )M x y y f xy N x y x g xy 
, então: 
1
( , )
( , ) ( , )
I x y
xM x y yN x y


 
 
4. Equação Linear de Primeira Ordem 
A solução geral é da forma: 
( , ) ( ) ( , )y I x y Q x I x y dx c   
, onde o fator integrante é da 
forma:  dxxPeyxI )(),( . 
 
 
 
 
5. Equação Linear de Segunda Ordem 
a) Solução da Homogênea 
Caso 1. Se as raízes características 
1 2 e  
 são ambas reais e distintas. Então a solução geral é: 
1 2
1 2
x x
y c e c e
  
 
 
Caso 2. Se as raízes características 
1 2 = .  
 são raízes reais iguais. Então a solução geral é: 
1 1
1 2
x x
y c e c xe
  
. 
 
 
Caso 3. Se as raízes características forem complexas, ou seja, 
1 = a ib 
 e então a solução geral (complexa) 
é: 
1 2cos 
ax axy c e bx c e sen bx 
. 
 
b) Solução da Não-Homogênea 
Uma equação diferencial ordinária linear de 2
a
 Ordem com coeficientes constantes e não-homogênea 
 xryb
dx
dy
a
dx
yd

2
2 , onde: 
  axf 1
 e 
  bxf 2
 
 
Caso 1. 
( ) ( )nr x p x
, polinômio de grau n em x. Procurar solução da forma: 
1
1 1 0...
n n
p n ny A x A x A x A

    
, onde os 
( 0,1,2,..., )jA j n
 são constantes a determinar. 
 
Caso 2. 
( ) ( )x nr x e p x

, 

 constante conhecida e 
( )np x
 tal como no Caso 1. Procurar solução da forma 
1
1 1 0( ... )
x n n
p n ny e A x A x A x A
 
    
, onde os 
( 0,1,2,..., )jA j n
 são constantes a determinar. 
 
Caso 3. 
( ) ( )x nr x e p x sen x
 
, 
 e  
 constantes conhecidas e 
( )np x
 tal como no Caso 1. Procurar 
solução da forma: 
1 0 1 0. ( ... ) .cos ( ... )
x n x n
p n ny e sen x A x A x A e x B x B x B
         , onde os 
 e ( 0,1,2,..., )j jA B j n
 são constantes a determinar 
 
Caso 4. 
( ) ( )cosx nr x e p x x
 
, 
 e  
 constantes conhecidas e 
( )np x
 tal como no Caso 3. Procurar 
solução da forma: 
1 0 1 0. ( ... ) .cos ( ... )
x n x n
p n ny e sen x A x A x A e x B x B x B
         , onde os 
 e ( 0,1,2,..., )j jA B j n
 são constantes a determinar.