Equações Lineares e Circuitos

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Equações Lineares e Circuitos Elétricos
Explicação Detalhada e Escalonamento de Matriz
Introdução ao Fluxo de Corrente
O fluxo de corrente em um circuito elétrico simples pode ser descrito por um sistema de equações lineares. Quando uma corrente passa por uma resistência, uma parte da voltagem é consumida, conforme a lei de Ohm:
V = R I
V: Voltagem medida em volts
R: Resistência medida em ohms (Ω)
I: Corrente medida em amperes (amps)
Lei de Kirchhoff para a Voltagem
A lei de Kirchhoff para a voltagem afirma que a soma algébrica das quedas de voltagem RI em torno de um ciclo é igual à soma algébrica das fontes de voltagem no mesmo sentido nesse ciclo.
Exemplo 2
Determinar a corrente nos ciclos do circuito na Figura 1. Para o ciclo 1, a corrente I1 atravessa três resistores, e a soma das quedas de voltagem RI é dada pelas equações:
4I1 + 4I1 + 3I1 = 11I1 = 30
Análise da Figura 1
A Figura 1 mostra um circuito com três ciclos interligados com resistências e fontes de voltagem específicas.
Resolução dos Ciclos:
A corrente do ciclo 2 também atravessa parte do ciclo 1 pelo ramo entre A e B.
Equação para o ciclo 2:
11I1 - 3I2 = 30
Equação para o ciclo 3:
-3I1 + 6I2 - I3 = 5
Escalonamento da Matriz
Podemos representar o sistema como uma matriz aumentada:
[ 11 -3 0 | 30 ]
[-3 6 -1 | 5 ]
[ 0 -1 3 | -25 ]
Passos de escalonamento:
1. Tornar o elemento (1,1) igual a 1 dividindo a primeira linha por 11.
2. Eliminar o elemento abaixo de (1,1).
3. Tornar o elemento (2,2) igual a 1.
4. Eliminar os elementos acima e abaixo de (2,2).
5. Tornar o elemento (3,3) igual a 1.
6. Eliminar os elementos acima de (3,3).
Matriz Escalonada
A matriz escalonada é:
[ 1 0 0 | 3 ]
[ 0 1 0 | 1 ]
[ 0 0 1 | -8 ]
A solução do sistema é:
I1 = 3 amps
I2 = 1 amp
I3 = -8 amps
Equações de Diferenças
Em várias áreas, como ecologia, economia e engenharia, é necessário modelar sistemas dinâmicos que evoluem ao longo do tempo. Isso é feito através de equações de diferenças (ou relações de recorrência) lineares.
Exemplo de modelagem populacional:
Suponha que a população de uma cidade e seus subúrbios migre anualmente. A equação para descrever essa migração é:
x_{k+1} = M x_k
Onde M é a matriz de migração determinada por certos percentuais de migração entre a cidade e os subúrbios.
Exemplo 3
Calcule a população para os anos de 2015 e 2016, dado que a população inicial em 2014 era de 600.000 na cidade e 400.000 nos subúrbios. Aplicando a matriz de migração, podemos encontrar as populações nos anos subsequentes.
Problema Prático
Determine uma matriz A e vetores x e b para que o problema no Exemplo 1 seja resumido a resolver a equação Ax = b.