Circuitos Elétricos e Indutores

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Exercício Exploratório 1
Na figura abaixo a fem é ideal, ε = 10V, R1 = 5,0Ω, R2 = 10Ω e L = 5,0H. A
chave S é fechada no instante t = 0. Determine, logo após o fechamento da chave:
a) a corrente i1; 
b) a corrente i2; 
c) a corrente is na chave;
d) a diferença de potencial V2 entre os terminais de R2; 
e) a diferença de potencial VL entre os terminais do indutor; 
f) a taxa de variação di2 /dt. 
g) Determine também, muito tempo após o fechamento da chave: i1; i2; is; V2; 
VL e di2 /dt.
F328	– 1S2016 9
1
• a
Logo após o fechamento da chave S o indutor se comporta como uma chave aberta. Assim
a resistência equivalente do circuito é R1.
Logo:
i1 =
✏
R1
= 10/5 = 2A (1)
• b
Uma vez que o indutor se comporta como uma chave aberta não há corrente passando pelo
ramo 2 e portanto a corrente que passa em R2 é:
i2 = 0 (2)
• c
A corrente que passa pela chave S é a soma das correntes que passa pelos resistores R1 e R2,
logo:
is = i1 + i2 = 2A+ 0 = 2A (3)
• d
Como não há corrente passando por R2 em t = 0+ e V = R.I, concluímos que VR2 = 0.
• e
No ramo 2 vale a seguinte relação:
VL + VR2 = ✏ (4)
Onde VL é a tensão no indutor e VR2 é a tensão no resistor.
Uma vez que a diferença de potencial nos terminais do resistor R2 é zero, obtemos:
VL = ✏. (5)
• f
2
Usando a lei das malhas e fechando ela pelo ramo 2, obtemos:
✏� L
di2
dt
� i2R2 = 0 (6)
Isolando di2
dt , obtemos
di2
dt
=
✏� i2R2
L
=
✏
L
(7)
Lembrando que VR2 = 0.
Com isso vemos que di2
dt > 0, como esperado.
• g.a
i1 não se altera
i1 =
✏
R1
= 2A (8)
• g.b
Depois de um longo período com a chave S fechada o indutor se comporta como uma
chave fechada, sendo assim a corrente que passa pelo ramo 2 é:
i2 =
✏
R2
=
10
10
= 1A (9)
• g.c
A corrente na chave é a soma das correntes
is = i1 + i2 = 2A+ 1A = 3A (10)
• g.d
Agora temos uma corrente passando no ramo 2 e portanto:
VR2 = i2R2 = 1.10 = 10V (11)
• g.e
3
Usando o fato que :
VL + VR2 = ✏ (12)
Isolando VL
VL = ✏� VR2 = 10V � 10V = 0 (13)
• g.f
Fechando a malha por fora, analogamente ao item (g), temos:
✏� L
di2
dt
� i2R2 = 0 (14)
Como
i2R2 = VR2 = ✏ (15)
✏� L
di2
dt
� ✏ = 0 ! di2
dt
= 0 (16)
Para tempos muito longos.
• i
i
•
I
c
~B.~dl = µ0ienv
i
C ienv i B |B|
I
c
~B.~dl = B
I
dl
|{z}
2⇡r
= B(2⇡r) = µ0i ) B =
µ0i
2⇡r
i
uB =
|B|2
2µ0
=
1
2µ0
(
µ0i
2⇡r
)2
uB =
µ0i2
8⇡2r2
uB UB
l
uB UB
UB =
Z
uBdV
uB =
µ0i2
8⇡2r2
; dV = ldA = l(2⇡rdr); a < r < b;
UB =
Z b
a
µ0i2
8⇡2r2
l(2⇡rdr) =
µ0i2l
4⇡
Z b
a
dr
r
UB = µ0i2l
4⇡ ln(ab )
UB
UB = 1
2Li
2
B dA |B|
� =
Z
~B.n̂dA
B =
µ0i
2⇡r
; dA = ldr;
� =
Z b
a
µ0i
2⇡r
ldr =
µ0il
2⇡
Z b
a
dr
r
=
µ0il
2⇡
ln(
a
b
)
dA
dr l
L
L =
N�
i
N = 1; � =
µ0il
2⇡
ln(
a
b
);
L =
µ0l
2⇡
ln(
a
b
)
UB = 1
2Li
2
UB = µ0i2l
4⇡ ln(ab )
1
 
 
Exercício Prático 1 
 
A indutância mútua M é dada por 
 
 ! = !Φ! (1) 
 
Onde Φ é o fluxo magnético produzido na espira devido ao campo magnético 
gerado pelo fio. O campo magnético gerado pelo fio é dado por (ver exercício 
exploratório 2) 
 
 ! = !!!2!" (2) 
 
Portando o fluxo será 
 
 Φ = ! ∙ !" (3) 
 
O campo magnético B varia em função da coordenada y. Tomando um 
retângulo com largura L e espessura dy podemos calcular o fluxo 
 
 
 
 Φ = ! ∙ !" = !!!
2!" !"#
!!!
!
= !!!2! ! ln ! + !
! (4) 
 
Portanto a auto indutância será dada por 
 
 M = !!!!2! ln ! + !
! (5) 
 
 
N espiras
i
b
L
a
dy
1
 
 
Exercício Prático 2 
 
a) 
 
Aplicando a regra das malhas para o circuito temos: 
 
 ε− iR− L !"!" = 0 (1) 
 
Resolvendo a eq. Diferencial 
 
 
!"
!" = ε
! − ! !! (2) 
 
 
!"
!" = 1
! ! − !" (3) 
 
 
!"
! − !" = !"
! (4) 
 
 
!"
! − !"
!
!
 = !"
!
!
!
 (5) 
 
 − 1! ln
! − !"
! = !
! (6) 
 
 ln ! − !"
! = −!! ! (7) 
 
 
! − !"
! = e!
!
!! (8) 
 
 !(!) = !
! 1− e!
!
!! (9) 
 
b) 
 
A potência fornecida pela bateria é dada por 
 
 !!"#(!) = ! !(!) (10) 
 
 
!!!"#
!" = ! !! 1− e!
!
!! (11) 
 
2
 
 
 !"
!
!
= !!
! 1− e!
!
!! !"
!/!
!
 (12) 
 
 !!"# = !
!!
! !!! ≈ 0.37 !
!!
! (13) 
 
c) 
 
A potência dissipada no resistor é 
 
 !!(!) = ! !!(!) (14) 
 
 !!!
!" = ! !! 1− e!
!
!!
!
 (15) 
 
 !"!
!
!
= !!
! 1− e!
!
!!
!
!"
!/!
!
 (16) 
 
 !! ≈ 0.17 !
!!
! (17) 
 
d) 
 
Energia total armazenada no indutor 
 
 !! =
1
2 !!
! (18) 
 
Sabemos que a constante de tempo L/R do circuito é o tempo que leva para a 
corrente atingir 63% do seu valor máximo 
 
 !! =
1
2 ! 0.63 !!
!
 (19) 
 
 !! ≈ 0.19 !
!!
! (20) 
 
Como a soma da energia total dissipada no resistor e da energia total 
armazenada no indutor é a energia total fornecida pela bateria, a energia é 
conservada nesse circuito. 
 
1
 
 
Exercício Prático 3 
 
O módulo da força eletromotriz induzida é dado pela Lei de Faraday 
 
 !!"# = !Φ!
!" (1) 
 
Precisamos calcular o fluxo magnético Φ! 
 
 Φ! = ! ∙ !" (2) 
 
Neste caso o campo magnético é constante dado por 
 
 ! = !! (3) 
 
!" em coordenadas esféricas é 
 
 !" = !! sin ! !"!#! (4) 
 
Para fazer o produto escalar vamos escrever ! em função de !,! ! ! 
 
 ! = sin ! cos ! ! + sin ! sin ! ! + cos ! ! (5) 
 
Fazendo o produto escalar 
 
 ! ∙ !" = !!! sin ! ! cos ! !"!# (6) 
 
Calculando o fluxo magnético 
 
 Φ! = !!! sin ! ! cos ! !"!#
!/!
!
!/!
!
 (7) 
 
 Φ! = !!! sin ! ! cos ! !"!#
!/!
!
!/!
!
 (8) 
 
 Φ! = !!! sin ! ! cos ! !"!#
!/!
!
!/!
!
 (9) 
 
 sin ! ! !"
!/!
!
= 12! − 14 sin 2! !
!/!
= !4 (10) 
 
2
 
 
 cos ! !"
!/!
!
= sin ! !
!/! = 1 (11) 
 
 Φ! = !!! !4 (12) 
 
Convém mencionar que o resultado é o mesmo que ¼ da área de um círculo, 
que seria equivalente a projeção de B sobre a área com vetor normal paralelo 
ao eixo x. Substituindo na força eletromotriz induzida 
 
 !!"# = !Φ!
!" = !!
!
4
!"
!" (13) 
 
 
b) 
 
Segundo a Lei de Lenz a corrente induzida tem sentido tal que o campo 
magnético produzido por essa corrente se opõe à mudança do fluxo magnético 
que induziu essa corrente, portanto como o fluxo está aumentando na direção 
de x, um campo magnético induzido surge na direção de –x e a corrente será 
no sentido do ponto c para o ponto b.