Circuitos LC e RLC

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Aula exploratória 11 
 
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Questão 01 
A corrente em um circuito LC oscilante é zero. Qual das seguintes afirmações é 
verdadeira? 
a) A carga no capacitor é nula. 
b) Carga elétrica está se movendo através do indutor. 
c) A energia está igualmente compartilhada entre os campos elétrico e magnético. 
d) A energia do campo elétrico é máxima. 
e) A energia do campo magnético é máxima. 
 
 
Resposta correta é d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício Exploratório 01 
A chave é mantida na posição a por um longo tempo, antes de ser colocada em b. Após a 
mudança, determine: 
a) a frequência de oscilação do circuito LC; 
b) a carga máxima que é armazenada no capacitor; 
c) a corrente máxima no indutor; 
d) a energia total que o circuito possui. 
 
 Quando Mudamos a chave para b) dq
dt
< 0. 
 
 
 
 
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Exercício 01 - Complementar 
No circuito da figura abaixo, 50ε = V, 250 R = Ω , e 0,5 FC µ= . A chave S ficou 
fechada por um tempo muito longo. Nessa situação, calcule: 
 a) a ddp através do indutor; 
 b) a corrente através do resistor; 
 c) Abrindo-se a chave S, a ddp através do capacitor atinge o valor máximo de 100 
V. Qual é o valor da indutância L ? 
 d) qual é a frequência angular e a amplitude das oscilações da carga no capacitor? 
 
 
 
 
a) depois de muito tempo temos Capacitor descarregado e Indutor com i constante. 
Logo 0.LV = 
b) depois de muito tempo a chave fechada as tensões (no indutor e capacitor) são 
nulas e portanto, 
 iR = ε / R = 0.2A, 
c) Chave aberta a tensão máxima em VC vai a 100V, da conservação de energia 
segue: 
 
2 2 2 2
6 2 2 2
1 1( ) ( )
2 2
500,5 10 ( ) 100 0,1 10 1.0
250
C C
RU L CV L C V
R
L H H mH
ε
ε
− −
= = → =
= × = × =
 
 
 d) 5
0 7 2
1 1 0.45 10 /
5 10 0,1 10
rad s
LC
ω
− −
= = = ×
× × ×
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício Exploratório 02 
Considere um circuito RLC em série com R = 280Ω, L = 100mH e C = 0.4µF excitado 
por uma fonte de tensão contínua de ε = 48 V. A tensão inicial no capacitor bem como a 
corrente no indutor são nulas. 
a) Escreva a equacão diferencial que descreve a tensão do capacitor 
b) Que tipo de amortecimento tem o circuito?. Justifique a resposta 
c) Determine a tensão sobre o capacitor V
c
 (t). 
 
a) Aplicando a lei de Kirchhoff para as tensões, obtemos a seguinte equação 
diferencial: 
d 2VC
d 2t
+ R
L
dVC
dt
+ VC
LC
− ε
LC
= 0 . L di
dt
+ Ri +VC − ε = 0 
b) Das relações de amortecimento: R < 4 L
C
, para o amortecimento forte e 
R > 4 L
C
 para o amortecimento fraco. Segue dos dados do exercício 
R = 280Ω << 4 L
C
=1000 Ω, logo Amortecimento fraco. 
c) Para um equação diferencial de segunda ordem não homogênea a solução deve 
ser da forma (solução da homogênea mais uma solução particular da não 
homogênea, isto é: 
 
 
 VC (t) =VC ,homogênea (t)+ ε . 
A solução geral é da forma: 
 
 
VC (t) = exp[−(R / 2L)t]{Acos(ω
't +ϕ )+ Bsen(ω 't +ϕ )}
ω ' = ω 0
2 − (R / 2L)2
 
Substituindo os valores das concições inciais dadas: 
 
VC (0) = 0 eϕ = 0
dVC (0)
dt
= i(0)
C
= 0,
 
 
segue , 
 
VC (t) = exp[−1400t]{−48cos(4800t)−14sin(4800t)}+ 48 , emVolts. 
 
 
 
 
 
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Exercício 01: 
Num circuito LC, L = 5,0 mH e C = 8,0 µF. No instante t = 0 a corrente é de 8,0 mA, a 
carga no capacitor é de 2,0 µC e o capacitor está sendo descarregado. 
 a) qual a energia total do circuito? 
 b) qual a carga máxima do capacitor? 
 c) qual a corrente máxima? 
 d) sabendo que a carga do capacitor é dada por q(t)=Q cos (ωt + φ), qual o valor 
de φ? 
 
 
 
 
a) No instante inicial, temos: 
 
CqAi 63 100,2)0(;100,8)0( −− ×=×= . ( 1 ) 
 
Dessa forma, as energias iniciais armazenadas no indutor e no capacitor valem: 
 
[ ]
[ ] J
C
qU
JiLU
C
L
µ
µ
25,0
100,8
)100,2(
2
1)0(
2
1)0(
16,0)100,8()105(
2
1)0(
2
1)0(
6
262
2332
=
×
×==
=××==
−
−
−−
 ( 2 ) 
 
E a energia total do circuito será: 
 
JJJUUU CL µµµ 41,025,016,0)0()0( =+=+= . ( 3 ) 
 
b) Em um circuito LC como o da figura, toda a energia do campo magnético é 
transferida para o campo elétrico e vice-versa. Dessa forma, quando a energia do campo 
elétrico for máxima, teremos: 
[ ] ( )( ) CUCQ
C
QU µ56,2100,81082,02
2
1 66
max
2
max ≈××==⇒= −− . ( 4 ) 
 
c) Quando toda a energia estiver armazenada no campo magnético, teremos: 
 
mA
L
UiiLU 13
105
1082,02)(
2
1
3
6
max
2
max ≈
×
×==⇒= −
−
 ( 5 ) 
 
 
L C 
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d) Considerando que a carga q varia com o tempo de acordo com a expressão: 
 
( )ϕω += tQtq cos)( max . ( 6 ) 
 
No instante t=0, de acordo com o enunciado, teremos: 
 
( ) ( )
!6,38
78,0
1056,2
100,2)0(coscos)0( 6
6
max
max
±≈∴
≈
×
×==⇒= −
−
ϕ
ϕϕ
Q
qQq
 
( 7 ) 
 
Mas 
 
( )
( ) ( )
max
3
max
( )( )
(0) 8,0 10 0 0
38,6 0,21
dq ti t Q sen t
dt
i Q sen sen
rad
ω ω φ
ω φ φ
φ π
−
= = − +
= − = × < ⇒ >
∴ = =o
 ( 8 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 02 
Quais das alternativas abaixo necessariamente descrevem uma maneira de diminuir a 
frequência das oscilações em um circuito RLC? 
 a) Aumentar a indutância; 
 b) Aumentar a capacitância; 
 c) Aumentar a resistência do circuito; 
 d) Aumentar a tensão; 
 e) Diminuir a capacitância. 
 
ω ' = ω 0
2 − (R / 2L)2 = 1/ LC − (R / 2L)2 
O necessariamente indica aumenta a capacitância, item b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 02: 
Um circuito de uma única malha é formado por um resistor de 7,2 Ω , um indutor de 
12,0 H e um capacitor de 3,2 µF. Inicialmente, o capacitor possui uma carga de 6,2 µC e 
a corrente é zero. Calcule a amplitude da carga do capacitor após N ciclos completos: 
a) para N = 5; 
b) para N = 10; 
c) para N = 100. 
 
Conforme exercício anterior temos 
 
)'(cos)( 2 ϕω +=
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−
teQtq
t
L
R
 e 2´ )
2
(1
L
R
LC
−=ω 
Como srad
L
Rsrad
LC
/3,0
24
2,7
2
/1161 ≈=>>= , então, 
.542/1160
´ msTsrad ==⇒≈≈
ω
πωω 
No máximo da carga, 1)cos( ´ =+ϕω t , temos então para Tt = e 
])2/(exp[)( tLRQtq −= e portanto 
QTLRQTq 984,0)2/(exp[)( =−= 
Quanto temos 5, 10 ou 100 oscilações completas, temos .100,10,5 TTTt = 
Em conseqüência: 
a) QTLRQTLRQTq 923,0]))2/((exp[])2/(5exp[)5( 5 =−=−= 
b) =−= ])2/(10exp[)10( TLRQTq QTLRQ 850.0]))2/((exp[ 10 =− ; 
c) =−= ])2/(100exp[)100( TLRQTq QTLRQ 198.0]))2/((exp[ 100 =− 
Vemos que se trata de uma situação pouco amortecida, já que para a amplitude cair a 
20% são necessárias 100 oscilações. 
 
 
 
 
 
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Exercício 03 - Extra 
Num circuito LC, no qual C = 4,0 F, a diferença de potencial máxima através do 
capacitor durante as oscilações é de 1,5 V e a corrente máxima através do indutor é de 
50,0 mA. 
a) Qual é a energia total do sistema? 
b) qual é o valor da indutância L? 
c) qual é a frequência das oscilações? 
d) quanto tempo leva para que a carga do capacitor cresça de zero até seu valor 
máximo? 
 
Da conservação de energia → 
 
a) 2
2
max,max, 2
1
2
1 IL
C
QUU LC =⇒= 
 
Logo, 2 6
,max
1 1 4,0 10 1,5 3,0
2 2CU U CV J Jµ−= = = × × = 
 
b) 2
21
I
Q
C
L = 
 
 De CeVC , temos que CQ µ6= . Assim temos para L o valor 
 
 mHL 36
102500104
1036
66
12
=
×××
×= −− . 
 
c) sradCL
/2635
10144
11
9
=
×
==
−
ω 
portanto temos que a frequência de oscilação é: 
 
 f = ω
2π
= 419 s−1. 
O período de oscilações é então: 
 
 ms
f
T 4,21 == , e em consequência, temos que o tempo de carga é dado por: 
 
d) .6,0
4
1
arg ms
T
t ac ==