Formas de Ondas em Circuitos

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Capítulo 2 – Formas de ondas 
 
No livro texto têm muitos exemplos e exercícios propostos com respostas. 
http://www.ofitexto.com.br/circuitos-de-corrente-alternada/p 
Os vídeos contendo demonstrações experimentais de diferentes conceitos, 
podem ser encontrados na internet (YouTube) através das palavras chaves: 
FEEC VÍDEOS ET016 
 
Forma de onda contínua 
 
U)t(u  (tensão constante) 
u(t) é a função que representa o valor instantâneo da tensão na 
fonte. 
 
 
 
No gráfico, em função do tempo, tem-se a tensão u(t) 
nos terminais da fonte e a corrente i(t) que circula pelo 
circuito. 
Em t0 fecha-se a chave: 
a tensão da bateria é aplicada nos terminais do resistor e 
circula uma corrente pelo circuito. 
 
 
Se i(t) for a função que representa o valor instantâneo da 
corrente pelo circuito, para t > t0 tem-se: 
R
)t(u
)t(i  R  resistência do resistor 
 
Se a bateria for substituída por uma fonte cuja tensão é 
variável, circulará pelo resistor uma corrente também 
variável. 
 
Dessa forma, em circuitos elétricos, as tensões e correntes apresentam um comportamento ao longo do tempo que 
pode ser caracterizado graficamente, o que corresponde ao que é comumente denominado forma de onda. 
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Forma de onda oscilante 
 
 
No gráfico tem-se a forma de onda de uma tensão senoidal, 
matematicamente expressa por 






 t
t
π
senU)t(u
1
11 
 
 
No gráfico tem-se a forma de onda quadrada, 
matematicamente expressa por: 











6,4,2,0 n 
t)2n(tt)1n(paraU
t)1n(tntparaU
)t(u
112
112
2 
 
Classificação das formas de ondas 
a) Ondas Oscilatórias 
As formas de ondas oscilatórias são aquelas que crescem e decrescem alternadamente ao longo do tempo de 
acordo com alguma lei definida. 
 
 
te
)tsen(
)t(i


 
b) Ondas Periódicas (subconjunto das oscilatórias) 
Os seus valores se repetem a intervalos de tempo iguais. 
 
 
 
)αt3(senI)t(senII)t(i 310  
Note que os valores instantâneos da corrente repetem-se a cada intervalo de tempo T, ou seja, para qualquer 
instante de tempo t, assim como para t = t0, tem-se: 
)t(i) Tt(i 00  
 
b) Ondas Alternadas (subconjunto das periódicas) 
Os respectivos valores médios são nulos. 
É possível identificar uma forma de onda alternada através de uma interpretação intuitiva de valor médio. 
Mais adiante veremos a definição matemática de valor médio de uma forma de onda. 
 
Forma de onda triangular (forma de onda periódica) 
Intervalo 0 < t < t1  valores instantâneos positivos 
Intervalo t1 < t < t2  valores instantâneos negativos. 
 
Nota-se que a área esverdeada é igual à área amarelada. 
O valor médio de uma forma de onda é diretamente proporcional à área total calculada para o intervalo de tempo 
referente ao conjunto de valores que se repetem. 
Se a área total é nula, o valor médio também é nulo, e portanto tem-se uma forma de onda alternada. 
Compare....... 
 
Gráfico A 
 
Gráfico B 
No Gráfico B, a forma de onda triangular é semelhante à do Gráfico A, porém deslocada verticalmente de I. 
O intervalo de tempo em que os valores se repetem continua o mesmo, mas as áreas para os intervalos de tempo em 
que a forma de onda assume valores positivos e negativos são diferentes, o que resulta em uma soma não nula. 
Assim, a forma de onda do Gráfico B não pode ser classificada como alternada, mas apenas como periódica. 
Valores característicos das formas de ondas alternadas 
a) Ciclo 
Corresponde ao conjunto completo de valores instantâneos que se repetem a intervalos de tempo iguais. 
 
b) Período 
É o intervalo de tempo T em que ocorre um ciclo: 
12 ttT  
c) Frequência 
Medida em hertz (Hz), essa grandeza corresponde à quantidade de ciclos por unidade de tempo e, portanto, é 
expressa por: 
T
1
f  T  período 
 
d) Velocidade angular ou frequência angular 
A forma de onda de uma corrente senoidal pode ser representada tanto no plano [corrente vs. tempo] como no 
plano [corrente vs. ângulo]: 
 
 
Plano 
[corrente vs. tempo] 





 
 t.
.
senI)t(i
T
2
max 
 
 
 
 
Plano 
[corrente vs. ângulo] 
)ωt(senI)t(i max  
 
 
No primeiro gráfico o período é T e no segundo gráfico, o período é 2 rad. 
 
Um mesmo valor instantâneo da corrente ocorre no primeiro gráfico para t = T e 
no segundo gráfico para  t =  T = 2 rad 
Assim: f2
T
2
ω 

 
 
A grandeza , cuja unidade é rad/s, corresponde à velocidade (ou frequência) angular da corrente i(t). 
Exemplo 
No Brasil, a frequência da tensão senoidal gerada nas usinas (hidrelétricas ou termelétricas) é 60 Hz. 
Calcular o período e a velocidade angular. 
Período  67,16
60
1
f
1
T  ms Velocidade angular  37760π2fπ2ω  rad/s 
 
e) Valor de pico 
O valor de pico corresponde ao valor instantâneo máximo que a forma de onda atinge no ciclo. 
 
f) Ângulo de fase 
O ângulo de fase ou simplesmente fase, é um ângulo arbitrário definido para a forma de onda de modo a estabelecer 
um referencial de tempo para a mesma. 
 
 
 )αωt(senI)t(i p  
 
 )αωt(senI)t(i p  
  ângulo de fase 
No instante t = 0: )(senI)0(i p  α)-(senI)0(i p  
 
g) Diferença de fase ou defasagem 
A diferença de fase ou simplesmente defasagem, corresponde à diferença entre os ângulos de fases de duas formas 
de ondas. 
Dadas: α)ωt(senI)t(i 11  β)ωt(senI)t(i 22  
 
A diferença de fase ou defasagem  é dada por:  
 
Note que o cálculo de  ocorre em valor absoluto (módulo). Porém, ao ângulo  será atribuído um sinal como 
veremos a seguir. 
 
Conceito Importante: 
Diz-se que a corrente i2(t) está adiantada de  em relação a i1(t) ou i1(t) está atrasada de  em relação a i2(t). 
 
 
A figura ilustra um método simples para determinar a forma de onda que está adiantada ou atrasada. 
Identificam-se os picos das formas de ondas mais próximos entre si (ambos positivos ou negativos). 
Na figura: P1 e P2. 
O ponto que se encontra à esquerda do outro indica que a respectiva forma de onda está adiantada, que na figura 
corresponde ao ponto P2 e, portanto i2(t) está adiantada em relação a i1(t) ou ainda, i1(t) está atrasada em relação 
a i2(t). 
Agora é possível justificar porque o cálculo de  ocorre em valor absoluto na expressão:  
Justificativa: O sinal de  depende da referência. 
 
Portanto: 
 
Se i1(t) for a referência   é positivo 
Se i2(t) for a referência   é negativo. 
 
Exemplo 
Analisemos as formas de onda das correntes indicadas neste circuito: 
 
~ 
iR(t) 
R L C 
iC(t) 
 u(t) 
iL(t) 
wt 
v(t) 
iC(t) iL(t) iR(t) 
 
 
QUEM ESTÁ ADIANTADA OU ATRASADA? 
 
Em relação à tensão na fonte: 
 
A corrente no resistor está em fase 
A corrente no indutor está atrasada de 90
0
 
A corrente no capacitor está adiantada de 90
0
 
 
Matematicamente: 
u(t) = Up.sen(t) )t(sen.I)t(i
pRR  
)
2
t(sen.I)t(i
pLL
 )
2
t(sen.I)t(i
pCC
 
 
Valor Médio 
É definido para uma forma de onda periódica u(t) de período T como: 



T t
 t
m
0
0
dt).t(u.
T
1
U 
 
A integral desta equação corresponde à área total da forma de onda em relação 
ao eixo das abscissas no período. 
 
Exemplo 2.5 b) 
i(t)=7+10.sen(.t+/6) A 
 
 
Notem que é uma forma de onda senoidal deslocada no eixo vertical de 7 A 
 
O seu valor médio é calculado por: 
 
  






2
0
m dt.
6
tsen.107.
2
I
 
 











 



 2
0
2
0
m dt
6
tsen.10dt7.
2
I 7t.
2
.7
0
2






 A 
 
Portanto, a corrente i(t) é uma forma de onda periódica, porém não é 
alternada. 
 
Valor Eficaz 
Analisemos a potência absorvidapor uma lâmpada que pode ser conectada a uma 
fonte c.c. (chave ch1) ou fonte c.a. (chave ch2) 
 
 
~ 
ch1 ch2 
u(t) lâmpada 
- 
+ 
Ucc 
 
Com ch1 fechada, circula corrente contínua de valor Icc pela lâmpada. 
A potência absorvida corresponde a: 
2
cccccccccccc I.RI).I.R(I.UP  
R é a resistência do filamento da lâmpada. 
 
Tomando como referência um instante de tempo t0, a energia consumida pela 
lâmpada em um intervalo de tempo T vale: 



Tt
t
cccc
0
0
dt.PE 


Tt
t
2
cc
0
0
dtI.R → T.I.RE 2
cccc  
 
Com ch2 fechada, circula pela lâmpada uma corrente alternada do tipo: 
)t(sen.I
R
)t(u
)t(i p  
 
Neste caso, a potência entregue à lâmpada é variável no tempo, pois resulta do 
produto de uma tensão por uma corrente, ambas variáveis no tempo: 
)t(i.R)t(i).t(u)t(p 2 
 
A energia consumida pela lâmpada em um intervalo de tempo T a partir de t0 é 
dada por: 



Tt
t
ca
0
0
dt).t(pE → 


Tt
t
2
ca
0
0
dt).t(i.RE 
Sob a condição de que a energia consumida pela lâmpada nos dois casos seja a 
mesma, tem-se: 
cacc EE  → 


Tt
t
22
cc
0
0
dt).t(i.RT.I.R 



Tt
t
2
cc
0
0
dt).t(i.
T
1
I 

Tt
t
20
0
dt).t(i.
T
1
 corresponde ao valor eficaz da corrente alternada i(t): 



Tt
t
2
ef
0
0
dt).t(i.
T
1
I 
CONCLUSÃO: 
 
Se a corrente fornecida por uma fonte c.c. ( Icc ) for igual ao valor eficaz 
(Ief) da corrente alternada i(t), a energia consumida pela lâmpada é a mesma, 
tanto em c.a. como em c.c. 
 
O valor eficaz é também conhecido como valor RMS (root-mean-square). 
 
Exemplo 
Ao se aplicar a fórmula
 



Tt
t
2
ef
0
0
dt).t(i.
T
1
I para calcular o valor eficaz de Vt).sen(6,179u(t)  
obtém-se: 
Uef 127
2
6,179
 V 
2
U
U
p
ef  
Portanto, para uma onda alternada senoidal, a relação entre o valor de pico e o valor eficaz é: 
2
U
U
ef
p
 
Visualização de formas de ondas no osciloscópio 
 
 
O osciloscópio é o mais versátil dos instrumentos eletrônicos de medição, 
devido à significativa quantidade de recursos disponíveis para a análise de 
formas de ondas. 
 
IMPORTANTE: 
Qualquer sinal a ser examinado em um osciloscópio, deve ser traduzido em uma 
tensão. 
 
Exemplo: a forma de onda da corrente que circula por um motor deve passar 
por um resistor linear cuja diferença de potencial (d.d.p.) será aplicada ao 
osciloscópio. 
 
 
 
As indicações CH1 e CH2 referem-se a dois canais do osciloscópio, e ambos 
têm em comum o contato GND (ground) que é a referência para todas as medidas 
em um osciloscópio. 
O canal 1 (CH1) do osciloscópio registra a tensão fornecida pela fonte e o 
canal 2 (CH2) registra a tensão nos terminais do resistor. 
 
No livro há mais detalhes sobre a utilização de osciloscópios que são 
importantes para os exercícios. 
Vídeo: Conceito de Valor Eficaz http://www.youtube.com/watch?v=U1MviAEBSRk 
http://www.youtube.com/watch?v=nxpSgrKOrLU
http://www.youtube.com/watch?v=U1MviAEBSRk