Forças e Resultantes

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1
Física
Aula 1
Força e 
Resultante de 
Duas Forças
Métodos analíticos para 
determinação da resultante
 Caso 1: duas forças de mesmo sentido e 
mesma direção - = 0°.
R = F1 + F2
 Caso 2: duas forças de mesmo sentido e di-
reções contrárias - = 180°.
R = F1 – F2
 Caso 3: duas forças perpendiculares entre 
si - = 90°.
R2 = F2
1 + F2
2
 Caso 4: duas forças que formem entre si 
um ângulo qualquer.
O processo é extensivo a um 
número qualquer n de forças.
F1 R
F2
A
R2 = F2
1 + F2
2 . 2 . F1 . F2. cos 
Tabela de senos e Cossenos
Ângulo/ Função 30° 45° 60°
Seno 1/2 2 /2 3 /2
Cosseno 3 /2 2 /2 1/2
O processo é extensivo a um 
número qualquer n de forças.
F1 R
F2
A
Conceito de força
A força possui um conceito intuitivo e pró-
prio, geralmente relacionado com a nossa ca-
pacidade de movimentar ou deformar objetos 
com a utilização de nosso sistema muscular. Em 
se tratando de grandeza física, a força é uma 
grandeza vetorial, pois necessita da determina-
ção de módulo, direção e sentido. 
Unidade de força
No Sistema Internacional de Unidades 
– SI, temos: 
Unidade Símbolo
newton N
Também pode ser utilizada a unidade qui-
lograma-força, em que 1 kgf = 9,8 N.
Sistema de forças
Quando tivermos a atuação de duas ou 
mais forças em um mesmo corpo ou em um 
ponto, teremos um sistema de forças.
Resultante de um sistema de forças
A resultante de um sistema de forças é 
uma única força que substitui todas as demais 
forças do sistema, causando o mesmo efeito.
Método gráfico para determinação 
da resultante
 Método do paralelogramo: indicado para 
determinação da resultante de duas forças.
Exemplo: 
1. (PUCMG) Duas forças de 3 N e 4 N agem 
sobre um corpo de forma simultânea, con-
figurando um sistema de forças. Tais for-
ças mudam constantemente de direção e 
sentido. As resultantes para os ângulos de 
0°, 180° e 90° valem, respectivamente:
a) 7N, 1N e 5N
b) 7N, 10N e 5N
c) 17N, 1N e 5N
d) 7N, 1N e 15N
e) 17N, 10N e 15N
2. (CEFET-PR) Duas forças de mesmo mó-
dulo formam entre si um ângulo, tal que a 
resultante tem o mesmo valor das forças. 
O ângulo vale:
a) 0° b) 90°
c) 120° d) 30°
e) 45°
Exercícios
Pré-vestibular
2
forma a força resultante que age sobre o 
navio-cargueiro é de aproximadamente:
a) 2MN b) 3MN
c) 4MN d) 5MN
e) 6MN
10. (PUCRS) Para se definir totalmente uma 
grandeza vetorial como a força, é preciso ter:
a) apenas um valor numérico e uma uni-
dade física.
b) apenas a direção e o valor numérico.
c) apenas a direção.
d) apenas o sentido.
e) um valor numérico, uma unidade físi-
ca, a direção e o sentido.
11. (CEFET-PR) Sabendo-se que o máximo 
valor do módulo da soma de dois vetores 
força é 20 unidades e o mínimo é 4 unida-
des, então, os módulos dos vetores força 
são iguais a:
a) 20 e 4 b) 8 e 12
c) 9 e 11 d) 16 e 4
e) 20 e 12
12. (UFBA) O módulo da soma de dois vetores 
de módulos V1 e V2:
a) é sempre dado por V1
2 + V2
2 .
b) nunca pode ser igual a V1 + V2. 
c) é certamente maior que V1 + V2. 
d) pode ser nula.
e) não pode ser calculada.
3. (UECE) Duas forças concorrentes, ortogo-
nais, de módulos 6N e 8N, respectivamen-
te, admitem resultante de intensidade:
a) 14 N b) 10 N
c) 7 N d) 2 N
4. (USF-SP) Duas forças, de módulos F e 2F, 
que formam entre si um ângulo de 60°, 
agem sobre uma partícula. Para anular a 
ação dessas forças, é necessário aplicar, 
convenientemente, sobre a partícula, uma 
força de módulo igual a:
a) F 2 b) F 3
c) F 6 d) 3F
e) 3,5 F
5. (PUCCAMP-SP) Submetida a ação de três 
forças constantes, uma partícula se move 
em linha reta. Duas destas forças são 12 N 
e 5 N e formam entre si um ângulo de 90°. 
A terceira força capaz de produzir o mes-
mo efeito das duas forças citadas é igual 
a:
a) 13N b) 12N
c) 9N d) 6N
e) 8N
6. (FAAP-SP) A intensidade da resultante en-
tre duas forças concorrentes, perpendicula-
res entre si, é de 75 N. Sendo a intensidade 
de uma das forças igual a 60 N, a intensidade 
da outra força será de:
a) 15N b) 25N
c) 35N d) 45N
e) 55N
7. (MACKENZIE-SP) Um sistema é constituído 
por duas forças de direções perpendiculares 
entre si e de intensidades 60N e 80N. A força 
resultante deste sistema vale:
a) 1N b) 10N
c) 100N d) 1000N
e) 10000N
8. (UEL-PR) A resultante de dois vetores for-
ça, perpendiculares entre si, tem módulo 
igual a 20. Se o módulo de um deles é o 
dobro do módulo do outro, o módulo do 
maior é igual a:
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) 5
9. (UFRGS) Dois rebocadores tracionam 
os cabos de aço, engatados em um navio 
cargueiro, formando entre os cabos um 
ângulo de 60°. As forças executadas pelos 
rebocadores são de 3MN e de 4MN. Desta 
Aula 2
Decomposição 
de Forças e 
Equilíbrio do 
Ponto
Revisão do conceito
Conforme já conceituamos na aula ante-
rior, a força possui um conceito intuitivo e pró-
prio e geralmente relacionado com a nossa ca-
pacidade de movimentar ou deformar objetos 
com a utilização de nosso sistema muscular.
3
Física
Px = P . sen 
Py = P . cos 
Sistemas de três ou mais forças
Quando um sistema de três ou mais for-
ças está agindo sobre um ponto, este estará em 
equilíbrio se o somatório de todas as forças for 
igual a zero, considerando-se, para tanto, os 
dois eixos cartesianos, ou seja:
 R x = 0
 R y = 0
Regra do polígono
Utilizada para a deter-
minação da resultante em 
sistemas de três ou mais 
forças, a regra do polígono 
é derivada da regra do tri-
ângulo, conforme a figura 
ao lado:
1. (FEI-SP) Se um ponto material sobre o 
qual agem três forças está em equilíbrio, e 
uma dessas forças é o peso do ponto, pode-
se dizer que:
a) as duas forças não podem ser ambas 
horizontais.
b) apenas uma força poderá ser vertical.
c) certamente as outras duas forças só 
podem ser verticais.
d) certamente as outras duas forças só 
podem ser horizontais.
e) o equilíbrio descrito é impossível.
2. (CEFET-PR) Três forças coplanares e con-
correntes agem, simultaneamente, sobre 
um ponto, mantendo-o em equilíbrio es-
tático. As forças possuem módulos de 400 
N, F2 e F3 e são, respectivamente, opostas 
aos ângulos de 120°, 150°, 90°. Após a elabo-
ração do desenho esquemático correspon-
dente, os valores das F2 e F3 são, respecti-
vamente, iguais a:
a) F2 = 400 3 /3 e F3 = 800 3 /3
b) F2 = 400 3 /3 e F3 = 800 3 /2
c) F2 = 400 2 /3 e F3 = 800 3 /3
d) F2 = 400 3 /3 e F3 = 800 2 /2
e) F2 = 400 3 /2 e F3 = 800 2 /3
3. (UFES) Uma pessoa caminha 20 metros 
para o norte; em seguida, orienta-se para 
leste e caminha mais 50 metros. Deste pon-
to, ela segue 10 metros para o sul. O módulo 
do deslocamento resultante realizado pela 
pessoa é, aproximadamente, igual a:
a) 125,0 m b) 35,8 m
c) 40,4 m d) 54,0 m
e) 151,0 m
Decomposição da força
Uma força A pode ser decomposta em ou-
tras duas forças (Ax e Ay) pelo sistema das com-
ponentes ortogonais, utilizando-se as relações 
trigonométricas no triângulo retângulo, confor-
me abaixo:
A
A = A . cos 
A y =
 A
 .
 s
en
 
Ax = A . cos 
Ay = A . sen 
Plano inclinado
O plano inclinado é uma das mais antigas 
máquinas simples. Pode ser representado pelo 
esquema abaixo, em que a componente respon-
sável pelo movimento é denominada por força 
eficaz e a componente responsável por manter o 
corpo preso ao plano é a componente normal.
Teorema de Lamy
Toda vez que três forças produzem equi-
líbrio em um corpo, se verificará que as três 
forças devem ser concorrentes e coplanares, e 
o módulo de cada uma é diretamente propor-
cional ao seno de seu respectivo ângulo oposto. 
Veja abaixo:
F1
F2 F3
F1
sen = 
F2
sen 
 = 
F3 
sen 
F1
F2
F3
F4
Exercícios
Py
Px
N
a
A
BC
h
Pré-vestibular
4
O valor da força resultante é igual a:
a) 36 N b) 45 N
c) 20 N d) 25 N
e) 90 N
8. (UFGO) Considere a estrutura abaixo em 
repouso estático e com três cordas sujeitas 
a uma série de trações. 
 
T1
T2
P
 O peso P da esfera é igual a 500 N e todas 
as cordas são ideais e inextensíveis. Os ân-
gulos formados pelas cordas, são respecti-
vamente, iguais a:
T1T2 = 120°T1P = 150° T2P = 90°
 As trações nas duas cordas são, respectiva-
mente, iguais a:
a) T1 = 500 3 /2 e T2 = 1000 3 /2
b) T1 = 500 3 /3 e T2 = 1000 3 /3
c) T1 = 1500 3 /3 e T2 = 1000 3 /3
d) T1 = 250 3 /3 e T2 = 1000 3 /3
e) T1 = 500 3 /2 e T2 = 1000 3 /2
9. (UFMT) Na estrutura isostática abaixo re-
presentada as trações nas cordas 1 e 2, res-
ponsáveis por sustentar um bloco de 5000 
N, são iguais a:
45º
1 2
45º
a) F1 = 500 2 N e F2 = 2500 2 N
b) F1 = 1500 2 N e F2 = 1500 2 N
c) F1 = 2500 2 N e F2 = 2500 2 N 
d) F1 = 125 2 N e F2 = 2500 2 N
e) F1 = 500 2 N e F2 = 500 2 N
10. (UFRJ) A estrutura abaixo acha-se presa 
ao teto e é formada por duas cordas que 
suportam uma caixa de 
peso igual a 1000 N. As 
trações nas cordas, su-
pondo as mesmas ideais, 
são iguais a:
a) TA = 500 3 N e TB = 1500 N
b) TA = 500 3 /2 N e TB = 500 N
c) TA = 500 3 N e TB = 500 2 N
d) TA = 500 3 N e TB = 500 N
e) TA = 500 3 N e TB = 500 3 N
4. (PUCPR) Um vetor de módulo igual a
30 2 unidades foi decomposto em duas 
componentes ortogonais de módulos iguais. 
A intensidade de cada componente é igual a:
a) 15 2 unidades b) 60 unidades
c) 30 unidades d) 60 2 unidades
e) 45 unidades
5. (PUCRS) Um corpo de massa m = 10kg 
está apoiado num plano inclinado de 30° 
em relação à horizontal, sem atrito, e é 
abandonado na parte mais alta do plano. 
Supondo a aceleração da gravidade no lo-
cal de módulo g = 10 m/s2, o valor da força 
responsável pelo movimento e a intensida-
de da reação normal sobre o bloco valem, 
respectivamente:
a) Px = 150 N e Py= 50 3 N
b) Px = 5,0 N e Py= 50 2 N
c) Px = 30 N e Py= 50 3 N
d) Px = 50 N e Py= 50 3 N
e) Px = 50 N e Py= 60 3 N
6. (UFMG) A figura representa uma barra 
homogênea de peso desprezível articulada 
em P e mantida em equilíbrio por meio do 
fio ideal AB. O corpo pendurado na extre-
midade A da barra tem peso de 100N. A 
intensidade da força de tensão no fio AB e 
a compressão da barra valem em newtons, 
respectivamente:
1m
A
B
P
45°
a) 200 N e 200 2 /2 N
b) 500 N e 100 N 
c) 100 N e 200 2 N
d) 100 N e 200 N
e) 100 N e 200 2 /2 N 
7. (UFMS) No sistema de forças a seguir fi-
gurado, os módulos das forças são, respec-
tivamente, iguais a:
F1 = 40 N
F2 = 80 N
F3 = 60 N
F4 = 50 N
F4 F2
F1
F3
60º 30º
BA
5
Física
11. (PUCPR) As cordas 1 e 2, abaixo represen-
tadas, suportam, sem deformação, um blo-
co de 1000 N. As trações suportadas pelas 
cordas são iguais a:
60º
1
2
a) TA = 1000 3 /3 N e TB = 1000 3 /3 N
b) TA = 500 3 /3 N e TB = 100 3 /3 N
c) TA = 100 3 /3 N e TB = 1500 3 /3 N
d) TA = 2000 3 /2 N e TB = 1000 3 /2 N
e) TA = 2000 3 /3 N e TB = 1000 3 /3 N
12. (UNICAMP-SP) A estrutura abaixo se en-
contra em equilíbrio estático e está mon-
tada entre duas paredes. Ela é formada 
por cordas ideais e sem capacidade de de-
formação. O bloco B possui 600 N. A polia 
representada é fixa e isenta de atritos com 
a corda. Determine, na corda CD, a tração 
supondo-a constante em toda a extensão 
da mesma e o peso do bloco A.
B A
C
D
30º
a) Pa = 500 N e Pb = 500 3 N
b) Pa = 500 N e Pb = 500 3 /2 N
c) Pa = 1500 N e Pb = 500 3 N
d) Pa = 2500 N e Pb = 500 3 /2 N
e) Pa = 1500 N e Pb = 500 3 /2 N
Aula 3
Termometria
Conceito de temperatura
A temperatura é uma grandeza física que 
pode ser medida de forma indireta, visto que a 
mesma está relacionada com o estado de agita-
ção térmica das moléculas de um corpo. 
A ilustração a seguir possibilita entender 
esta medida indireta de temperatura, pois se 
você colocar sua mão direita em cada um dos 
recipientes representados, terá uma sensação 
térmica diversa.
A
água com 
gelo
B
água de 
torneira
C
água 
aquecida
Termômetros
Os termômetros são aparelhos 
destinados à medida da grandeza 
temperatura. Geralmente, utiliza-
mos uma substância termométrica 
que sofra uma dilatação (grandeza 
termométrica). No funcionamento dos termô-
metros, utiliza-se o equilíbrio térmico como fator 
para determinação da medida da temperatura. 
Os termômetros, normalmente, utilizam o mer-
cúrio como substância termométrica.
Escalas termométricas
As escalas termométricas mais utilizadas são 
a Celsius, a Fahrenheit e a Kelvin. Para se montar 
uma escala termométrica, normalmente utiliza-
mos os pontos fixos da substância água (ponto de 
gelo e ponto de vapor). Desta forma, temos nestas 
três escalas os seguintes pontos fixos:
Escala Ponto de gelo Ponto de vapor
Celsius 0°C 100°C
Fahrenheit 32°F 180°F
Kelvin 273 K 373 K
A escala Kelvin é uma escala absoluta, pois 
faz com que o zero da escala tenha o mesmo 
valor do zero absoluto. A temperatura por ela 
medida é expressa somente em números.
Equação de conversão 
As temperaturas podem ser convertidas 
de uma escala para outra, mediante a utilização 
da equação de conversão seguinte e a partir de 
temperaturas arbitrárias, denominadas por C, 
F e K; assim sendo, temos:
C – 0
100 – 0 = F – 32
212 – 32
 = 
K – 273
373 – 273
C – 0
100 = 
F – 32
180
 = 
K – 273
100
simplificando os denominadores por 20, temos:
C – 0
5 = 
F – 32
9
 = 
K – 273
5
Obs.: Para a variação de temperatura nas 
escalas termométricas, temos:
C
5 = 
F
9 = 
K
5
Pré-vestibular
6
1. (UFPEL-RS) As grandezas físicas calor e 
temperatura, do ponto de vista da ciência, 
são:
a) exatamente iguais e com a mesma 
unidade no Sistema Internacional de 
Unidades - SI.
b) exatamente iguais, porém com unida-
des diferentes no Sistema Internacio-
nal de Unidades – SI.
c) diferentes, pois o calor é uma forma de 
energia em trânsito e no SI é medida em 
joules, enquanto a temperatura no SI é 
medido em calorias.
d) diferentes, pois o calor é uma forma de 
energia em trânsito e no SI é medido em 
joules, enquanto a temperatura no SI é 
medida em kelvin.
e) diferentes, pois o calor é uma forma de 
energia em trânsito e no SI é medido 
em kWh, enquanto a temperatura no 
SI é medida em calorias.
2. (CEFET-PR) A temperatura nas quais as 
escalas termométricas Celsius e Fahre-
nheit fornecem exatamente a mesma lei-
tura é igual a:
a) 40°C b) - 40°C
c) 140°C d) -140°C
e) 50°C
3. (PUCSP) Assinale a frase mais correta, 
conceitualmente.
a) “Estou com calor”.
b) “Vou medir a febre dele”.
c) “O dia está quente; estou recebendo 
muito calor”.
d) “O dia está frio; estou perdendo calor 
para o ambiente”.
e) As alternativas c e d estão corretas.
4. (UFRGS) A posição I da extremidade da 
coluna de líquido de um termômetro varia 
de acordo com a função I = 2 
mm
°C
 T (°C).
 De quanto varia a posição da extremidade 
da coluna de líquido quando a temperatu-
ra T (ºC) varia de -10ºC a 110ºC ?
a) 110 mm b) 120 mm
c) 200 mm d) 220 mm
e) 240 mm
5. (UNIMAR-SP) A temperatura equivalente 
ao zero absoluto corresponde a um esta-
do físico em que a agitação das moléculas 
constituintes do corpo atinge uma agitação 
térmica mínima de:
a) -273ºC
b) 0ºK
c) -273ºF
d) 0 K
e) Existem duas respostas corretas.
6. (UFMT) Num termômetro de mercúrio, a 
coluna de mercúrio tem altura de 3,0 cm 
quando a temperatura é 0,0°C e tem altu-
ra de 5,0 cm quando a temperatura é de 
40,0°C. Mergulhando-se esse termômetro 
em um vaso contendo gelo-seco, a coluna 
estaciona na altura de 1,5 cm. Determine 
a temperatura em que se encontra o gelo-
seco, na escala Celsius.
a) -10ºC
b) -20ºC
c) -30ºC
d) -40ºC
e) -50ºC
7. (UFRGS) Numa escala termométrica linear 
W, a temperatura de fusão do gelo é -70ºW, e 
a temperatura de ebulição da água é 130ºW. 
A temperatura absoluta correspondente ao 
0ºW dessa escala é, aproximadamente:
a) 35K
b) 135K
c) 238K
d) 273K
e) 308K
8. (UEL-PR) Duas escalas termométricas são 
relacionadas entre si através de dois termô-
metros, um em escala °C (Celsius) e outro 
em °X. A escala X mantém seus pontos de 
gelo a 40°X e 120°X para o ponto de vapor. A 
temperatura equivalente à febre alta (40° C) 
equivale, na escala X, à temperatura de:
a) 72°X
b) 82°X
c) 75°X
d) 80°X
e) 90°X
9. (EEM-SP) Pode-se medir a temperatura 
com um termômetro de mercúrio. Neste, 
a grandezatermométrica é o comprimen-
to L da coluna capilar, medida a partir 
de uma origem comum. Verifica-se que
L = 2,34 cm quando o termômetro está 
em equilíbrio térmico com o gelo em fu-
são, e L = 12,34 cm quando o equilíbrio 
térmico se dá com a água em ebulição, em 
um ambiente em que a pressão atmosféri-
ca é de 1 atm. Calcule:
a) O comprimento da coluna de mercú-
rio quando a temperatura é igual a 
25°C.
Exercícios
7
Física
b) A temperatura do ambiente quando 
L = 8,84 cm.
10. (PUCRS) Podemos caracterizar uma esca-
la absoluta de temperatura quando:
a) dividimos a escala em 100 partes 
iguais.
b) associamos o zero da escala ao estado 
de energia cinética mínima das partí-
culas de um sistema.
c) associamos o zero da escala ao estado 
de energia cinética máxima das partí-
culas de um sistema.
d) associamos o zero da escala ao ponto 
de fusão do gelo.
e) associamos o valor 100 da escala ao 
ponto de ebulição da água.
11. (UFES) Um ferro elétrico, para uma deter-
minada corrente elétrica, experimenta em 
2 minutos de funcionamento, experimen-
ta uma variação de temperatura de 40°C. 
Para ser exportado, esse ferro elétrico pre-
cisa indicar, em seu manual, esta variação 
em graus Fahrenheit. O valor que deve ser 
apresentado no manual é de:
a) 80°F
b) 60°F
c) 72°F
d) 180°F
e) 120°F
12. (UNICAMP-SP) Considere o diagrama a 
seguir, que representa a relação entre duas 
escalas termométricas arbitrárias.
35
10
50 TB
TA
a) Sabendo-se que a escala Tb é a escala 
Celsius, qual é a temperatura de con-
gelamento da água na escala Ta?
b) Qual a relação termométrica existen-
te entre as duas escalas?
c) Qual o valor da temperatura do corpo 
humano (36°C) na escala Ta?
d) Qual a temperatura de ebulição da 
água, ao nível do mar, na escala Ta?
e) Qual a temperatura que possui a mes-
ma leitura nas duas escalas?