Escalares e Vetores

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Aula - 2
Escalares e Vetores
Curso de Física Geral I
Definições, Escalar
• Definição:
– Escalar – Grandeza sem direção associada.
• Exemplos:
• Massa de uma bola, 0.25 kg.
• Tempo para a massa se mover uma distância
• Temperatura (lida no termômetro)
• Energia de um corpo.
• Carga elétrica.
• Algumas grandezas escalares são sempre positivas 
(massa). Outras podem ter os dois sinais.
Definições, Vetor
• Algumas grandezas não podem ser descritas 
por escalares.
• Para a velocidade importa não só o seu valor, 
por exemplo 2m/s, mas também a direção do 
movimento.
• Definição:
– Quantidades descritas por uma magnitude (sempre 
positiva) e uma direção (sentido
implícito) são chamadas VETORES.
Posição em um mapa
• Você está no ponto A do 
mapa.
• Deve andar 20 passos na 
direção nordeste.
• Isto é um vetor! O vetor 
deslocamento.
• Vetor representado por B
(negrito).
• Magnitude de B; B ou |B|
AA
N
↑
*
T
*
B
Soma de Vetores
Soma de deslocamentos é um deslocamento
R = A + B
A + B = B + A
note que
A
B
R
R
Soma de Vetores(2)
Soma de mais um vetor
S = A + B + C
S = (A + B) + C = A + (B + C)
note que
A
B
R
C
S
S
2
Subtração de Vetores
0 (zero) é o vetor nulo
0 = B + (- B)
A - B = A + (-B)
A subtração A
B - B
- B
T
B
2B
-0.5 B
Multiplicação por escalar
Componentes
O vetor A pode ser decomposto
em uma soma da forma
A = Ax + Ay
j
i
Se definimos vetores unitários
i e j podemos escrever
A = Ax i + Ay j
onde Ax e Ay são escalares 
definidos como as
componentes do vetor A.
Na figura ao lado, os unitários 
são também ortogonais.
Representação polar






 
x
y
A
A1tan

22
yx AAA 
j
i
Ay
Ax
As componentes Ax e Ay são as 
chamadas coordenadas 
cartesianas do vetor A.
e pelo seu ângulo polar como
A
Podemos ainda definir um 
outro conjunto de coordenadas 
para descrever um vetor no 
plano. Estas são as coordenadas 
polares, dadas pelo módulo do 
vetor A
Soma de vetores
A
Ax
Ay
B
By
Bx
Queremos somar os vetores A
e B
C = A + B
C
C = (Ax i + Ay j) + (Bx i + By j)
ou
C = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j
C = Cx i + Cy j
Isto é somar as suas componentes
Produto escalar
A
B
Definição
A . B = A B cos

A cos
Geometricamente, 
projeta-se A na direção de B
e multiplica-se por B. Então,
(A cos) B ou (B cos) A
BNote que A . B = B . A
em termos das componentes cartesianas (em 3 
dimensões)
A . B = AxBx + AyBy + Az Bz
Produto escalar
kkjkik
kjjjij
kijiii
kjikjiBA




zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
BABABA
BABABA
BABABA
BBBAAA )()(
Devido à distributividade do produto escalar, podemos escrevê-lo 
em termos das suas componentes cartesianas como
i.i = j.j = k.k =1 e i.j = i.k = j.k = 0Mas como teremos
3
Produto vetorial
C
- C
B
A
Definição; C = A x B, cujo 
módulo é dado por
C = |A x B| = A B sin 
e que tem
Note que o produto vetorial não 
é comutativo
A x B = - B x A
i) a sua direção perpendicular ao 
plano formado por A e B;
ii) o seu módulo igual à área do 
paralelogramo formado por A e B. 
iii) e obedece a regra da mão direita
B

Produto vetorial
Devido à distributividade do produto vetorial, podemos escrevê-lo 
em termos das suas componentes cartesianas como
kkjkik
kjjjij
kijiii
kjikjiBA




zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
BABABA
BABABA
BABABA
BBBAAA )()(
0 kkjjii
ikjjikkji  ,,
Mas como e
teremos
kjiBA )()()( xyyxzxxzyzzy BABABABABABA 
Outra forma de se escrever o produto vetorial de dois vetores A e B
é através do determinante da matriz formada pelos unitários i, j e k
e pelas componentes cartesianas dos vetores A e B ao longo das suas
linhas

zyx
zyx
BBB
AAA
kji
kji )()()( xyyxzxxzyzzy BABABABABABA 
Produto vetorial
Vetores dependentes do 
tempo
Na natureza há inúmeros exemplos de grandezas vetoriais que 
variam no tempo!
No momento estaremos interessados nos seguintes exemplos;
• Posição e deslocamento de um corpo em movimento bi ou 
tri-dimensional.
• Velocidade e aceleração deste corpo.
Posição e deslocamento
A trajetória é o caminho percorrido 
por um objeto (planeta , cometa, 
foguete, carro..). Qualquer ponto da 
trajetória pode ser descrito pelo vetor
posição que denotamos por r(t).
O deslocamento r entre os pontos 
rP e rQ é dado por
r = rQ – rP
Note que r não depende da origem
Posição e deslocamento
O vetor posição em 2-D fica definido
em termos das suas coordenadas 
cartesianas por
r(t) = x(t)i + y(t)j
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
No caso espacial, 3-D, temos
4
Posição e deslocamento
c1 = 0.2 m/s2 d1 = -1.0 m/s2
c2 = 5.0 m/s d2 = 10.0 m/s
c3 = 0.5 m d3 = 2.0 m
Exemplo: um ponto no carrinho
tem equações
x(t) = c1t2+c2t + c3
e
y(t) = d1t2+d2t + d3
onde
Posição e deslocamento
c1 = 0.2 m/s2 d1 = -1.0 m/s2
c2 = 5.0 m/s d2 = 10.0 m/s
c3 = 0.5 m d3 = 2.0 m
x(t) = c1t2+c2t + c3
e 
y(t) = d1t2+d2t + d3
em t = 3 s x(3) =17 m e y(3) =23 m 
em t = 6 s x(6) =38 m e y(6) =26 m
daí r = r(6) - r(3) = (21i + 3 j) m
Velocidade e aceleração
ji
rrr
v
t
y
t
x
tt
ttt
m 











)()(
Similar ao caso de 1-D, 
a velocidade média é
dt
d
t
ttt
t
rrr
v 




)()(
lim
0
A velocidade instantânea é
ji
r
v
dt
dy
dt
dx
dt
td

)(
ou em termos de componentes
jiv yx vv ou
Velocidade e aceleração
 
  2132
2
1
2132
2
1
2
2
dtddtdtd
dt
d
dt
dy
ctcctctc
dt
d
dt
dx


As componentes do vetor 
velocidade são
em t =3 s
  sm
dt
dy
dt
dx
ji
jiv
0.42.6 

v em termos de componentes
   
    smsmssm
dt
dy
smsmssm
dt
dx
0.40.1030.12
2.60.532.02
2
2


Velocidade e aceleração
ji
vvv
a
t
v
t
v
tt
ttt yx
m 











)()(
Similar ao caso de 1-D, 
a aceleração média é
dt
d
t
ttt
t
vvv
a 




)()(
lim
0
A aceleração instantânea é
ji
v
a
dt
dv
dt
dv
dt
td yx 
)(
em termos de componentes
jia yx aa 
ou
2
2 )(
dt
td
dt
d rv
a 
Velocidade e aceleração
 
  121
121
22
22
ddtd
dt
d
dt
dv
cctc
dt
d
dt
dv
y
x


O vetor aceleração
  2
11
0.24.0
22
sm
dc
ji
jia


Note que a aceleração
é constante
magnitude
22
22
0.22.4
a
smsm
aaa yx


ângulo 
tan  = ay/ax = -5.0
 = -79o
5
Componentes da aceleração
Componentes cartesianas Componentes tangencial e
perpendicular
O problema inverso
)(ta

tdtavtv
t
t
 
0
)()( 0

tdtvrtr
t
t
 
0
)()( 0

Conhecida a aceleração, podemos 
integrá-la e
obter a velocidade, que se 
integrada
nos fornece a posição
Este processo deve ser efetuado para cada componente 
cartesiana do vetor considerado
Vetores 
exercícios
28
Exercícios e problemas p/ estudar
Capitulo 2
Exercícios :7-15- 17-23-26-28-
31-42-46-55-56-57
Problemas: 6-16-22-23-25-28
Capitulo 3- força
Exercícios : 5-9-15-25-26
Problemas: 3-5
Capitulo 4
Exercícios : 13-19-21-23-35-43
Problemas: 6-7-9-19
Capitulo 5-aplicações da força
Exercícios : 5-12-15-22-27-29-41
Problemas: 9-13
Exercícios Recomendados
Exercício 1: Qual é a soma dos seguintes quatro vetores (a) na notação de vetor
unitário e (b) na notação de módulo ângulo? No último caso, dê o ângulo tanto em
graus quanto em radianos. Ângulos positivos estão no sentido anti-horário a partir
do sentido positivo do eixo x; ângulos negativos estão no sentido horário.
º210006
201004
º0,75005
9000006




m a ,:H
 rad,m a ,:G
m a ,:F
 rad,m a ,:E




Exercícios Recomendados
Exercício 2: Encontre o ângulo formado entre as diagonais das faces do cubo,
mostrado na figura abaixo.
x
y
z
B
A
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Exercícios Recomendados
Exercício 3: Um avião a jato voa para o norte, de Brasília até Belém, a 1630 km de 
distância, levando 2h e 10 min neste percurso. De lá, segue para oeste, chegando 
a Manaus, a 1290 km de Belém, após 1h e 50 min de vôo.
(a)Qual o deslocamento total do avião?
(b)Qual a velocidade média no trajeto Brasília-Belém?
(c) Qual a velocidade média no trajeto Brasília-Manaus? 
Exercícios Recomendados
Exercício 4: Uma partícula desloca-se num plano de tal forma que
(a) Calcule a velocidade no instante t.
(b) Calcule a aceleração no instante t.
(c) Esboce graficamente a trajetória da partícula.
(d) Calcule a posição, velocidade e aceleração em coordenadas polares para t = 1s.
3 2
2
2 3
2 1
x t t
y t t
  

  
Exercícios Recomendados
Exercício 5: No produto 
faça
Qual a expressão de na notação de vetor unitário se ? 
,BvqF


.ˆ12ˆ20ˆ0,4eˆ0,6ˆ0,4ˆ0,2,2 kjiFkjivq 

yx BB B
