Problemas Matemáticos Resolvidos

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- **Resolução**: O 10º termo é \( 3 + 9 \cdot 4 = 39 \). 
 
9. **Equação de segundo grau complicada**: Resolva a equação \( x^2 + 5x + 6 = 0 \). 
 - **Resolução**: Fatorando, obtemos \( (x+2)(x+3) = 0 \), então \( x = -2 \) ou \( x = -3 \). 
 
10. **Problema de combinação**: Quantas maneiras diferentes podemos distribuir 10 
livros em 4 prateleiras? 
 - **Resolução**: Usando combinações, temos \( \binom{13}{3} = 286 \) maneiras. 
 
11. **Problema de geometria**: Determine a área de um triângulo equilátero com lado 6. 
 - **Resolução**: A área é \( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3} \). 
 
12. **Problema de probabilidade**: Se lançarmos dois dados justos, qual a probabilidade 
de obter soma igual a 7? 
 - **Resolução**: Existem 6 combinações possíveis de resultados, e apenas uma soma 
7, então a probabilidade é \( \frac{1}{6} \). 
 
13. **Problema de álgebra linear**: Encontre o determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 2 
& 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \). 
 - **Resolução**: O determinante é \( 2 \cdot 5 - 3 \cdot 4 = -2 \). 
 
14. **Problema de análise**: Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 - **Resolução**: Usando a definição de limite, o resultado é 1. 
 
15. **Problema de teoria dos números**: Qual o maior divisor comum (MDC) de 48 e 60? 
 - **Resolução**: Fatorando, o MDC é 12. 
 
16. **Problema de equação diferencial**: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 
2x \). 
 - **Resolução**: Integrando, \( y = x^2 + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 
17. **Problema de cálculo integral**: Calcule \( \int_0^1 x^2 \, dx \). 
 - **Resolução**: A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \).