Problemas de Matemática

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150. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y' + y = \tan(x) \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = C e^{-x} + \ln|\cos(x)| \), onde \( C \) é uma constante. 
 - **Explicação:** Usa-se o método do fator integrante para resolver a equação 
diferencial não homogênea. 
 
151. **Problema:** Encontre a matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 
\end{pmatrix} \). 
 - **Resposta:** \( A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \). 
 - **Explicação:** Usa-se o método da matriz adjunta e determinante para encontrar a 
inversa. 
 
152. **Problema:** Resolva a equação \( \sin(x) = x \) para \( x \) no intervalo \( [0, 
\frac{\pi}{2}] \). 
 - **Resposta:** A solução é \( x = 0 \). 
 - **Explicação:** Utiliza-se a análise gráfica e métodos de aproximação para encontrar 
a solução dentro do intervalo dado. 
 
153. **Problema:** Determine a série de Taylor da função \( f(x) = \cos(x) \) centrada em \( 
x = 0 \). 
 - **Resposta:** A série de Taylor é \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \). 
 - **Explicação:** Aplica-se a expansão em série de potências da função 
trigonométrica. 
 
154. **Problema:** Calcule a derivada de \( f(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t} \, dt \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{\sin x}{x} \). 
 - **Explicação:** Aplica-se o teorema fundamental do cálculo e a regra do quociente 
para derivar a função. 
 
155. **Problema:** Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 
x \), e \( x = 4 \). 
 - **Resposta:** A área é \( \frac{32}{3} \). 
 - **Explicação:** Calcula-se a integral definida entre os limites dados. 
 
156. **Problema:** Encontre a solução geral da equação diferencial \( y' + 2xy = e^{-x^2} 
\).