Focus Concursos RACIOCÍNIO LÓGICO I Princípios de Contagem Parte III

Prévia do material em texto

WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
Princípios de Contagem 
Os problemas de contagem permeiam o nosso cotidiano. Estão presentes, por exemplo, quando pensamos 
nas possibilidades de combinação de roupas, de planejamento de processos ou combinação de números em uma 
loteria. 
A análise combinatória oferece métodos que permitem a contagem do número de elementos de um 
conjunto formado sob certas condições. 
Vamos iniciar o estudo apresentando os princípios básicos para realizar contagem. 
Principio multiplicativo 
Um acontecimento ocorre em duas etapas A e B, sucessivas. Se A pode ocorrer M maneiras e B pode ocorrer 
de N maneiras, então o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é M.N. 
Exemplo 
Dois alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, só as vazias sete cadeiras. Obter o total de 
maneiras como eles podem ocupar sobre essas cadeiras. 
Resolução 
Escolha 1 = 7 possibilidades (o primeiro aluno dispões de 7 opções) 
Escolha 2 = 6 possibilidades (uma vez que o primeiro aluno já sentou, o segundo dispõe de apenas 6 cadeiras) 
Pelo principio multiplicativo, temos: 7.6 = 42. Logo, são 42 maneiras. 
Exemplo 
Calcule quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 = 9 possibilidades 
Milhar (etapa 1) Centena (etapa 2) Dezena (etapa 3) Unidade (etapa 4) 
9 8 7 6 
Fomos diminuindo, uma vez que os algarismos devem ser distintos. 
9.8.7.6 = 3024. Logo são 3024 possibilidades. 
Exemplo 
Doze cavalos participam de uma corrida. Se nenhum pode ganhar mais do que um prêmio, de quantos maneiras 
podem ser distribuídos o primeiro, o segundo e o terceiro prêmios? 
Exemplo 
Ao lançarmos uma moeda e um dado, quantas são as possibilidades de resultado? 
Exemplo 
Ao fazer uma prova composta por 5 questões de múltipla escolha, quantos modos há de se responder a prova? 
Exemplo 
1
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
Utilizando os algarismos de 1 a 9, quantos números com 3 algarismos podemos montar? 
Exemplo 
Utilizando os algarismos de 1 a 9, quantos números de 3 algarismos distintos podemos montar? 
Exemplo 
Utilizando os algarismos de 1 a 9, quantos números pares de 3 algarismos podemos montar? 
Exemplo 
Utilizando os algarismos de 1 a 9, quantos números ímpares de 3 algarismos podemos montar? 
Exemplo 
Utilizando os algarismos de 1 a 9, quantos números múltiplos de 5 podemos montar? 
Exemplo 
Utilizando os algarismos de 0 a 9, quantos números de 3 algarismos podemos montar? 
1) Uma senha bancária é composta de 3 (três) dígitos que podem variar de 0 a 9 (zero a nove). Assinale o que for 
incorreto. 
a) Se uma possível senha é testada a cada segundo, então todas as possíveis senhas serão verificadas em menos de 
17 minutos. 
b) Há mais de mil possíveis senhas distintas. 
c) Existem apenas 10 senhas com todos os dígitos idênticos. 
d) Há 720 senhas com todos os dígitos distintos. 
e) Há 100 senhas identificadas com números menores que o número 100 (cem). 
2) Cada um dos participantes de uma corrida de bicicleta é identificado por meio de um número, múltiplo de cinco, 
formado por três algarismos. O algarismo das centenas é tirado do conjunto 
 4,3,2,1A 
 e os demais pertencem ao 
conjunto 
 9,8,7,6,5,0B 
. O número máximo de ciclistas participantes dessa corrida é: 
a) 40 
b) 48 
c) 120 
d) 144 
3) Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, 
B, C, D e E seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas 
se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é: 
a) 78 125 
b) 7 200 
c) 15 000 
d) 6 420 
e) 50 
2
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
4) Considere a identificação das placas de veículos, compostas de três letras seguidas de 4 dígitos. Sendo o alfabeto 
constituído de 26 letras, o número de placas possíveis de serem constituídas, pensando em todas as combinações 
possíveis de 3 letras seguidas de 4 dígitos, é 
a) 3 120. 
b) 78 624 000. 
c) 88 586 040. 
d) 156 000 000. 
e) 175 760 000. 
5) Em um certo país, os veículos são emplacados por meio de um código composto de 3 letras seguidas de 4 dígitos. 
As letras pertencem a um alfabeto com 26 letras, e os dígitos pertencem ao conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Se fosse 
mudado esse sistema para 4 letras seguidas de 3 dígitos e supondo que todas as possibilidades de códigos possam 
ser usadas como placas, o número de veículos a mais que podem ser emplacados neste novo sistema é 
a) 26103 
b) 16263103 
c) 16103 
d) 163263104 
e) 264104 
6) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 são formados números de 5 algarismos distintos. Assim, é correto afirmar que 
( ) podem ser formados 720 números no total. 
( ) 480 dos números formados são pares. 
( ) o algarismo 2 aparece em apenas 120 dos números formados. 
( ) 120 dos números formados são múltiplos de 5. 
( ) 240 dos números formados são ímpares. 
7) Um tabuleiro de xadrez está vazio, conforme figura abaixo. Se uma pessoa quiser colocar nesse tabuleiro, 
simultaneamente, um bispo e um cavalo, poderá fazê-lo de ________ maneiras diferentes. 
 
a) 64 
b) 128 
c) 2016 
d) 4032 
e) 8064 
8) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o 
primeiro necessariamente alfabético. O número de senhas possíveis será, então: 
a) 364. 
b) 10 x 363. 
3
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
c) 26 x 363. 
d) 264. 
e) 10 x 264. 
9) Certo sistema de telefonia utiliza 8 dígitos para designar os diversos números de telefones. Sendo o primeiro 
dígito sempre 3 e admitindo que o dígito 0 (zero) não seja utilizado para designar as estações (2o, 3o e 4o dígitos), 
podemos afirmar que a quantidade de números de telefones possíveis é: 
a) 7.290 
b) 9.270 
c) 72.900 
d) 927.000 
e) 7.290.000 
10) A partir de outubro, os telefones do Rio de Janeiro irão gradualmente adotar oito algarismos, em vez de sete, 
por causa da necessidade de oferta de novas linhas. O algarismo a ser acrescentado será o primeiro e será 
necessariamente 3 ou 8. Supondo-se que, no sistema em vigor, qualquer combinação de sete algarismos é um 
número de linha possível, o número de possíveis novas linhas é: 
a) 710 
b) 107 
c) 2 x 107 
d) 3 x 107 
e) 108 
11) Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia 
três rodovias e duas ferrovias e que, de B até uma outra cidade C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O 
número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando 
rodovias e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é: 
a) 9. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 15. 
e) 20. 
12) Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? 
a) 60 
b) 120 
c) 45 
d) 70 
e) 90 
4
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
 
13) Um construtor dispõe de quatro cores (verde, amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado a 
lado. Ele deseja que cada casa seja pintada com apenas uma cor e que duas casas consecutivas não possuam amesma cor. 
Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura seriam: 
 
Primeira:
Verde A m a re la B e g e Ve rd e C in z a 
Segunda:
Verde C in z a Ve rd e B e g e C in z a 
Determine o número de possibilidades diferentes de pintura. 
14) Quantos são os números de 7 algarismos distintos, formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, que têm 1 e 
7 nas extremidades? 
a) 21 
b) 42 
c) 120 
d) 240 
e) 2520 
15) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países , as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites 
sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo : 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria ; 
3º lugar, Holanda). Se , em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam 
existir? 
a) 69 
b) 2.024 
c) 9562 
d) 12.144 
e) 13.824 
16) Calcular a quantidade de números de quatro algarismos (todos distintos), que se podem formar com os 
algarismos 1,2,4,7,8 e 9. 
a) 300 
b) 340 
5
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
c) 360 
d) 380 
e) 400 
17) Numa prova objetiva de 20 questões, cada uma com cinco alternativas, das quais apenas uma é correta, um 
candidato encontra-se diante da seguinte situação: 
a) sabe a reposta certa das dez primeiras questões; 
b) está indeciso entre duas alternativas para cada uma das cinco questões seguintes; 
c) não sabe responder às questões restantes, mas identifica, nas três últimas, uma alternativa absurda em cada 
uma delas. 
Considerando que ele responderá a todas às 20 questões buscando acertar o maior número possível, calcule de 
quantas maneiras distintas ele pode marcar o cartão de resposta. 
18) O número total de inteiros positivos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum 
algarismo é repetido em nenhum inteiro, é: 
a) 54 
b) 56 
c) 58 
d) 60 
e) 64 
Gabarito 
1. B 
2. B 
3. C 
4. E 
5. B 
6. C,C,E,C,C 
7. D 
8. C 
9. E 
10. C 
11. B 
12. E 
13. 324 
14. D 
15. D 
16. C 
17. 51200 
18. E 
 
 
Fatorial 
Fatorial é em princípios de contagem uma ferramenta. As questões em regra, não cobram fatorial, mas para resolver 
questões, é comum o uso deles. 
Fatorial de um número N é a multiplicação de N com seus antecedentes até que se chegue no número 1. 
Notação 
6
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
N! – é o fatorial de N 
Exemplo 
3! – é o fatorial de 3. 
Solução 
3! = 3.2.1 = 6 
Veja que na resolução, vamos diminuindo de um em um até chegar no próprio 1. 
Tabela de fatoriais 
0! = 1 
1! = 1 
2! = 2.1 = 2 
3! = 3. 2 .1 = 6 
4! = 4.3.2.1 = 24 
5! = 5.4.3.2.1 = 120 
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 
... 
N! = N.(N-1).(N-2)...1 
 
Simplificação de fatoriais 
Simplificar fatoriais significa chegar até os resultados de uma divisão que envolva fatoriais, mas sem ter que 
substituir cada fatorial pelo seu valor, pois o cálculo poderia ser muito trabalhoso. 
Exemplo 
!8
!10
 
Veja que se precisarmos trocar 10! Pelo valor, o cálculo fica enorme e com isso, usaremos uma técnica de 
simplificação: 
909.10
!8
!8.9.10
!8
!10

 
Observe que repetimos o fatorial de baixo e “abrimos” o de cima, mas não completo, apenas até chegar no 8! Para 
então simplificar e multiplicar o que sobrou. 
Exemplo 
!9
!12
 
Exemplo 
!4
!8
 
7
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
Exemplo 
!8!.2
!10
 
Exemplo 
!2!.4
!6
 
Exemplo 
!5!.3
!8
 
Exemplo 
!4!2!.3
!9
 
Exemplo 
!4!.8
!12
 
Permutação 
A palavra permutação tem o sentido de trocar de ordem, quando falamos de princípios de contagem. Dadas algumas 
pessoas ou alguns objetos, desejamos trocá-los de lugar e verificar quantas ordens diferentes há. Veja que no que 
tange os princípios de contagem, sempre se deseja saber o total de possibilidades. 
Fórmula 
!nPn 
 
 
n = número de elementos 
Exemplo 
Em uma fila com 4 pessoas, quantas são as ordens que se pode fazer, isto é, de quantos modos pode-se formar a 
fila? 
N= 4 
!nPn 
 
!44P
 
244P
 
Logo, existem 24 maneiras de organizar essa fila. 
Exemplo 
8
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
Uma sala de aula está com 8 carteiras e 8 alunos. Quantas maneiras existem de distribuir os alunos pela sala? 
N = 8 
!nPn 
 
!88 P
 
403201.2.3.4.5.6.7.88 P
 
Permutação com repetição 
Muitas vezes a permutação envolve objetos e por vezes entre esses objetos há alguns repetidos. Quando vamos 
calcular o total de possibilidades de trocá-los de lugar, essas repetições alteram a resposta e mostramos agora como 
se deve proceder. 
Exemplo 
Em um pilha de roupas há 6 peças, sendo que destas, 2 são camisetas idênticas. Quantos modos há de formar essa 
pilha? 
N = 6 
Repetição = 2 iguais 
!nPn 
 
!2
!6
6 P
 Veja que em cima agimos normalmente, a novidade é que na parte de baixo, colocamos 2! Pois duas peças 
são iguais. 
!2
!2.3.4.5.6
6 P
 
3.4.5.6
6 P
 
3606 P
 
Exemplo 
Com 2 réguas, 3 lápis e uma caneta, quantas maneiras temos de ordená-los? 
N = 6 (veja que sempre somamos todos os objetos, independente da repetição) 
!nPn 
 
!3!.2
!6
6 P
 
!3!.2
!3.4.5.6
6 P
 
9
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
2
4.5.6
6 P
 
606 P
 
Exemplo 
Com 2 delegados, 3 agentes e 4 peritos, quantas ordens podemos fazer? 
N = 9 
!nPn 
 
!4!.3!.2
!9
9 P
 
!4!.3!.2
!4.5.6.7.8.9
9 P
 
6.2
5.6.7.8.9
9 P
 
2
5.7.8.9
9 P
 
12609 P
 
Exemplo 
Quantos Anagramas podemos formar com as letras da palavra “amor”? 
N = 4 
!nPn 
 
24!44 P
 
Exemplo 
Quantos anagramas podemos montar com as letras da palavra “Banana”. 
N = 6 
!nPn 
 
60
!2!.3
!6
6 P
 
Permutação Circular 
Algumas questões trazem a troca de ordem, mas deixando claro que os elementos formam um circulo, ou estão 
sentados ao redor de uma mesa redonda. Nesse caso, utilizaremos a fórmula abaixo. 
10
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
)!1(  nPn
 
 
Exemplo 
Seis elementos de uma mesma família estão reunidos ao redor de uma mesa redonda para jantar. Quantos modos 
há de distribuí-los para esse jantar? 
N = 6 
)!16(6 P
 
120)!5(6 P
 
Arranjo 
O processo chamado de arranjo visa calcular a quantidade de maneiras que possuimos de escolher uma 
quantidade limitada de pessoas dentro de um grupo dado, quando a ordem em que essas pessoas forem escolhidas 
mude alguma coisa para os envolvidos. Imaginemos a situação em que dentro de uma empresa com 20 funcionários, 
o dono deve escolher 2 para presentear um deles com uma viagem e o outro com uma semana de folga. Veja que 
nesse caso, temos um total de indivíduos, temos que escolher uma quantidade limitada deles e ainda, a ordem 
muda algo, pois dependendo de ser o primeiro ou o segundo, ganham coisas diferentes. 
Para Chegar ao número total de possibilidades, utilizaremos inicialmente uma fórmula pronta: 
)!(
!
PN
N
APN


 
 Onde 
N = total de elementosP= Nº de escolhidos 
Exemplo 
Em uma empresa com 20 funcionários, o dono deve escolher 2 para presentear um deles com uma viagem e 
o outro com uma semana de folga. Quantos modos diferentes possui o dono de fazer essa escolha? 
N = 20 
P = 2 
)!(
!
pn
n
A pn


 
)!220(
!202
20

A
 
!18
!202
20 A
 
!18
!18.19.202
20 A
 
11
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
380
19.202
20 A
 
Exemplo 
Em uma corrida com 10 participantes, quantos são os modos de compor o pódio com os 3 primeiros 
colocados? 
Exemplo 
Em uma delegacia com 10 agentes, dois serão escolhidos para uma operação. Um deles irá dirigir e o outro 
acompanhar. Quantos modos tem-se de fazer essa escolha? 
Exemplo 
Em uma turma com 40 alunos, um professor resolver escolher 2 para distribuir dois livros diferentes. 
Quantos modos possui o professor de fazer isso? 
Exemplo 
Em uma corrida com 4 brasileiros e 6 estrangeiros, quantos modos tem-se de se compor o pódio com 3 
competidores de modo que haja pelo menos um brasileiro? 
Exemplo 
Em um torneio de tênis de mesa com 10 participantes em que todos se enfrentam uma única vez, 
participava Carlos que acabou ganhando todas as partidas. Quantos modos há de se compor um pódio com o 3 
primeiros colocados? 
Combinação 
A combinação é um processo utilizado para calcular o número de possibilidades de escolher-se uma quantidade 
limitada de pessoas dentro de um grupo maior de pessoas, de modo que a ordem não faça diferença alguma, ou 
seja, todos os participantes tiverem funções iguais. 
Suponha a situação em que dentro de um delegacia de polícia com 20 agentes, 5 deles serão designados para 
verificar uma ocorrência. Uma pergunta possível é: quantos modos há se fazer essa escolha? Perceba que não foi 
mencionada nenhuma diferença entre as funções que esses cinco indivíduos irão desempenhar. Essa é a situação 
clássica de combinação. 
!)!.(
!
ppn
n
C pn


 
 Onde 
N = total de indivíduos 
P = nº de escolhidos 
Exemplo 
Em uma sala com 10 alunos, 2 serão sorteados para irem juntos a uma viagem. Quantos modos há de se fazer isso? 
N = 10 
12
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
P = 2 
Veja que não há diferença na função dos dois escolhidos, pois ambos vão viajar. 
!)!.(
!
ppn
n
C pn


 
!2)!.210(
!102
10

C
 
!2)!.8(
!102
10 C
 
!2)!.8(
!8.9.102
10 C
 
2
9.102
10 C
 
45210 C
 
Logo, temos 45 maneiras de escolher os dois alunos. 
Exemplo 
Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas em uma turma de 10 alunos? 
Exemplo 
Quantas equipes diferentes com 5 integrantes podemos ter com 10 pessoas à disposição? 
Exemplo 
De seis alunos sorteados, dois serão escolhidos para representar a escola em um evento acadêmico. O número de 
comissões que podem ser formadas é? 
Exemplo 
A diretoria de uma firma é constituída por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. o número de comissões de 3 
brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas é ? 
Exemplo 
Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. o número de comissões de cinco pessoas podem ser formadas, 
contendo no mínimo um diretor é? 
Exemplo 
Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem parte Lúcia e José, o número de comissões distintas que se podem 
formar com 5 membros, incluindo, necessariamente, Lúcia e José, é? 
Exercícios 
1- Quantas grupos de 3 alunos podem ser formados com 20 alunos. 
13
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
 
2- Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas em uma turma de 32 alunos? 
 
3- Quantas equipes diferentes com 5 integrantes podemos ter com 10 pessoas à disposição? 
 
4 – Numa prova com 10 questões, o alunos deve resolver apenas 6. De quantas maneiras diferentes ele poderá 
escolher essas 6 questões? 
 
5 - Para preparar uma prova, um professor tem à sua disposição 20 questões. Se a prova deve ser composta de 17 
dessas questões, determine a quantidade de provas distintas que podem ser preparadas. 
 
6 - De quantas maneiras pudemos extrair 4 cartas de um baralho de 52 cartas? 
 
7 –Em certo tipo de loteria, o apostador deve marcar 6 números dentre os 60 disponíveis. Quantas apostas distintas 
podem ser feitas? 
 
8 – Arthur e sua esposa desejam fazer uma viagem a três estados da região nordeste do Brasil. Sabendo que essa 
região tem 9 estados, quantas possibilidades eles tem para escolher os estados que vão visitar? 
 
9 – Fazendo a mala para viajar à praia, Arthur deve escolher 4 entre 10 bermudas que possui. Quantas possibilidades 
ao todo ele tem para escolher as bermudas? 
 
10) Em uma linda tarde de setembro, João gostaria de pedalar por Ipanema com sete de seus amigos, mas nenhum 
deles tinha bicicleta. João ficou desapontado com a notícia, pois fazia tempos que não fazia um dia de sol, e lembrou 
que em seu porão haviam 6 bicicletas. De quantos maneiras João poderá escolher quem de seus 7 amigos poderá 
pedalar com ele? 
11) Júlio gostaria de sortear números para um jogo que construiu. Quantos conjuntos de números diferentes 
podemos formar para o seu sorteio dispondo dos números 54, 25, 30, 7, 10, 11 e 40 tomando-os 4 a 4? 
 12) O Coordenador dos Cursos de Licenciatura viajará para Roma na semana que haverá uma convenção em sua 
Universidade. Ele tem 6 professores disponíveis para poder representá-lo nesta semana, mas só poderá escolher três 
deles. Quantas possibilidades de escolha ele poderá fazer? 
 13) Em uma sala existia 15 cadeiras enfileiradas para 15 alunos sentarem-se. De quantos modos diferentes eles 
podem se sentar? 
14) Para as eleições de Porto Alegre temos 2 votos, um para prefeito e um para vereador, dispondo de 5 candidatos 
para prefeito e 38 para vereador: 
a) Quantas combinações diferentes podemos formar? 
b) Dos 38 candidatos a vereadores apenas 18 entrarão na câmara de vereadores. Quantas combinações distintas 
teremos? 
 15) Para escalar o time do Grêmio o técnico tem como opções 7 atacantes no treino, e ele quer escalar um time 
com 3 atacantes, sendo que Marcelo Moreno participou do treino e é titular absoluto. Quantas maneiras ele poderá 
escalar os três atacantes? 
14
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
16) Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-
presidente e secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio? 
17) Juquinha tem 8 calças e 5 camisetas diferentes. Responda: 
a) De quantas maneiras Juquinha pode escolher 2 peças de roupa? 
18) Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos. Sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas 
maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem? 
19) De quantas maneiras diferentes podemos organizar 5 pessoas em um carro brasileiro (com 5 lugares)? 
20) Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. 
Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno? 
 
21) Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando uma corrida. Quantos são os agrupamentos 
possíveis para os três primeiros colocados? 
22) Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes. 
Considerando-seque o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros, 10 meio campistas e 6 atacantes, determine o 
número de maneiras possíveis que esse time pode ser formado. 
23) No jogo de basquetebol, cada time entra em quadra com cinco jogadores. Considerando-se que um time para 
disputar um campeonato necessita de pelo menos 12 jogadores, e que desses, 2 são titulares absolutos, determine o 
número de equipes que o técnico poderá formar com o restante dos jogadores, sendo que eles atuam em qualquer 
posição. 
24) De um total de 6 pratos a base de carboidratos e 4 pratos a base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 
destes itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos 
que poderei fazer? 
 
CESPE 
1) Com relação aos princípios e técnicas de contagem, julgue o item subsequente. 
Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponíveis para viagens - um deles 
para coordenar a equipe, um para redigir o relatório de missão e um para fazer os levantamentos de informações -, 
o número de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a 200. ( ) CERTO ( ) ERRADO 
2) Considere que, em um órgão de inteligência, o responsável por determinado setor disponha de 20 agentes, sendo 
5 especialistas em técnicas de entrevista, 8 especialistas em reconhecimento operacional e 7 especialistas em 
técnicas de levantamento de informações, todos com bom desempenho na tarefa de acompanhamento de 
investigado. A partir dessas informações, julgue o item a seguir. 
Se, para cumprir determinada missão, for necessário fazer, simultaneamente, reconhecimento operacional em 3 
locais diferentes, então o responsável pelo setor terá 340 maneiras distintas de compor uma equipe da qual façam 
parte 3 agentes especialistas para essa missão, sendo um especialista para cada local. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
3) A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 
6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai. 
15
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
Internet: <www.estadao.com.br> (com adaptações). 
Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item. 
Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS 
com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras 
diferentes de fazer essa escolha. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
4) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, 
para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue. 
A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
5) Dez policiais federais − dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes − foram designados para 
cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será 
dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um 
perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue. 
Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
6) Uma escola promove, anualmente, um projeto para incentivar a participação de seus alunos nos processos 
eleitorais. A cada ano, são escolhidos 5 professores, que orientarão um grupo de 100 alunos em várias atividades. No 
início deste ano de 2011, a escola conta com 35 professores, dos quais 15 já participaram do projeto em anos 
anteriores; dos 800 alunos matriculados, 300 já participaram do projeto em outras oportunidades e 600 já são 
eleitores. 
Com base na situação apresentada acima, julgue o item a seguir. Se, em 2011, a equipe dos orientadores será 
formada apenas por professores que ainda não participaram do projeto, então a quantidade de maneiras distintas 
de se formar a equipe de professores orientadores é superior a 15.500. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
7) Dos 420 detentos de um presídio, verificou-se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, 
por outros crimes. Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca dessa situação, 
julgue o item seguinte. 
 
A quantidade de maneiras distintas de se selecionarem dois detentos entre os condenados por outros crimes, que 
não roubo ou homicídio, para participarem de um programa destinado à ressocialização de detentos é inferior a 
10.000. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
8) Nas eleições municipais de uma pequena cidade, 30 candidatos disputam 9 vagas para a câmara de vereadores. 
Na sessão de posse, os nove eleitos escolhem a mesa diretora, que será composta por presidente, primeiro e 
segundo secretários, sendo proibido a um mesmo parlamentar ocupar mais de um desses cargos. Acerca dessa 
situação hipotética, julgue o item seguinte. A quantidade de maneiras distintas de se formar a mesa diretora da 
câmara municipal é superior a 500. 
16
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
( ) CERTO ( ) ERRADO 
9) Nas eleições municipais de uma pequena cidade, 30 candidatos disputam 9 vagas para a câmara de vereadores. 
Na sessão de posse, os nove eleitos escolhem a mesa diretora, que será composta por presidente, primeiro e 
segundo secretários, sendo proibido a um mesmo parlamentar ocupar mais de um desses cargos. Acerca dessa 
situação hipotética, julgue o item seguinte. A quantidade de maneiras distintas para se formar a câmara de 
vereadores dessa cidade é igual a 30!/(9! × 21!). 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
10) Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a direção de um órgão de controle tenha 
mapeado a existência de 30 programas de governo passíveis de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 
servidores para a montagem das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordenador, 
um relator e um técnico, julgue os próximos itens. 
A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem acompanhados pelo órgão é 
inferior a 4.000. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
11) A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas processuais, a quantidade de 
maneiras distintas de se formar equipes com exatamente três analistas de cada especialidade em cada equipe é 
superior a 5.000. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
12) Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 do sexo feminino, julgue o item abaixo. 
A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição de forma que 4 sejam do sexo 
feminino é inferior a 4.000. ( ) CERTO ( ) ERRADO 
13) A presidência de determinado tribunal é apoiada por seis assessorias. Para a chefia dessas assessorias, foram 
indicados, do quadro permanente, 4 funcionários e 8 funcionárias, todos igualmente qualificados para assumir 
qualquer dessas chefias. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 
Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por mulheres, então será superior a 400 o número de 
maneiras de se selecionar, entre os 12 candidatos, os funcionários para chefiarem todas as seis assessorias. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
14) Com relação aos princípios e técnicas de contagem, julgue o item subsequente. 
Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado órgão tenhade organizar, em uma estante 
com 5 prateleiras, 3 processos referentes a cidades da região Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região Sul, 2 da 
região Centro-Oeste e 1 da região Sudeste, de modo que processos de regiões distintas fiquem em prateleiras 
distintas, então esse servidor terá 17.280 maneiras distintas para organizar esses processos. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
15) Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco 
primeiros classificados em um concurso, julgue o item seguinte. 
 
Existem 120 possibilidades distintas para essa classificação. ( ) CERTO ( ) ERRADO 
 
17
WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR
RLM|Material Complementar 
Prof. Jhoni Zini | https://www.facebook.com/Professor.Jhoni.Zini
 
 
18