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73. **Problema:** Calcule o valor de \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} 
\). 
 - **Resposta:** O limite é \( e \). 
 - **Explicação:** Utiliza-se uma manipulação algébrica simples e o limite que define o 
número de Euler, \( e \). 
 
74. **Problema:** Determine a série de Fourier da função \( f(x) = x^2 \) definida no 
intervalo \( [-\pi, \pi] \). 
 - **Resposta:** A série de Fourier é \( \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-
1)^n}{n^2} \cos(nx) \). 
 - **Explicação:** Aplica-se a fórmula geral para a série de Fourier de uma função par. 
 
75. **Problema:** Encontre a matriz diagonalizável similar à matriz \( A = \begin{pmatrix} 3 
& 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \). 
 - **Resposta:** A matriz diagonalizável é \( A = PDP^{-1} \), onde \( P = \begin{pmatrix} 1 
& 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) e \( D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \). 
 - **Explicação:** Diagonaliza-se a matriz encontrando os autovetores e autovalores 
correspondentes. 
 
76. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = \cos(2x) \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) \), onde \( C_1 \) 
e \( C_2 \) são constantes. 
 - **Explicação:** Resolve-se primeiro a equação homogênea e depois utiliza-se o 
método de variação dos parâmetros para a solução não homogênea. 
 
77. **Problema:** Calcule a integral \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \). 
 - **Resposta:** A integral é \( \sqrt{\pi} \). 
 - **Explicação:** Esta é a integral gaussiana clássica, que pode ser resolvida usando 
métodos de simetria e mudança de variáveis. 
 
78. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y' + y = \tan(x) \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = C e^{-x} + \ln|\cos(x)| \), onde \( C \) é uma constante. 
 - **Explicação:** Usa-se o método do fator integrante para resolver a equação 
diferencial não homogênea.