Matemática - Teórico_VOLUME1

Prévia do material em texto

Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em pe-
ríodo integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos 
de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto 
contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de 
material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A 
seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidadosa 
seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório 
do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com 
indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é en-
contrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos 
temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até 
sugestões de aplicativos que facilitam os estudos, com conteúdos 
essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, 
em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
multimídia
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreensão 
de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas 
para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. Para 
evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida 
a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma 
preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre 
aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em 
seu dia a dia.
vivenciando
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê-
-las com tranquilidade.
áreas de conhecimento do Enem
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los 
em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aque-
les que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio 
de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos 
principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organiza-
ção dos estudos e até a resolução dos exercícios.
diagrama de ideias
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem 
conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Bio-
logia e Química, História e Geografia, Biologia e Matemática, entre 
outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade 
por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas 
de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizan-
do temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que 
cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma 
grande engrenagem no mundo em que ele vive.
conexão entre disciplinas
Herlan Fellini
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
incidência do tema nas principais provas
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
teoria
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, 
deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e comenta-
dos, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil com-
preensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos 
do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer 
momento, as explicações dadas em sala de aula.
aplicação do conteúdo
2
© Hexag Sistema de Ensino, 2018
Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2020
Todos os direitos reservados.
Autores
Herlan Fellini
Pedro Tadeu Batista
Vitor Okuhara
Diretor-geral
Herlan Fellini
Diretor editorial
Pedro Tadeu Batista 
Coordenador-geral
Raphael de Souza Motta
Responsabilidade editorial, programação visual, revisão e pesquisa iconográfica 
Hexag Sistema de Ensino
Editoração eletrônica
Arthur Tahan Miguel Torres
Matheus Franco da Silveira
Raphael de Souza Motta
Raphael Campos Silva
Projeto gráfico e capa
Raphael Campos Silva
Imagens
Freepik (https://www.freepik.com)
Shutterstock (https://www.shutterstock.com)
ISBN: 978-65-88825-01-3
Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo 
o ensino. Caso exista algum texto a respeito do qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à dis-
posição para o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares dos 
direitos sobre as imagens publicadas e estamos à disposição para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições.
O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra é usado apenas para fins didáticos, não repre-
sentando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
2020
Todos os direitos reservados para Hexag Sistema de Ensino.
Rua Luís Góis, 853 – Mirandópolis – São Paulo – SP
CEP: 04043-300
Telefone: (11) 3259-5005
www.hexag.com.br
contato@hexag.com.br
3
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA
GEOMETRIA PLANA
Aulas 1 e 2: Potenciação e radiciação 6
Aulas 3 e 4: Equações do primeiro grau e problemas clássicos 14
Aulas 5 e 6: Equações do segundo grau 22
Aulas 7 e 8: Teoria dos conjuntos 27
Aulas 1 e 2: Trigonometria no triângulo retângulo 36
Aulas 3 e 4: Produtos notáveis 41
Aulas 5 e 6: Fatoração 44
Aulas 7 e 8: Conjuntos numéricos 49
Aulas 1 e 2: Introdução à geometria plana 56
Aulas 3 e 4: Ângulos num triângulo e ângulos numa circunferência 62
Aulas 5 e 6: Razão proporcional e teoremas de Tales e da bissetriz interna 70
Aulas 7 e 8: Pontos notáveis de um triângulo 75
4
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construçãode argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
5
 ÁLGEBRA: Incidência do tema nas principais provas
UFMG
Encontraremos propriedades de potenciação e 
radiciação em questões tanto de Matemática 
como de Física e Química. Não é difícil encon-
trar alguma questão em ambas as fases da 
Vunesp, exigindo do candidato a produção 
de equações do 1º e 2º graus. 
Esta prova possui questões dissertativas com 
alto grau de dificuldade. Portanto, devemos 
somar os conteúdos deste livro com os 
próximos para resolver os exercícios.
Potenciação e radiciação, são cobrados em 
questões de variações de grandezas físicas. 
Teoria dos conjuntos é cobrada com descrição 
no enunciado. Equações são assuntos básicos 
que necessitam de outros tópicos para que 
tenham uma aplicação.
Dentro dos temas abordados neste livro, o 
equacionamentos do 1º e 2º graus possuem 
maior incidência nesse vestibular.
Esta prova exigirá de seu candidato alta habi-
lidade em potenciação. A leitura de um texto 
aliada a um raciocínio lógico-matemático será 
fundamental para resolver problemas clássicos 
de equações do 1º grau.
A PUC-Camp exige do candidato uma firme 
análise das propriedades básicas de potencia-
ção e radiciação, quando explora questões de 
exponenciais e logaritmos.
O vestibular da Santa Casa aborda as proprie-
dades de potenciação e radiciação, dentro dos 
exercícios de Exatas. Realizar equacionamen-
tos do 1º ou 2º graus é imprescindível nas 
questões objetivas.
O Enem exigirá dos candidatos conceitos 
básicos de potenciação e radiciação. Encon-
traremos também situações problemas que 
precisam de equações do 1º e 2º graus para 
serem resolvidas.
Potenciação e radiciação, por serem assuntos 
básicos, dificilmente serão cobrados. Já para 
equações do 1º e 2º grau, podemos encontrar 
alguma questão, na primeira fase, exigindo uma 
leitura mais atenta.
Tanto no exame de qualificação, quanto 
no exame discursivo, ocorrem questões de 
equações do 1º e 2º graus. Conceitos de 
potenciação e radiciação estarão, em grande 
parte, das questões de Exatas.
O processo seletivo da Unigranrio possui 
questões mais diretas, diferentemente do 
Enem. Assim, a álgebra possui grande inci-
dência nessa prova e o candidato deve estar 
muito bem esclarecido em relação a todos 
os temas.
O processo seletivo para Medicina da Souza 
Marques possui questões contextualizadas, 
e os conteúdos abordados neste livro são 
essenciais para suas resoluções.
Esse vestibular exige pontos específicos do 
candidato, pois possui uma quantidade menor 
de questões. Assim, a resolução de equações 
do 1º e 2º graus e os outros temas abordados 
neste livro são fundamentais.
A UFPR possui um vestibular com questões 
dissertativas e objetivas, com alto grau de 
dificuldade. O candidato deve resolver com 
proeza questões de equação do 1º grau.
Apresenta questões bem elaboradas, que 
alinham os conteúdos deste livro com os 
próximos e outras áreas de Exatas.
6
 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
COMPETÊNCIAS: 1 e 2 HABILIDADES: 1, 3, 4, 7, 10 e 11
AULAS 
1 E 2
1. POTENCIAÇÃO Cálculo do valor de ( 
2 __ 
3
 ) 3, no qual a base é um núme-
ro racional:
 ( 2 __ 3 ) 
3
 = ( 2 __ 3 ) ∙ ( 2 __ 3 ) ∙ ( 2 __ 3 ) = 8 ___ 27 
No caso em que n < 2, definimos:
 b0 = 1, para b ≠ 0;
 b1 = b
Algebricamente, sendo x ℝ, a potenciação pode ser es-
crita da seguinte forma:
x = x¹ x ∙ x = x² x ∙ x ∙ x = x³
1.2. Potenciação com 
expoente inteiro negativo
Dada uma base b real não nula e um expoente n ℤ, 
define-se:
b–n = 1 __ 
bn
 
Assim, quando o expoente for um número inteiro negativo, 
pode-se inverter a base a fim de tornar o expoente positivo 
e efetuar as operações como foi visto anteriormente.
Modelo
 3–2 = 1 __ 
32
 = 1 __ 
9
 
 ( 2 __ 5 ) 
–2
 = 1 ____ 
 ( 2 __ 5 ) 
2 = 
1 ___ 
 4 ___ 
25
 
 = 25 ___ 
4
 
 10–2 = 1 ___ 
102
 = 1 ___ 
100
 = 0,01
 x–1 = 1 __ x , sendo x ℝ e não nulo
1.3. Potenciação com 
expoente racional
Dado um número real a e um número racional m __ n , sendo m 
ℤ e n ℤ* (n ≠ 0), definimos a potenciação de base a 
e expoente m __ n da seguinte forma:
a = n dXXX am 
multimídia: vídeo
Introdução à potenciação
FONTE: YOUTUBE
1.1. Potenciação com expoente natural
Representa-se por bn, sendo b (denominado base) um 
número real, e n (denominado expoente) um número 
natural maior que 2, o produto de n fatores iguais a b, o 
seguinte produto:
bn = b ∙ b ∙ b ∙ ... ∙ b
n fatores
Modelo
 Cálculo do valor de 25, no quala base é um núme-
ro natural:
25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32
 Cálculo do valor de (–3)³, no qual a base é um número 
inteiro negativo:
(–3)³ = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = –27
(–3)4 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = 81
 Atenção: Observe que, se a base for um número real ne-
gativo, e o expoente for um número natural ímpar, o re-
sultado será negativo; no entanto, se o expoente for um 
número natural par, o resultado será positivo.
7
Como podemos ver, quando temos um expoente racional 
na forma da fração m __ n , podemos reescrever a potência 
como uma raiz n-ésima de am. Definiremos as pro-
priedades das raízes n-ésimas aritméticas no próxi-
mo capítulo.
1.4. Propriedades
De modo geral, sendo a e b números reais, e m e n núme-
ros inteiros, valem as seguintes propriedades:
Produto de potências de mesma base
Quando se tem o produto entre duas potências de mesma 
base, somam-se os expoentes e conserva-se a base:
P1: a
m ∙ an = am+n
 23 ∙ 25 = 23+5 = 28
 ( 1 __ 2 ) 
5
 ∙ 23 = 2–5 ∙ 23 = 2–5+3 = 2–2 = 1 __ 
22
 = 1 __ 
4
 
 16 ∙ 32 = 24 ∙ 25 = 24+5 = 29
 x2 · ( 1 __ x ) = x2 ∙ x–1 = x1 = x
Quociente de potências de mesma base
Quando se tem o quociente entre duas potências de mes-
ma base, subtraem-se os expoentes e conserva-se a base:
P2: 
am __ an = a
m–n, se a ≠ 0 e m n
 5
7
 __ 
53
 = 57–3 = 54
 ( 1 __ 3 ) 9 : ( 1 __ 3 ) 5 = ( 1 __ 3 ) 9–5 = ( 1 __ 3 ) 4
 x
7
 __ 
x3
 = x4
Potência de um produto
A potência de um produto pode ser escrita como um pro-
duto de potências:
P3: (a ∙ b)
m = am ∙ bm
 (2 ∙ 5)³ = 2³ ∙ 5³ = 8 ∙ 125 = 1 000
 (x ∙ y)² = x² ∙ y²
Potência de um quociente
A potência de um quociente pode ser escrita como um quo-
ciente de potências:
P4: ( a __ b ) 
m
 = a
m
 __ 
bm
 , se b ≠ 0
 ( 2 __ 3 ) 
2 
=
 
 2
2
 __ 
32
 = 4 __ 
9
 
 ( x __ yz ) 3 = x
3
 ____ 
(yz)3
 = x
3
 ___ 
y3z3
 
Potência de uma potência
Quando se tem uma potência em que sua base apresen-
ta outra potência, mantém-se a base e multiplicam-se 
os expoentes:
P5: (a
m)n = am ∙ n
 (52)3 = 52 ∙ 3 = 56
 (2 ∙ 32)4 = 24 ∙ (32)4 = 24 ∙ 32 ∙ 4 = 24 ∙ 38
 (x2 ∙ y5)3 = (x2)3 ∙ (y5)3 = x2 ∙ 3 · y5 ∙ 3 = x6 ∙ y15
Atenção: Observe que (am)n ≠ amn. No caso de (am)n, a base 
do expoente n é am, e, no caso de amn, a base do expoente n 
é m, e mn é o expoente da base a. Veja um exemplo:
(2²)³ = (2²) ∙ (2²) ∙ (2²) = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64
22³ = 22 ∙ 2 ∙ 2 = 28 = 256
Note, também, que, devido à propriedade comutativa da 
multiplicação, resulta que (am)n = (an)m.
1.4.1. Resumo das propriedades
Sendo a e b números reais, e m e n números inteiros, 
segue que:
 P1: a
m ∙ an = am+n
 P2: 
am __ an = a
m – n, se a ≠ 0 e m ≥ n
 P3: (a ∙ b)
m = am ∙ bm
 P4: ( a __ b ) 
m
 = a
m
 __ bm , se b ≠ 0
 P5: (a
m)n = am ∙ n
1.5. Número na forma de potência
Nas expressões numéricas em que é possível escrever to-
das as potências com uma base comum, é possível utilizar 
as propriedades de potenciação descritas. Observe alguns 
exemplos utilizando a base 2:
 1 = 20
 2 = 2¹
 4 = 2²
 8 = 2³
 16 = 24
 1/2 = 2–1
 1/4 = 2–2
 1/8 = 2–3
 1/16 = 2–4
 √
__
 2 = 21/2
 √
__
 4 = 22/2 = 2
 √
__
 8 = 23/2
 √
___
 16 = 24/2 = 22
8
Também é possível escrever alguns números racionais na 
forma de uma potência com base inteira:
 0,5 = 5 ___ 
10
 = 1 __ 
2
 = 2–1
 0,25 = 25 ___ 
100
 = 1 __ 
4
 = 2–2
 0,125 = 125 ____ 
1000
 = 1 __ 
8
 = 2–3
Veja como se pode simplificar o cálculo de uma expressão 
numérica envolvendo potências de mesma base:
[ 4 ∙ ( 1 __ 8 ) 
–2
 ∙ 163 ] –1
 _____________ 
0,58 ∙ ( 1 ___ 32 ) 
2 
Escrevendo cada fator como uma potência de base 2, 
segue que:
 
[ (22) ∙ (2–3)–2 ∙ (24)3 ] –1
 ________________ 
(2–1)8 ∙ (2–5)2
 
Utilizando, agora, as propriedades da potenciação, pode-se 
realizar as simplificações:
 (2
2 ∙ 26 ∙ 212)–1 ___________ 
2–8 ∙ 2–10
 = (2
2+6+12)–1 _______ 
2–8+(–10)
 = (2
20)–1 _____ 
2–18
 
= 2–20–(–18) = 2–2 = 1 __ 
4
 
1.6. Potências e notação científica
Como foi visto, potências do tipo bn podem ser utilizadas 
para simplificar um produto de n termos iguais a b. Quan-
do se trata de grandezas muito grandes ou muito peque-
nas, pode-se utilizar potências de base 10 para representar 
esses números. Esse tipo de representação é denominada 
notação científica.
Observe a fórmula da notação científica:
m ∙ 10e
na qual m é denominado mantissa, um número racional 
maior que 1 e menor que 10, enquanto que e é denomi-
nado a ordem de grandeza, expoente da base 10.
Caso deseje escrever o número 2 500 000 (dois milhões 
e quinhentos mil) de forma mais concisa:
2 500 000 = 2,5 ∙ 1 000 000 = 2,5 ∙ 106
Imagine um grande prédio em construção, com todos os seus elementos e estruturas, fundações, vigas e tijolos. 
Fazendo uma analogia com a construção de um prédio, a potenciação e a radiciação são a base para a construção 
dos conhecimentos algébricos.
Você poderá utilizar os conhecimentos aprendidos de potenciação na disciplina de Física, no uso da notação científica, 
e na área de Geografia, mais especificamente na área de cartografia, uma vez que trabalhar com potências facilita a 
mudança de escalas.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
9
2. RADICIAÇÃO
Chama-se radical a raiz enésima de um número real , 
sendo um número maior ou igual a zero, e n um número 
natural maior ou igual a 2.
 n √
__
 , em que [ R+ e n [ N, com 
n ≥ 2, é chamado de radical.
Modelo
 √
___
 16 5 √
__
 2 √
___
 1 ___ 
36
 
O termo radical também é representado pelo símbolo √
__
 0 .
2.1. Propriedades
2.1.1. 1ª propriedade
Observe um radical com índice ímpar:
 3 √
____
 125 = 5 e 125 = 53
 3 √
____
 125 = 3 √
__
 53 = 5
Agora, veja um radical com índice par:
 2 √
____
 121 = 11 e 121 = 112
 2 √
____
 121 = 2 √
___
 112 = 11
De modo geral, vale a igualdade n √
___
 n = , para todo [ 
R+ e n [ N, com n ≥ 2.
Modelos
 √
__
 42 = 4 6 √
__
 76 = 7 8 √
__
 78 = 7
Atenção: Essa propriedade é válida somente para igual 
a zero ou maior que zero.
Caso ocorra, por exemplo, 4 √
____
 (-2)4 , a expressão não equiva-
lerá a – 2, pois 4 √
____
 (-2)4 = 4 √
___
 16 = 2.
Se, porém, o índice for ímpar, a propriedade n √
__
 n = 
continuará válida. Veja:
 3 √
____
 (-1)3 = –1
Dessa forma, para uma expressão com radicais, é preciso 
impor a condição de existência:
 Se o índice for ímpar (n é ímpar), o radicando poderá 
ser qualquer número real: 
n
 √
__
 xn = x, x R
 Se o índice for par (n é par), o radicando deverá ser um 
número real não negativo:
 n √
__
 xn = x, x 0 (condição de existência)
2.1.2. 2ª propriedade
Pode-se representar o número 2 por meio de diferentes radicais:
2 = 5 √
__
 25 
2 = 10 √
___
 210 
Então: 5 √
__
 25 = 10 √
___
 210 
Para obter a igualdade, é possível fazer:
 10 √
___
 210 = 10 : 2 √
____
 210 : 2 = 5 √
__
 25 
De modo geral, segue que n √
___
 m = 
n : p
 √
___
 m:p , para todo [ 
R+ e n [ N, com n ≥ 2, sendo p um número diferente de 
zero e divisor comum de m e n.
Essa propriedade comumente é usada para simplificar al-
guns radicais.
Modelos
 8 √
__
 74 = 8 : 4 √
____
 74 : 4 = 2 √
__
 7 
 10 √
___
 32 = 10 √
__
 25 = 10 : 5 √
____
 25 : 5 = 2 √
__
 2 
2.1.3. 3ª propriedade
Observe as expressões 3 √
_____
 27 ∙ 8 e 3 √
___
 27 · 3 √
__
 8 .
De modo geral, segue que: n √
____
 a ∙ b = n √
__
 a · n √
__
 b , para todo a 
[ R+, b [ R+ e n [ N, com n ≥ 2.
Modelos
 √
_____
 4 ∙ 10 = √
__
 4 ∙ √
___
 10 
 4 √
_______
 1 ___ 
10
 ∙ 100 = 4 √
___
 1 ___ 
10
 ∙ 4 √
____
 100 
2.1.4. 4ª propriedade
Observe as expressões 3 √
___
 27 ___ 
8
 e 
3
 √
___
 27 ____ 
 3 √
__
 8 
 
10
De modo geral, segue que n √
__
 a __ 
b
 = 
n
 √__
 a ___ 
 n √
__
 b 
 , 
para todo a [ R+, b [ R + * e n N, com n ≥ 2.
Modelos
 √
___
 30 ___ 
7
 = √
___
 30 ____ 
 √
__
 7 
 
 3 √
_____
 0,001 = 3 √
______
 1 _____ 
1.000
 = 
3
 √
__
 1 ______ 
 3 √
_____
 1.000 
 = 1 ___ 
10
 
2.2. Potenciação e 
radiciação com radicais
Veja uma potenciação com radicais:
 ( 5 √
__
 2 ) 4 = 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 = 5 √
_________
 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 5 √
__
 24 
De modo geral, para efetuar a potenciação com um ra-
dical, eleva-se o radicando ao expoente dado: ( m √
__
 a ) n = 
m √
__
 an , em que a ≥ 0, m é um número natural maior que 1, 
e n é um número inteiro.
Modelo 1
 ( √
__
 5 ) 3 = √
__
 53 
 ( 2 3 √
__
 3 ) 
5
 = 25 · 3 √
__
 35 = 32 · 3 · 3 dXX 32 = 96 3 dXX 32 
 ( 6 dXXXXX 4 – x ) 2 = 62 · dXXXXXX (4 – x)2 = 36 · (4 – x) = 144 – 36x, 
com x ≤ 4
 ( dXX 5 + 3 ) 2 = ( dXX 5 ) 2 + 2 · dXX 5 · 3 + 32 = 5 + 6 dXX 5 + 9 = 
14 + 6 dXX 5 
Para entender o procedimento da radiciação com radicais, 
compare as expressões:
 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 2 dXX 9 = 3 e 6 dXXXX 729 = 3
Como as duas expressões são iguais a 3, então: 
 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 6 dXXXX 729 = 3
De modo geral, para efetuar a radiciação com radicais, po-
de-se fazer m dXXX n dXX a = m · n dXX a , em que a ≥ 0 e m e n são núme-
ros naturais maiores que 1.
Modelo 2
 3 dXXX dXX 2 = 3 · 2 dXX 2 = 6 dXX 2 
 dXXXXXXX 3 dXXXXX 1.000 _____ 64 = 2 · 3 d
XXXXX
 1.000 _____ 
64
 = 6 dXXXX 103 ___ 26 = 
6
 dXXX 103 ____ 
 6 dXX 26 
 = 
dXXX 10 ____ 
2
 
2.3. Racionalização de 
denominadores
O processo de racionalização do denominador consiste em 
multiplicar a fração dada pelo número 1, escrito como fra-
ção, de modo que o produto nos denominadores seja um 
número racional.
 1 ___ 
 dXX 2 
 = 1 ___ 
 dXX 2 
 · 1 = 1 ___ 
 dXX 2 
 · 
dXX 2 ___ 
 dXX 2 
 = 1 · 
dXX 2 ______ 
 dXX 2 · dXX 2 
 = 
dXX 2 ____ 
 dXX 22 
 = 
dXX 2 ___ 
2
 
Observe que, depois da racionalização, escreve-se de outra 
forma o número dado, agora com denominador racional.
Calcular 
dXX 2 ___ 
2
 é mais simples do que calcular 1 ___ 
 dXX 2 
 .
Acompanhe a racionalização dos denominadores de alguns 
números agrupados nas situações a seguir:
Modelo 1
 Racionalização do denominador de 2 ____ 
3 dXX 8 
 .
 2 ____ 
3 dXX 8 
 = 2 ____ 
3 dXX 8 
 · 
dXX 8 ___ 
 dXX 8 
 = 2 √
__
 8 ____ 
3 ∙ 8
 = √
__
 8 ___ 
12
 
 Racionalização do denominador de 3 ___ 
 4 dXX 3 
 .
 3 ___ 
 4 dXX 3 
 = 3 ___ 
 4 dXX 3 
 · 
4
 dXX 33 ___ 
 4 dXX 33 
 = 3 
4
 dXX 33 ____ 
 4 dXX 34 
 = 3 
4
 dXX 33 ____ 
3
 = 4 dXX 33 
Uma Mente Brilhante
História do matemático John Nash, criador do 
“Equilíbrio de Nash”, uma teoria com aplica-
ção em Economia na área de Teoria de jogos, 
teoria que acabou premiando Nash com o Prê-
mio de Ciências Econômicas em Memória de 
Alfred Nobel.
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
11
Modelo 2
 Racionalização do denominador de 3 ______ 
 dXX 3 + 1
 .
Como nesse denominador há uma adição em que pelo me-
nos uma parcela é um número irracional, utiliza-se o produto 
da soma pela diferença para racionalizar o denominador.
 Racionalização do denominador de 2 _______ 
 dXX 2 + dXX 5 
 .
Nesse denominador, há uma adição de dois números 
irracionais. Para racionalizá-lo, multiplica-se a fração 
por: 
Racionalização do denominador de 
dXX 6 ______ 
4 – dXX 5 
 .
O produto da soma pela diferença de a e b é:
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
2.4. Potência com 
expoente fracionário
O expoente de uma potência pode ser um número em for-
ma de fração.
Observe o exemplo a seguir:
51/2 = ( √
___
 51/2 )2 – 1ª propriedade dos radicais
( √
___
 51/2 )2 = dXXX 51/2 · dXXX 51/2 = dXXXXXX 51/2 + 1/2 – propriedade do 
produto de potências de mesma base
 dXXXXXX 51/2 + 1/2 = dXX 51 = dXX 5 
Portanto: 51/2 = dXX 5 .
Se 51/2 = dXX 5 , então 53/2 = (51/2)3 = ( dXX 5 ) 3 = dXX 53 
Da mesma forma, é possível escrever outras potências de 
expoente fracionário como um radical.
25/3 = 3 dXX 25 
multimídia: sites
https://pt.khanacademy.org/math/pre-alge-
bra/pre-algebra-exponents-radicals
 [ 1 __ 8 ] 
2/3
 = 3 dXXXX [ 1 __ 8 ] 
2
 = 3 √
____
 ( 1 __ 23 ) 
2
 = 3 dXXX 1 __ 26 = 1 __ 4 
(0,3)2/7 = 7 dXXXXX (0,3)2 = 7 √
____
 0,09 
De modo geral, pode-se dizer que am/n = n √
__
 am para todo a 
[ R+, m [ Z e n [ N, com n 2.
 Aplicação do conteúdo
1. Examine as afirmações a seguir: 
I. A subtração ( 2 √
__
 8 – 3 √
__
 2 ) 3 equivale a 2 √
__
 2 .
II. 5 √
__
 8 é maior do que 11 √
__
 2 .
III. (6 √
__
 3 )2 é igual a 108.
As afirmativas corretas são: 
a) I e II apenas.
b) I e III apenas.
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
Resolução: Alternativa B
I. Correta. Desenvolvendo a subtração:
(2 √
__
 8 – 3 √
__
 2 )3 = (2 √
__
 23 – 3 √
__
 2 )3 = 
= (2 √
__
 22 · 2 – 3 √
__
 2 )3 = 
= (2 √
__
 22 · √
__
 2 – 3 √
__
 2 )3 = (4 √
__
 2 – 3 √
__
 2 )3 = 
= ( √
__
 2 ) 3 = 2 √
__
 2 
II. Incorreta. 5 √
__
 8 = 5 √
______
 22 ∙ 2 = 5 √
__
 22 · √
__
 2 = 
= 10 √
__
 2 < 11 √
__
 2 
III. Correta. Teremos:
(6 √
__
 3 )2 = 36 · 3 = 108
2. Analise as seguintes expressões:
I. 3 
√
___
 12 ____ 
2
 = 3 √
__
 2 
12
II. (2 √
__
 3 )
-1
 = 
√
__
 3 ___ 
6
 
III. (24)
 1 __ 2 
 = 2 √
__
 2 
A(s) alternativa(s) verdadeira(s) é(são): 
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
Resolução: Alternativa B
I. Incorreta. 3 
√
___
 12 ____ 
2
 = 3 · 2 · 
√
__
 3 ________ 
2
 = 3 √
__
 3 
II. Correta. (2 √
__
 3 )-1 = 1 ____ 
2 √
__
 3 
 · 
√
__
 3 ___ 
 √
__
 3 
 = 
√
__
 3 ___ 
6
 
III. Incorreta. (24)
 1 __ 2 
 = 2 
4
 
__
 2 = 22 = 4
3. Assinale a alternativa correta:
a) √
__
 4 + √
__
 5 < 3
b) ( √
__
 3 + √
__
 2 )2 = ( √
__
 3 )2 + ( √
__
 2 ) 2 = 3 + 2 = 5
c) 9 ___ 
 √
__
 3 
 = 6 √
__
 3 
d) 4 ______ 
 ( √
__
 5 - 1 ) 
 = √
__
 5 + 1 
e) √
___
 16 = 4 
Resolução: Alternativa D
a) Incorreta, pois √
__
 4 + √
__
 5 > 3
b) Incorreta, pois ( √
__
 3 + √
__
 2 ) 2 =
= ( √
__
 3 ) 2 + 2 √
__
 3 ∙ √
__
 2 + ( √
__
 2 )2 = 5 + 2 √
__
 6 .
c) Incorreta, pois 9 ___ 
 √
__
 3 
 = 9 ___ 
 √
__
 3 
 ∙ 
√
__
 3 ___ 
 √
__
 3 
 = 9 
√
__
 3 ____ 
3
 = 3 √
__
 3 .
d) Correta, pois 4 ______ 
 ( √
__
 5 – 1 ) 
 · 
√
__
 5 + 1 ______ 
 √
__
 5 + 1
 = √
__
 5 + 1 .
e) Incorreta, pois √
___
 16 = 4.
4. Analisando os números reais,
x = √
___
 2,7... 
y = [ √
____
 0,25 + (163/4)-1 ] -1
z = 3 √
____
 (23)2 – √
________
 3 √
__
 56 · ( 5 __ 6 ) 
-2
 
é FALSO afirmar que:
a) z _ y < – 
3 __ 
2
 
b) x – y < 1 __ 
5
 
c) x + z < 0
d) x + y + z ( ℝ – ℚ)
Resolução: Alternativa A
x = √
___
 2,7... = √
_____
 2 + 7 __ 
9
 = √
___
 25 ___ 
9
 = 5 __ 
3
 
y = [ √____ 0,25 + ( 4 √___ 163 ) -1 ] 
-1
 
 y = ( √
__
 1 __ 
4
 + 4 √
_____
 ( 1 ___ 16 ) 
3
 ) 
-1
 y = ( 1 __ 2 + 1 __ 8 ) 
-1 
 y= ( 5 __ 8 ) 
-1
 y = 8 __ 
5
 
z = 3 √
____
 (23)2 – √
________
 3 √
__
 56 ∙ ( 5 __ 6 ) 
-2
 26/3
 
 – √
________
 56/3 ∙ ( 6 __ 5 ) 
2
 
 22 – √
_____
 52 · 36 ___ 
25
 = 4 – 6 = –2
a) Falso. 
 z __ y < – 
3 __ 
2
 2 __ 
 8 __ 
5
 
 = –2 · 5 __ 
8
 = – 5 __ 
4
 e – 5 __ 
4
 > – 3 __ 
2
 .
b) Verdadeiro. 
x – y < 1 __ 
55 __ 
3
 – 8 __ 
5
 < 1 __ 
5 
 1 ___ 
15
 < 1 __ 
5
 . 
c) Verdadeiro. 
x + z < 0 5 __ 
3
 – 2 < 0 -- 1 __ 
3
 < 0. 
d) Verdadeiro. 
x + y + z (ℝ – ℚ), pois a soma de três números 
racionais será sempre um número racional. 
5. O valor da expressão √
___
 50 – √
___
 18 + √
___
 98 é: 
a) √
____
 130 
b) –5 √
__
 2 
c) 9 √
__
 2 
d) 5 √
___
 13 
e) 15 √
__
 2 
Resolução: Alternativa B
 √
___
 50 – √
___
 18 – √
___
 98 
= 5 √
__
 2 – 3 √
__
 2 – 7 √
__
 2 = 
= –5 √
__
 2 
13
DIAGRAMA DE IDEIAS
POTENCIAÇÃO
RADICIAÇÃO
EXPOENTE
(QUANTIDADE DE VEZES 
QUE A BASE É MULTIPLI-
CADA POR ELA MESMA)
BASE
(NÚMERO A SER 
MULTIPLICADO)
OPERAÇÃO INVERSA 
DA POTENCIAÇÃO
a a• a• a• a•... •an
n VEZES
(BASE)
(RADICANDO)
(EXPOENTE)
(ÍNDICE)
RAIZ VEM DO 
LATIM RADIX, QUE
QUER DIZER LADO.
QUANDO DIZEMOS 
RAIZ QUADRADA
DE 9, ESTAMOS 
PENSANDO EM:
“QUAL É O LADO 
DO QUADRADO
DE ÁREA 9?”
an
9=3 9 3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
14
1. EQUAÇÕES
A primeira referência conhecida que trata das equações 
está relacionada ao chamado Papiro de Rhind (também 
conhecido como Papiro de Ahmes), um dos documentos 
egípcios mais antigos sobre Matemática, escrito no ano de 
1650 a.C..
A álgebra começa a ser pesquisada a partir do século XI, 
com a obra de al-Khwarizmi (738-850 d.C), que trata do 
estudo das equações com uma ou mais incógnitas em 
uma resolução de problema. Em sua interpretação, quan-
do é possível representar em linguagem simbólica, na for-
ma de uma equação, o resultado é a equação como uma 
consequência da situação-problema. Al-Khwarizmi, um 
dos maiores matemáticos árabes, resolvia as equações 
de um modo semelhante ao atual: tudo, até mesmo os 
números, era representado por palavras. O livro Al-jabr 
wa’l mugãbalah trazia explicações minuciosas sobre a re-
solução de equações.
Diofante, por sua vez, foi um matemático grego que viveu 
no século III. Ele se dedicou à álgebra e aplicou a ideia de 
representar um número desconhecido por uma letra; as-
sim, influenciou decisivamente outros matemáticos.
A equação de 1.º grau é definida como “uma sentença 
aberta que exprime uma igualdade entre duas expres-
sões numéricas”.
A palavra “equação” deriva do latim equatione, que significa 
“equacionar”, “igualar”. As expressões numéricas, separa-
das pelo sinal de igualdade, chamam-se “membros”; cada 
membro é composto por “termos”; e esses termos, que mul-
tiplicam as letras, chamam-se “coeficientes de termo”.
Observe a seguinte igualdade:
1 + x = 3
Essa igualdade leva o nome de sentença matemática 
aberta ou equação, pois pode ser verdadeira ou falsa, de-
pendendo do valor atribuído à variável x. Nesse caso, se o 
valor de x for 3, a sentença será falsa. Por outro lado, se o 
valor atribuído for 2, a sentença será verdadeira. Como x = 
2 torna a sentença verdadeira, afirma-se que o número 2 é 
a raiz da equação. 
O conjunto dos valores que tornam uma equação verdadei-
ra é chamado de conjunto solução. No exemplo dado, o 
conjunto solução S é:
S = {2}
multimídia: sites
https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-
-math/cc-6th-equations-and-inequalities
Modelos
1. 2x + 4 = 6, para x [ R
O único valor real que torna a equação verdadeira é x = 1, 
logo S = {1}.
2. x² = 4, para x [ R
Os valores reais que tornam a equação verdadeira são 
x = 2 ou x = –2, logo S = {–2, 2}.
3. 0x + 1 = 1, para x [ R
Nesse caso, nota-se que independentemente do valor de x, 
a equação é verdadeira, logo S = R.
4. x² = –1, para x [ R
Nesse caso, nota-se que não há valor real de x que torne a 
equação verdadeira, logo S = Ø.
Para descobrir os valores que compõem o conjunto solu-
ção, é possível manipular a equação utilizando algumas 
propriedades com o intuito de isolar a variável (incógnita) 
em um dos membros da equação.
 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
E PROBLEMAS CLÁSSICOS
COMPETÊNCIA: 5 HABILIDADES: 19, 21, 22 e 23
AULAS 
3 E 4
15
P1: Se somarmos ou subtraírmos um mesmo número 
de ambos os membros de uma igualdade, esta per-
manecerá verdadeira.
Modelos
1. x – 4 = 10
x – 4 + 4 = 10 + 4
x = 14
Logo, S = {14}
2. 3 + x = 1
3 + x – 3 = 1 – 3
x = –2
Logo, S = {–2}
A equação do primeiro grau é a mais simples das equações estudadas no Ensino Médio, mas não é me-
nos importante do que as outras. As famosas fórmulas da disciplina de física, como Q m · c · , 
que equaciona a quantidade de calor, e a equação horária do movimento retilíneo uniforme, 
s = S0 + vt, são equações do primeiro grau. Aprender a manipular as equações do primeiro grau fará com que 
você aumente seus horizontes tanto em matemática quanto em física.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
P2: Se multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo 
número ambos os membros de uma igualdade, esta 
permanecerá verdadeira.
Modelos:
1. x __ 
4
 = 6
 x __ 
4
 · 4 = 6 · 4
x = 24
Logo S = {24}
2. –2x = 6
 –2x ___ 
–2
 = 6 ___ 
–2
 
x = –3
Logo, S = {–3}
2. EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU
Uma equação do primeiro grau pode ser representada na 
forma ax + b = 0, com a i 0, a partir de manipulações 
algébricas descritas anteriormente. Uma vez escritas nessa 
forma, é possível encontrar facilmente o conjunto solução 
subtraindo o termo independente b de ambos os membros 
e, em seguida, dividindo-os por a.
Em uma equação de primeiro grau, ocorrem apenas ope-
rações de soma, subtração, multiplicação e divisão. Assim, 
é possível reduzir uma equação de primeiro grau à forma 
ax + b = 0, realizando apenas essas quatro operações.
Observe alguns exemplos de como manipular as equações 
com o intuito de isolar a incógnita:
1. 5(x – 3) = –2(x – 1)
Deve-se aplicar a propriedade distributiva, com o objetivo 
de eliminar os parênteses, respeitando a regra de sinais:
5x – 15 = –2x + 2
Somando 2x em ambos os membros para isolar a incógnita:
5x – 15 + 2x = –2x + 2 + 2x ä 7x – 15 = 2
Somando 15 em ambos os membros e finalmente 
dividindo por 7:
7x – 15 + 15 = 2 + 15 ä 7x = 17
 7x __ 
7
 = 17 ___ 
7
 à x = 17 ___ 
7
 
Logo, S = { 17 ___ 7 } 
16
2. x __ 
4
 = 5 __ 
2
 
Para cancelar o denominador 4 da fração x __ 
4
 , ambos os 
membros devem ser multiplicados por 4:
 x __ 
4
 · 4 = 5 __ 
2
 · 4
x = 20 ___ 
2
 = 10
Logo, S = {10}
3. x ___ 
–4
 = 3 __ 
2
 
De modo semelhante ao exemplo anterior, ambos os 
membros da igualdade devem ser multiplicados por –4:
 x ___ 
–4
 · (–4) = 3 __ 
2
 · (–4)
x = –12 ____ 
2
 = –6
Logo, S = {–6}.
Outra maneira de resolver equações desse tipo é realizan-
do o produto cruzado:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 à a · d = b · c
 x ___ 
–4
 = 3 __ 
2
 à 2x = 3(–4)
2x = –12 à x = –12 ____ 
2
 = –6
4. x + 2 _____ 
6
 = 5 __ 
3
 
Realizando o produto cruzado, temos:
3(x + 2) = 6 · 5 à 3x + 6 = 30
3x = 30 – 6
3x = 24
x = 24 ___ 
3
 = 8
Logo, S = {8}.
5. 12 – x ______ 
3
 + 1 = x __ 
2
 
Em somas ou subtrações de frações, primeiramente é pre-
ciso encontrar o mínimo múltiplo comum entre os deno-
minadores. Assim, todos os denominadores são reduzidos 
a um denominador comum, permitindo, então, cancelá-lo:
mmc(1,2,3) = 6
 2 · (12 – x) + 6 · 1 ______________ 
6
 = 3 · x ____ 
6
 
Multiplicando ambos os membros por 6, os denominado-
res são cancelados. Efetuando as operações no restante da 
igualdade, temos:
24 – 2x + 6 = 3x à 30 = 3x + 2x 30 = 5x
x = 30 ___ 
5
 = 6
Logo, S = {6}
2.1. Resolvendo sistemas de duas 
equações de primeiro grau
Em problemas envolvendo equações de primeiro grau, é 
possível ter mais de uma incógnita a ser calculada. Nes-
se caso, deve-se ter também mais de uma equação. Um 
conjunto de equações determina um sistema de equa-
ções. Existem principalmente dois métodos para resolver 
tais sistemas: o método da substituição e o método 
da adição.
2.1.1. Método da substituição
Esse método consiste em obter, a partir de uma das equa-
ções, uma incógnita em funçãodas demais. Depois, subs-
titui-se esse resultado nas outras equações. Observe um 
exemplo:
Considere as seguintes equações:
Primeiramente, escolhe-se uma das equações e isola-se 
qualquer uma das incógnitas. Por exemplo, a incógnita x 
na equação (I) é isolada:
(I) x + 3y = 11 ä x = 11 – 3y
Em seguida, o valor encontrado para x na equação é subs-
tituído (II):
(II) 2x + y = 7
2(11 – 3y) + y = 7
22 – 6y + y = 7
–5y = –15
y = –15 ____ 
–5
 = 3
Logo, y = 3.
Com esse resultado, é possível substituir o valor de y em 
quaisquer das equações. Utilizamos a equação (I):
(I) x + 3y = 11
x + 3(3) = 11
x + 9 = 11
x = 2
Assim, a solução do sistema de equações é x = 2 e y = 3.
17
2.1.2. Método da adição
Esse método consiste em igualar os coeficientes de uma 
das incógnitas em ambas as equações de modo que, ao so-
má-las, esses coeficientes se anulem, diminuindo a quanti-
dade de incógnitas. Veja o exemplo:
Considere o mesmo sistema de equações do exemplo 
anterior:
Nos restaurantes por quilo, ou self-service, ocorre um exemplo de aplicação de uma equação de primeiro grau. Três 
informações são indicadas no leitor da balança: 1) o peso da comida; 2) o valor por quilo da comida; 3) o valor a 
ser pago. Com duas das três informações, é possível verificar a terceira informação desconhecida por meio de uma 
equação do primeiro grau: 
Peso da comida = x gramas
Valor do kg da comida = R$ 30,00 / kg
Valor a ser pago: R$ 12,00
Valor a ser pago = Peso da comida multiplicado pelo valor do quilo da comida
R$12,00 = x kg ∙ 30 R$/kg
12 = x ∙ 30 
x = 12 ___ 
30
 
x = 0,4 kg ou 400 g
VIVENCIANDO
The Story of Maths
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
Se multiplicarmos a equação (I) por –2, obteremos o se-
guinte sistema:
Somando a equação (I) e (II), temos:
Observe que a escolha do fator –2 para multiplicar a equa-
ção teve como finalidade igualar o valor absoluto dos co-
eficientes da incógnita x nas duas as equações.
Agora, a partir do valor de y, basta substituir em quaisquer 
das equações. Em (I), temos:
(I) x + 3y = 11
x + 3(3) = 11
x + 9 = 11
x = 2
Assim, a solução do sistema de equações é x = 2 e y = 3.
18
 Aplicação do conteúdo
A resolução de um problema matemático consiste em trans-
formá-lo em linguagem matemática, como uma equação, 
utilizando os dados fornecidos para chegar a uma conclu-
são, com base no pedido no enunciado. Por meio de alguns 
exemplos, será demonstrado como problemas envolvendo 
equações de primeiro grau são enunciados:
1. Dado um número x, a soma do dobro desse número 
com 6 equivale à diferença entre o triplo desse número 
e 4. Qual é esse número?
Resolução:
 “soma do dobro desse número com 6”: 2x + 6
 “diferença entre o triplo desse número e 4”: 3x – 4
Logo:
2x + 6 = 3x – 4
6 + 4 = 3x – 2x
10 = x
Portanto, o número pedido é 10.
2. Um executivo distribui seus rendimentos mensais da 
seguinte maneira: 1 __ 
8
 para o plano de saúde, 1 __ 
4
 para a 
poupança, 1 __ 
6
 para a alimentação e a moradia e os R$ 
6.600,00 restantes para o lazer. Quanto o executivo 
poupa a cada mês?
Resolução:
Quando o problema menciona “ 1 __ 
8
 para o plano de saúde”, 
entende-se que ele destina 1 __ 
8
 do valor total que recebe 
para o plano de saúde. Como o valor que ele recebe ao 
todo não é conhecido, ele é denominado x. Assim, é possível 
escrever que, para o pagamento do plano de saúde, ele 
destina 1 __ 
8
 de x, ou seja, 1 __ 
8
 ∙ x = x __ 
8
 .
Assim, se todos os valores que ele destina a cada atividade 
forem somados, teremos o valor total de x:
 x __ 
8
 + x __ 
4
 + x __ 
6
 + 6 600 = x
mmc(4,6,8) = 24
13x + 158 400 = 24x 
158 400 = 24x – 13x 
158 400 = 11x
x = 158 400 _______ 
11
 = 14 400
Dessa forma, como o o valor total recebido mensalmente 
pelo executivo foi denominado x, segue que o valor P des-
tinado à poupança corresponde a 1 __ 
4
 de x:
P = 1 __ 
4
 x = x __ 
4
 = 14.400 ______ 
4
 = 3 600
3. Em uma chácara, há galinhas e vacas, totalizando 14 
cabeças e 38 pés. Calcule o número de galinhas.
Resolução:
Sendo x o número de galinhas e y o número de vacas, 
e considerando que cada vaca e cada galinha possuem 
uma cabeça, cada galinha possui dois pés, e cada vaca, 
quatro. Temos:
Como o objetivo é obter o número de galinhas (x), pelo 
método da adição é possível eliminar a outra incógnita (y). 
Assim, a equação (I) deve ser multiplicada por –4, e ambas 
as equações devem ser somadas:
Multiplicando ambos os lados da equação por –1, temos:
–2x = –18 à 2x = 18 x = 9
Portanto, nessa chácara há 9 galinhas.
4. Em uma escola de música, o salário mensal de um pro-
fessor é de R$ 800,00. Além disso, ele ganha R$ 20,00 por 
mês por cada aluno inscrito em suas aulas. Para receber 
R$ 2.400,00 por mês, quantos alunos devem estar matri-
culados em suas aulas?
Resolução:
Considerando x a quantidade de alunos matriculados e 
multiplicando o valor recebido por cada aluno matricula-
do (R$ 20,00) pela quantidade de alunos matriculados, 
obtém-se o valor recebido pelo professor por cada aluno 
inscrito em suas aulas.
Somando ao valor fixo de R$ 800,00, chega-se ao salário 
final do professor. Como ele deve receber mensalmente R$ 
2.400,00, temos a seguinte equação:
20 · x + 800 = 2 400
19
Resolvendo a equação:
20 · x = 2 400 – 800
20 · x = 1 600
x = 1.600 _____ 
20
 = 80
Assim, deve haver 80 alunos matriculados.
3. PROBLEMAS CLÁSSICOS
Alguns problemas são comuns no vestibular, e não há fór-
mula para resolvê-los. No entanto, analisando a resolução 
de alguns deles, é possível utilizar os mesmos métodos 
para problemas semelhantes. Observe os exemplos:
 Uma torneira enche um tanque em 16 horas, e outra, 
em 12 horas. Estando o tanque vazio e abrindo simul-
taneamente as duas torneiras, em quanto tempo en-
cherão o tanque?
 Um trabalhador em uma fazenda consegue arar todo 
o campo em 16 horas. Um outro trabalhador consegue 
arar o mesmo campo em 12 horas. Em quanto tempo 
os dois trabalhadores conseguem arar um campo idên-
tico trabalhando ao mesmo tempo?
Note que os dois problemas, apesar de tratarem de temas 
distintos, possuem semelhanças. Com efeito, a resolução 
de ambos é idêntica. Assim, se soubermos resolver um de-
les, também saberemos resolver o outro. 
Devido a essa similaridade entre questões, serão apresenta-
dos alguns problemas e suas resoluções para que os méto-
dos de resolução possam ser aplicados em outras situações 
que podem aparecer no vestibular.
3.1. O problema das torneiras
Uma torneira enche um tanque em 16 horas, e outra, em 12 
horas. Estando o tanque vazio e abrindo simultaneamente as 
duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque?
Análise
Nessa situação-problema, não é possível aplicar a regra de 
três, uma vez que as capacidades de trabalho das torneiras 
são diferentes. O caminho, nesse caso, é identificar as fra-
ções do trabalho que as respectivas torneiras realizam em 
uma unidade de tempo. Assim, é preciso verificar a parte 
do tanque que cada torneira enche em 1 hora.
 Se a primeira torneira enche o tanque todo em 16 
horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 
16
 do tanque.
 Se a segunda torneira enche o tanque todo em 12 
horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 
12
 do tanque.
Solução
Sendo x horas o tempo que as duas torneira gasta-
rão para encher o tanque juntas, em uma hora elas 
encherão do tanque.
Assim, 
Veja: 6 __ 
7
 h = 6 __ 
7
 · 60 min = 360 ___ 
7
 min = 51 3 __ 
7
 min
Resposta: 6 6 __ 
7
 horas ou 6 horas e 51 3 __ 
7
 minutos.
3.2. O problema das lojas
Juliana foi ao shopping center e entrou em 5 lojas. Em cada 
uma, gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha 
ao entrar. Ao sair do shopping center, pagou R$ 3,00 de 
estacionamento e ficou com R$ 2,00. Quanto Juliana tinha 
antes de entrar na primeira loja?
Solução algébrica
Sendo x reais a quantia inicial de Juliana, tem-se:
Loja
Entrou 
com...
Gastou Saiucom...
1 x x __ 2 + 1 
x __ 
2
 – 1
2 x – 2 ____ 2 
x – 2 ____ 
4
 + 1 x – 2 ____ 
4
 – 1
3 x – 6 ____ 4 
x – 6 ____ 
8
 + 1 x – 6 ____ 
8
 – 1
4 x – 14 _____ 8 
x – 14 _____ 
16
 + 1 x – 14 _____ 
16
 – 1
5 x – 30 _____ 16 
x – 30 _____ 
32
 + 1 x – 30 _____ 
32
 – 1
Depois de pagar R$ 3,00 de estacionamento, resulta que:
 x – 30 _____ 
32
 – 1 – 3 = 2 x – 30 _____ 
32
 = 6 x = 222
Solução aritmética
Observando a situação-problema do fim ao começo, tem-se:
54
Resposta: Juliana tinha no início R$ 222,00.
20
3.3. O problema das idades
Eric diz a Douglas: “Hoje eu tenho o dobro da idade que 
tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu 
tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades 
será 90 anos”. Descubra a idade atual de cada um.
Análise
Uma bom auxílio para resolver os problemas de idade é 
construir uma tabela contendo as idades dos personagens 
envolvidos, no presente e /ou no passado e/ou no futuro e, 
em seguida, montar equações considerando que a diferença 
entre idades não muda: “Se, quando Douglas nasceu, Eric 
tinha x anos, Eric sempre será x anos mais velho do que Ma-
theus no presente, no passado ou no futuro”.
Solução
Considerando os dados do problema, é possível construir 
a seguinte tabela.
Passado Presente Futuro
Eric y 2x 90 – 2x
Douglas x y 2x
Acompanhe passo a passo a construção da tabela:
1. Eric disse: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas 
[...]”. Daí, Eric, no presente, tem 2x anos, e Douglas, x anos, 
no passado.
2. Eric disse: “[...] quando eu tinha a idade que tu tem”.
Então, Eric tinha y anos no passado (quando Douglas tinha 
x anos), sendo y anos também a idade de Douglas hoje, 
no presente.
3. Eric disse: “Quando tu tiveres a idade que eu tenho [...]”. 
Então, no futuro, a idade de Douglas será 2x (a mesma de 
Eric no presente).
4. Eric disse: “[...] a soma das nossas idades será 90 anos”. 
Então, como no futuro a idade de Douglas será 2x, a de 
Eric será o que está faltando para completar os 90 anos, ou 
seja, a idade de Eric será (90 – 2x) anos.
Considerando que, em qualquer tempo, a diferença entre 
as idades será sempre a mesma:
I. y – x = 2x – y 2y = 3x
Aqui, recorre-se ao artifício do problema da proporção para 
evitar as frações.
2y = 3x = 6k 
x = 2k
y = 3k
II. y – x = (90 – 2x) – 2x y + 3x = 90 
 3k + 6k = 90 k = 10 
 
x = 20
y = 30
Logo, hoje Eric tem 2x = 40 anos, e Douglas, y = 30 anos.
3.4. O problema dos tratores
Para arar um campo, o primeiro trator gasta 2 horas a 
menos do que o terceiro e uma hora a mais do que o 
segundo. Se o primeiro e o segundo tratores trabalha-
rem juntos, a operação pode ser feita em 1 hora e 12 
minutos. Quanto tempo gastariam os 3 tratores, juntos, 
para arar um campo idêntico?
Análise
Se, para efetuar um trabalho, gastam-se 3 horas, em uma 
hora faz-se 1 __ 
3
 desse trabalho. Assim, se, para efetuar um 
trabalho, gastam-se x horas, em uma hora faz-se 1 __ x des-
se trabalho.
Solução
Se o terceiro trator gasta sozinho x horas, temos:
1. Tempo gasto pelo primeiro trator = (x – 2) horas
2. Tempo gasto pelo segundo trator = tempo gasto pelo 
primeiro trator, menos 1 hora = (x – 3) horas.
Observe: Se o primeiro trator gasta uma hora a mais do 
que o segundo, então o segundo gasta uma hora a menos 
do que o primeiro.
3. 1h e 12 minutos = ( 1 + 12 ___ 60 ) h = 6 __ 5 h
4. Em uma hora de trabalho, o primeiro trator realiza 1 ____ 
x – 2
 
do serviço, o segundo faz 1 ____ 
x – 3
 , e os dois, juntos, fazem 
 1 __ 
 6 __ 
5
 
 = 5 __ 
6
 . Assim:
5x2 – 37x + 60 = 0 
 x = 5 ou x = 2,4 (não convém)
Dessa forma, o primeiro, o segundo e o terceiro tratores gas-
tam, respectivamente, x – 2 = 3h, x – 3 = 2h e x = 5h. En-
tão, se os três gastarem y horas para fazer o serviço juntos, 
em uma hora eles farão:
 1 __ y = 
1 __ 
2
 + 1 __ 
3
 + 1 __ 
5
 = 31 ___ 
30
 
Resposta: 30 ___ 
31
 horas.
21
3.5. O problema da água e do vinho
Um barril contém 30 litros de água, e o outro, 20 litros 
de vinho. Simultaneamente, x litros de cada barril são tro-
cados. Essa operação se repete várias vezes e é possível 
comprovar que a quantidade de vinho em cada barril se 
mantém constante depois da primeira operação. Determi-
ne quantos litros (x) são trocados em cada operação.
Solução
De início, temos:
No 1.º barril: 
água = 30L
vinho = 0
No 2.º barril: 
água = 0
vinho = 20L
Depois da primeira troca, temos:
No 1.º barril: 
água = (30 – x)L
vinho = xL
fração de vinho = x ___ 
30
 
No 2.º barril: 
água = xL
vinho = (20 – x)L
fração de vinho = 20 – x _____ 
20
 
 ( Lembre-se: fração = parte ____ todo ) 
A partir da primeira troca, as quantidades de vinho perma-
necem inalteradas em cada barril. Então, as quantidades 
de vinho trocadas são iguais:
Vinho que sai do 1.º barril = Vinho que sai do 2.º barril. As-
sim, obtemos:
 x ___ 
30
 · x = ( 20 – x _____ 20 ) · x
Uma vez que x é diferente de zero, ficamos com:
 x __ 
3
 = 20 – x _____ 
2
 x = 12
Resposta: 12 litros
DIAGRAMA DE IDEIAS
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
PROBLEMAS 
CLÁSSICOS
 • Das Torneiras
 • Das Lojas
 • Das Idades
 • Da Água e Vinho
 • Dos Tratores
Volume versus tempo
Decréscimos sucessivos
Organização de tabelas: idade versus tempo
Mistura
Execução de trabalho versus tempo
CONHECIMENTOS 
PRÉVIOS:
• OPERAÇÕES BÁSICAS
• FRAÇÕES
• DISTRIBUTIVAS
• X É UMA INCOGNITA
• TODA EQUAÇÃO TEM UM 
CONJUNTO SOLUÇÃO. 
• 2 É A RAIZ QUE TORNA A 
EQUAÇÃO UMA SEN-
TENÇA VERDADEIRA.
1 + x = 3
1º membro
IGUALDADE ENTRE 
OS MEMBROS
2º membro
EXIGE UMA 
LEITURA ATENTA
ORGANIZAÇÃO 
NAS SOLUÇÕES
NÃO POSSUEM UMA 
FÓRMULA PRONTA
22
 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
COMPETÊNCIA: 5 HABILIDADES: 19, 21, 22 e 23
AULAS 
5 E 6
1. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Uma equação de segundo grau pode ser escrita na forma 
ax² + bx + c = 0, com a i 0 e a, b e c parâmetros reais. 
As equações desse tipo podem apresentar até duas solu-
ções distintas, ou seja, podem existir dois valores reais de 
x que satisfaçam a igualdade. É por meio da fórmula de 
Bhaskara que as soluções devem ser encontradas:
Sendo a, b e c os coeficientes de uma equação do tipo ax² 
+ bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções (denominadas 
raízes) x1 e x2 são dadas, então, por:
x1 = 
–b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 e x2 = 
–b – √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 
O termo b2 – 4ac, denominado discriminante, é represen-
tado pela letra grega delta maiúscula (D). O valor numérico 
do discriminante indica a quantidade de raízes reais distin-
tas da equação:
 Se D > 0 (discriminante positivo), a equação possui 
duas raízes reais diferentes.
 Se D = 0 (discriminante nulo), a equação possui ape-
nas uma raiz real.
 Se D < 0 (discriminante negativo), a equação não 
possui raízes reais.
Para solucionar uma equação do segundo grau, é neces-
sário calcular a raiz quadrada do discriminante. Quando 
se tem D < 0, o radical é negativo, e seu resultado para 
números reais não pode ser definido.
Modelos
1. Encontre o conjunto solução da equação.
x² – 5x + 6 = 0
Determinando os parâmetros, segue:
a = 1
b = –5
c = 6
Calcula-se primeiramente o discriminante:
D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 1 · 6 = 1
Como D > 0, a equação apresentará duas raízes reais dis-
tintas: x1 e x2:
x = –b ± 
dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–5) ± 
dXX 1 _________ 
2 · 1
 = 5 ± 1 _____ 
2
 = 
= { x1 = 
5 + 1 _____ 
2
 = 3
 
x2 = 
5 – 1 ____ 
2
 = 2
 
 
 
Logo, o conjunto solução é S = {2, 3}.
2. Encontre o conjunto solução da equação.
25 + x² – 10x = 0
Determinando os parâmetros, segue:
a = 1
b = –10
c = 25
Note que os parâmetros a e b são, respectivamente, os 
coeficientes de x² e x, e c é o termo independente, não 
sendo necessariamente o primeiro, segundo e terceiro 
termos da equação.
Identificando o discriminante:
D = b2 – 4ac = (–10)2– 4 · 1 · 25 = 0
Como D = 0, a equação apresentará apenas uma raiz real.
x = – b ± √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–10) ± 
√
__
 0 __________ 
2(1)
 = 10 ± 0 ______ 
2
 = 5
Logo, o conjunto solução é S = {5}.
3. Encontrar o conjunto solução da equação x² + x + 1 = 0.
Determinando os parâmetros, segue:
a = 1
b = 1
c = 1
23
Calculando o discriminante:
D = b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(1) = –3
Como D < 0, a equação não apresenta raízes reais, portan-
to não é necessário calcular as raízes. 
O conjunto solução é S = Ø.
1.1. Condições para o 
número de raízes reais
O valor numérico do discriminante indica o número de 
raízes reais de uma equação de segundo grau. Assim, é 
possível, caso haja um coeficiente desconhecido, verificar 
sob quais condições esse parâmetro oferece duas, uma 
ou nenhuma raiz real.
Imagine as seguintes situações: um designer de interiores precisa verificar se os móveis de uma casa estão bem dis-
postos dentro de cada cômodo e um pedreiro precisa confirmar a metragem de uma parede antes de levantá-la. Com 
efeito, em todos os momentos em que um cálculo de área for exigido, a equação de segundo grau será a ferramenta 
essencial para a resolução do problema.
VIVENCIANDO
 Aplicação do conteúdo
1. Qual deve ser o valor real do parâmetro k para que 
a equação 2x² + 4x + k = 0 forneça apenas uma solu-
ção real?
Resolução:
Determinando os parâmetros, segue:
a = 2
b = 4
c = k
Como a equação deve fornecer apenas uma raiz real, o dis-
criminante deve ser nulo:
D = b2 – 4ac = 0
4² – 4 · 2 · k = 0
16 – 8k = 0
–8k = –16
k = –16 ____ 
–8
 = 2
Logo, ocorrer k = 2 na equação 2x² + 4x + k = 0, haverá 
apenas uma raiz real. Veja que não é preciso calcular a raiz.
2. Quais os valores de m para que a equação mx² – x + 1 = 0 
apresente duas raízes reais distintas? E para quais valores 
não apresenta raízes reais?
Resolução:
Determinando os parâmetros, segue:
a = m
b = –1
c = 1
Para que a equação apresente duas raízes reais, o discrimi-
nante deve ser positivo:
D = b2 – 4ac > 0
(–1)² – 4 · m · 1 > 0
1 – 4m > 0
–4m > –1
m < 1 __ 
4
 
Logo, se o valor de m for menor que 1 __ 
4
 , a equação apresen-
tará duas soluções reais distintas.
Para que a equação não apresente raízes reais, o discrimi-
nante deve ser negativo:
D = b2 – 4ac < 0
(– 1)² – 4 · m · 1 < 0
1 – 4m < 0
– 4m < –1
m > 1 __ 
4
 
Dessa forma, se o valor de m for maior que 1 __ 
4
 , a equação 
não apresentará raiz real.
24
4x – 5 = 0 à x = 5 __ 
4
 
Assim, as raízes são x1 = 0 e x2 = 
5 __ 
4
 , ou seja, 
S = { 0, 5 __ 4 } .
1.3. Soma e produto das raízes de 
uma equação de segundo grau
Considerando uma equação do segundo grau com 
ax² + bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções x1 e 
x2 são dadas por:
x1 = 
– b + √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 e x2 = 
– b – √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 .
Sendo S a soma das raízes:
S = x1 + x2 = 
_ b + √
__
 ∆ ________ 
2a
 + – b – √
__
 ∆ ________ 
2a 
 . ä
ä S = –b + √
__
 ∆ – b – √
__
 ∆ _______________ 
2a
 . ä
ä S = – 2b ___ 
2a
 = – b __ a .
Logo: S = – b __ a ä –S = 
b __ a 
Sendo P o produto das raízes:
P = x1 · x2 = 
(–b + √
__
 ) _______ 
2a
 · (–b – 
√
__
 ) ______ 
2a
 ä
ä P = (–b)
2 – ( √
__
 )2 __________ 
4a2 
 = b
2 – √
__
 
 _____ 
4a2
 ä
ä P = b
2 – (b2 – 4ac) ___________ 
4a2
 = 4ac ___ 
4a2
 = c __ a 
Logo: P = c __ a 
Substituindo em ax² + bx + c = 0, considerando o coe-
ficiente dominante igual a 1, segue:
x² – Sx + P = 0
Assim, o coeficiente do termo do 1.º grau será a soma das 
raízes com o sinal trocado, e o termo independente será o 
produto das raízes.
Modelo 
supondo x1 > x2
 Se x2 – 3x + 2 = 0, então { x1 = 2 x2 = 1 
 Se x2 – x – 12 = 0, então { x1 = 4 x2 = –3 
1.2. Equações de segundo grau 
incompletas
Quando uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 
apresenta b = 0 ou c = 0, mesmo sendo possível utilizar 
a fórmula de Bhaskara, existem modos mais eficientes de 
encontrar as raízes.
1.2.1. Caso b = 0
Uma equação do tipo ax² + c = 0 pode ser resolvida sem 
a utilização da fórmula de Bhaskara. Observe um exemplo:
 Calcule as soluções da equação 2x² – 8 = 0.
Isolando o termo x² em um membro da equação: 
2x² = 8
x² = 4
Como existem dois valores para x, que, quando elevados à 
segunda potência, resultam no valor 4, as raízes da equa-
ção são x1 = 2 e x2 = –2. Assim, S = {–2, 2}.
 Calcule as soluções da equação x² + 5 = 0.
Isolando o termo x²:
x² = –5
Note que não existe um valor que, elevado ao quadrado, 
resulte em um número negativo. Assim, S = Ø.
1.2.2. Caso c = 0
Caso o termo independente seja nulo, haverá uma equação 
do tipo ax² + bx = 0. Essas equações podem ser resolvidas 
fatorando a expressão:
ax² + bx = 0 à x (ax + b) = 0
Para um produto ser nulo, um dos fatores deve ser nulo:
x = 0
ou
ax + b = 0 à x = –b ___ a 
Assim, as raízes são x1 = 0 e x2 = 
–b ___ a .
Observe um exemplo:
 Calcule as raízes da equação 4x² – 5x = 0.
Fatorando o primeiro membro da equação:
4x² – 5x = 0 à x(4x – 5) = 0
Para o produto ser nulo, é preciso ter:
x = 0
ou
25
1.4. Equações biquadradas
Quando uma equação do quarto grau possui a forma:
ax4 + bx² +c = 0 (sendo a i 0)
ela é denominada equação biquadrada. Note que a 
equação de quarto grau possui somente variáveis com expo-
ente par. Observe alguns exemplos de equação biquadrada:
x4 + 2x2 – 1 = 0
2x4 – 8 = 0
x4 – 4x2 = 0
Contudo, casos como:
x4 + 2x3 – x2 + 7 = 0
5x4 – 2x2 + x – 1 = 0
não são equações biquadradas, pois possuem coeficientes 
não nulos em variáveis de grau ímpar.
Esses casos particulares de equações incompletas de quar-
to grau podem ser resolvidos por meio de uma substituição 
de variável realizada de modo a reduzir a equação de quar-
to grau a uma de segundo grau.
Considere a equação ax4 + bx² + c = 0, com a i 0. Subs-
tituindo x² por y, resulta:
x4 = (x²)² = (y)² = y²
Logo, a equação na variável y é:
ay² + by + c = 0
Como já visto, essa equação possui as raízes:
y1 = 
–b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 e y2 = 
–b – dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 .
No entanto, como x² = y, segue que x = ± √
_
 y , logo:
x1 = √
__
 y1 
x2 = – √
__
 y1 
x3 = √
__
 y2 
x4 = – √
__
 y2 
Modelo
1. Resolva a equação x4 – 13x² + 36 = 0.
Substituindo x² por y, temos:
y² – 13y + 36 = 0
Essa equação pode ser resolvida por meio da fórmula de 
Bhaskara, resultando em y1 = 4 e y2 = 9.
Contudo, como x² = y, segue que:
 x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2.
 x² = 9, logo x3 = 3 e x4 = –3.
Assim, o conjunto solução é S = {–2, –3, 2, 3}.
2. Encontre o conjunto solução da equação biquadrada 
x4 + x2 – 2 = 0.
Substituindo x² por y, temos:
y² + y – 2 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau, resulta y1 = 1 e 
y2 = –2.
Retornando à variável x, chega-se a:
 x² = 1, logo x1 = 1 e x2 = –1.
 x² = –2 (não há valores reais de x que satisfaçam essa 
igualdade)
Assim, o conjunto solução é S = {–1, 1}.
3. Encontre as raízes da equação x4 – 16 = 0.
Realizando a substituição x² = y, temos:
y² – 16 = 0
Equações do segundo grau estão intimamente relacionadas às funções do segundo grau estudadas na disciplina 
de Física. Um exemplo é a equação horária do espaço s = s0 + v0t + 
1 __ 
2
 at2, para t0 = 0, chamada de “sorvetão”. A 
resolução desse tipo de problema se torna mais fácil com a aplicação da fórmula de Bhaskara.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
26
DIAGRAMA DE IDEIAS
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
CONHECIMENTOS 
PRÉVIOS:
• FATORAÇÃO
• PRODUTO NOTÁVEL
• POTENCIAÇÃO 
E RADICIAÇÃO
ax² + bx + c = 0
com a ≠ 0 x = 2a
- b+- b² - 4ac
DISCRIMINANTE
b² - 4ac=
0 há 2 raízes reais e distintas
há 2 raízes reais e iguais
não há raízes reais
= 0
0
SE
y² = 16
y = ± 4, ou seja, y1 = 4 e y2 = –4.
Como x² = y, retornando a equação à variável x,segue que:
 x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2.
 x² = –4 (não há valores reais de x que satisfaçam essa 
igualdade)
Assim, o conjunto solução é S = {–2, 2}.
27
TEORIA DOS CONJUNTOS
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6 HABILIDADES: 1, 2, 5, 21, 22, 23 e 25
AULAS 
7 E 8
1. TEORIA DOS CONJUNTOS
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência de 
elemento ao conjunto são definidos como primitivos, 
isto é, são aceitos sem definição.
Não obstante, a noção de conjunto pode ser compreendi-
da intuitivamente como um agrupamento de elementos. 
Observe os exemplos a seguir:
 Conjunto dos números naturais menores que 10;
 Conjunto das letras do alfabeto;
 Conjunto dos números pares;
 Conjunto dos dias de uma semana;
 Conjunto dos números primos;
 Conjunto dos números inteiros negativos;
 Conjunto dos polígonos regulares.
É possível representar um conjunto nomeando seus elemen-
tos um a um e organizando-os entre chaves e separados por 
vírgulas. Nesse modelo, o conjunto está representado por 
extensão. Por exemplo, pode-se representar o conjunto A 
dos números naturais menores que 10 da seguinte maneira:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Assim, está indicado que os elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9 pertencem ao conjunto A.
Atenção: As chaves são utilizadas para representar con-
juntos. Ou seja, a e {a} são diferentes:
A representação por extensão pode ser aplicada para con-
juntos infinitos ou finitos, mesmo que o número de ele-
mentos seja muito grande. Veja:
 Conjunto dos números ímpares positivos:
B = {1, 3, 5,...} é conjunto infinito
 Conjunto dos números pares positivos menores 
que 400:
C = {2, 4, 6,..., 398} é conjunto finito
Também é possível representar um conjunto por meio de 
uma figura chamada diagrama de Euler-Venn.
Por exemplo, um conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8} pode ser rep-
resentado pelo seguinte diagrama:
Nos casos em que é dada uma propriedade característica 
dos elementos de um conjunto, afirma-se que o conjunto 
está representado por compreensão. Observe:
1.1. Relações de pertinência
Quando o objetivo é indicar que um determinado elemento 
x faz parte de um conjunto A, afirma-se que o elemento x 
pertence ao conjunto A, relação que é simbolizada da 
seguinte maneira:
x [ A
Do mesmo modo, se o objetivo é indicar que um elemento 
x não pertence a um conjunto A, a representação é:
x Ó A
As relações de pertinência [ e Ó relacionam um ele-
mento a um conjunto.
Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. É possível realizar 
as seguintes afirmações:
 1 [ A 
(Lê-se: o elemento 1 pertence ao conjunto A)
 6 Ó A 
(Lê-se: o elemento 6 não pertence ao conjunto A)
28
1.2. Relações de inclusão
Para relacionar dois conjuntos, são utilizadas as relações 
de inclusão. Se todo elemento de um conjunto B está 
contido em outro conjunto A, afirma-se que o conjunto 
B está contido no conjunto A. Essa relação é simbolizada 
da seguinte maneira:
B , A
Caso algum elemento de B não pertença ao conjunto A, 
o conjunto B não estará contido em A. Essa relação é 
simbolizada da seguinte maneira:
B ÷ A
As relações de inclusão , e ÷ relacionam dois conjuntos.
Considerando os conjuntos A e B representados pelo dia-
grama de Venn, temos:
Atenção: As relações de pertinência sempre relacionam 
um elemento a um conjunto, e as relações de inclusão rel-
acionam dois conjuntos. Observe os exemplos:
 1 , {1, 2, 3}
Errado – a relação de inclusão “,” relaciona dois con-
juntos, e 1 é um elemento.
 {1} , {1, 2, 3}
Correto – o conjunto formado pelo número 1 está conti-
do no conjunto {1, 2, 3}.
 {2} [ {1, 2, 3}
Errado – o elemento {2} não pertence ao conjunto {1, 2, 3}.
 2 [ {1, 2, 3}
Correto – o elemento 2 pertence ao conjunto {1, 2, 3}
É possível, em alguns casos, tratar conjuntos como elemen-
tos de um outro conjunto. Veja:
A = {1, 2, 3, {3}}
Nesse caso, o conjunto A é formado pelos algarismos 1, 
2 e 3 e por um conjunto que contém o algarismo 3. Dessa 
forma, é possível escrever:
{3} [ {1, 2, 3, {3}}
O conjunto unitário {3} é tratado como sendo um elemen-
to do conjunto A.
1.3. Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos 
elementos. Caso dois conjuntos A e B sejam iguais, a indi-
cação será A = B.
A negação da igualdade é indicada por A i B (A é dife-
rente de B). Isso quer dizer que um desses conjuntos possui 
algum elemento que não pertence ao outro.
Observe que, se A , B e B , A, então A = B.
1.4. Conjunto universo
Em diversas situações, é importante estabelecer o con-
junto U, ao qual pertencem os elementos de todos os 
conjuntos considerados. Esse conjunto é denominado 
conjunto universo.
Por exemplo, ao tratar da população humana, o conjunto 
universo é constituído de todos os seres humanos.
Para descrever um conjunto A por meio de uma proprieda-
de característica p de seus elementos, é preciso mencionar, 
de modo explícito ou não, o conjunto universo U no qual 
se está trabalhando:
A = {x [ U | x tem a propriedade p} 
ou
A = {x | x tem a propriedade p}, 
quando nos referimos a U de modo implícito.
1.5.Conjunto unitário
O conjunto que possui um único elemento é chamado de 
conjunto unitário.
Considere, por exemplo, o conjunto P = { x | x é um número 
primo par e positivo}.
O único número primo par é 2. Logo, P é um conjunto uni-
tário e é possível escrever P = {2}.
29
1.6. Conjunto vazio
O conjunto que não possui elementos é chamado de con-
junto vazio. Observe:
Se A for o conjunto dos números primos menores que 2, 
esse conjunto não possuirá elemento, pois não há número 
primo menor que 2.
O conjunto vazio é representado por { } ou Ø.
Note que, como o símbolo Ø já representa um conjunto, 
para representarmos um conjunto vazio podemos escrever 
{ } ou Ø, mas não {Ø}.
1.7. Subconjuntos
Os conjuntos A e B, são também representados por diagrama:
A = {1, 3, 7} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}
É possível notar que qualquer elemento de A também per-
tence a B. Nesse caso, afirma-se que A está contido em B 
ou A é subconjunto de B.
A indicação é: A , B (A está contido em B).
Esse símbolo significa “está contido”.
Também é possível dizer que B contém A.
A indicação é: B . A (B contém A)
Esse símbolo significa “contém”.
Caso exista ao menos um elemento de A que não pertença 
a B, afirma-se que A não está contido em B, ou que B não 
contém A. Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 6}
Observe que o elemento 4 pertence a A, mas não pertence 
a B. A indicação é:
A ÷ B (A não está contido em B) 
B À A (B não contém A)
O símbolo ÷ significa “não está contido”, e À significa 
“não contém”.
Um conjunto A é subconjunto do conjunto B quando qual-
quer elemento de A também pertence a B.
Lembre-se:
Se A , B e B , A, então A = B.
Os símbolos ,, ., ÷ e À são aplicados para relacio-
nar conjuntos.
Para todo conjunto A, tem-se A , A. Para todo con-
junto A, tem-se Ø , A, em que Ø representa o con-
junto vazio.
2. OPERAÇÕES
2.1. União de conjuntos
Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Agora,considere um conjunto C, formado pelos elementos 
que pertencem a A, ou a B, ou a ambos:
O conjunto C é chamado união de A e B.
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem a A ou a B.
A união de A e B é indicada por A < B (A união B).
O símbolo < significa união ou reunião.
2.1.1. Propriedades da união
P1 A < A = A (idempotente)
P2 A < Ø = A (elemento neutro em relação
 ao conjunto vazio)
P3 A < B = B < A (comutativa)
P4 (A < B) < C = A < (B < C) (associativa)
Modelos 
1. Determine a união dos conjuntos A = {0, 2} e B = {x [ N 
| x é impar e 0 < x < 6}.
30
A união dos conjuntos A e B é:
Por diagrama, temos:
Observe que os conjuntos A e B não possuem elementos 
comuns.
2. Determine a união dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = 
{3, 4, 5, 6}.
A união entre os conjuntos A e B pode ser representada da 
seguinte forma, pelo diagrama de Venn:
Logo, A < B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2.2. Intersecção de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2,3, 4}.
Vamos determinar um conjunto C formado pelos elemen-
tos que são comuns a A e a B, ou seja, os elementos que 
pertencem a A e também pertencem a B.
O conjunto C é chamado intersecção de A e B.
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto 
formado pelos elementos que são comuns a A e a B.
Designamos a intersecção de A e B por A > B (A inter B).
A > B = {x | x [ A e x [ B}
O símbolo > significa intersecção.
2.2.1 Propriedades da intersecção
P1 A > A = A (idempotente)
P2 A > U = A (elemento neutro em relação 
ao conjunto universo)
P3 A > B = B > A (comutativa)
P4 (A > B) > C = A > (B > C) (associativa)
Modelo
1. Em cada caso a seguir, determine A > B e crie a repre-
sentação em diagrama.
a) A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}
b) A = {0, 2} e B = {1, 3, 5}
Do enunciado:
a)
 
Em diagrama:
b)
Note que não há elementos em comum entre A e B. Devi-
do a isso, a intersecção desses conjuntos é vazia. Quando 
A > B = Ø, os conjuntos A e B são chamados disjuntos.
2.3. Diferença de conjuntos
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}.
Agora, considere um conjunto C formado pelos elemen-
tos que pertencem a A, mas que não pertencem a B:
O conjunto C é a diferença de A e B.
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos ele-
mentos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.
A diferença de A e B é indicada por A – B (A menos B).
A – B = {x | x [ A e x Ó B}
Em diagrama:
amarelo
31
Se B , A, a diferença A – B denomina-se complementar 
de B em relação a A e é indicada por C B A .
C B A = A – B
Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então C B A = 
A – B = {0, 1, 4}.
Em diagrama:
O complementar de B em relação a A é o que falta para o 
conjunto B ficar igual ao conjunto A. Assim, o complementar 
de B em relação a A só está definido se, e somente se, B , A.
 Aplicação do conteúdo
1. Se A = {4, 5, 6, 7}, B = {5, 6} e E = {5, 6, 8}, determine:
a) C B A 
b) B – E
Resolução:
a) C B A = A – B = {4, 5, 6, 7} – {5, 6} 
C B A = {4, 7}
b) B – E = {5, 6} – {5, 6, 8} 
B – E = Ø
3. PRINCIPAIS SÍMBOLOS LÓGICOS
| (tal que)
ù (intersecção)
ø (união)
? (qualquer que seja)
'! (existe um único)
ä (implicar)
[ (pertence)
Ó (não pertence)
. (contém)
À (não contém)
, (está contido)
÷ (não está contido)
à (equivalente)
` (e)
~ (ou)
. (maior que)
, (menor que)
' (existe ao menos um)
 (não existe)
5 (igual)
Þ (diferente)
< (aproximadamente)
4. NÚMERO DE ELEMENTOS EM 
UM CONJUNTO A: N(A)
O número de elementos contidos no conjunto A é repre-
sentado por n(A). Observe:
A = {x | x representa os dias de uma semana} ä n(A) = 7
Lembre-se:
 Conjunto unitário
A = {x | x é dia da semana que começa com a letra D}
A = {domingo} ä n(A) = 1
 Conjunto vazio
A = {x | x é dia da semana que começa com a letra M}
A = { } ou Ø ä n(A) = 0
 Conjuntos finitos e infinitos
A = {2, 3, 4} ä n(A) = 3 ä A é finito
B = {2, 3, 4,...} ä B é infinito
 Conjuntos iguais
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 2, 3, 3} e 
C = {x | x [ N e 1 ø x ø 3}
A = B = C, em todos os casos, n(A) = n(B) = n(C) = 3.
5. CONJUNTOS DISJUNTOS
Dois conjuntos A e B, não vazios, são disjuntos se não pos-
suírem elementos comuns.
Veja: A > B = Ø
5.1. Pertinência e inclusão
 de elemento para conjunto
[ Ó
(pertence) e (não pertence)
32
 de subconjunto para conjunto
, ÷
(está contido) e (não está contido)
 de conjunto para subconjunto
. À
(contém) e (não contém)
A é subconjunto de B.
A , B, lê-se: “A está contido em B”.
A é parte de B.
Modelo
Sendo A = {1, {1}, 2, 3}, de acordo com as afirmações:
 1 [ A (verdadeiro)
 {1} [ A (verdadeiro)
 {1} , A (verdadeiro)
 Ø [ A (falso)
 Ø Ó A (verdadeiro)
 2 , A (falso)
 2 [ A (verdadeiro)
 {2} ÷ A (verdadeiro)
6. NÚMEROS DE SUBCONJUNTOS
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e so-
mente se, todo elemento de A pertence também a B.
Com a notação A , B indicamos que “A é subconjunto de 
B” ou “A é parte de B” ou “A está contido em B”.
A negação de A , B é indicada por A ÷ B, que se lê: “A 
não está contido em B” ou “B não contém A”.
A indicação simbólica é: A , B à (?x) (x [ A é x [ B).
Modelos
 {1, 2} , {1, 2, 3, 4}
 {5} , {5, 6}
 {1, 2, 3} ÷ {4, 5, 6}
Lembre-se
1. O conjunto vazio está contido em qualquer conjun-
to A, isto é, Ø , A, ?A.
2. Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto 
é A , A, ?A.
3. Chama-se subconjunto próprio de um conjunto A 
qualquer subconjunto de A que seja diferente de A. 
Simbolicamente, B é subconjunto próprio de A, se B 
⊂ A e B ≠ A.
 Aplicação do conteúdo
1. Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}?
Resolução:
Em primeiro lugar, registre todos os subconjuntos de A:
Ø; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}.
Há, portanto, 8 subconjuntos. Analisando o que acontece 
com os elementos, em relação aos subconjuntos, é possí-
vel dizer que cada um deles pode ou não aparecer. Então, 
para o elemento a, temos duas possibilidades quanto à sua 
presença no subconjunto (aparecer ou não aparecer). O 
mesmo acontece com os elementos b e c. Assim, segundo 
o princípio fundamental da contagem ou princípio multipli-
cativo na análise combinatória, temos.
2. Quantos subconjuntos possui um conjunto A com 
n elementos?
Resolução:
Conforme explicado no exemplo anterior, cada elemento de 
A pode ou não estar presente num determinado subconjun-
to C, devido ao fato de A ter n elementos. Dessa forma:
Portanto: n.° de subconjuntos = 2 · 2 · 2 ... 2 
n vezes
Com isso: n° de subconjuntos = 2n
7. CONJUNTOS DAS PARTES 
DE UM CONJUNTO
Considere o conjunto A = {1, 2, 3}, que tem os seguintes 
subconjuntos:
... 
33
 o conjunto vazio;
 os conjuntos de um elemento: {1}, {2} e {3};
 os conjuntos com os dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3};
 o próprio conjunto A.
É denominado conjunto das partes do conjunto A o conjunto 
P(A) formado por todos os subconjuntos do conjunto A:
P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Observe que o conjunto vazio, o conjunto A e os demais 
subconjuntos de A são elementos do conjunto P(A).
É correto, por exemplo, afirmar que {3} [ P(A), mas é in-
correto afirmar que {3} , P(A).
7.1. Número de elementos 
do conjunto das partes
Observe o quadro:
Conjunto A
Conjunto 
P(A)
Número de 
elementos P(A)
Potência
Ø {Ø} 1 20
{b} {Ø, {b}} 2 21
{b1, b2}
{Ø, {b1}, {b2}, 
{b1, b2}
4 22
{b1, b2, ... bn,}
n elementos
{Ø, {b1}, {b2}, ..., 
{b1, b2, ...,bn}}
2n 2n
De modo geral, é possível afirmar que:
Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos.
Modelo
Determine quantos elementos tem o conjunto das partes 
do conjunto A, sabendo que A tem 4 elementos.
Se o conjunto A tem 4 elementos, ou seja, n = 4, então 
P(A) tem 24 elementos, isto é, P(A) tem 16 elementos.
Número de subconjuntos (conjuntos das partes)
Se um conjunto A possui n elementos, então A possui 
2n subconjuntos, que podem ser representados por:
n(P(A)) = 2n(A)
8. NÚMEROS DE ELEMENTOS DA UNIÃO
Entre dois conjuntos:
n(A < B) = n(A) + n(B) – n(A > B)
Modelo
Para a união de três conjuntos, temos
n ( A<B<C ) = n (A) + n (B) + n (C) -- n (A>B) -- 
n (B>C) -- n (A>C) + n (A>C>B).
DIAGRAMA DE IDEIAS
• 0 • 2
• 4 • 6
A
•8
• A É UM CONJUNTO
• 0, 2, 4 E 6 SÃO ELEMENTOS A ISTO É, PERTECEM A A
• O ELEMENTO 8 NÃO PERTENCE AO CONJUNTO A
 TRIGONOMETRIA e ARITMÉTICA: Incidência do 
tema nas principais provas
UFMG
Trigonometria no triângulo retângulo será 
cobrado neste vestibular com questões 
contextualizadas. Por meio de gráficos de 
tabelas, utilizaremos os conceitos de razão e 
proporção para solucionar questões na área 
de Exatas.
Razão e proporção são temas cobrados com 
grande incidência, em situações do cotidiano, 
sempre descritos em textos ou em gráficos. 
Já trigonometria no triângulo retângulo é 
um assunto cobrado, em sua maioria, em 
geometria.
Não faltarão questões abordando os 
conceitos básicos da trigonometria na prova 
da Comvest. Saber utilizar produtos notáveis 
com agilidade é importante. Trabalhar com 
razão