Cálculo: Integrais e Limites

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Resolução: A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{e^{kx}}{k} + C \), onde \( k \) é uma 
constante. Portanto, a integral indefinida de \( e^{3x} \) é \( \frac{e^{3x}}{3} + C \). 
 
24. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} \). 
 Resolução: Esse limite é uma forma indeterminada do tipo \( \frac{\infty}{\infty} \), então 
podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por \( \sqrt{x} \). 
Após simplificar, o limite se torna uma expressão que pode ser facilmente avaliada. 
 
25. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = 2 
 
x^2 \) no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resolução: Para calcular a área entre as curvas, precisamos encontrar os pontos de 
interseção e, em seguida, integrar a diferença entre as duas funções nesse intervalo. Os 
pontos de interseção são encontrados igualando as duas equações e resolvendo para \( x 
\). Então, integramos a diferença entre as duas funções nesse intervalo. 
 
26. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \). 
 Resolução: Esse limite é uma forma indeterminada do tipo \( \frac{0}{0} \), então 
podemos usar a definição de limite para \( \sin(x) \) quando \( x \) se aproxima de zero. 
 
27. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \tan(x) \). 
 Resolução: Utilizando a identidade trigonométrica \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), 
podemos derivar \( \tan(x) \) utilizando a regra do quociente. A derivada de \( \tan(x) \) é \( 
\sec^2(x) \). 
 
28. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \frac{1}{1 + e^x} \). 
 Resolução: Podemos utilizar uma substituição trigonométrica para integrar a função. 
Após a integração, obtemos a integral indefinida da função dada. 
 
29. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{x^2} \). 
 Resolução: Esse é um caso de indeterminação do tipo \( \frac{\infty}{\infty} \), então 
podemos usar a regra de L'Hôpital. Após aplicar a regra de L'Hôpital, o limite se torna uma 
expressão que pode ser facilmente avaliada. 
 
30. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^2 
\) no intervalo \( [0, 1] \).