Trabalho de Matematica_Cleuma

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Governo do Estado do Rio de Janeiro 
Secretaria de Estado de Ciência, Tecnologia e Inovação 
 Fundação de Apoio a Escola Técnica 
 
FAETERJ – Unidade Barra Mansa 
Tecnologia em Sistemas para a Internet, com foco em Empreendedorismo Digital 
 
 
 
 
 
CLEUMA MOREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DO 1º BIMESTRE 
TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO E NÚMEROS PRIMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO – RJ 
2021 
 
 
 
 
 
CLEUMA MOREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DO 1º BIMESTRE 
TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO E NÚMEROS PRIMOS 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado no curso de 
Tecnologia em Sistemas para a Internet, com 
foco em Empreendedorismo Digital, 
disciplina de Matemática Aplicada para 
compor a nota do 1º bimestre. 
 
Professora: AR 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO - RJ 
2021 
 
SUMÁRIO 
 
 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................ 4 
 
2 TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO ................................................................ 5 
 
2.1 DEMONSTRAÇÃO DIRETA ........................................................................... 6 
 
2.2 DEMONSTRAÇÃO POR CONTRAPOSIÇÃO ............................................... 8 
 
2.3 DEMONSTRAÇÃO POR CONTRADIÇÃO .................................................... 10 
 
2.4 DEMONSTRAÇÃO POR INDUÇÃO .............................................................. 11 
 
3 NÚMEROS PRIMOS ...................................................................................... 13 
 
3.1 NÚMEROS PRIMOS E SECUNDÁRIOS ....................................................... 15 
 
3.2 CRIVO DE ERASTÓTENES E FUNÇÃO DE EULER .................................. 16 
 
REFERÊNCIAS E FONTES BIBLIOGRÁFICAS.................................................. 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
“A Matemática é a rainha das Ciências e a Teoria dos Números é a rainha das 
Matemáticas”. K. F. Gauss. 
 
É muito relevante rever alguns conceitos antes de entrar no conteúdo Técnica de 
Demonstração, sendo eles: 
 
 Axioma  é como se fosse um dogma da matemática, uma verdade absoluta 
e geralmente é uma coisa básica que acredita-se que é verdade e com axioma 
é que constrói as outras verdades matemáticos. Resumindo axioma na 
matemática é o princípio da da boa na ação. Uma verdade que você tem que 
acreditar, não tem como provar ela a menos que você use outros axiomas. 
 
 Teorema  é um fato matemático, que tem uma demonstração e que é um fato 
bem relevante “subjetivo”. Resumindo, teorema existem infinitos primos. 
Teorema - exemplo: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus. 
 
 Proposição  é como se fosse o teorema um pouco mais fraco, já é uma 
verdade com a demonstração, com a afirmação. 
Exemplo:Se p é primo e p divide a x b, então p divide a ou p divide b. 
 
 Corolário  é uma consequência de um teorema ou uma preposição. Corolário 
é quando um teorema é uma consequência imediata de outro. 
Exemplo: Se p é primo e p divide a², então p² divide a². 
Corolário - exemplo: Cada ângulo de um triângulo equilátero vale 60 graus. 
 
 Lema  como se fosse uma ferramenta, que você vai usar para provar, como 
se fosse uma mini preprosição, se usa para provar o teorema ou uma 
preposição. Lema é quando um teorema é utilizado como parte da 
demonstração de um outro teorema, em geral mais complexo. 
 
 Conjectura  proposição que ainda não foi provada e nem refutada. 
 
 
 
 Hipóstese  são ferramentas que tem para provar. Geralmente se usa as 
hipóteses para provar a tese. Onde podem-se encontrar as informações 
conhecidas sobre o teorema. Essas informações são tomadas como 
verdadeiras a fim de se tentar obter uma demonstração. 
 
 Tese  é o que quer provar. É a parte do teorema que desejamos validar. A 
partir da hipótese, utilizando-se uma sequência de argumentos formais, 
buscamos uma demonstração para a tese. 
 
O teorema pode ser escrito como a seguinte implicação lógica: 
 
HIPÓTESE(S) ⇒ TESE 
OU 
Se HIPÓTESE(S), então TESE 
 
A lógica demorou quase duzentos anos para dar uma explicação precisa ao 
conceito de demonstração, segundo Halmos. 
 
 
 
 
2 TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO 
 
 
A definição de demonstração é a maneira pela qual uma proposição é validada 
através de argumentos formais. 
Malta e Palis (1998) chamam de prova ou demonstração um argumento convincente 
escrito em linguagem matemática. 
Uma demonstração pode ser utilizada na Ciência da Computação, para se ter 
certeza de que um determinado algoritmo funciona de acordo com sua especificação. 
Como exemplo de algoritmos que foram validados utilizando-se argumentos formais, 
podemos citar: 
 
• Algoritmos de ordenação 
• Algoritmos de busca em bases de dados 
• Algoritmos para árvore geradora mínima 
• Algoritmos de compressão de dados 
 
No âmbito jurídicoa demonstração não é a comprovação da ocorrência de um 
determinado fato, mas o convencimento de que a resposta jurídica é mais adequada. 
Segundo Joseph R. Shoenfiels, quase que universalmente, falar em matemática é 
falar em demonstração, em seu livro “Mathematical Logic”, encontramos a citação: 
“[...] O aspecto conspícuo (notável) da matemática, em oposição às 
outras ciências, é o uso da DEMONSTRAÇÃO, em vez da observação. 
Um físico pode provar leis físicas a partir de outras leis físicas; mas 
ele, usualmente, considera a concordância com a observação como o 
teste último para uma lei física. Um matemático pode, ocasionalmente, 
usar a observação; pode por exemplo, medir os ângulos de muitos 
triângulos e concluir que a soma dos ângulos é sempre 1800 . 
Entretanto, aceitará isso, como uma lei da matemática, somente 
quando tiver sido demonstrado”. 
 
 
2.1 DEMONSTRAÇÃO DIRETA 
 
Corresponde à verificação direta de todos os casos da tese em que a hipótese é 
válida. Este tipo de demonstração é geralmente utilizado quando tratamos de um 
número finito e pequeno de casos, que possam ser verificados um a um. 
 
Exemplo: “ Se n ϵ (3,17,31,19), então n é um número primo”. 
 
Podemos verificar um a um por se tratar de um número pequeno de elementos 
pertencentes ao conjunto. Como por exemplo: 3, 17, 31 e 19 são números primos, 
então n será primo. 
A demontração direta de uma sentença p → q funciona da seguinte forma: 
assuma que o antecedente p é verdade e deduza a conclusão (ou consequente) q. 
A demontração direta de uma sentença p → q funciona da seguinte forma: 
assuma que o antecedente p é verdade e deduza a conclusão (ou consequente) q. 
Para os exemplos que seguem, utilizaremos a seguinte 
 
Definição: O inteiro n é par se existe um inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar se existe um 
inteiro k tal que n = 2k + 1. (Note que um inteiro é sempre par ou ímpar e nenhum inteiro é par e ímpar.) 
 
EXEMPLO: Dê uma demonstração direta do teorema “Se n é um número inteiro 
ímpar, então n2 é ímpar”. Solução: Note que este teorema diz ∀nP((n) → Q(n)), 
em que P(n) é “n é um inteiro ímpar” e Q(n) é “n2 é ímpar”. Como dissemos, 
vamos seguir a convenção matemática usual para demonstrações, mostrando 
que P(n) implica Q(n), e não usando explicitamente instanciação universal. 
Para começar uma demonstração direta desse teorema, vamos assumir que a 
hipótese dessa sentença condicional é verdadeira, ou seja, assumimos que n 
é ímpar. Pela definição de número ímpar, temos que n = 2k + 1, em que k é 
algum inteiro. Queremos demonstrar que n2 é também ímpar. Podemos elevar 
ao quadrado ambos os membros da equação n = 2k + 1 para obter uma nova 
equação que expresse n2 . Quando fizermos isso, teremos n2 = (2k + 1)2 = 4k2 
+ 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1. Pela definição de inteiro ímpar, concluímos que n2 
é ímpar (ele é um a mais que o dobro de um inteiro). Conseqüentemente, 
provamos que se n é um número inteiro ímpar, então n2 é ímpar. 
 
EXEMPLO: Dê uma demonstraçãodireta de que se m e n são ambos 
quadrados perfeitos, então nm também é um quadrado perfeito. (Um inteiro a 
é um quadrado perfeito se existe um inteiro b tal que a = b2 .) Solução: Para 
produzir uma demonstração direta desse teorema, assumimos que a hipótese 
dessa condicional é verdadeira, ou seja, assumimos que m e n são ambos 
quadrados perfeitos. Pela definição de quadrado perfeito, segue-se que 
existem inteiros s e t tal que m = s2 e n = t 2 . O objetivo da demonstração é 
mostrar que mn também deve ser um quadrado perfeito quando m e n o são; 
olhando adiante, vemos como podemos mostrar isto apenas multiplicando as 
duas equações m = s2 e n = t 2 . Isso mostra que mn = s2 t 2 , o que implica 
que mn = (st) 2 (usando comutatividade e associatividade da multiplicação). 
Pela definição de quadrado perfeito, segue que mn também é um quadrado 
perfeito, pois é o quadrado de st, o qual também é um inteiro. Demonstramos 
que se m e n são ambos quadrados perfeitos, então mn também é um quadrado 
perfeito. 
A demonstração direta de uma implicação p ⇒ q é uma sequência de passos 
lógicos (implicações): 
p ⇒ p1 ⇒ p2 ⇒... ⇒ pn = q, 
Que resultam, por transitividade, na implicação desejada. 
Cada passo da demonstração é um axioma ou teorema provado previamente. 
 
2.2 DEMONSTRAÇÃO POR CONTRAPOSIÇÃO 
 
Muitas vezes, demonstrar que uma certa proposição é verdadeira diretamente 
não é simples. Como estratégia, em alguns casos, podemos utilizar uma proposição 
equivalente para mostrar a veracidade de uma certa proposição. 
Pela equivalência lógica “𝑝 ⇒ 𝑞 ⇔ ~𝑞 ⇒ ~𝑝”, ao mostrar que ~𝑞 ⇒ ~𝑝 é verdade, 
ao mesmo tempo, estaremos mostrando que 𝑝 ⇒ 𝑞 também é verdade. 
Se a demonstração direta P Q, não foi atingida, pode-se tentar algumas 
variantes da técnica de demonstração direta. 
Se puder provar o teorema Q’  P’, pode-se concluir que P  Q, usando a 
tautologia (Q’ P’)  (P  Q). 
A técnica de provar P  Q através de uma demonstração direta de Q’  P’ é 
chamada de demonstração por contraposição. 
A tautologia (Q’  P’)  (P Q) vem daregra de inerência onde P  Q pode 
ser dedeuzida de Q’  P’. 
Exemplo: Prove o seguinte teorema (n € N): 
 n! > (n+1)  n>2 
Por equivalência, pode-se demonstrar por contraposição, que: 
 n < 2  n! < (n+1) 
Testando a proposição para n=0,1 e 2. 
 
Uma demonstração indireta extremamente usada é conhecida como 
demonstração por contraposição. Demonstrações por contraposição fazem uso do 
fato de que a sentença condicional p → q é equivalente a sua contrapositiva, ÿ q → 
ÿ p , isto significa que uma sentença condicional p → q pode ser demonstrada 
mostrando que sua contrapositiva, ÿ q→ ÿ p, é verdadeira. Em uma demonstração por 
contraposição de p → q, vamos tomar ÿ q como uma hipótese, e usando axiomas, 
definições e teoremas previamente demonstrados, juntamente com regras de 
inferência, mostramos que ÿ p deve ser verdadeira.Vamos ilustrar demonstração por 
contraposição com dois exemplos. Esses exemplos mostram que demonstrações por 
contraposição podem ser bem-sucedidas quando não é fácil achar demonstrações 
diretas. 
EXEMPLO: Demonstre que se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar. 
Solução:Primeiro vamos olhar para uma demonstração direta. Para construir 
uma demonstração direta, devemos assumir que 3n + 2 é um número ímpar. 
Isso significa que 3n + 2 = 2k + 1 para algum inteiro k. Podemos usar esse fato 
para mostrar que n é ímpar? Vemos que 3n + 1 = 2k, mas não parece ter algum 
meio direto para concluir que n é ímpar. Como nossa tentativa com 
demonstração direta falhou, vamos tentar uma demonstração por 
contraposição. O primeiro passo em uma demonstração por contraposição é 
assumir que a conclusão da sentença condicional “Se 3n + 2 é ímpar, então n 
é ímpar” é falsa; assumimos que n é par. Então, pela definição de número par, 
n = 2k para algum inteiro k. Substituindo 2k em n, chegamos a 3n + 2 = 3(2k) + 
2 = 6k + 2 = 2(3k + 1). Isso nos diz que 3n + 2 é par (pois é um múltiplo de 2), 
e logo não é ímpar. Isso é a negação da hipótese do teorema. Como a negação 
da conclusão da sentença condicional implica que a hipótese é falsa, a 
sentença original é verdadeira. Nossa demonstração por contraposição foi 
bem-sucedida; demonstramos que se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n 
é ímpar. 
2.3 DEMONSTRAÇÃO POR CONTRADIÇÃO 
 
Também conhecida como demonstração por redução ao absurdo, é um método de 
demonstração que a partir da negação da conclusão, pretende-se chegar a uma 
contradição qualquer. Utilizamos este tipo de demonstração quando não conseguimos 
mostrar que a tese é verdadeira para os casos em que a hipótese é satisfeita, ou 
quando não conseguimos achar um contraexemplo que faça a proposição ser falsa. 
Morais Filho (2012) resume da seguinte forma o que chama de Técnica de 
demonstração por absurdo: 
 
Para demonstrar uma sentença condicional Se H, então T por absurdo, 
admite-se que H e ~T ocorram. Com essa suposição, deve-se deduzir 
uma sentença contraditória qualquer ~Q ^ Q, chamada absurdo ou 
contradição. A hipótese adicional ~T, considerada nesse método, 
chama-se hipótese de absurdo ou hipótese de contradição (p.263) . 
[grifos do autor] 
 
Um exemplo dado por Malta e Palis (1998) está a seguir: 
 “Se n é um número inteiro e n 2 é par, então n é par” (*) 
Seja nϵℤ; n 2 é par. Vamos supor a negação da tese, no caso, que n não seja 
par. Sendo n ímpar, então n = 2k + 1 , ∀k ϵ ℤ. Com isso, temos que: 
𝑛 2 = (2𝑘 + 1). (2𝑘 + 1) = 4𝑘 2 + 4𝑘 + 1 = 2(2𝑘 2 + 𝑞2𝑘) + 1. 
Temos então que 𝑛 2 é impar, contradizendo a hipótese de que 𝑛 2 é par. 
Portanto n não pode ser ímpar, fazendo com que a proposição seja verdadeira. 
 
A contradição envolve supor absurdamente que a afirmação a ser demonstrada 
é falsa e obter, através de implicações válidas, uma conclusão contraditória. 
A contradição obtida implica que a hipótese absurdo é falsa e, portanto, a 
afirmação é de fato verdadeira. 
No caso de uma implicação p ⇒ q, equivalente a ~p ∨ q, a negação é p ∧ ~q 
Suponha que queremos demonstrar que uma sentença p é verdadeira. Além 
disso, suponha que podemos achar uma contradição q tal que ÿ p → q é verdadeira. 
Como q é falsa, mas ÿ p → q é verdadeira, podemos concluir que ÿ p é falsa, o que 
significa que p é verdadeira. Como podemos encontrar uma contradição q que possa 
nos ajudar a demonstrar que p é verdadeira usando esse raciocínio? Como a sentença 
r ∧ ÿ r é uma contradição qualquer que seja a proposição r, podemos demonstrar que 
p é verdadeira se pudermos mostrar que ÿ p → (r ∧ ÿ r) é verdadeira para alguma 
proposição r. Demonstrações desse tipo são chamadas de demonstrações por 
contradição. Como uma demonstração por contradição não mostra o resultado 
diretamente, esse é um outro tipo de demonstração indireta. 
EXEMPLO: Demonstre que ao menos 4 de 22 dias escolhidos devem cair no 
mesmo dia da semana. Solução: Seja p a proposição “Ao menos 4 dos 22 dias 
escolhidos caem no mesmo dia da semana”. Suponha que ÿ p é verdadeira. 
Isso significa que no máximo 3 dos 22 dias caem no mesmo dia da semana. 
Como existem 7 dias na semana, isso implica que no máximo 21 dias podem 
ser escolhidos, pois, para cada dia da semana, podem ser escolhidos no 
máximo 3 dias que coincidem no mesmo dia da semana. Isso contradiz a 
hipótese que afirmava ter 22 dias considerados. Assim, se r é a sentença que 
diz que 22 dias foram escolhidos, então temos mostrado que ÿ p → (r ∧ ÿ r). 
Conseqüentemente, sabemos que p é verdadeira. Demonstramos que ao 
menos 4 de 22 dias escolhidos devem cair no mesmo dia da semana. 
 
2.4 DEMONSTRAÇÃO POR INDUÇÃO (ou RECURSIVA) 
 
 
Muito utilizado em computação, o Princípio da Indução, além de ser um método 
para definir conjuntos, é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos 
referentes aos números naturais. Giuseppe Peano (1858-1932) constatou que épossível elaborar toda a teoria dos números naturais a partir de quatro fatos básicos, 
conhecidos como os Axiomas de Peano 4 . O último deles, conhecido como o Axioma 
da Indução, tem um papel fundamental no estudo dos números naturais por ser visto 
como um método de demonstração, chamado Princípio da Indução Finita ou Princípio 
da Indução. 
Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é verdadeira para todo 
n , se e somente se: 
(i) P(1) é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para n = 1. 
(ii) (ii) Se P(n) é verdadeira, então P(n + 1) também é verdadeira. 
 
Se ambos os teoremas forem demonstrados, pode-se afirmar que a 
proposição é válida para todo número natural n. 
Notemos que não aparece na definição acima o passo 3, da condição extrema, 
mas seu papel é crucial da demonstração por indução. A condição extrema garante 
que todos os elementos do conjunto podem ser construídos usando a base e a 
condição indutiva do conjunto. Uma demonstração por indução estabelece que cada 
elemento n construído dessa forma tem alguma propriedade P. Seguindo a condição 
extrema que a propriedade P(x) garantida para todos os elementos do conjunto, o que 
conclui a demonstração. 
 
 
Segundo José Morgado (MORGADO, 1990), em palestra realiza em 13/03/1990, o 
método de demonstração por indução é uma criação de muitos matemáticos. Entre 
quais ele cita, Francesco Maurolico (1494-1575) e Blaise Pascal (1632-1662) no 
“Traité du triangle arithmetique”. O nome “indução matemática” é bem mais recente, 
parece ser devido a August de Morgan em 1838. 
Demonstração por Indução Estrutural: Esta técnica, muito útil no contexto desta 
disciplina e aplica-se ás propriedades sobre conjuntos definidos por indução 
estrutural. 
A seguir dois exemplos: 
 
Com certeza desenvolvem um papel importante no ensino da Matemática, as 
demonstrações, mas cabe ao professor e aos seus conhecimentos prévios fazer com 
que esse trabalho dê certo, mediando e argumentando com a turma a fim de 
alcançarem esses objetivos. Essa demonstração matemática tem o seu papel, mas é 
preciso ressaltar que o aluno passe pela experiência de construção antes dessa 
demonstração. É na construção, no experimento que o aluno desenvolve o pensar 
matemático. 
 
 
Esquema – resumo das Técnicas de Demonstração 
 
 
 
 
 
3 NÚMEROS PRIMOS 
 
A noção de número primo foi, muito provavelmente, introduzida por Pitágoras, 530 
AC, sendo que a mesma desempenhou um papel central tanto na matemática como 
no misticismo pitagórico. A escola pitagórica dava grande importância ao número um, 
que era chamada de unidade (em grego: Monad). Os demais números inteiros naturais 
– o 2, 3, 4, etc – tinham caráter subalterno, sendo vistos como meras multiplicidades 
geradas pela unidade e por isso recebiam a denominação de número (em grego: 
Arithmós). 
Entre os pitagóricos a preocupação com a geração dos números não parava por aí. 
Já o próprio Pitágoras teria atinado que existem dois tipos de arithmós: 
Técnicas de 
Demonstração
Direta
Consiste em supor que a hipótese P 
é verdadeira, partir dessa hipótese e 
deduzir uma série de argumentos 
coerentes e válidos que leva até a 
tese Q.
Por 
Contraposição
Consiste em provar que H  T é 
verdadeiro através da demonstração 
direta de ~T  ~H.
Por 
Contradição
Esse método consiste em admitir que 
a tese é falsa e que a hipótese 
é verdadeira e chegar a uma 
contradição.
Por Indução
Um caso base é provado, e, uma 
regra de indução é usada para provar 
uma série de outros casos (efeito 
dominó).
 • Os protoi arithmós (números primários ou primos), que são aqueles que não podem 
ser gerados – através da multiplicação – por outros arithmós, como é o caso de 2, 3, 
5, 7... 
• Os deuterói arithmós (números secundários), podem ser gerados por outros 
arithmós, por exemplo, 4 = 2.2, 6 = 3.2, etc. 
 
“protós arithmós estin monadi mone metroymenos”. 
Ou seja: Número primo é todo aquele que só pode ser medido através da unidade. 
Entre os pitagóricos, a preocupação com a geração dos números não parava aí. Já o 
próprio Pythagoras teria atinado que existem dois tipos de arithmói: 
 os protoi arithmói ( números primários ou primos ) 
que são aqueles que não podem ser gerados - via multiplicação - por outros 
arithmói, como é o caso de 2, 3, 5, 7, 11, ... 
 os deuterói arithmói ( números secundários ) 
que são os que podem ser gerados por outros arithmói, como é o caso de 
4 = 2.2, 6 = 2.3, 8 = 2.4, 9 = 3.3, etc 
 
Assim que os primeiros matemáticos gregos dividiam o que hoje chamamos de 
números inteiros naturais em três classes: 
 
 
 
 a monad ( ou unidade, ou 1 ) 
 os protói arithmói ( números 
primos ) ou asynthetói arithmói 
( números incompostos ): 
2, 3, 5, 7, 11, etc 
 os deuterói arithmói ( números 
secundários ) ou synthetói 
arithmói ( números 
compostos ): 
4, 6, 8, 9, 10, etc 
 
 
 
 
 
 
3.1 NÚMEROS PRIMOS E SECUNDÁRIOS 
 
 
Todo número que apenas pode ser dividido por si mesmo e por 1 é 
um número primo. Em outras palavras, todo número primo somente é divisível por 
si mesmo e por 1. O subconjunto dos números naturais, formado apenas por 
números primos, tem os seguintes elementos iniciais: 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …} 
O único número que é par e primo ao mesmo tempo é 2. O restante dos 
números pares é divisível por si mesmo, por 1 e pelo próprio 2, já que essa é a 
definição de número par. Além disso, o número 1 não é considerado primo por causa 
do teorema fundamental da aritmética. 
O teorema fundamental da aritmética garante o que: 
“Todo número natural maior que 1 ou é primo 
ou pode ser escrito como produto de números primos.” 
Além disso, existe um teorema que afirma o seguinte: 
“Todo número natural não primo pode ser escrito 
de uma única maneira 
como produto de números primos.” 
Se o número 1 fosse considerado primo, esse teorema não seria válido. Isso porque 
os números não primos poderiam ser escritos de maneira não única como produto 
de números primos. Exemplo: 
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21 = 3·7 
Considerando 1 como primo, teríamos: 
21 = 3·7 
21 = 1·3·7 
21 = 1·1·3·7 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/divisao.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/regras-divisibilidade.htm
 
 
3.2 CRIVO DE ERASTÓTENES E FUNÇÃO DE EULER 
 
 
Eratóstenes, matemático, astrônomo, historiador, geógrafo e filósofo grego, 
nasceu em Cirene por volta de 276 a.C. e passou grande parte de sua juventude em 
Atenas. Com aproximadamente 40 anos, foi convidado pelo rei Ptolomeu III do Egito 
para ser bibliotecário da Universidade de Alexandria. Ficou conhecido como Beta, e a 
respeito dessa alcunha existem algumas hipóteses. Alguns acreditam que, por causa 
de seu saber, foi elevado à condição de um segundo Platão. Outros, dizem que tal 
apelido lhe fora dado por ter sido o segundo bibliotecário da Universidade de 
Alexandria. 
Uma terceira explicação sugere que, apesar de ser talentoso, Eratóstenes não 
conseguiu ser o primeiro de seu tempo em nenhum ramo de estudo, em outras 
palavras, foi sempre o segundo. Por fim, o historiador James Gow sugeriu que talvez 
Beta indicasse simplesmente o número (grego) 2 referente a um gabinete ou a uma 
sala de leitura da universidade. 
Escreveu diversas obras, mas muitas se perderam, inclusive o tratado Sobre a 
medida da Terra. Eratóstenes morreu em Alexandria, em 194 a.C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Corta-se o número 1. 
- Cortam-se todos os múltiplos de 2, excepto o 2 (1º número primo). 
- O 1º número não cortado também é primo (neste caso o 3). 
- A seguir cortam-se todos os múltiplos de 3 maiores que 3. 
- Repetem-se os passos para o 5 e assim sucessivamente. 
 
Nota : É suficiente eliminar os múltiplos de cada um dos números a partir do 
seu quadrado. 
 
 
Exemplo: Construir a tabela de números primos menores que 200. 
 
 
Função de Euler 
 
Essafunção trouxe novos avanços à Teoria dos Números, a função 𝜑(𝑛) de Euler é 
definida como o número de naturais menores que n que são primos com n. Como 
mencionado anteriormente, ele fatorou o quinto número de Fermat e achou 60 pares 
de números amigos. Euler foi o primeiro matemático a usar as ferramentas da Análise 
Matemática na Teoria dos Números: provou que a série 
1
2 
 +
1
3 
 +
1
 5 
 + 
1
7 
 + 
1
11 
 + ... 
 
formada pela soma dos inversos dos números primos, é divergente. Ao somarmos 
todos os inversos dos números primos já achados até hoje, com o computador mais 
potente conhecido, a soma seria aproximadamente 4, embora a série divirja para ∞. 
A função totiente de Euler, também conhecida como função phi ϕ(n)ϕ(n), conta o 
número de inteiros entre 1 e nn, no qual são coprimos de nn. Dois números são 
coprimos se o maior divisor comum entre eles for 11 (11 é considerado ser coprimo 
para qualquer número). 
Aqui estão valores de ϕ(n)ϕ(n) para os primeiros números inteiros positivos: 
nϕ(n)11213242546276849610411101241312146158168171618619182082112n1234
56789101112131415161718192021ϕ(n)11224264641041268816618812 
Propriedades 
As seguintes propriedades da função totiente de Euler são suficientes para calculá-la 
para qualquer número: 
 Se pp é um número primo, então mdc(p,q)=1 mdc(p,q)=1 para 
todo 1≤q<p1≤q<p. Portanto teremos: 
ϕ(p)=p−1.ϕ(p)=p−1. 
 Se pp é um número primo e k≥1k≥1, então existem 
exatamente pk/ppk/p números entre 11 e pkpk que são divisíveis por pp. O 
que nos dá: 
ϕ(pk)=pk−pk−1.ϕ(pk)=pk−pk−1. 
 Se aa e bb são primos entre si, então: 
ϕ(ab)=ϕ(a)⋅ϕ(b). 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 E. R. Scheinerman, Matemática Discreta - Uma Introdução, Editora Thomson. 
 H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications. 5a. e 6a. edições, 
McGraw-Hill 
 J. L. Gersting, Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 4a. 
edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2001). 
 J. P. O. Santos, M. P. Mello e I. T. C. Murari, Introdução à análise combinatória. 
Editora da UNICAMP, Campinas (1998). 
 K. A. Ross, C. R. B. Wright, Discrete Mathematics, Prentice-Hall. 
ARTIGOS E SITES DE PESQUISA: 
 
 CASAL, João Roberto Bêta - LÓGICA NA MATEMÁTICA E NO COTIDIANO: 
UMA REFLEXÃO SOBRE O PAPEL DA LÓGICA NO ENSINO. Disponível em: 
https://app.uff.br/riuff/bitstream/1/13827/1/Monografia_2018-
2_Jo%C3%A3o%20Roberto%20Beta%20Casal.pdf Acesso em: 15/05/2021. 
 
 LIMA, Luiza Maria Morais – CONSTRUÇÕES ALGORÍTMICAS E 
DEMONSTRAÇÕES AXIOMÁTICAS – Disponível em: 
http://blogs.multimeios.ufc.br/wp-
content/blogs.dir/33/files/2020/10/Dissertacao-LuizaMariaMoraisLima.pdf 
Acesso em> 11/05/2021. 
 
 MARINHO, Leadnro Balby – TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO. Disponível 
em: http://www.academico.uema.br/DOWNLOAD/tecnicas_demonstracao.pdf 
Acesso em: 10/05/2021. 
 
 SANTOS, Josimeire Maximiano – TÉCNICAS DE DMONSTRAÇÃO – 
Disponível em: 
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4600416/mod_folder/content/0/Compl
emento%20-
%20T%C3%A9cnicas%20de%20demonstra%C3%A7%C3%B5es.pdf?forcedo
wnload=1 Acesso em: 10/05/2021. 
 
 SILVEIRA, J. F. Porto – POR QUE O NOME PRIMO PARA OS NÚMEROS 
PRIMOS? – Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/pqprimo.html 
Acesso em: 10/05/2021. 
https://app.uff.br/riuff/bitstream/1/13827/1/Monografia_2018-2_Jo%C3%A3o%20Roberto%20Beta%20Casal.pdf
https://app.uff.br/riuff/bitstream/1/13827/1/Monografia_2018-2_Jo%C3%A3o%20Roberto%20Beta%20Casal.pdf
http://blogs.multimeios.ufc.br/wp-content/blogs.dir/33/files/2020/10/Dissertacao-LuizaMariaMoraisLima.pdf
http://blogs.multimeios.ufc.br/wp-content/blogs.dir/33/files/2020/10/Dissertacao-LuizaMariaMoraisLima.pdf
http://www.academico.uema.br/DOWNLOAD/tecnicas_demonstracao.pdf
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4600416/mod_folder/content/0/Complemento%20-%20T%C3%A9cnicas%20de%20demonstra%C3%A7%C3%B5es.pdf?forcedownload=1
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4600416/mod_folder/content/0/Complemento%20-%20T%C3%A9cnicas%20de%20demonstra%C3%A7%C3%B5es.pdf?forcedownload=1
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4600416/mod_folder/content/0/Complemento%20-%20T%C3%A9cnicas%20de%20demonstra%C3%A7%C3%B5es.pdf?forcedownload=1
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4600416/mod_folder/content/0/Complemento%20-%20T%C3%A9cnicas%20de%20demonstra%C3%A7%C3%B5es.pdf?forcedownload=1
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/pqprimo.html
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