Aula[7]

•
UNIAMÉRICA

Ander Atabo
07/12/2021
Prévia do material em texto
Probabilidades e Estat́ıstica
Aula Teórica 7
Docente: Carmalino Sebastião José Ncuaze
24 de outubro de 2021
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 1 / 26
Sumário
Variáveis Aleatórias
Definição
Classificação de Variáveis Aleatórias
Função de probabilidade em VAD
Propriedades da Função de probabilidade de uma VAD
Função de distribuição de VAD
Parâmetros de Variáveis Aleatórias Discretas
Função densidade de probabilidade para VAC
Função de distribuição de VAC
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 2 / 26
Introdução sobre Variáveis Aleatórias
Alguns exemplos sobre Variáveis Aleatórias
Exemplo 1 - Seja a experiência aleatória que consiste na observação do
tempo que decorre entre a chegada de duas chamadas telefónicas
consecutivas a uma determinada central telefónica. Então, Ω será:
Ω = {t : t > 0}.
Exemplo 2 - Seja a experiência aleatória que consiste na observação do
volume diário de vendas de três pontos de venda de uma empresa. Então,
Ω será: Ω = {(v1, v2, v3) : vi ≥ 0, i = 1, 2, 3}.
Exemplo 3 - Seja uma experiência aleatória que consiste no controlo de
qualidade de componentes eletrônicos: num lote grande de componentes
escolhem-se três ao acaso e analisam-se. Então se designamos:
D-o componente é defeituoso; N-o componente não é defeituoso.
Ω = {(N,N,N); (N,N,D); · · · ; (D,N,D); (D,D,N); (D,D,D)} .
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 3 / 26
Variáveis Aleatórias
Definição: Uma variável aleatória X é aleatória (casual ou probabiĺıstica)
se assume valores ao acaso que podem ser esperados. Uma variável
aleatória é uma função que a cada acontecimento do espaço de resultados
faz corresponder um valor real.
Exemplo - Experiência de três lançamentos de uma moeda.
Sejam: C - cara; K - coroa e Ω - espaço amostral.
Ω = {CCC ,CCK ,CKC ,KCC ,KKC ,KCK ,CKK ,KKK}
X(Ω) - Número de caras em três lançamentos.
X(Ω): 0, 1, 2, 3.
P(X = 0) = P(KKK ) = 18
P(X = 1) = P[(KKC)ou(KCK )ou(CKK )] = 38
P(X = 2) = 38
P(X = 3) = P(CCC) = 18
P(X=5)=0.
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 4 / 26
Variáveis Aleatórias
Classificação de Variáveis Aleatórias
Variável Aleatória Discreta (VAD) - uma VAD assume um número
finito ou infinito contável de valores.
Variável Aleatória Cont́ınua (VAC) - uma VAC assume um número
infinito não contável de valores e é chamada de Variável Aleatória não
Discreta.
Cálculo de probabilidades em Variáveis Aleatórias Discretas
Seja o experimento aleatório que consiste no controlo de qualidade de
componentes eletrônicos. Num lote grande desses componentes
selecionam-se 3 ao acaso e analisam-se os defeituosos e não defeituosos.
Sejam: D=defeituosos e D=não defeituosos.
a) Construir o espaço amostral;
b) Introduzir uma variável aleatória e classificar;
c) Calcule a probabilidade de um desse valor.
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 5 / 26
Variáveis Aleatórias Discretas
Cálculo de probabilidades em Variáveis Aleatórias Discretas
Resolução:
a) Ω =
{
DDD,DDD,DDD,DDD,DDD,DDD,DDD,DDD
}
b) X (Ω):”Número de defeitos numa amostra de 3”; X (Ω) = {0, 1, 2, 3}
c) P(X = 2) =? ⇒ P(X = 2) = 38
Função de probabilidade em Variáveis Aleatórias Discretas
Como foi apresentado no cálculo de probabilidades das VAD, é posśıvel
associar X à uma dada probabilidade. Se X é uma variável aleatória
discreta, que assume valores distintos x1, x2, . . . , xn, . . ., então a sua
função de probabilidade é representada por f (x) e é definida por:
f (x) =

P[X = x ] se x = xj
, j = 1, 2, . . . , n, . . .
0 se x 6= xj
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 6 / 26
Variáveis Aleatórias Discretas
Função de probabilidade em Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplo - Do experimento aleatório sobre o controlo de qualidade de
componentes eletrônicos, apresentado nos slides imediatamente anteriores,
pode-se observar que cada um dos valores de X assume um valor de
probabilidade. Assim, a função de probabilidade é dada pela tabela
seguinte:
X 0 1 2 3
f(x)=P[X=x] 18
3
8
3
8
1
8
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 7 / 26
Variáveis Aleatórias Discretas
A sua forma gráfica será:
Propriedades da função de probabilidade de uma VAD
0 ≤ f (x) ≤ 1 ∀x ∈ IR
Caso n seja finito,
∑n
i f (xi ) = 1, caso contrário, ou seja, se n for
infinito,
∑∞
i f (xi ) terá de ser uma série convergente de soma 1.
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 8 / 26
Variáveis Aleatórias Discretas
Função de distribuição de VAD
Define-se função de distribuição, F(.), de uma variável aleatória como
F (x) = P[X ≤ x ]
F (.) - é uma função de conjunto, que faz corresponder a cada intervalo
]−∞, x [ a probabilidade da sua ocorrência. Essa função tem o doḿınio IR,
conjunto de chegada [0, 1] e verifica as seguintes propriedades:
a) 0 ≤ F (x) ≤ 1, ∀x ∈ IR
b) F (x2) ≥ F (x1), ∀x1, x2 com x2 > x1, ou seja, F (.) é uma função
monótona não decrescente
c) lim
x→−∞
F (x) = 0 e lim
x→+∞
F (x)=1
d) P [x1 < X ≤ x2] = F (x2)− F (x1), ∀x1, x2 com x2 > x1
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 9 / 26
Variáveis Aleatórias Discretas
Função de distribuição de VAD
Consideremos o exemplo anterior sobre os 3 componentes eletrônicos. Pela
definição, F (x) = P [X ≤ x ]. Então,
F (0) = P [X ≤ 0] = 18
F (1) = P [X ≤ 1] = f (0) + f (1) = 18 +
3
8 =
1
2
F (2) = P [X ≤ 2] = f (0) + f (1) + f (2) = 18 +
3
8 +
3
8 =
7
8
F (3) = P [X ≤ 3] = f (0) + f (1) + f (2) + f (3) = 18 +
3
8 +
3
8 +
1
8 = 1
F (3, 5) = P [X ≤ 3, 5] = f (0) + f (1) + f (2) + f (3) = F (3)
Assim, a F (x) será:
F (x) =

0 x < 0
1
8 0 ≤ x < 1
1
2 1 ≤ x < 2
7
8 2 ≤ x < 3
1 x ≥ 3
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 10 / 26
Variáveis Aleatórias Discretas
Forma do gráfico de uma função de distribuição:
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 11 / 26
Parâmetros de Variáveis Aleatórias Discretas
Valor esperado, média ou Esperança Matemática da VAD
Valor esperado: µx , µ ou E (x)
E (x) =
k∑
i
xi f (xi )
Propriedades do Valor esperado
Sendo X e Y duas variáveis aleatórias, e K uma constante, o Valor
esperado verifica as seguintes propriedades:
E [K ] = K
E [Kx ] = KE [x ]
E [X ± Y ] = E [X ]± E [Y ]
E [XY ] = E [X ] · E [Y ], se X e Y forem independentes. Se X e Y
não forem independentes, então E [XY ] = E [X ] · E [Y ] + cov(X ,Y ).
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 12 / 26
Parâmetros de Variáveis Aleatórias Discretas
Variância e desvio-padrão de VAD
VAR(X ) = σ2x = σ2
VAR(X ) = E
[
(X − µx )2
]
- Média quadrática
VAR(X ) =
∑
i
(xi − µx )2 · f (xi ) - Variância
σx = σ = +
√
VAR(X ) - Desvio-padrão
Propriedades da variância de VAD
Sendo K uma constante real, e X e Y variáveis aleatórias,
VAR(K ) = 0
VAR(KX ) = K 2VAR(X )
VAR(X ± Y ) = VAR(X ) + VAR(Y )± 2cov(X ,Y ). Porém, caso X e
Y sejam independentes, VAR(X ± Y ) = VAR(X ) + VAR(Y )
VAR(X ) = E
[
X 2
]
− E 2 [X ]
Se X é uma variável aleatória tal que E (X ) = µ e VAR(X ) = σ2, a V.
A. W = X−µσ tem parâmetros E (W ) = 0 e VAR(W ) = 1.
Observe que E (X 2) =
∑
i
x2i · f (xi ), se X é uma variável aleatória discreta.
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 13 / 26
Parâmetros de Variáveis Aleatórias Discretas
Covariância e coeficiente de correlação linear
Para estudar as relações entre duas variáveis X e Y pode-se analisar a
covariância e o coeficiente de correlação linear.
Cov(X ,Y ) = E [(X − µx ) (Y − µy )] = σX ,Y e, portanto,
Cov (X ,Y ) =
∑
i
∑
j(xi − µx ) (yj − µy ) f (xi , yj)
Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ] E [Y ] note que como X e Y são VAD
então E [XY ] =
∑
i
∑
j
xi yj f (xi , yj).
Se X e Y forem independentes, então Cov = 0, e como
Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ] E [Y ] então E [XY ] = E [X ] E [Y ].
Coeficiente de correlação linear
ρxy =
Cov (X ,Y )√
VAR (X ) · VAR (Y )
= σxy
σxσy
Verifica-se que −1 ≤ ρxy ≤ 1.
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 14 / 26
Variáveis Aleatórias Discretas
Outro exemplo:
Seja a experiência aleatória que, com o objectivo de controlar a qualidade
dos iogurtes até cinco dias após a data de validade, consiste em analisar 4
retirados aleatoriamente. Se se designar por B-iogurte está em bom
estado, e por E- iogurte está estragado:
a) Construir o espaço amostral.
b) Introduzir uma variável aleatória e classificar.
c) Calcule a probabilidade de que dois (2) deles estejam estragados.
d) Determine a função de probabilidade, f (x).
e) Determine a função de distribuição, F (x).
f) Qual é a quantidade média dos iogurtes estragados?
g) Calcule a variância.
h) Calcule o desvio-padrão.
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 15 / 26
Variáveis Aleatórias Discretas
Solução do exerćıcio:
a) Ω = {(BBBB), (BBBE ), (BBEB), . . . , (EEBE ), (EEEB), (EEEE )}
b) X - Número de iogurtes estragados, numa amostra de 4. É uma VAD.
c) P [X = 2] = f (2) = 616 = 0.375
d)
X x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4
f (x) = P [X = x ] 116
4
16
6
16
4
16
1
16
e)
F (x) =

0 x < 0
1
16 0 ≤ x < 1
5
16 1 ≤ x < 2
11
16 2 ≤ x < 3
15
16 3 ≤ x < 4
1 x ≥ 4
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 16 / 26
Variáveis Aleatórias Discretas
Solução do exerćıcio:
f) E (X ) =?
E (X ) =
∑
i
xi f (xi ) = 0 ·
1
16 + 1 ·
4
16 + 2 ·
6
16 + · · ·+ 4 ·
1
16 =
32
16 = 2.
g) VAR(X ) =?
VAR(X ) = E
(
X 2
)
− E 2 (X ), como E
(
X 2
)
E
(
X 2
)
=
∑
i
x2i f (xi ) = 02 ·
1
16 + 1
2 · 416 + 4 ·
6
16 + · · ·+ 16 ·
1
16 =
80
16 = 5
VAR(X ) = 5− 4 = 1.
h) σx =? ⇒ σx = 1.
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 17 / 26
Variáveis Aleatórias Cont́ınua
Chama-se variável aleatória cont́ınua (VAC) a uma variável não-discreta
que a sua função de distribuição pode ser representada como:
F (x) = P(X ≤ x) =
∫ x
−∞
f (u)du (−∞ < X <∞)
onde a função f (x) tem as seguintes propriedades:
1. f (x) ≥ 0
2.
∫ ∞
−∞
f (x)dx = 1
Exemplos de variáveis aleatórias cont́ınuas:
1. Y-tempo de espera, em minutos, numa paragem de autocarros, até
aparecer um autocarro.
2. X-consumo anual de energia eléctrica para fins domésticos, numa
determinada região (em 109 KW).
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 18 / 26
Variáveis Aleatórias Cont́ınua
Função densidade de probabilidade para VAC
Se uma função satisfaz as propriedades 1 e 2 anteriores chama-se função
de probabilidade f(x) ou distribuição de probabilidade de uma variável
cont́ınua, mas é trivialmente chamada de função densidade de
probabilidade ou apenas função densidade. Para obter o valor da
probabilidade é usada a seguinte equação:
P(a < X < b) =
∫ b
a
f (x)dx (1)
Observe que, nas variáveis aleatórias cont́ınuas, a probabilidade de X
assumir um valor particular é zero. Porém, a probabilidade de um
intervalo, ou seja, de X assumir um valor entre dois valores, digamos a e b,
é dada pela equação (1).
Salienta-se que tem-se também que a:
P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 19 / 26
Variáveis Aleatórias Cont́ınua
Exemplo:
a) Determine a constante c tal que a função
f (x) =
{
cx2 0 < x < 3
0 caso contr ário
é uma função densidade.
b) Calcule P(1 < X < 2).
Resolução:
a) A f (x) é uma função densidade se:
1. f (x) ≥ 0 e
2.
∫ ∞
−∞
f (x)dx = 1.
A propriedade 1 será satisfeita se c ≥ 0. Porém, a f (x) precisa também de
satisfazer a propriedade 2 para ser uma função densidade.
Então,
∫ ∞
−∞
f (x)dx =
∫ 3
0
cx2dx = cx
3
3
∣∣∣3
0
= 9c e como esta integral deve
ser igual a 1, então, c = 19 .
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 20 / 26
Variáveis Aleatórias Cont́ınua
Resolução:
b) P(1 < X < 2) =
∫ 2
1
1
9x
2dx = x
3
27
∣∣∣2
1
= 727
Como em variáveis aleatórias cont́ınuas a probabilidade de X ser igual a
um valor particular é zero, pode-se então concluir que:
P(1 < X < 2) = P(1 ≤ X < 2) = P(1 < X ≤ 2) = P(1 ≤ X ≤ 2) = 727
Função de Distribuição de VAC
F (x) = P(X ≤ x) = P(−∞ < X < x) =
∫ x
−∞
f (u)du
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 21 / 26
Variáveis Aleatórias Cont́ınua
Situações t́ıpicas do cálculo de probabilidades em VAC
a) P(X < a) = P(X ≤ a) = F (a) =
∫ a
−∞
f (x)dx
b) P(X > a) = 1− P(X ≤ a) = 1− F (a) = 1−
∫ a
−∞
f (x)dx
ou P(X > a) =
∫ +∞
a
f (x)dx
c) P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)
= F (b)− F (a) =
∫ b
a
f (x)dx
Esperança Matemática para variáveis aleatórias cont́ınuas
E (X ) =
∫ +∞
−∞
xf (x)dx
Variância para variáveis aleatórias cont́ınuas
σ2(x) = E (X
2)− E 2(X ) e σ(x) =
√
σ2(x) onde E (X
2) =
∫ +∞
−∞
x2f (x)dx
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 22 / 26
Variáveis Aleatórias Cont́ınua
Exemplo 1: Se a função densidade de probabilidade de uma variável
aleatória é dada por:
f (x) =

c√
x para 0 < X < 4
0 em qualquer outra parte
a) Qual é o valor de c?
b) Qual é a função de distribuição?
c) P(X > 1) =?
d) P(1 < X < 2) =?
Exemplo 2: Dada a função:
f (x) =

x2
3 −1 < X < 2
0 caso contr ário
a) Calcular a E(X).
b) Calcule o desvio-padrão.
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 23 / 26
Variáveis Aleatórias Cont́ınua
Resolução 1:
a)
∫ 4
0
c√
x dx = c
∫ 4
0
dx√
x = 2c
√
x
∣∣∣4
0
= 4c, como 4c = 1⇒ c = 14
b) F (x) =
∫ x
−∞
f (u)du =
∫ x
−∞
du
4
√
u =
√
x
2
c)P(X > 1) = 1− F (1) = 12
d)P(1 < X < 2) = F (2)− F (1) =
√
2−1
2 .
Resolução 2:
a) E (x) =
∫ 2
−1
x3
3 dx =
15
12 = 1, 25
b) σ2(x) = E (X
2)− [E (X )]2
E (X 2) =
∫ 2
−1
x4
3 dx = 2, 2
σ2(x) = 2, 2− (1, 25)
2 = 0, 6375⇒ σ(x) =
√
0, 6375
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 24 / 26
Referências bibliográficas
Morettin, L. G. Estat́ıstica Básica Probabilidade, vol. 1, 7a edição,
São Paulo, 1999;
Reis, E.et al.. Estat́ıstica Aplicada, vol. 1, Edições Śılabo, 2007;
Wilton De O. Bussab and Pedro A. Morettin, Estat́ıstica Básica, 8a
edição, Saraiva, São paulo, 2013.
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 25 / 26
OBRIGADO
Aula Teórica 7 (ISUTC) Probabilidades e Estat́ıstica 24 de outubro de 2021 26 / 26