Prévia do material em texto
Gabarito das Autoatividades INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (MATEMÁTICA) 2012/1 Módulo III 3UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE INTRODUÇÃO AO CÁLCULO UNIDADE 1 TÓPICO 1 1 Determine os seguintes conjuntos apresentando os seus elementos na forma tabular ou descritiva: a) A = {x x é estado brasileiro da Região Sul} b) B = {x x é algarismo do sistema de numeração indo-arábico} c) C = {x x é número par entre 9 e 21} d) D = {x x é vogal da palavra Brasil} R.: a) A = {SC, PR, RS} b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} c) C = {10, 12, 14, 16, 18, 20} d) D = {a, i} 2 Destaque, entre os conjuntos a seguir, os conjuntos unitários e os conjuntos vazios: a) A = {x x é dia da semana que começa com a letra D} b) B = {x x é Estado do Brasil banhado pelo Oceano Pacífico} c) C = {x x é número par solução da equação x – 3 = 0} d) D = {x x é diagonal de um triângulo} R.: a) A = {Domingo} – Conjunto Unitário b) B = { } – Conjunto Vazio c) C = { } – Conjunto Vazio d) D = { } – Conjunto Vazio 3 Classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), considerando os seguintes conjuntos: M = conjunto dos países do Mercosul R = conjunto das regiões brasileiras P = conjunto dos números primos Q = conjunto dos números quadrados 4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O a) (V) Paraguai b) (V) Chile c) (F) Uruguai d) (V) Nordeste e) (V) Uruguai f) (F) 21 g) (F) 23 h) (V) 20 i) (V) 64 j) (V) Sudeste k) (V) l) (F) 55 4 Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F): R.: 5 Escreva o conjunto expresso pela propriedade: a) x é um número natural par. b) x é um número natural menor do que 8. c) x é um número natural múltiplo de 5 e menor do que 31. R.: a) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 2n}, ∀n ∈ N b) B = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} c) C = {5, 10, 15, 20, 25, 30} 6 Escreva uma propriedade que define o conjunto: a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) B = {0, 2, 4, 6} c) C = {11, 13, 15, 17} d) D = {0, 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100} R.: a) A = {x N 0 ≤ x ≤ 9} b) B = {x ∈ N x é par e 0 ≤ x ≤ 6} c) C = {x ∈ N x é ímpar e 11 ≤ x ≤ 17} d) D = {x ∈ N 0 ≤ x ≤ 100} 7 Sejam A = {x x é número par compreendido entre 3 e 15} B = {x x é número par menor que 15} C = {x x é número par diferente de 2} 5UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O Usando os símbolos ⊂ ou ⊄, complete: R.: a) A ⊂ B b) A ⊂ C c) B ⊄ C 8 No diagrama seguinte, A, B e C são três conjuntos não vazios. Classifique em V ou F cada uma das seguintes sentenças, conforme ela seja verdadeira ou falsa, respectivamente: R.: a) (V) A ⊂ B b) (V) C ⊂ B c) (F) B ⊂ A d) (F) A ⊂ C e) (V) B ⊄ A f) (V) A ⊄ C g) (V) B ⊃ A h) (F) A ⊃ C 9 Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F): R.: 6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O a) (V) 1 ∈ A k) (V) 17 ∉ A b) (F) 4 ∈ A l) (V) 14 ∉ B c) (V) 7 ∈ A m) (F) A ⊂ B d) (V) 7 ∈ B n) (F) B ⊂ C e) (V) 3 ∈ B o) (V) A ⊄ C f) (V) 11 ∈ C p) (V) C ⊂ U g) (F) 10 ∉ C q) (F) A ⊄ U h) (V) 14 ∉ C r) (F) U ⊂ B i) (F) 15 ∉ U j) (F) 9 ∉ A 10 Classifique as seguintes sentenças em (V) verdadeiras ou (F) falsas: R.: a) (F) A ≠ B e B ≠ C ⇒ A ≠ C b) (V) x ∈ A e A B ⇒ x ∈ B c) (F) ∀x A e A ⊃ B ⇒ x ∈ B d) (F) Se A = {x x é número par positivo}, então 2 ⊂ A. e) (V) Se A = {x x é número par positivo}, então A ⊃ {2, 4}. 11 (PAIVA, 2000, p. 16) Antes de resolvermos esta questão, vamos recordar algumas notações e alguns conceitos de geometria: ● Pontos são nomeados por letras latinas maiúsculas (A, B, C, D, ...). ● Retas são nomeadas por letras latinas minúsculas (a, b, c, d, ..., r, s, t, ...). ● Um segmento de reta de extremos A e B é indicado por . ● Uma semirreta de origem A que passa por B é indicada por ● Uma reta é um conjunto de pontos; logo, cada um de seus pontos é um elemento da reta. ● Uma semirreta é um conjunto de pontos; logo, cada um de seus pontos é um elemento da semirreta. ● Um segmento de reta é um conjunto de pontos; logo, cada um de seus pontos é um elemento do segmento de reta. Agora, de acordo com a figura, classifique as afirmações em (V) verdadeiras ou (F) falsas: R.: 7UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O a) (V) A ∈ r b) (F) A ⊂ r c) (V) { A } ⊂ r d) (F) ∈ r e) (V) ⊂ r f) (V) ⊂ g) (V) A ∈ h) (F) A ⊂ TÓPICO 2 1 Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C = {x x é número par positivo menor que 10} e D = {x x é número ímpar compreendido entre 4 e 10}, determine: R.: Obs.: Na teoria dos conjuntos, alguns autores consideram o zero como um número natural, assim o faremos nesta disciplina. Na disciplina de Álgebra que você irá cursar, você entenderá melhor como é a construção axiomática dos conjuntos numéricos. a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 5} b) A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} c) A ∪ D = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9} d) C ∪ D = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e) B ∪ D = {0, 2, 3, 5, 7, 9} f) C ∩ D = { } g) A ∩ B = {0, 2, 3} h) A ∩ C = {0, 2 } i) A ∩ D = { } j) B ∩ C = {0, 2 } k) (A ∩ B) ∩ C = {0, 2 } l) (A ∩ C) ∩ D = { } 8 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 2 O que se pode dizer do conjunto A ∪ B, sabendo que A = ∅? Justifique sua resposta. R.: Quando A = ∅, temos que A ∪ B = B, pois o vazio está contido em qualquer conjunto. Desse modo A = ∅ é um subconjunto de B, implicando que A ∪ B resulte no próprio B. 3 O que se pode dizer do conjunto A ∪ B, sabendo que A ⊂ B ? Justifique sua resposta. R.: Quando A ⊂ B, temos que A ∪ B = B, pois se A é um subconjunto de B, então para todo e qualquer elemento x pertencente a A, x pertencerá também a B. Logo A ∪ B = B, pois B contém os elementos de A e de B. 4 No diagrama a seguir, represente os conjuntos: A = {a, b, c, f, g, j}, B = {a, b, c, d, e, h, I}, C = {a, b, d, e, f, g, l, m} e sombreie a região que representa o conjunto dado pela expressão (A ∩ B) ∩ C. R.: 5 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, determine o conjunto A – B e o conjunto B – A. R.: A – B = {1, 2} B – A = {6, 7} 6 Dados os conjuntos A = {x x é número inteiro par entre 1 e 11} e B = {x x é número inteiro entre 0 e 10}, determine A – B e B – A. R.: A – B = {10} B – A = {1, 3, 5, 7, 9} 7 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine o que se pede: R.: a) A – B = {1, 2} b) B – A = {6, 7, 8} 9UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 9 Três conjuntos A, B e C são tais que: A ∩ B ∩ C = {a, i} B ∩ C = {a, i, j} A ∩ B = {a, i, h} A ∩ C = {a, i, e, f} C – (A ∪ B) = {d} B – (A ∪ C) = {b, c} A – (B ∪ C) = {g}. Utilizando os diagramas de Venn, determine os conjuntos A, B e C. R.: c) A – C = { } d) C – A = {6, 7, 8, 9, 10} e) C – (A ∪ B) = {9, 10} f) (A ∩ C) – (B ∩ C) = {1, 2} g) (A ∪ B) – C = { } 8 No diagrama a seguir, sombreie a região que representa a expressão (A ∪ B) – C. R.: 10 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O A = {a, e, f, g, h, i} B = {a, b, c, h, i, j} C = {a, d, e, f, i, j} 10 Sabendo que M = {2, 3, 4, 5, 6}, M ∪ N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e M∩ N = {2, 3, 4}, determine o conjunto N. R.: N = { 1,2,3,4,7 } 11 Se A = {1, 3, 4, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A ∩ B = {5, 6}, determine o conjunto B. R.: B= { 2,5,6,7} 12 Dados A ∩ B = {2, 3, 8}, A C = {2, 7}, B ∩ C = {2, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine os conjuntos A, B e C. (Dica: faça uso dos diagramas de Venn.) R.: A = {1,2,3,4,7,8} B = {2,3,5,6,8,9,10} C = { 2,5,6,7} 13 Suponha que A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A – B = {a, b, c}. Determine o conjunto B. R.: B = { d, e, f, g, h } 14 Um conjunto A tem 13 elementos, A ∩ B tem 8 elementos e A ∪ B tem 15 elementos. Quantos elementos têm B? R.: 11UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O n(B) = 8 + 2 = 10 15 (DANTE, 1999, p. 39) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões? R.: 15 + 10 + 10 + x = 40 35 + x = 40 x = 5 alunos 16 (DANTE, 1999, p. 39) Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles. a) Quantos alunos leram Iracema? b) Quantos leram só Helena? c) Qual é o número de alunos nessa classe? R.: 12 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O a) 10 + 15 = 25 alunos b) 10 alunos c) 10 + 10 + 15 + 15 = 50 alunos 17 Uma escola tem 20 professores, sendo que 6 lecionam apenas matemática, 5 apenas física e 7 lecionam outras disciplinas distintas de matemática e física. Quantos são os professores que lecionam matemática e física? R.: 20 = 6 + x + 5 + 7 x = 02 professores 18 (PAIVA, 2000, p. 44) Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes de dois refrigerantes: o Grud-Cola e o Pimba-Cola. Para se saber qual o preferido numa certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 jovens dessa localidade e foram computados os seguintes resultados: • 135 jovens bebem Grud-Cola; • 75 jovens bebem os dois refrigerantes; • 40 jovens não bebem nenhum dos dois refrigerantes. Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua qual o refrigerante preferido por eles e quantos jovens bebem esse refrigerante. 13UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 245 = 60 + 75 + x + 40 x = 245 – 175 x = 70 (apenas Pimba-Cola) 70 + 75 = 145 bebem Pimba-Cola. O refrigerante preferido é o Pimba-Cola; 145 jovens bebem esse refrigerante. 19 (PAIVA, 2000, p. 45) Nas favelas, devido às péssimas condições sanitárias, as doenças proliferam com muita rapidez. Em exames de fezes, feitos em 41 crianças faveladas, foi constatada a presença de três tipos de bactérias (A, B e C). Exatamente: • 23 crianças têm a bactéria A; • 11 crianças têm as bactérias A e B; • 25 crianças têm a bactéria B; • 12 crianças têm as bactérias B e C; • 22 crianças têm a bactéria C; • 11 crianças têm as bactérias A e C. Sabendo que cada uma das 41 crianças apresentou pelo menos uma das bactérias, quantas crianças apresentaram as três bactérias? R.: 41 = 1 + x + 11 – x + 2 + x + 11 – x + x + 12 – x – 1 + x x = 5 crianças 20 (DANTE, 1999, p. 39) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 ao programa C. Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos três programas. a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas? R.: 315 + 170 + 75 + 15 + 10 + 50 + 311 + x = 1.000 946 + x = 1.000 x = 1.000 – 946 x = 54 famílias 14 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 21 (DANTE, 1999, p. 40) Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados leem o jornal A, 29% leem o jornal B, 22% leem o jornal C, 13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A e C e 6% leem os três jornais. a) Quanto por cento não lê nenhum desses três jornais? R.: 12 + 7 + 16 + 8 + 6 + 0 + 8 + x = 100% 57 + x = 100% x = 43% b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C? R.: 7% c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal? R.: 57% b) Quantas famílias assistem somente ao programa A? R.: 315 famílias c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B? R.: 311 + 54 = 365 famílias 15UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 22 (PAIVA, 2000, p. 44) Uma empresa, fabricante de achocolatados, pretende lançar um novo produto no mercado. Para isso encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos consumidores entre duas embalagens A e B. Foram consultadas 402 pessoas, e o resultado foi precisamente o seguinte: • 150 pessoas gostaram somente da embalagem A; • 240 pessoas gostaram da embalagem B; • 60 pessoas gostaram das duas embalagens. Quantas pessoas não gostaram de nenhuma das duas embalagens, sabendo que todas as 402 pessoas opinaram? 150 + 60 + 180 + x = 402 390 + x = 402 x = 402 – 390 x = 12 pessoas 16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O TÓPICO 3 1 (DANTE, 1999, p. 9) Observe os números a seguir: - 3 3 2 0 1,5 4 4 31− 3 -1,22... 3,141592... A B C D E F G H I Dentre esses números, determine quais são: a) naturais b) inteiros c) racionais d) irracionais R. a) C, E b) A, C, E c) A, B, C, D, E, F, H d) G, I 2 (DANTE, 1999, p. 9) Localize, na reta, aproximadamente, o ponto correspondente a cada número da questão anterior. R.: 3 (DANTE, 1999, p. 9) Identifique quais dos números a seguir não são números reais: ( ) ( ) 0 8 ; ( ) 3 1− ; ( ) 4− ( ) R.: 0 8 , pois não há número real que multiplicado por 0 resulte 8. 4− , não há número real que elevado ao quadrado resulte em -4. 17UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 4 Existe um maior elemento em cada conjunto explicitado a seguir? Explique sua resposta em cada caso: a) A = {x ∈ R x < 1,25} b) B = {x ∈ Q x < 1,25} c) C = {x ∈ Z x < 1,25} a) A = { X ∈ R | x < 1,25 } R.: Não existe um maior número real para x, pois para cada valor de x que sugerirmos existirá um outro que é maior que x e ainda é menor que 1,25. Exemplo: 1,249 < 1,2499 < 1,24999 < ... < x < ... < 1,25 b) B = { X ∈ Q | x < 1,25 } R.: Da mesma forma, não existe um maior número racional para x, pois para cada valor de x que sugerirmos existirá um outro que é maior que x e ainda é menor que 1,25. Exemplo: 1,249 < 1,2499 < 1,24999 < ... < x < ... < 1,25 c) C = { X ∈ Z | x < 1,25 } R.: Como x deve ser um número inteiro o maior valor será 1. Veja: 1 < 1,25 < 2 5 Escreva como você explicaria o que é o conjunto dos números reais para alguém que conhece o conjunto dos números racionais. R.: Esta questão permite várias soluções; solicitar aos acadêmicos que apresentem algumas possibilidades. 6 Escreva como você explicaria o que é o conjunto dos números reais para alguém que conhece somente o conjunto dos números inteiros. R.: Esta questão permite várias soluções; solicitar aos acadêmicos que apresentem algumas possibilidades. 7 Classifique as seguintes sentenças em (V) verdadeiras ou (F) falsas: R.: a) (V) É possível sempre encontrar um número real que esteja entre dois números reais distintos. b) (V) Para cada número inteiro podemos fazer corresponder um ponto na reta. c) (V) Para cada número racional podemos fazer corresponder um ponto na reta. 8 Apresente duas formasdistintas para conceituar número real. R.: Esta questão permite várias soluções; solicitar aos acadêmicos que apresentem algumas possibilidades. 18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 9 Se A = {x ∈ R - 1 < x < 2} e B = {x ∈ R 0 ≤ x < 3}, o conjunto A ∩ B é o intervalo: a) (x) [0, 2) b) ( ) (0, 2) c) ( ) [-1, 3] d) ( ) (-1, 3) e) ( ) (-1, 3] 10 A diferença A – B, sendo A = {x ∈ R - 4 ≤ x ≤ 3} e B = { x ∈ R - 2 ≤ x < 5} é igual a: a) ( X) {x ∈ R - 4 ≤ x < -2} b) ( ) {x ∈ R - 4 ≤ x ≤ -2} c) ( ) {x ∈ R 3 < x < 5} d) ( ) {x ∈ R 3 ≤ x ≤ 5} e) ( ) {x ∈ R - 2 ≤ x < 5} 11 Dados os intervalos A = ]-3, 10] e B = [5, 13[, determine: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B d) B – A R.: a) A ∪ B = ]-3, 13[ b) A ∩ B = [5, 10] c) A – B = ]-3, 5[ d) B – A = ]10, 13[ 12 Dados os intervalos A = [2, +∞[ e B = ]-∞, 5[ , determine: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B d) B – A R.: a) A ∪ B = ]-∞, +∞[ b) A ∩ B = [2, 5[ c) A – B = [5, +∞[ d) B – A = ]-∞, 2[ 19UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 13 Se A = {x ∈ R 0 < x < 2} e B = { x ∈ R -3 ≤ x ≤ 1}, então o conjunto (A ∪ B) – (A B), é: a) ( ) [-3, 0] ∪ ]1, 2[ b) ( ) [-3, 0[ ∪ [1, 2[ c) ( ) [-∞, -3] ∪ ]2, +∞[ d) ( ) ]0, 1] e) ( ) [-3, 2[ 14 Sejam os conjuntos A = {x ∈ R 1 ≤ x < 5} e B = { x ∈ R 2 ≤ x ≤ 6}. Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) A ∩ B = {2, 3, 4} b) ( ) A ∩ B = {x ∈ R 2 ≤ x ≤ 5} c) ( ) A ∩ B = {x ∈ R 2 < x < 5} d) ( ) A ∩ B = {x ∈ R 2 < x ≤ 5} e) ( ) A ∩ B = {x ∈ R 2 ≤ x < 5} 15 Sejam os conjuntos A = ]-∞, 1], B = ]0, 2] e C = [-1, 1]. O intervalo C ∪ (A ∩ B) é: a) ( ) ]-1, 1] b) ( ) [-1, 1] c) ( ) [0, 1] d) ( ) ]0, 1] e) ( ) ]-∞, -1] UNIDADE 2 TÓPICO 1 1 Determine a lei algébrica de cada uma das seguintes funções reais: a) f1 associa a cada número real seu dobro. b) f2 associa cada número real a seu quadrado. c) f3 associa cada número real a seu triplo menos 1. R.: a) f1: R R, f1 = 2x 20 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O b) f2: R R, f2 = x 2 c) f3: R R, f3 = 3x – 1 2 Determine a lei algébrica de cada uma das seguintes funções, estabelecendo os conjuntos domínio e imagem: a) f1 é a função de R* em R*, que associa a cada número real seu inverso. b) f2 é a função de N em N, que associa a cada número natural o quadrado de seu sucessor. c) f3 é a função de R+ em R+, que associa a cada número real sua raiz quad- rada. R.: a) f1 = x 1 , D = R*, Im = R* b) f2 = (x + 1) 2, D = N, Im = N c) f3 = x , D = R+, Im = R+ 3 Determine o domínio de cada uma das seguintes funções reais: a) f(x) = 4x – 5 b) f(x) = -x2 – 7x + 5 c) f(x) = 1x 1 − d) f(x) = 4x + e) f(x) = 9x 310x 2 − + f) f(x) = 2x 1x − − R.: a) D = R b) D = R c) D = R – { 1 } d) D = {x ∈ R x ≥ -4} e) D = R – { ±3 } f) D = R – { 2 } 4 Classifique as seguintes sentenças em (V) verdadeiras ou (F) falsas: a) b) c) d) e) f) (V) (V) (V) (V) (F) (F) A função f: R+ → R+ definida por f(x) = x2 é injetora. A função f: R → R definida por f(x) = x + 1 é bijetora. A função f: {0, 1, 2, 3} → R definida por y = x – 1 não é sobrejetora. A função f: {0, 1, 2, 3} → N definida por y = x + 1 é injetora. A função f: R → R definida por f(x) = x2 + 1 é bijetora. A função f: N → R+ definida por y = x é bijetora. 5 Seja a função real dada por f(x) = x + 2. Represente-a graficamente e classifique-a em crescente ou decrescente. R.: 21UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O A função f(x) = x + 2 é crescente. 6 Observando o gráfico da função a seguir: GRÁFICO 13 – GRÁFICO DA FUNÇÃO FONTE: Giovanni; Bonjorno (2000, p. 144) 22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O a) Determine os intervalos em que a função é crescente. b) Determine os intervalos em que a função é decrescente. c) O que ocorre com a função no intervalo de x = 1 a x = 2? R.: a) A função é crescente nos seguintes intervalos de x: (-2, 1); (2, 3). b) A função é decrescente no seguinte intervalo de x: (3, 4). c) A função é constante neste intervalo de x. 7 Construa o gráfico da função f: R → R dada por f(x) = x2. Analise e verifique se ela é crescente ou decrescente. R.: A função f(x) = x2 é decrescente para o intervalo de x (-∞, 0) e crescente para o intervalo de x (0, +∞). 8 (Adaptado de: GIOVANNI; BONJORNO, 2000, p. 151) Num tanque, as variações na população de espécies de peixes A, B e C são descritas, no período de 10 meses, pelo gráfico: GRÁFICO 14 – VARIAÇÕES NA POPULAÇÃO DE ESPÉCIES DE PEIXES 23UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O FONTE: Disponíve l em: <ht tp : / /www.por ta l impacto.com.br /docs/ AldoUEPARevisao03.pdf>. Acesso em: 20 maio 2010. Quais afirmações a seguir são verdadeiras? a) ( ) No período de 0 a 2 meses, a população B manteve-se menor que a C. b) ( ) No quinto mês, havia menos de 3.500 peixes nesse tanque. c) (x) No período de 0 a 5 meses, as populações B e C mantiveram-se crescentes. d) ( ) A população C atingiu o seu máximo no terceiro mês. e) ( ) No período de 3 a 7 meses, a população B manteve-se maior que a A. 9 Associe os gráficos a seguir à classificação da função quanto à sua paridade: (a) Função par (b) Função ímpar (c) Nem par, nem ímpar (c) y = 2x (a) y = x2 – 3 24 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O (c) y = x3 + 3x2 – 4 (b) y = 3x TÓPICO 2 1 Resolva as equações do 1º grau: a) 5(x – 2) = 4x + 6 e) 2(x + 1) = 2 b) -4 (4 - x) = 2(x - 1) f) -3(x + 2) = -6 c) -2x = -6 g) 0,1(x – 2) + 0,5x = 0,7 d) -3x + 1 = -8 h) 0,4(x +3) – 0,2x = 4 R.: a) b) c) d) 25UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O e) f) g) h) 2 Resolva as equações do 1º grau: a) 6 1 3 x 4 1x =+ − e) 1 3 1x3 4 4x = − + − b) x 5 4x 9 1x = − − − f) x 5 4x 9 1x = − − − c) 1 3 2x 4 2x3 = + − + g) 4 1x 3 x 6 1x2 − =+ + d) 4 1x 3 x 6 1x2 − =+ + h) 1 3 y25 5 y2 = + − R.: 26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 3 Uma gerente de uma fábrica de móveis tem um custo fixo de R$ 10.000,00 por mês para manter a fábrica em condições de funcionamento, ou seja, manter o salário dos seus funcionários e os gastos com energia elétrica, água e telefone. Para cada unidade de móvel produzido na fábrica, há um custo variável de R$ 100,00. a) Apresente uma função que expresse o valor “y” do custo total mensal da indústria na produção de “x” unidades de móveis. b) Calcule o custo da produção de 200 móveis. c) Calcule o número de móveis produzidos, sabendo-se que o custo mensal 27UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O de produção foi de R$ 58.000,00. 4 Dada a função y = -4x + 20 faça o que se pede: a) Calcule o valor de x para que se tenha y = 48. b) Calcule o valor de y para x = 3. 5 O gerente de uma loja compra um sapato por R$ 45,00 e vende por R$ 75,00. A despesa com frete é de R$ 70,00. a) Determine uma função que represente o lucro do fabricante. b) Quantos sapatos desse modelo a loja deverá comprar para ter um lucro de R$ 980,00? R.: 28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 6 Uma fábrica de móveis vende mesas por R$ 700,00 cada uma. O custo total de produção do fabricante consiste em uma sobretaxa de R$ 80.000,00, somada ao custo de produção de R$ 300,00 por mesa. a) Determine uma função que represente o lucro do fabricante. b) Determine o númerode mesas que o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$ 60.000,00. R.: 7 Classifique as funções a seguir em afim, linear, identidade, constante e translação: a) y = 5x + 2 b) y = -x + 3 c) y = 7 d) y = x e) y = 3x f) y = x + 5 g) y = -x + 2 h) y = -5 R.: a) Afim b) Afim c) Constante d) Identidade e) Linear f) Translação g) Afim h) Constante 8 Esboçar o gráfico das funções a seguir, classificando-as em crescente, decrescente ou constante. a) y = x + 1 b) y = 2x c) y = 6 d) y = -x e) y = 2 – x f) y = -2 – 2x g) y = x h) y = 2x + 3 R.: a) Crescente b) Crescente 29UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O c) Constante d) Decrescente e) Decrescente f) Decrescente g) Crescente h) Crescente 30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 9 Escreva a função afim y = ax + b, cujo gráfico passa pelos seguintes pontos: a) P(1, 5) e Q(-3, -7) b) P(-1, 7) e Q(2, 1) c) P(2, -2) e Q(1, 1) R.: TÓPICO 3 1 Construa o gráfico das seguintes funções, apresentando: (i) raízes da função (quando existirem) (ii) intersecção com eixo y (iii) coordenadas do vértice 31UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O a) y = x2 – 3x + 2 e) y = 3x – x2 b) y = x2 – 5x + 4 f) y = 4 – x2 c) y = -x2 + 7x – 12 g) y = x2 – 48 d) y = x2 – 2x + 1 h) y = 2x2 – 7z – 4 R.: a) b) c) 32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O d) e) 33UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O f) g) h) 34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 2 Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura h atingida por uma bala, em metros, em função do tempo t, em segundos, é dada por h(t) = -20t2 + 200t. Qual a altura máxima atingida pela bala? Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima? 3 Determine o valor máximo (mínimo) e o ponto de máximo (mínimo) de cada uma das funções: a) y = 2x2 – 12x + 10 e) y = 3x2 b) y = -x2 + 4x + 5 f) y = x2 – 2x + 4 c) y = x2 – 9 g) y = -x2 + 3x – 5 35UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O d) y = -x2 + 16 h) y = -x2 R.: a) V = b) V = c) V = d) V = e) V = f) V = g) V = h) V = TÓPICO 4 1 (DANTE, 2005, p. 167) Verifique se as igualdades são verdadeiras ou falsas: a) (F) | 5 | = -5 e) (F) | 5 | + | -5 | = 0 b) (V) | -5 |=5 f) (F) –| -5 | = 5 c) (V) | 5 | = | -5 | g) (V) ( ) 55 2 =− d) (V) – | 5 | = -5 h) (V) | 52 | = [ | -5 |) ]2 2 Analisando a definição e o gráfico da função modular f(x) = x, faça o que se pede: GRÁFICO 34 – GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR f(x) = │x│ a) Determine D(f) e Im(f). b) f é crescente ou decrescente? c) f é injetora? É sobrejetora? d) f é função par ou ímpar? FONTE: Grapes 6.71 – Freeware (2009) 36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O R.: a) D(f) = R e Im(f) = R+ b) Crescente no intervalo (0, +∞) e decrescente no intervalo (-∞, 0). c) Não é injetora, mas é sobrejetora. d) Função Par. 3 Resolva as seguintes equações modulares: a) │x – 3│ = 5 d) 5 3 2x = − b) │3x + 2│ = 8 e) │x2 + 6x – 1│ = 6 c) │2x – 5│ = x + 4 f) │-2x + 1│ = x + 2 R.: a) ou . b) ou . c) ou . d) ou . 37UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O e) ou . f) ou . 4 Construa o gráfico da função f(x) = │2x + 1│ e determine os conjuntos domínio e imagem. R.: D(f) = R e Im(f) = R+ TÓPICO 5 1 Determine o domínio das seguintes funções racionais: a) 2x 1y − = 12x 3y + = 1+ = 2x 5xy R.: a) D = R – {2} b) D = R – {1/2} c) D = R – { ±1 } 2x + 1 b) c) 5x 38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 2 Admita que uma determinada raça de cães tem um desenvolvimento que obedece ao seguinte modelo matemático: sendo P(t) o peso médio (em kg) de um animal em função do tempo t (em meses) de vida desde o seu nascimento. a) No contexto do problema, determine o domínio da função. b) Qual é o peso médio de um animal recém-nascido? c) Com que idade um cão dessa raça atinge 9 kg? R.: 3t 12tP(t) + = , a) D = {t ∈R | t ≥ 0} b) 3t 12tP(t) + = Considerar t = 1 dia de vida = 1/30 mês c) t = 9 meses 3 Determine o domínio das seguintes funções irracionais: R.: a) D(f) = {x ∈R | x ≤ } b) D(f) = {x ∈R | x > 1 ou x < 0} 39UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O ⟺ x > 1 ou x < 0 *** D(f) = {x c) D(f) = {x ∈R | x ≤ 0 } 4 A procura de um determinado modelo de relógio é dada, em centenas de unidades, em função do preço p, em dezenas de euros, por: a) No contexto do problema, determine o domínio da função. b) Determine o preço p para o qual a procura é 12 centenas de unidades. R.: 6p300144 −= p =26 dezenas de euros 5 (GIOVANNI; BONJORNO, 2000, p. 146) Uma chácara de área z foi dividida em 10 lotes, todos de forma quadrada de lado x e área y. Escreva a fórmula matemática que expresse: a) y em função de x b) z em função de y c) z em função de x R.: a) y = x2 b) z = 10y c) z = 10x2 6p 40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 6 Sendo f e g funções de domínio real com f(x) = x2 + 5x e g(x) = 1 – 2x, determine: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) R.: a) f(g(x)) = (1 – 2x)2 + 5(1 – 2x) = 1 – 4x + 4x2 + 5 – 10x = 4x2 – 14x + 6 b) g(f(x)) = 1 – 2(x2 + 5x) = 1 – 2x2 – 10x = -2x2 – 10x + 1 c) f(f(x)) = (x2 + 5x)2 + 5(x2 + 5x) = x4 + 10x3 + 30x2 + 25 d) g(g(x)) = 1 – 2(1 – 2x) = 1 – 2 + 4x = 4x – 1 7 (GIOVANNI; BONJORNO, 2000, p. 149) Construa, em um mesmo sistema cartesiano, os gráficos da função f e da sua inversa f-1, dadas por: a) f(x) = 2x – 3 b) f(x) = x + 1 c) f(x) = 1 2 x +R.: a) b) 41UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O UNIDADE 3 TÓPICO 1 1 Classifique as seguintes equações em (V) verdadeiras ou (F) falsas. Não esqueça as propriedades que você acabou de estudar. a) (F) 23 ⋅ 220 = 260 d) (F) (2 + 3)2 = 22 + 32 b) (V) (32)3 = 36 e) (V) c) (F) (52)4 = 516 f) (F) 2 Efetue, observando as definições e propriedades: a) (-2)3= -8 i) (-3)4 = 81 b) 120 = 1 j) (0,5)3 = 0,125 c) 5001 = 500 k) 151 = 15 d) 1000 = 1 l) 900 = 1 e) 03 = 0 m) 020 = 0 42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O f) n) 2 g) 5-1 = o) h) 2-3 = p) 3 Calcule o valor da expressão: (-2)3 + . R.: 4 Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de para que se tenha: a) 56,754 · = 567.540 c) · 23 = 0,000023 b) 0,003 · = 30 d) · 4,5 = 0,00045 R.: a) 104 b) 104 c) 10-6 d) 10-4 5 Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação científica: a) b) R.: a) b) 6 O produto 0,000015 · 0,000000002 é igual a: a) ( ) 3 ⋅ 10-40 d) ( ) 30 ⋅ 10-13 b) ( ) 3 ⋅ 10-14 e) ( ) 3⋅ 10-4 c) ( ) 30 ⋅ 10-14 43UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O R.: . (Alternativa B) 7 O valor da expressão (-2)-2 + (-2)-1 +(-2)1 + (-2)2 é igual a: a) ( ) -13 d) ( ) b) ( ) -3 e) ( ) 0 c) ( ) R.: . (Alternativa D) 8 Efetue as adições algébricas com radicais, observando as propriedades estudadas: a) b) c) d) e) f) R.: a) b) c) d) e) f) 9 Reduza os radicais a uma expressão da forma , com a e b inteiros, fazendo uso de simplificação de radicais: 44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O a) d) b) e) c) f) R.: 10 Resolva as equações exponenciais: a) 64x = 256 c) 9x – 1 – 81 = 0 b) 92x – 1 = 275x + 1 d) a) b) R.: 45UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O c) d) 11 Identifique as seguintes funções como crescentes (C) ou decrescentes (D): a) (C) f(x) = 4x e) (D) f(x) = b) (D) f(x) = (0,01)x f) (C) f(x) = c) (D) f(x) = g) (C) f(x) = d) (D) f(x) = 2-x h) (C) f(x) = 12 Construa o gráfico das seguintes funções, apresentando domínio e imagem: a) f(x) = 3x b) f(x) = R.: a) b) 46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 13 O gráfico ao lado refere-se à função . a) A função é crescente ou decrescente? b) Qual o domínio e qual a imagem da função? c) Para que valor de x tem-se ? d) Para quais valores de x tem-se ? e) Para quais valores de x tem-se ? GRÁFICO 42 – FUNÇÃO FONTE: Bianchini; Paccola (2004, p.134) R.: a) Crescente b) D(f) = R Im(f) = R c) x = 3 d) x > -3 e) x < 4 14 Estima-se que daqui a t anos o valor de uma fazenda seja igual a 500 · 3t milhares de reais. Após dois anos, a valorização (aumento de valor) em relação a hoje será de: a) ( ) 4 milhões de reais. b) ( ) 3,5 milhões de reais. c) ( ) 2 milhões de reais. d) ( ) 1,5 milhão de reais. e) ( ) 1 milhão de reais. R.: (Alternativa A) 47UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O TÓPICO 2 1 Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos: a) log25 0,2 b) log20,25 c) log 0,01 d ) 5log625 e) log2 128 f ) log 128 2 g) 1000log h) log1515 R.: a) b) c) d) 48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O 2 Resolva as seguintes equações logarítmicas: a) logx (3x 2 – x) = 2 b) log(x + 2) (20 – 2x) = 2 c) d) log12 (x 2 – x) = 1 R.: a) (desconsiderar) b) (desconsiderar) c) d) 3 Dados log 2 = 0,301; log 3 = 0,477; log 5 = 0,699 e log 7 = 0,845, calcule, fazendo uso das propriedades operatórias dos logaritmos: 49UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O a) log 15 b) log 14 c) log 42 d) log 210 e) log 6 f) 3 7log R.: a) log 15 = log(3 · 5) = log 3 + log 5 = 0,477 + 0,699 = 1,176 b) log 14 = log(7 · 2) = log 7 + log 2 = 0,845 + 0,301 = 1,146 c) log 42 = log (7 · 2 · 3) = log 7 + log 2 + log 3 = = 0,845 + 0,301 + 0,477 = 1,623 d) log 210 = log(7 · 3 · 5 · 2) = log 7 + log 3 + log 5 + log 2 = = 0,845 + 0,477 + 0,699 + 0,301 = 2,322 e) log 6 = log(3 · 2) = log 3 + log 2 = 0,477 + 0,301 = 0,778 f) 3 7log = log 7 – log 3 = 0,845 – 0,477 = 0,368 4 Um explorador descobriu, na selva amazônica, uma espécie nova de planta e, pesquisando-a durante anos, comprovou que o seu crescimento médio variava de acordo com a fórmula A = 40 ⋅ (1,1)t em que a altura média A é medida em centímetros e o tempo t em anos. Verificou também que seu crescimento estaciona após 20 anos, abaixo de 3 metros. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 11 = 1,04, determine: a) A altura média, em centímetros, de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida. b) A idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1,6 m. R.: a) cm b) 1,6 m = 160 cm 50 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD I N T R O D U Ç Ã O A O C Á L C U L O anos TÓPICO 3 Prezado(a) acadêmico(a)! Segue uma proposta de autoatividade acerca do conceito de função. Bom trabalho! 1 Elabore uma sugestão de aula para possibilitar a construção do conceito imagem de função polinomial do 1º grau. Apresente aos seus colegas de turma no próximo encontro presencial, verificando se foi bem-sucedido nas suas ideias. Seja criativo! R.: Resposta individual, conforme criatividade do(a) acadêmico(a).