Aula 21 - Inequações e estudo do sinal de uma função polinomial do primeiro grau - Parte 1

Prévia do material em texto

Inequações e estudo 
do sinal de uma função 
polinomial do primeiro 
grau – Parte 1 
1ª série
Aula 21 – 2º bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
● Inequação –
resolução algébrica.
● Utilizar equações ou 
inequações polinomiais do 
primeiro grau para resolver 
problemas.
Conteúdo Objetivo
Para começar
Associando o problema a sua solução
A seguir, apresentam-se três situações. Procure o número 
natural que atende às especifidades de cada uma. 
(I) Vamos supor que uma barra de 
chocolate custe R$ 5,00. Com R$ 22,00, 
qual seria a quantidade máxima de barras 
de chocolate que poderíamos comprar?
(II) Marcos possui R$ 171,00 e cada 
carrinho custa R$ 26,00. Qual seria a 
quantidade máxima de carrinhos que 
Marcos poderia comprar? 
(III) Uma escola pretende realizar um 
passeio com 500 estudantes e deseja 
alugar um ônibus com 45 poltronas. Qual 
seria a quantidade mínima de ônibus para 
que todos os estudantes sejam distribuídos 
nas 45 poltronas de cada ônibus?
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
f. 6 g. 7 h. 8 i. 9 j. 10
k. 11 l. 12 m. 13
Técnica: “Mostre-me”.
Tempo para resolução : 3 min
Tempo para discussão: 4 min
Para começar
Associando o problema a sua solução
(I) Vamos supor que uma barra de 
chocolate custe R$ 5,00. Com R$ 
22,00, qual seria a quantidade máxima 
de barras de chocolate que poderíamos 
comprar?
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
f. 6 g. 7 h. 8 i. 9 j. 10
k. 11 l. 12 m. 13
Correção
Seja x a quantidade máxima de 
barras de chocolates, então 
teríamos a seguinte condição:
 5x 22 5 
1
x
5
  
  
1
22
5
22
x 4,4
5
Conforme a solicitação do 
enunciado, x será um número 
natural, então, a quantidade 
máxima de barras de 
chocolates será igual a 4. 
Tempo para apresentação: 3 min
Para começar
Associando o problema a sua solução
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
f. 6 g. 7 h. 8 i. 9 j. 10
k. 11 l. 12 m. 13
Correção
Seja c a quantidade máxima de 
carrinhos, então teríamos a 
seguinte condição:
Conforme a solicitação do 
enunciado, c será um número 
natural, então, a quantidade 
máxima de carrinhos que Marcos 
poderá comprar será igual a 6. 
(II) Marcos possui R$ 171,00 e cada 
carrinho custa R$ 26,00. Qual seria 
a quantidade máxima de carrinhos 
que Marcos poderia comprar? 
  26 c 171 26  
1
c
26
  
 
1
171
26
171
c 6,57
26
Para começar
Associando o problema a sua solução
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
f. 6 g. 7 h. 8 i. 9 j. 10
k. 11 l. 12 m. 13
Correção
(III) Uma escola realizará um passeio com 500 
estudantes e pretende alugar alguns ônibus 
com 45 poltronas. Qual seria a quantidade de 
ônibus para que todos os estudantes sejam 
distribuídos nas 45 poltronas de cada ônibus?
Seja y a quantidade mínima de 
ônibus a serem alugados, então 
teríamos a seguinte condição:
  45 y 500 45  
1
y
45
  
 
1
500
45
500
y
 5
45
 
  
5
100
y 11,1
9
Para atender a demanda, 
teriam que ser contratados, no 
mínimo, 11 ônibus, porém, 
para acomodar os 500 
estudantes seriam necessários 
12 ônibus.
Foco no conteúdo
Definição
Inequações
2x − 4 > x é uma inequação
em que f x = 2x − 4 e g x = x
   
   
   
   
f x g x
f x g x
f x g x
f x g x




Exemplos:
Sejam as funções f(x) e g(x) cujos 
domínios são D1 ⊂ ℝ e D2 ⊂ ℝ . 
Chamamos inequação na incógnita 
x qualquer uma das sentenças 
abertas a seguir:
3x − 6 < 6 é uma inequação
em que f x = 3x − 6 e g x = 6
x − 2 ≤
1
x − 3
é uma
inequação em que
f x = x − 2 e g x =
1
x − 3
Tempo para apresentação: 10 min
Foco no conteúdo
Inequações
Domínio de validade
Chamamos de domínio de
validade de uma inequação que
contenha duas funções f e g, o
conjunto D = D1 ∩ D2 em que D1
é o domínio da função f e D2 o
domínio da função g, ou seja:
 
     
0 0 1 0 2
0 0
x D x D e x D
f x e g x .
    
  
Exemplos:
a. 2x 5 x 3  
D   
1
b. x 3
x
D  
 
  
   
 
1
c. x 3
x 3
D x / x 3 x / x 3
x / x 3 e x 3
 

      
   
Foco no conteúdo
Inequações
Solução
O número real x0 é solução 
da inequação f(x) > g(x) se, 
e somente se, é verdadeira a 
sentença f x0 > g x0 . 
Exemplo:
O número real 4 é solução da inequação 
de domínio real 2x + 1 > x + 3.
   g 4 7f 4 9
2 4 1 4 3

   
Porém, o número real 2 não é solução da 
mesma inequação, pois:
   g 2 5f 2 5
2 2 1 2 3

   
Foco no conteúdo
Inequações
Conjunto solução
Ao conjunto S de todos os 
números reais x, tais que, f(x) 
> g(x), é uma sentença 
verdadeira a qual chamamos 
de conjunto solução da 
inequação.
Exemplo:
A inequação 2x +1 > x + 3 tem 
como conjunto solução: 
S= x ∈ ℝ / x > 2 , isto é, para 
qualquer x0 ∈ S, a sentença
2∙x0+1 > x0+1 é verdadeira.
Se não existir o número real x, 
tal que a sentença f(x) > g(x) 
seja verdadeira, diremos que a 
inequação f(x) > g(x) é 
impossível e indicaremos que o 
conjunto solução por S = ∅. 
Foco no conteúdo
Inequações
Inequações equivalentes
Duas inequações são 
equivalentes em D ⊂ ℝ, se o 
conjunto solução da primeira é 
igual ao conjunto solução da 
segunda.
Exemplos:
3x + 2 > 0 e x + 2 > 0 são 
equivalentes, pois o conjunto 
solução de ambas é 
S= x ∈ ℝ / x > − 2 .
x + 1 < 1 e x + 2 > 0 não são 
equivalentes, pois o conjunto 
solução de ambas são 
diferentes, portanto, S = ∅.
Foco no conteúdo
Inequações
Princípios de equivalência
Na resolução de uma 
inequação procuramos, assim 
que possível, transformá-la 
em uma inequação 
equivalente, em que o 
conjunto solução possa ser 
encontrado com maior 
facilidade. 
O procedimento básico se refere ao 
processo de adição e multiplicação de 
valores nos termos da equação. A 
equivalência consiste em: se 
somarmos ou subtrairmos um valor 
nos dois termos da desigualdade, não 
alteramos o resultado. O mesmo 
procedimento é válido para a 
multiplicação ou divisão. 
Foco no conteúdo
Inequações
Exemplos:
   
1. 4x 5 3
Somando o oposto de 5 nos dois termos da inequação:
4x + 5 + 5 3 5 4x 2
Multiplicando pelo inverso de 4 mos dois termos da inequação:
4
 
      
1
x
4

 
1 3
3 x
4 4
S x / x 4
   
  
Foco no conteúdo
   
   
2. 3x 2 4
3x 2 2 4 2
1 1
3x 2 3x 2
3 3
2 2
x x 1 1
3 3
2
x
3
2
S x / x
3
  
       
        
          
  
 
    
 
   
   
   
 
3. 3x 2 4x 3
3x 2 2 4x 3 2
3x 4x 5 3x 4x 4x 5 4x
x 5 x 1 5 1 x 5
S x / x 5 .
  
       
          
            
  
Foco no conteúdo
 
x 1 x 2
4. 2
3 2
2 x 1
6
 
 
   3 x 2
6
 

12
6
 
  
 
 
   
   
 
2x 2 3x 6 12
2x 3x 2 6 12
x 4 12 x 4 4 12 4
x 8 x 1 8 1 x 8
S x / x 8

    
    
           
           
   
Na prática
Resolver, em ℝ, as inequações:
a. 3x 4 2     b. 4 x 1 5 2 x 3       c. 5 x 3 6 x 1 2x 3    
x 1 x 3
d. 1
2 4
 
 
Técnica: “Todo mundo registra” Tempo para resolução: 10 min
Na prática Correção
a. 3x 4 2 
         
        
  
 
    
 
3x 4 4 2 4
1 1
3x 2 3x 2
3 3
2
x
3
2
S x / x .
3
   b. 4 x 1 5 2 x 3   
   
   
        
      
          
 
4x 4 5 2x 6 4x 1 2x 6
4x 1 1 2x 6 1
4x 2x 7 4x 2x 2x 7 2x
2x 7 2 
1
x
2
   
 
   
 
1 7
7 x
2 2
7
S x / x .
2
Tempo para apresentação: 5 min
Na prática Correção
   
    
    
         
    
5x 15 6x 6 2x 3
x 9 2x 3
x 2x 9 2x 3 2x
3x 3 3 
1
x
3
 3 
1
3
   
 

         
  
   
x 1 x 1 1 1
x 1
S x / x 1
x 1 x 3
d. 1
2 4
 
 
 2 x 1
4
 

x 3
4

4
4
   
 

    
         
 
  
2x 2 x 3 4
x 1 4 x 1 1 4 1
x 3
S x / x3 .
   c. 5 x 3 6 x 1 2x 3    
Aplicando
(PUC/SP) Fábio quer arrumar um emprego de modo que, do total de
salário que receber, possa gastar ൗ1 4 com alimentação, ൗ
2
5 com
aluguel e R$ 300,00 em roupas e lazer. Se, descontadas todas essas
despesas, ele ainda pretende que sobrem no mínimo R$ 85,00,
então, para que suas pretensões sejam atendidas, seu salário, deve
ser de, no mínimo:
a. R$ 950,00
b. R$ 1.100,00
c. R$ 980,00
d. R$ 1.500,00
e. R$ 1.000,00
Técnica: “Virem e conversem”
Tempo para resolução: 5 min
Tempo para apresentação: 5 min
Aplicando
(PUC/SP) Fábio quer arrumar um emprego de modo que, do total de
salário que receber, possa gastar ൗ1 4 com alimentação, ൗ
2
5 com
aluguel e R$ 300,00 em roupas e lazer. Se, descontadas todas essas
despesas, ele ainda pretende que sobrem no mínimo R$ 85,00,
então, para que suas pretensões sejam atendidas, seu salário, deve
ser de, no mínimo:
a. R$ 950,00
b. R$ 1.100,00
c. R$ 980,00
d. R$ 1.500,00
e. R$ 1.000,00
Correção
 
 
    
 
s : Salário de João
1 2
Despesas: s s 300
4 5
Ao final do mês sobrar no mínimo R$ 85,00.
1 2
s s s 300 85
4 5
Tempo para apresentação: 5 min
Aplicando Correção
   
            
   
 
    
 
1 2 5 8 6000
s s s 300 85 s s s 85
4 5 20 20 20
13s 6000 20
s 85
20 20


13s 6000
s
20
 
 
 
1700
20

       
       
20s 13s 6000 1700 7s 6000 1700
7s 6000 6000 1700 6000 7s 7700 7 
1
s
7
  
 
1
7700
7
s 1100.
Alternativa correta: B 
O que aprendemos hoje?
● Utilizamos equações ou inequações polinomiais do 
primeiro grau para resolver problemas.
Referências
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão 
da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista 
do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo em Ação, 
V.1, 1ª série do Ensino Médio, São Paulo, 2022. 
Material
Digital