Teorema de Pitágoras: História e Demonstração

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Capítulo 8
Teorema de Pitágoras I
Demonstração
Você já ouviu falar que o Pitágoras talvez não tenha sido o verdadeiro responsável
pela descoberta do Teorema de Pitágoras? Alguns pesquisadores defendem essa ideia e
nós vamos revisitar um pouco da história desse matemático para entender o porquê
desse posicionamento.
Pitágoras foi um matemático e filósofo grego, que também tinha, entre seus
interesses, a Astronomia e a Música. Ele dizia que tudo era número, e que cada número
possuía individualidade e harmonia; o 3, por exemplo, foi considerado um número
perfeito, pois representava o início e o fim; já o 4 representava os elementos da natureza
(fogo, terra, água e ar); e o 5 correspondia à união entre um número par e um ímpar etc.
– e que os astros tocavam uma música cósmica enquanto realizavam sua órbita. Essas e
outras ideias eram consideradas dogmas por alguns, e não demorou muito para que
Pitágoras reunisse seguidores e fundasse uma escola destinada àqueles que realmente
se interessavam pelas concepções dele. Assim, foi criada na cidade de Crotona, na Itália,
a Escola Pitagórica.
Dogma é um termo de origem grega ligado a uma crença ou doutrina.
Geralmente indica uma ideia indiscutível de caráter religioso. Para o
cristianismo, por exemplo, a existência de Deus é um dogma.
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Segundo historiadores, os alunos da Escola Pitagórica viviam em comunidade e
seguiam regras rígidas, de modo que poucos se atreviam a questionar as ideias do
fundador da instituição. Com isso, as descobertas matemáticas realizadas por um
membro da escola costumavam ser atribuídas a seu líder, Pitágoras. Dessa forma, é
possível compreender por que parte das descobertas de Pitágoras podem não ter sido,
de fato, realizadas por ele, mas sim por um de seus alunos.
Vários outros filósofos e matemáticos se inspiraram nas ideias de Pitágoras, entre eles
Platão, Aristóteles, Galileu e Kepler. Neste capítulo, você conhecerá um pouco mais sobre
essa famosa descoberta atribuída a Pitágoras e poderá se inspirar também nesse
matemático. Vamos juntos?
Pitágoras de Samos viveu aproximadamente entre os anos de 570 a.C. a 496 a.C.
e é um dos matemáticos mais conhecidos da história por ter demonstrado a
proposição “A soma do quadrado dos catetos de um triângulo retângulo é igual
ao quadrado da hipotenusa”. Ele também era filósofo, astrônomo e músico.
COMEÇO DE CONVERSA
1. A vida de Pitágoras possui diversas singularidades. O matemático já foi considerado
descendente de deuses por seus seguidores. Você já tinha ouvido falar sobre a Escola
Pitagórica? Que outras curiosidades você conhece sobre Pitágoras?
2. Além da matemática, Pitágoras também ficou conhecido por suas ideias sobre unir
número e natureza. Na sua opinião, o que é a filosofia pitagórica?
3. Você sabe o que é um teorema? Quantas demonstrações você acredita que existem
para o Teorema de Pitágoras?
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Teorema de Pitágoras
Ao pensar em um triângulo com ângulo reto, você consegue não se lembrar do
Teorema de Pitágoras? Um se relaciona diretamente com o outro, por isso é difícil não
associá-los de imediato. A importância desse teorema se deve à sua vasta aplicação no
cotidiano, em especial nas engenharias e na Arquitetura. Basta olhar ao redor para
encontrar objetos com ângulo retos – aos quais podemos aplicar operações com o
triângulo retângulo –, como portas, janelas, molduras, caixas, porcelanatos etc.
Porém, antes de explorarmos o Teorema de Pitágoras, vamos entender primeiramente
o que é um teorema.
Uma proposição é uma sentença (frase) declarativa que apresenta somente um
dos dois valores lógicos: verdadeiro ou falso.
Um axioma é um conceito matemático que não precisa de demonstração para
ser verdadeiro.
Um teorema é uma proposição que pode ser demonstrada como verdadeira por
meio de operações e argumentos lógico-matemáticos aceitos.
#FICAADICA
A Matemática é uma ciência que estuda problemas, modelos, representações e
proposições que podem ser verdadeiras ou falsas. Proposições verdadeiras, que
são evidentes por si, são chamadas de axiomas, enquanto as que precisam ser
provadas são chamadas de teoremas.
Observe alguns exemplos de proposições e suas respectivas classificações. Utilizamos
V para verdadeiro e F para falso.
Proposição Valor lógico Classificação
“Por dois pontos passa
apenas uma reta.”
V axioma
“A soma de dois números
ímpares é sempre ímpar.”
F proposição falsa
“A soma dos ângulos
internos de um triângulo
qualquer é 180°.”
V teorema
O fluxograma a seguir explica como ocorre a organização das proposições
matemáticas com base nos valores lógicos – verdadeiro ou falso – e se há a necessidade
ou não de prova.
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Como visto anteriormente, o processo de mostrar que um teorema está correto é
chamado de prova ou demonstração. Neste capítulo, vamos apresentar provas que
mostram por que o Teorema de Pitágoras é verdadeiro para os triângulos retângulos.
Qualquer triângulo que tenha um ângulo reto é chamado de triângulo
retângulo.
Considere os ângulos e os lados de um triângulo retângulo. Uma vez que um dos
ângulos do triângulo retângulo é reto, os outros dois ângulos são complementares entre
si.
Isso acontece porque a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a
180°. Assim,
180° – 90° = 90°
Os lados do triângulo retângulo são chamados de catetos e hipotenusa.
A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto; logo, ela é o maior lado do triângulo.
Os catetos são os lados adjacentes ao ângulo reto.
Lado a – hipotenusa. Lados b e c – catetos.
#FICAADICA
As palavras cateto e hipotenusa são ambas de origem grega.
Cateto (do grego kathetos) significa “que cai” perpendicularmente (fazendo
um ângulo reto).
Hipotenusa (do grego hypoteinousa) significa “fortemente esticado” ou “estar
do lado oposto” (debaixo do ângulo reto).
O enunciado do Teorema de Pitágoras diz que:
Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é
igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos.
Em linguagem algébrica, temos:
Se △ABC é retângulo com catetos b e c e hipotenusa a, então:
a = b + c → relação pitagórica
Da mesma maneira, se os lados de um triângulo satisfazem a relação a = b + c ,
então esse triângulo é retângulo.
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WI-FI
Você já resolveu algum quebra-cabeça envolvendo um conteúdo específico da
matemática? Se sua resposta foi não, então chegou o momento de vivenciar essa
experiência. Caso você já tenha resolvido antes, ainda vale a pena acessar o link
a seguir e se divertir com o quebra-cabeça do Teorema de Pitágoras. O jogo foi
desenvolvido no software GeoGebra e nele você poderá mover e rotacionar as
peças até preencher a área dos dois quadrados menores. Depois, utilize todas as
peças para montar o quadrado maior e verifique na prática a igualdade que
existe na relação pitagórica.
Bom jogo!
http://qr.portalsas.com.br/1ohF (acesso em: 16 ago. 2022).
Terno pitagórico
Um terno pitagórico, também chamado de tripla pitagórica, é uma sequência de
três números inteiros positivos que satisfazem a relação pitagórica a = b + c . Em
outras palavras, um terno pitagórico representa as medidas da hipotenusa e dos dois
catetos de um triângulo retângulo. Denotamos um terno entre parênteses e em ordem
crescente. Assim, se a, b e c, com c < b < a, formam um terno pitagórico, escrevemos (c,
b, a).
Considere um triângulo de lados medindo 6, 8 e 10. Vamos verificar se este e outros
trios de números satisfazem a relação pitagórica.
(6, 8, 10) → a = b + c ⇒ 10 = 8 + b ⇒ 100 = 64 + 36 
(1, 2, 3) → a = b + c ⇒ 3 = 2 + 1 ⇒ 9 ≠ 4 + 1 
(1, 1, ) não é tripla pitagórica, pois o número não é inteiro positivo. 
ZOOM IN
Muito antes de o Teorema de Pitágoras ser demonstrado, os egípcios já
conheciam o terno pitagórico – pelo menos em um caso particular. Eles sabiam
que qualquer triângulo com lados medindo 3, 4 e 5 é retângulo. Para obter
ângulos retos que usavam em medições e construções, eles faziam treze nós
equidistantes em uma corda e esticavam, formando umtriângulo retângulo.
Observe que (3, 4 ,5) é um terno pitagórico primitivo, pois os três números são
primos entre si.
a = b + c ⇒ 5 = 4 + 3 ⇒ 25 = 16 + 9
Um terno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três
números são primos entre si, ou seja, quando o único divisor entre eles é
o número 1.
Até aqui você já conhece dois ternos pitagóricos: (3, 4, 5) e (6, 8, 10). Agora,
vamos utilizar uma técnica bem simples na qual podemos encontrar infinitos
ternos com base no terno primitivo.
Observe que multiplicando cada número do terno (3, 4, 5) por dois, obtemos o
terno (6, 8, 10).
Agora, vamos multiplicar todos os números por 3:
Multiplicando todos os números por 4, temos:
Repetindo o mesmo procedimento, conseguimos infinitos ternos pitagóricos.
Podemos, ainda, utilizar como base o terno primitivo (5, 12, 13) e seguir o
mesmo raciocínio, multiplicando o terno por dois. Observe:
Assim, se você conhece um terno primitivo, poderá determinar os ternos
derivados.
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Demonstrações do Teorema de
Pitágoras
O Teorema de Pitágoras possui centenas de demonstrações, tanto algébricas quanto
geométricas. Neste capítulo, iremos explorar duas delas: a primeira é atribuída aos
hindus, que utiliza áreas de polígonos, e a segunda prova é por semelhança de
triângulos, que trabalha com relações métricas.
Demonstração por meio de áreas
Considere um quadrado de lados (a + b) que foi decomposto de dois modos
diferentes.
Figura 1 Figura 2
Decomposição do
quadrado de lado (a+b)
Área
Observe que, na figura 1, o quadrado de lado (a + b) foi decomposto em dois
quadrados – um de lado a e outro de lado b – e em quatro triângulos retângulos
congruentes, com catetos medindo a e b. Se retirarmos do quadrado de lado (a + b) os
quatro triângulos retângulos iguais, restarão os dois quadrados de lados a e b.
Na figura 2, o mesmo quadrado de lado (a + b) foi decomposto em quatro triângulos
retângulos de catetos a e b e em um quadrado cujo lado mede c (hipotenusa do
triângulo). Se retirarmos do quadrado de lado (a + b) os quatro triângulos retângulos
iguais, restará um quadrado de lado c. Em linguagem algébrica, escrevemos:
#FICAADICA
As letras que representam os lados do triângulo retângulo na relação de
Pitágoras não têm posição fixa, ou seja, os catetos e a hipotenusa podem
assumir qualquer uma das letras, e essa definição dependerá de quem transmite
a informação. Por exemplo, em a + b = c , c é a hipotenusa; já em a = b + c , a
hipotenusa é a.
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Demonstração por semelhança de triângulos
Uma das demonstrações mais importantes do Teorema de Pitágoras é a baseada em
semelhança de triângulos, pois, além de provar o teorema, também deduz novas
relações métricas no triângulo.
Projeção ortogonal
Antes de apresentar a demonstração, é importante compreender o significado de
projeção ortogonal sobre uma reta.
Uma projeção ortogonal é a imagem de um objeto projetada em um plano de
modo que suas linhas visuais sejam perpendiculares a este plano.
Na imagem a seguir, vemos um ponto P e alguns segmentos de reta em diferentes
posições no plano.
A projeção é como a sombra da figura geométrica sobre uma superfície plana, quando
todos seus pontos “caem” ortogonalmente sobre a reta.
A projeção ortogonal do ponto P no eixo x é o ponto P'; do segmento é o
segmento ; do segmento é o segmento ; e assim acontece para as demais
construções.
Observe que a projeção ortogonal do triângulo a seguir sobre o eixo x é um segmento
de reta.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
√2 √2
2 2 2 2 2 2
2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 4 = 8
2 ⋅ 5 = 10
⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒ (6, 8, 10)
3 ⋅ 3 = 9
3 ⋅ 4 = 12
3 ⋅ 5 = 15
⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒ (9, 12, 15)
4 ⋅ 3 = 12
4 ⋅ 4 = 16
4 ⋅ 5 = 20
⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒ (12, 16, 20)
2 ⋅ 5 = 10
2 ⋅ 12 = 24
2 ⋅ 13 = 26
⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒ (10, 24, 26)
(a + b)2 = a2
+ 4 ( ) + b2ab
2
(a + b)2 = c2 + 4 ( )ab
2
2 2 2 2 2 2
¯̄¯̄¯̄¯̄AB
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯
A′B′ ¯̄¯̄¯̄¯̄CD
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯
C′D′
Capítulo 8 - Teorema de Pitágoras I Anotações e destaques Detalhes
16/05/2024, 18:58
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