todos os anos de matematica (114)

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1099. **Problema:** Seja \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \). Determine se \( f \) possui um máximo 
global em \( x = 0 \). 
 - **Resposta:** Sim, \( f(x) \) possui um máximo global em \( x = 0 \). 
 - **Explicação:** Calcule a derivada de \( f(x) \) e verifique o sinal ao redor de \( x = 0 \) 
para determinar a natureza do ponto crítico. 
 
1100. **Problema:** Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada 
por \( y = \sin x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) e \( x = \pi \) em torno do eixo \( x \). 
 - **Resposta:** \( 2\pi \). 
 - **Explicação:** Utilize o método dos discos ou cascas para calcular o volume. 
 
1101. **Problema:** Determine o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+376)} \). 
 - **Resposta:** \( 
 
 \frac{1}{376} \). 
 - **Explicação:** Aplique a fórmula para a soma de uma série telescópica. 
 
1102. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{2} \). 
 - **Explicação:** Aproxime \( \tan x \) e \( \sin x \) usando suas séries de Taylor e 
simplifique para encontrar o limite. 
 
1103. **Problema:** Determine \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+377} \). 
 - **Resposta:** \( e \). 
 - **Explicação:** Aproxime a expressão usando a definição de \( e \). 
 
1104. **Problema:** Encontre \( \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \frac{\pi}{2} \). 
 - **Explicação:** Utilize a transformada de Fourier da função \( \frac{1}{x} \) para 
calcular o integral. 
 
1105. **Problema:** Determine o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{378^n} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{378}{143748} \). 
 - **Explicação:** Utilize técnicas de séries geométricas e manipulação algébrica para 
resolver. 
 
1106. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \ln(1-x)}{x^2} \). 
 - **Resposta:** \( 1 \). 
 - **Explicação:** Aproxime \( \ln(1+x) \) e \( \ln(1-x) \) usando suas séries de Taylor e 
simplifique para encontrar o limite. 
 
1107. **Problema:** Determine \( \int_{0}^{\pi} \ln(\sin x) \, dx \). 
 - **Resposta:** \( -\pi \ln 2 \). 
 - **Explicação:** Utilize a propriedade da função logarítmica e a simetria do intervalo de 
integração. 
 
1108. **Problema:** Seja \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \). Determine se \( f \) possui um máximo 
global em \( x = 0 \). 
 - **Resposta:** Sim, \( f(x) \) possui um máximo global em \( x = 0 \). 
 - **Explicação:** Calcule a derivada de \( f(x) \) e verifique o sinal ao redor de \( x = 0 \) 
para determinar a natureza do ponto crítico. 
 
1109. **Problema:** Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada 
por \( y = \sin x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) e \( x = \pi \) em torno do eixo \( x \). 
 - **Resposta:** \( 2\pi \). 
 - **Explicação:** Utilize o método dos discos ou cascas para calcular o volume. 
 
1110. **Problema:** Determine o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+380)} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{380} \). 
 - **Explicação:** Aplique a fórmula para a soma de uma série telescópica. 
 
1111. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{2} \). 
 - **Explicação:** Aproxime \( \tan x \) e \( \sin x \) usando suas séries de Taylor e 
simplifique para encontrar o limite.