Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2} \). a) \( -\frac{\cos(x)}{x^2} + \frac{2\sin(x)}{x^3 \) b) \( -\frac{\cos(x)}{2x^{3}} - \frac{...

Para calcular a derivada da função \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2} \), é necessário aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia. A derivada da função \( f(x) = \frac{u}{v} \) é dada por \( \frac{u'v - uv'}{v^2} \), onde u' e v' representam as derivadas de u e v, respectivamente. Neste caso, temos u = cos(x) e v = x^2. Calculando as derivadas: - \( u' = -\sin(x) \) (derivada de cos(x)) - \( v' = 2x \) (derivada de x^2) Substituindo na fórmula da derivada do quociente, temos: \( f'(x) = \frac{-\sin(x) \cdot x^2 - \cos(x) \cdot 2x}{(x^2)^2} \) \( f'(x) = \frac{-x^2\sin(x) - 2x\cos(x)}{x^4} \) \( f'(x) = \frac{-x^2\sin(x) - 2x\cos(x)}{x^4} \) \( f'(x) = \frac{-x\sin(x) - 2\cos(x)}{x^3} \) Portanto, a alternativa correta é: a) \( -\frac{\cos(x)}{x^2} + \frac{2\sin(x)}{x^3} \)