Prévia do material em texto

79. **Problema:** Calcule a integral \( \iiint_V z \, dV \), onde \( V \) é o sólido delimitado 
pelo cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) e o plano \( z = 2 \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( 2\pi \). 
 
80. **Problema:** Determine o gradiente da função \( f(x, y, z) = \sin(xyz) \) no ponto \( (1, 
1, 1) \). 
 - **Resposta e Explicação:** O gradiente é \( \langle yz\cos(xyz), xz\cos(xyz), xy\cos(xyz) 
\rangle \) no ponto dado. 
 
81. **Problema:** Encontre a equação da reta tangente à curva de interseção entre o 
cilindro \( x^2 + y^2 = 4 \) e o plano \( x + y + z = 0 \) no ponto \( (2, -2, 0) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A reta tangente é \( x = 2 + t, y = -2 - t, z = t \). 
 
82. **Problema:** Verifique se a integral \( \iiint_V \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} \, dV \) 
converge ou diverge, onde \( V \) é o sólido delimitado pelo cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \) e os 
planos \( z = 0 \) e \( z = 3 \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral diverge. 
 
83. **Problema:** Determine a área da superfície gerada pela interseção do parabolóide 
\( z = x^2 + y^2 \) com o cilindro \( x^2 + y^2 = 9 \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( 18\pi \). 
 
84. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 0 \). 
 
85. **Problema:** Verifique se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^n} \) converge. 
 - **Resposta e Explicação:** A série converge. 
 
86. **Problema:** Determine a derivada direcional da função \( f(x, y, z) = x^2 + 3y^2 + 
2z^2 \) no ponto \( (1, 2, 0) \) na direção \( \langle 1, -1, 1 \rangle \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada direcional é \( 3 \).