Problemas de Matemática

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- **Resolução:** Utilize a definição de produto escalar e normas dos vetores para 
calcular o coseno do ângulo. 
 - **Resposta:** O ângulo é \( \frac{\pi}{3} \) radianos ou \( 60^\circ \). 
 
15. **Problema:** Encontre a equação do plano que contém os pontos \( (1, 2, 3) \), \( (2, -
1, 4) \) e \( (0, 3, 1) \). 
 - **Resolução:** Utilize a forma geral da equação do plano \( Ax + By + Cz = D \) e 
substitua os pontos dados. 
 - **Resposta:** A equação do plano é \( 5x - 6y + z = 9 \). 
 
16. **Problema:** Determine a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 - 3x + 1 \) que 
passa pelo ponto \( (1, -1) \). 
 - **Resolução:** Calcule a derivada da função para encontrar a inclinação da reta 
tangente e utilize a forma ponto-inclinação da equação da reta. 
 - **Resposta:** A equação da reta tangente é \( y + 1 = 3(x - 1) \). 
 
17. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = \ln x \), o eixo \( x \) e 
as retas \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 - **Resolução:** Calcule a integral definida da função \( \ln x \) no intervalo dado. 
 - **Resposta:** A área é \( 2\ln 3 - 3 \) unidades quadradas. 
 
18. **Problema:** Determine o centro e o raio da circunferência dada pela equação \( x^2 
+ y^2 - 4x + 6y = 12 \). 
 - **Resolução:** Complete o quadrado para transformar a equação dada na forma 
padrão da circunferência. 
 - **Resposta:** O centro é \( (2, -3) \) e o raio é 
 
 \( 1 \). 
 
19. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 - **Resolução:** Utilize a definição do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} 
= 1 \). 
 - **Resposta:** O limite é \( 2 \).