Problemas e Resoluções Matemáticas

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- **Resolução**: O ângulo é \( \cos^{-1}(-\frac{1}{3}) \). 
 
34. **Problema de matemática financeira**: Se um investimento inicial de $1000 cresce 
5% ao ano, quanto ele valerá após 10 anos? 
 - **Resolução**: Usando a fórmula de juros compostos, \( 1000 \times (1.05)^{10} \). 
 
35. **Problema de equação paramétrica**: Encontre as coordenadas do ponto de 
interseção das retas \( x = t \), \( y = 2t \) e \( x = 2t-1 \), \( y = t+3 \). 
 - **Resolução**: Igualando as equações paramétricas, encontramos \( t = 1 \), então o 
ponto é \( (1, 2) \). 
 
36. **Problema de teoria dos grafos**: Se um grafo simples tem 7 vértices e 12 arestas, 
quantos vértices têm grau ímpar? 
 - **Resolução**: Pelo Teorema do Aperto de Mão, há 7 vértices de grau ímpar. 
 
37. **Problema de cálculo vetorial**: Determine a área do paralelogramo formado pelos 
vetores \( \mathbf{u} = (1, 2) \) e \( \mathbf{v} = (3, 1) \). 
 - **Resolução**: Usando o determinante da matriz formada pelos vetores, a área é \( |1 
\cdot 1 - 2 \cdot 3| = 5 \). 
 
38. **Problema de álgebra booleana**: Simplifique a expressão booleana \( A \cdot (B + C) 
+ B \cdot (A + C) + C \cdot (A + B) \). 
 - **Resolução**: Aplicando as leis de distributividade e identidade booleanas, a 
expressão simplificada é \( A + B + C \). 
 
39. **Problema de matemática recreativa avançada**: Quantas maneiras distintas 
existem de preencher uma grade \( 3 \times 3 \) com os números de 1 a 9 de modo que a 
soma dos números em cada linha, coluna e diagonal seja a mesma? 
 - **Resolução**: Há exatamente uma maneira de preencher a grade dessa forma. 
 
40. **Problema de matemática aplicada**: Se a população de uma cidade cresce 5% ao 
ano e atualmente é 100.000 habitantes, quantos anos serão necessários para que a 
população duplique? 
 - **Resolução**: Usando a fórmula de crescimento exponencial, \( 100000 \cdot 
(1.05)^t = 200000 \).