Curvas de Utilidade e Risco

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Curvas de Utilidade
BACEN (Analista - Área 2 - Economia e
Finanças) Finanças - 2024 (Pós-Edital)
Autor:
Paulo Portinho
18 de Fevereiro de 2024
 1 
Sumário 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................... 2 
CURVAS DE UTILIDADE E AVERSÃO A RISCO .................................................................................... 3 
1 - CURVAS DE UTILIDADE ................................................................................................................. 3 
1.1 – Aversão ao risco e utilidade marginal ............................................................................. 3 
1.2 – Curvas de indiferença ao risco ........................................................................................ 9 
1.3 – Função utilidade de von Neumann-Morgenstern ....................................................... 11 
1.4 – Medidas de propensão ao risco ..................................................................................... 18 
Lista de Questões............................................................................................................................... 22 
Questões comentadas com gabarito............................................................................................ 31 
Anexos .............................................................................................................................................. 48 
ANEXO 1 – Introdução à dominância estocástica .............................................................. 48 
ANEXO 2 – Fundamentos do Fator Estocástico de Desconto ............................................ 49 
ANEXO 3 – Fatos Clássicos em Finanças vistos pelo prisma do FSD ................................... 52 
 
 
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INTRODUÇÃO 
Sobre essa aula extra de Finanças para o BACEN pós-edital, abordaremos: 
• Funções de utilidade 
• Aversão ao risco. 
A estratégia adotada para essa aula será a seguinte: 
• Funções de utilidade e medidas de aversão a risco, apesar de estarem em 
Finanças, são matérias profundamente ligadas a estatística e econometria, onde 
se discute, também, funções de utilidade e processos estocásticos. 
• No histórico de questões, é até difícil saber onde começa a parte de finanças e 
onde começa a parte de econometria e estatística. 
• A abordagem será apresentar o ferramental necessário para fazer a maioria das 
questões que caíram em provas passadas sobre curvas de utilidade, evitando 
entrar em questões que parecem exclusivamente, ou majoritariamente, da área 
de economia. 
• Quando for necessário trazer conteúdo que é coincidente com de econometria 
(para ajudar a entender a matéria e as questões), será feito, e funcionará como 
apoio para o estudo aqui e lá na matéria de estatística e econometria. 
• IMPORTANTE! Essa aula será pequena, pois não vamos apresentar nenhuma 
revisão, o aluno precisa dominar bem a parte de risco e retorno de ativos e 
portfólios, dominar as estatísticas de risco, variância e covariância entre ativos 
etc., de forma que o ideal é estudar essa matéria APÓS passar pelas outras que 
lhe dariam base. 
Mãos à obra! 
 
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CURVAS DE UTILIDADE E AVERSÃO A RISCO 
 
1 - CURVAS DE UTILIDADE 
Curvas de utilidade é um tema bastante explorado em estatística e econometria, lá mais 
focado em consumo e renda, aqui em risco e retorno. Os conceitos são bem parecidos, 
porém nessa parte utilizaremos as curvas de utilidade para mensurar as condições de risco 
e retorno e a aversão a risco dos indivíduos. 
 
1.1 – Aversão ao risco e utilidade marginal 
Para construirmos uma curva de utilidade relacionando risco e retorno, precisamos 
primeiro definir quais os comportamentos possíveis de um investidor diante das 
perspectivas de risco e retorno de determinado investimento. 
A lógica é a seguinte: Quanto preciso de retorno adicional, para tomar uma unidade de 
risco a mais? 
Comecemos por definir os tipos possíveis de comportamento dos investidores diante do 
risco: 
 Avesso ao risco: A utilidade marginal da riqueza diminui. Em outras 
palavras, se há uma aposta disponível com duas hipóteses, ganhar R$ 100 ou 
não ganhar nada, com 50% de probabilidade para cada. O investidor 
avesso ao risco preferirá um retorno CERTO de, pelo menos, R$ 50 do que 
fazer a aposta. R$ 50 é o retorno esperado dessa aposta. 
 Neutralidade diante do risco: A utilidade marginal da riqueza é 
constante. No exemplo anterior é indiferente para ele apostar, e ter a 
possibilidade de perder tudo ou ganhar os R$ 100, ou ganhar com certeza os 
R$ 50. 
 Propensão ao risco: A utilidade marginal da riqueza aumenta. No 
exemplo anterior ele prefere apostar na possibilidade de ganhar R$ 100, com 
retorno esperado de R$ 50,00, em vez de aceitar os R$ 50,00 na mão. 
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Outra forma de exemplificar é que o indivíduo avesso ao risco vê mais utilidade em ir de 
uma renda de R$ 1.000 para uma renda de 1.100 do que em ir de uma renda de R$ 10.000 
para uma renda de R$ 10.100. O que faz todo sentido. 
Já o indivíduo propenso ao risco, vê mais utilidade em ir de R$ 10.000 para R$ 10.100, do 
que em ir de R$ 1.000 para 1.100. O que parece fazer pouco sentido. 
O indivíduo neutro diante do risco, não vê diferença no acréscimo de utilidade se for de 
R$ 1.000 para R$ 1.100, ou de R$ 10.000 para R$ 10.100. 
Medindo graficamente a aversão ao risco 
Pensemos em um exemplo simples. É uma loteria com duas possibilidades: Ganhar 5.000 
ou ganhar 20.000, ambos os resultados com possibilidade de 50% cada. 
Perceba que ainda não estamos falando nos custos para se jogar essa loteria, apenas nos 
resultados possíveis. 
O resultado esperado seria: 
𝐸(𝑅) = 20.000 ∗ 0,5 + 5.000 ∗ 0,5 = 12.500 
Sabemos que, para um indivíduo avesso ao risco ele preferirá SEMPRE receber os 12.500 a 
fazer a aposta. 
Vejamos o gráfico abaixo: 
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Perceba que de ZERO a 5.000, que é uma região fora da “aposta”, a utilidade aumenta 
muito, vai de ZERO a U1. Sair de uma riqueza nula para uma riqueza de 5.000 aumenta 
muito a utilidade do indivíduo avesso ao risco. 
Já na região da aposta, de 5.000 a 20.000 de riqueza, a utilidade de ir de uma riqueza de 
5.000 até 12.500 (resultado esperado da aposta) vai de U1 a U2. Enquanto para ir de 12.500 
até 20.000, apesar de ser também um aumento na renda dos mesmos 7.500, a utilidade 
aumenta bem menos, de U2 a U3. 
Isso é o decréscimo na utilidade marginal da riqueza. A utilidade continua aumentando, 
mas em proporções sempre menores. 
A linha azul mostra a utilidade da CERTEZA da renda. Isso significa que a utilidade 
percebida pela renda de 5.000 é U1, a utilidade percebida pela renda CERTA de 12.500 é 
U2 e a utilidade percebida pela renda CERTA de 20.000 é U3. 
Podemos dizer algumas coisas sobre nossa aposta. Se a probabilidade de ganhar 5.000 
fosse de 100%, a utilidade da aposta seria U1. Por quê? Ora, porque o único resultado 
esperado é 5.000, ou seja, é uma renda CERTA de 5.000, para a qual já sabemos a 
utilidade. 
O mesmo se pode dizer sobre a possibilidade de o resultado de 20.000 tiver 100% de 
chance de ocorrer em nossa aposta. É claro que a UTILIDADE DA APOSTA seria de U3, pois 
-
20 
40 
60 
80 
100 
120 
140 
160 
180 
200 
220 
240 
260 
280 
300 
- 2.500 5.000 7.500 10.000 12.500 15.000 17.50020.000 22.500 25.000 
Utilidade x Retorno
U1
U2
U3
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há a certeza da renda de 20.000 e nós já sabemos, pela curva de utilidade, que a utilidade 
correspondente a uma renda certa de 20.000 é U3. 
Mas o que dizer da utilidade da APOSTA se a probabilidade é de 50% para cada resultado? 
Em que o indivíduo avesso ao risco percebe mais utilidade, em um resultado CERTO de 
12.500 ou em um resultado duvidoso de 12.500? 
É claro que a utilidade de aposta, para todas as outras probabilidades será menor do que 
o resultado CERTO. 
A linha laranja representa a utilidade da aposta para aquele indivíduo. 
Qual é o “prêmio de risco” desse indivíduo? 
Prêmio de risco, nesse contexto, seria o valor que esse indivíduo estaria disposto a gastar 
para se livrar do risco. Ou, no caso, é o montante de renda que ele estaria disposto a abrir 
mão para transformar uma escolha de risco em uma escolha certa. 
Perceba no gráfico a seguir que a renda certa (ou resultado da loteria) que tem a mesma 
utilidade (U4) do resultado esperado da aposta (12.500) é 9.000. 
Isso significa que o indivíduo trocaria a possibilidade da aposta, por uma renda CERTA de 
9.000. Ele topa não jogar, para receber os 9.000, que é menos do que o resultado esperado 
da aposta. A diferença entre o resultado esperado e o resultado CERTO que dá a mesma 
utilidade para o indivíduo é seu prêmio de risco. 
 
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No gráfico percebemos que o prêmio de risco do indivíduo é de 3.500, que seria a renda 
de qual estaria disposto a abrir mão para ter um resultado CERTO em vez de correr o risco 
da aposta na loteria. 
Essa é a lógica dos seguros. As pessoas estão dispostas a pagar para ter um resultado 
certo. Imagine que você tem um carro que comprou por R$ 100.000. Existem dois 
resultados possíveis para o próximo ano, perder o carro (acidente ou roubo), perda de R$ 
100.000, ou manter o valor do carro (vamos desconsiderar depreciações), perda de R$ 
ZERO. 
Vamos supor que, entre bater o carro e tê-lo roubado, haja 5% de chance. A perda 
esperada será de: 
𝐸(𝐿) = −100.000 ∗ 0,05 + 0 ∗ 0,95 = −5.000 
As pessoas estarão dispostas a pagar um seguro, para ter o resultado CERTO de nenhuma 
perda. 
O gráfico a seguir mostra a utilidade para um indivíduo indiferente ao risco: 
 
Perceba que, para ele, não haverá prêmio de risco, para ele é indiferente aceitar 12.500 
nas mãos ou correr o risco de ganhar 5.000 com 50% de chance ou ganhar 20.000 com 
50% de chance. Não significa que ele é irracional, apenas que é indiferente ao risco. 
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A utilidade de sair de ZERO para 5.000 (U1) é igual ao aumento de utilidade indo de 5.000 
para 10.000 (U2-U1), que é igual ao aumento de utilidade indo de 10.000 para 15.000 (U3-
U2). 
Isso é a utilidade marginal constante. A cada aumento de riqueza, a utilidade cresce 
sempre na mesma proporção. 
No gráfico a seguir vemos o comportamento de um indivíduo propenso ao risco. 
 
Dá para notar no gráfico, que o aumento de ZERO para 5.000 na riqueza, eleva a utilidade 
de ZERO para U1. Já indo de 5.000 para 10.000, a utilidade aumenta de U1 para U2, 
graficamente está claro que é um crescimento marginal bem maior do que de ZERO para 
U1. 
Perceba que o prêmio de risco dele seria negativo, a aposta teria sempre utilidade maior 
do que receber o valor esperado em dinheiro. Por isso ele é PROPENSO ao risco. 
Parece irracional, mas é uma situação que ocorre bastante. Pense no seguinte. Você tem 
1 chance em 50 milhões de receber R$ 50 milhões. E 49.999.999 em 50.000.000 de chances 
de perder 5 reais. Seu retorno esperado seria: 
𝐸(𝐿) = −5 ∗
49.999.999
50 𝑀𝑀
+ 50 𝑀𝑀 ∗
1
50 𝑀𝑀
= −4,99 + 1 = −3,99 
Esse é, aproximadamente, o caso da Mega Sena. Considerando os 5 reais de perda o 
valor do bilhete, a perda esperada seria de -3,99, mas as pessoas jogam sempre. 
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Esse perfil é o perfil do jogador, porém é muito raro as pessoas serem propensas ao risco 
com valores muito grandes, por isso não vemos pessoas (honestas) jogando R$ 10 milhões 
na Mega Sena, por que a utilidade de 10 milhões é muito alta e não compensa o risco 
elevado de perder. 
As curvas de risco reais costumam ter propensão no início, em que há pouca riqueza, 
portanto, qualquer acréscimo aumenta MUITO a utilidade, e se tornar invertida, com 
aversão, quanto maior for a riqueza de base. 
1.2 – Curvas de indiferença ao risco 
Veja a figura a seguir: 
 
No Eixo do Y (ordenadas) temos o Retorno esperado. No eixo X (abscissas) temos o desvio 
padrão (risco). 
Perceba que o indivíduo avesso ao risco vai exigir um retorno MUITO maior para tomar um 
pouco mais de risco. O indivíduo com muita aversão a risco (linha azul escura) só aceitaria 
se arriscar a sair de uma riqueza de 400 para 500, com um aumento baixo no risco (indo 
até 5%). Já o que tem pouca aversão, para ir de 400 a 500, aceitaria até um risco de 
aproximadamente 15%. 
Como é raríssimo haver investimento com risco baixo e retorno elevado, os indivíduos 
avessos ao risco costumam ficar em investimentos de risco baixo e retorno também baixo, 
ou seja, o perfil de risco dele não se encaixaria na maior parte dos investimentos 
disponíveis. Em outras palavras, talvez o investidor com pouca aversão, consiga 
-
100 
200 
300 
400 
500 
600 
700 
800 
900 
1.000 
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00%
Muita Aversão Média Avers. Pouca Avers. Neutralidade Propensão
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investimentos com o seu perfil, mas o com muita aversão, não consiga sair dos 400 para os 
500 de riqueza, com tão pouco risco. Ficaria apenas nos retornos menores. 
O investidor indiferente ao risco aceitará o retorno de 400 para qualquer nível de risco. 
Já o investidor propenso ao risco iria exigir menos retorno para assumir riscos maiores. 
Curvas de indiferença e fronteira eficiente. 
 
Quanto mais à esquerda, maior será a utilidade da curva, pois teremos mais retorno com 
menor risco. 
Utilizando esses mesmos eixos (retorno e desvio padrão), temos também a nossa fronteira 
eficiente (ver aulas de diversificação e teoria moderna de portfólio de Markowitz). 
 
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A fronteira eficiente contém todas as melhores carteiras possíveis, dado um nível específico 
de risco. E sabemos que as curvas de indiferença mais à esquerda são as de maior 
utilidade, portanto, teremos na curva laranja a maior utilidade possível para aquele 
conjunto de ativos. 
Mas ... existe a possibilidade de alavancagem, que nos permitiria atingir utilidades maiores. 
 
Perceba que, pegando emprestado à taxa livre de risco e alavancando a carteira, 
conseguimos atingir curvas de utilidade melhores. 
Como na teoria moderna de portfólio, os investidores vão investir na CML, os que tem maior 
aversão a risco, vão ficar com um portfólio entre o ativo livre de risco e a carteira de 
mercado, e os que tem maior propensão, podem buscar riscos e retornos maiores, com 
uma carteira alavancada. 
1.3 – Função utilidade de von Neumann-Morgenstern 
IMPORTANTE! 
Não é possível saber se a prova vai chegar ao nível de pedir conhecimento teórico e 
prático sobre essa função utilidade,porém, com base no histórico de questões de curvas 
de utilidade, seria praticamente impossível resolver sem entender o funcionamento básico 
dessa função de utilidade específica, que trata dos tradeoffs entre risco e retorno e das 
loterias. 
Preferências em relação ao risco 
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Antes de prosseguir, vamos definir melhor o que queremos dizer com o termo “loteria”, que 
já foi usado anteriormente, mas precisamos de um pouco mais de detalhamento. 
Pensemos em 2 estados da natureza possíveis (possibilidades para o evento), tipo fazer frio 
ou fazer calor. S1=frio e S2=calor. 
Suponha agora que dois consumos possíveis de um mesmo bem (casacos, por exemplo), 
sendo X1 o consumo de casacos no estado de natureza S1 (frio) e sendo X2 o consumo de 
casacos no estado de natureza S2 (calor). 
Se as preferências (sobre o consumo em determinados estados da natureza) são 
completas e contínuas, deverá existir uma função utilidade na forma U(X1,X2) que 
representa essas preferências. 
Se adicionarmos informações sobre a probabilidade de fazer frio, podemos incorporar 
essa informação à função, que ficaria: 
𝑈(𝑋1, 𝑋2, 𝜋), 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜋 é 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑓𝑟𝑖𝑜 𝑒 (1 − 𝜋) 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 
Isso, pois só há 2 estados da natureza. 
Falando de forma mais geral, suponha que existam S (inteiro e finito) estados da natureza 
(S=1, 2, 3..., S), com probabilidades objetivas π1, π2, π3 ... πS, e que X seja o consumo 
contingente em cada estado da natureza. 
Xn será o consumo contingente (de casacos, por exemplo) no estado da natureza n. 
A função utilidade seria definida da seguinte forma: 
𝑈(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑆, 𝜋1, 𝜋2, … , 𝜋𝑆) 
Em 1944 os pesquisadores Von Neumann e Morgenstern publicaram um livro em que, a 
partir de uma função de utilidade da renda proposta por Bernoulli, definiram uma 
formulação para a utilidade esperada a respeito de loterias (estados possíveis de 
natureza). 
Loteria para eles seria uma distribuição de probabilidades conhecidas e finitas, a respeito 
de um conjunto possível de resultados. Pare e pense um pouco ... não é exatamente isso 
que é uma loteria? 
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Para definir sua função de utilidade, partiram de alguns pressupostos sobre o 
comportamento das loterias e dos jogadores (pressupostos sobre a racionalidade dos 
agentes): 
 Completude: As pessoas são capazes de definir suas preferências sobre 
todas as loterias. Isso significa que são capazes de “ordenar” as loterias de 
acordo com sua utilidade ou interesse. 
 Transitividade: Imagine três loterias: A, B e C. Se o indivíduo prefere A a 
B, e B a C, preferirá A a C. 
 Continuidade: Ainda considerando as três loterias e a transitividade, esse 
axioma diz que haverá uma probabilidade β, tal que βA+(1-β)C será 
preferível a B. Se esse β estiver suficientemente próximo de 0 (aumentando o 
impacto de C) isso será verdade, se estiver próximo de 1 (aumentando o 
impacto de A), teremos o resultado contrário. Significa que, na ordem da 
transitividade, A é preferível a B que é preferível a C, o interesse por B estaria 
entre A e C. 
 Independência: Ainda utilizando nossas 3 loterias propostas, para 
qualquer probabilidade β entre zero e um, βA+(1-β)B vai ser preferível a 
βB+(1-β)C. Respeitando a ordem da transitividade, A é preferível a B que é 
preferível a C. 
Essas formulações são mais matemáticas do que puramente associadas a finanças, até 
porque os dois últimos axiomas, em situações reais de preferência do consumidor, podem 
ser discutidos. 
Sem entrar em detalhes matemáticos complexos (não é escopo dessa aula), para uma 
função utilidade definida para dois estados de natureza, considerando o comportamento 
racional proposto pelos quatro axiomas acima, teremos: 
𝑈(𝑋1, 𝑋2, 𝜋1, 𝜋2) 
A utilidade esperada para essa função é dada por: 
𝑈(𝑋1, 𝑋2, 𝜋1, 𝜋2) = 𝜋1𝑈(𝑋1) + 𝜋2𝑈(𝑋2) 
Essa função é conhecida como a função utilidade de Von Neumann-Morgenstern. 
Parece complexo, mas, na verdade, é extremamente simples. Ele está dizendo que a 
Utilidade desses estados da natureza e suas probabilidades, é a soma da utilidade do 
estado 1, vezes a sua probabilidade e da utilidade do estado 2, vezes a sua probabilidade. 
Não é muito diferente da ponderação que fizemos para os retornos e perdas esperados. 
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Um exemplo para entendermos o uso dessa função. 
Suponha que em uma loteria (lembre que não estamos falando de aposta, mas de 
estados da natureza) o indivíduo tenha uma riqueza de R$ 100.000 e que corre um risco 
de 50% de perder metade dessa riqueza. 
Suponha que a função utilidade seja: 
𝑈(𝑋) = √𝑋 
Qual a riqueza (resultado) esperada? 
𝐸(𝑅) = 0,5 ∗ 100.000 + 0,5 ∗ 50.000 = 75.000 
Qual a utilidade esperada? 
𝑈(100.000,50.000,50%, 50%) = 0,5 ∗ √100.000 + 0,5 ∗ √50.000 = 539,83 
Indo um pouco adiante na matemática, imaginemos x sendo uma variável contínua 
(montante de dinheiro ou renda, por exemplo). 
É possível descrever uma loteria baseada nessa variável x em termos de sua probabilidade 
acumulada. 
Naturalmente essa probabilidade acumulada vai de 0 a 1. 
Chamemos de f(x) a função de densidade acumulada. 
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Vamos chamar u(·) a função de utilidade definida pelas quantidades CERTAS de dinheiro 
(retorno ou renda), que é conhecida como utilidade de Bernoulli, e de U(·)uma função de 
utilidade de Von Neumann. Já vimos essa função em termos simplificados, agora veremos 
em termos matemáticos mais estritos. 
𝑈(∙) = ∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑓(𝑥) 
Para apenas duas probabilidades, essa função fica: 
𝑈(𝑋1, 𝑋2, 𝜋1, 𝜋2) = 𝜋1𝑈(𝑋1) + 𝜋2𝑈(𝑋2) 
Que é a utilidade em X1 vezes a probabilidade de X1 mais a utilidade em X2 vezes a 
probabilidade de X2. 
No caso, para uma função de distribuição de probabilidades contínua, devemos fazer a 
integral para calcularmos a utilidade esperada. Nada mais é do que a área do gráfico. A 
multiplicação de CADA ponto de utilidade pela probabilidade associada. 
Lembremo-nos que estamos falando de UTILIDADE e não do retorno em si. 
O que seria a função abaixo? 
𝑅(𝑥) = ∫ 𝑥𝑑𝑓(𝑥) 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
- 5 10 15 20 25 30 35 
Retorno
Prob Acumulada
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Seria a função do retorno esperado, pois soma os retornos e suas respectivas 
probabilidades (numa função contínua de retornos precisamos da integral para 
representar esse retorno). 
E o que seria essa função a seguir: 
𝑢(𝑅(𝑥)) = 𝑢 (∫ 𝑥𝑑𝑓(𝑥)) 
Seria a UTILIDADE do retorno esperado de X. 
Relembrando o gráfico em que trabalhamos esses conceitos. 
 
Para indivíduos avessos ao risco, vale a inequação de Jensen que é a definição de 
concavidade: 
∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑓(𝑥) ≤ 𝑢 (∫ 𝑥𝑑𝑓(𝑥)) 
Um indivíduo é avesso ao risco se e somente se, para qualquer distribuição de 
probabilidade acumulada f(x) essa inequação se verificar (supondo u(x) contínua e 
crescente). 
Ou, de outra forma: 
-
20 
40 
60 
80 
100 
120 
140 
160 
180 
200 
220 
240 
260 
280 
300 
- 2.500 5.000 7.500 10.000 12.500 15.000 17.500 20.000 22.500 25.000 
Utilidade x Retorno
U1
U2
U3
9.000
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Dadauma função de utilidade de Bernoulli u(.) o equivalente de certeza de uma loteria 
F(.) é o montante de dinheiro pelo qual um indivíduo é indiferente entre jogar a loteria F(.) 
e receber esse montante. Chamemos esse montante de c(F,u) 
No nosso exemplo, seria o valor de 9.000. 
OBS. Tudo o que estamos falando aqui é o mesmo que tratamos na teoria com os gráficos, 
porém com a notação matemática. Parece complexo, e é mesmo, mas nos exercícios 
reais fica um pouco menos complexo. 
É evidente que: 
𝑢(𝑐(𝐹, 𝑢)) = ∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑓(𝑥) 
É isso, pois é o equivalente entre a utilidade de toda a função probabilidade e do 
equivalente de certeza. 
Se é algo pelo qual é indiferente jogar ou receber o dinheiro, evidente que a utilidade de 
ambos é igual (jogar ou receber aquele valor). 
No gráfico vemos isso. No caso, como a função é côncava, trocamos a chance de ganhar 
5.000 ou 20.000 (50%-50%) por 9.000 na mão. A utilidade de ambas, por definição, é igual. 
Podemos definir que, o indivíduo só será avesso ao risco se: 
𝑐(𝐹, 𝑢) ≤ ∫ 𝑥𝑑𝑓(𝑥) 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 
Que nada mais é do que afirmar que a curva de utilidade da loteria está abaixo da curva 
de utilidade da certeza (como no gráfico). 
IMPORTANTE! 
Há matérias que são bem mais ligadas a econometria, mas que podem se misturar com 
questões de finanças. Eu entendo que, dada a complexidade (fatores estocásticos, 
dominância estocástica etc.), deverá ser algo tratado com mais profundidade em 
econometria. Porém vou deixar em Anexo, caso os alunos precisem consultar esse 
conteúdo. 
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1.4 – Medidas de propensão ao risco 
 
Temos as 3 curvas de propensão ao risco no gráfico acima. 
• A curva do indivíduo avesso ao risco é côncava 
• A curva do indivíduo neutro ao risco é, na verdade, uma reta 
• A curva do indivíduo propenso ao risco é convexa 
Relembrando alguns conceitos sobre derivadas. 
A derivada primeira é o coeficiente angular das retas tangentes à função original. 
Percebemos que, em todos os casos, a derivada primeira será sempre positiva, pois TODAS 
as retas tangentes têm coeficiente angular positivo (são retas apontando para cima). 
O coeficiente angular da reta de neutralidade é constante, de forma que sua derivada 
segunda será ZERO. Relembrando, a derivada de uma constante é ZERO. 
A derivada segunda nos diz qual a concavidade da curva. Se a derivada segunda for 
negativa, teremos a concavidade voltada para baixo (côncava), e o contrário se for 
positiva (convexa). 
A derivada segunda ser negativa, significa que as tangentes (derivadas primeiras) em 
cada ponto da curva, estão diminuindo, já no caso de ser positiva, as tangentes, em cada 
ponto da curva, estão aumentando. 
-
100 
200 
300 
400 
500 
600 
700 
800 
900 
1.000 
- 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 
Avesso
Neutro
Propenso
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Perceba na figura acima que as tangentes estão diminuindo sua inclinação (ficando mais 
retas), isso significa uma derivada segunda negativa. 
Dessa forma podemos enunciar: 
 Avesso ao risco: U’>0 e U’’<0 
 Neutro: U’>0 e constante, U’’=0 
 Propenso ao risco: U’>0 e U’’>0 
Coeficiente de aversão absoluta ao risco (AAR) 
Os pesquisadores Kenneth Arrow e John W. Pratt resumiram a aversão absoluta ao risco 
uma formula matemática denominada coeficiente de aversão absoluta ao risco de 
Arrow-Pratt. 
A AAR é uma medida de como o investidor reage à incerteza relacionada às variações 
quantitativas em sua riqueza. 
 
𝐴(𝑊) =
−𝑈′′(𝑊)
𝑈′(𝑊)
 
O “menos” na fórmula é para dar conta do fato de a derivada segunda da função 
utilidade (para indivíduos avessos ao risco) ser negativa. Importante lembrar que, 
praticamente todas as teorias em finanças, levam em consideração que o indivíduo é 
avesso ao risco (que vimos que é a atitude mais racional de fato). 
Para sabermos como esse indivíduo se comporta de acordo com variações em sua 
riqueza, devemos utilizar a derivada da função A(W). 
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 Se A’(W)>0, à medida que sua riqueza cresce, ele utiliza MENOS ativos 
de risco (em valores absolutos), portanto sua Aversão Absoluta ao Risco 
(AAR) é crescente. 
 Se A’(W)=0, à medida que sua riqueza cresce, ele utiliza a mesma 
quantidade de riqueza em ativos de risco, portanto sua Aversão Absoluta ao 
Risco é constante. 
 Se A’(W)<0, à medida que sua riqueza cresce, ele utiliza a maior 
quantidade dessa riqueza (em termos absolutos) em ativos de risco, portanto 
sua Aversão Absoluta ao Risco é decrescente. 
É importante notar que o primeiro caso, de AAR crescente, não parece fazer muito sentido. 
Significa que um indivíduo com R$ 1 milhão de riqueza e R$ 200.000 investidos em ativos 
de risco, se aumentasse sua riqueza para R$ 2 milhões teriam MENOS que R$ 200.000 
investidos em ativos de risco. 
O AAR constante também é improvável. 
O AAR decrescente é o mais provável. Um indivíduo que saiu de R$ 1 milhão para R$ 2 
milhões de riqueza, provavelmente terá mais dinheiro investido em ativos de risco, ainda 
que não acompanhe a proporção (que seria, no caso, dobrar). 
É provável que saia de R$ 200.000 para algo superior, como R$ 250.000 ou R$ 300.000, mas 
é bastante improvável que reduza o montante de sua exposição a risco. 
Veja que a AAR não mede a proporção da carteira investida em ativos de risco, mas o 
montante. A proporção pode cair e é bem possível que caia, mas o montante não faz 
muito sentido. 
Coeficiente de aversão relativa ao risco 
É uma medida de como o investidor reage à incerteza relacionada às variações 
percentuais na sua riqueza. Aqui não estamos falando mais de aumentos em quantidade 
dos ativos de risco, mas em relação ao percentual da carteira/riqueza. 
A fórmula é: 
 
𝑅(𝑊) =
−𝑊𝑈′′(𝑊)
𝑈′(𝑊)
= 𝑊 ∗ 𝐴(𝑊) 
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Assim como no caso do AAR, precisamos calcular a derivada da aversão relativa ao risco 
R(W), para estudar seu comportamento em relação às variações na riqueza do indivíduo. 
 Se R’(W)>0, o PERCENTUAL investido em ativos de risco DECLINA à 
medida que sua riqueza cresce, portanto sua Aversão Relativa ao Risco 
(ARR) é crescente. 
 Se R’(W)=0, o PERCENTUAL investido em ativos de risco se mantém à 
medida que sua riqueza cresce, portanto sua Aversão Relativa ao Risco 
(ARR) é constante. 
 Se R’(W)<0, o PERCENTUAL investido em ativos de risco AUMENTA à 
medida que sua riqueza cresce, portanto sua Aversão Relativa ao Risco 
(ARR) é decrescente. 
Em outras palavras, se alguém sai de R$ 1.000.000 de patrimônio, com 50% investido em 
ativos de risco, para R$ 2.000.000, temos: 
• Se manteve o mesmo percentual de 50%, significa que sua aversão relativa ao 
risco é CONSTANTE. 
• Se o percentual de ativos de risco for MENOR do que 50%, significa que sua 
aversão relativa ao risco é crescente, ou seja, ele vai rejeitando correr riscos 
percentuais maiores na carteira, à medida que a riqueza cresce. 
• Se o percentual de ativos de risco for MAIOR do que 50%, significa que sua 
aversão relativa ao risco é decrescente, ou seja, ele vai assumindo mais riscos 
percentuais na carteira, à medida que a riqueza cresce. 
Os três comportamentos não são atípicos. 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE QUESTÕES 
 
As questões aqui colocadas nãoestão associadas diretamente à banca dos concursos, 
foram escolhidas para cobrirem os principais modelos e as principais formas de trabalhar 
os temas. 
Essas questões representam praticamente todo o estoque de questões sobre funções de 
utilidade disponíveis nos bancos de dados. Eu mantive algumas questões mais complexas 
que dizem respeito a economia e econometria, mas entendo que não seja matéria 
específica de finanças. 
Seguem os enunciados sem resolução. No capítulo seguinte os resultados com os 
comentários. 
 
1. Ano: 2012 Banca: Quadrix Órgão: DATAPREV Prova: Quadrix - 2012 - DATAPREV - Analista 
de Tecnologia da Informação - Finanças 
Na economia, os ativos de risco são parte integrante do portfólio de investimento de 
pessoas e empresas. O gráfico mostra a curva de indiferença de dois investidores distintos. 
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Analise as afirmações. 
I. Podemos afirmar que a curva U1 tem pior relação risco retorno que a curva U2. 
II.O investidor da curva U2 tem menor aversão ao risco. 
III. O eixo x indica que, quanto maior o desvio padrão, maior o risco. 
Assinale a alternativa correta. 
A) Todas afirmações estão corretas. 
B) Apenas uma afirmação está correta 
C) As afirmações I e II estão corretas. 
D) As afirmações II e III estão corretas. 
E) Todas afirmações estão incorretas. 
 
2. Ano: 2018 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: ABIN Prova: CESPE - 2018 - ABIN - Oficial de 
Inteligência - Área 2 
A respeito da situação de um consumidor que possua uma função utilidade u(x) = √x e 
nível de riqueza w = 10 unidades e das decisões em um ambiente de risco, julgue o item 
subsequente. 
O coeficiente de aversão absoluta ao risco é igual a 2. 
 Certo 
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 Errado 
 
3. CESPE – Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 – Política Econômica e 
Monetária/2013/ 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
A função utilidade de um agente avesso ao risco é convexa. 
Certo 
Errado 
 
4. CESPE - Especialista em Regulação de Serviços Públicos de 
Telecomunicações/Economia/2014/ 
Um investidor tem a função utilidade dada por U(W) = W1/2, em que W indica o nível de 
riqueza. Esse investidor deve escolher a loteria, A ou a B, cujos prêmios e probabilidades 
de ocorrência são apresentados na tabela abaixo. 
 
loteria A loteria B 
prêmio (R$) probabilidade prêmio (R$) probabilidade 
4 1/2 1 2/3 
9 1/2 16 1/3 
 
Com base nessas informações, julgue o item subsequente. 
Para o investidor em questão, a loteria B é preferível à loteria A. 
Certo 
Errado 
 
5. ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
A curva de utilidade de um investidor que se preocupa somente com risco e retorno de 
oportunidades de investimento é dada pela equação: 
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U = E(r) - 0,05σ2 
Onde: 
 U = nível de utilidade 
 E(r) = retorno esperado de qualquer investimento 
 σ2 = variância do retorno de qualquer investimento 
Estão disponíveis dois investimentos alternativos, com as seguintes características: 
 
Diante dessas alternativas, a atitude racional do investidor em questão será: 
a) aplicar no investimento A. 
b) investir num ativo livre de risco, o qual promete um retorno de 8%. 
c) ficar indiferente entre A e B. 
d) aplicar no investimento B. 
e) mudar suas preferências em relação a risco e retorno esperado. 
 
6. CESPE - Especialista em Previdência Complementar (PREVIC)/Finanças e Contábil/2011/ 
Acerca de finanças, julgue o item. 
Quanto à função utilidade e à aversão a risco de um indivíduo, se uma utilidade de 
Bernoulli u(A) é convexa, então é correto concluir que o agente é avesso ao risco. Se, por 
exemplo, uma loteria paga zero com probabilidade 1/2 ou 1 milhão de reais com 
probabilidade 1/2, então o indivíduo é avesso ao risco quando a utilidade média é maior 
do que a utilidade de Von Neumann-Morgenstern, ou seja, 
 
Certo 
Errado 
 
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7. CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 2/2009 
Um certo investidor aplica em ativos com risco uma proporção constante de sua riqueza. 
Logo, ele apresenta, em relação a risco, 
a) neutralidade. 
b) propensão negativa. 
c) aversão absoluta decrescente. 
d) aversão absoluta constante. 
e) aversão relativa crescente. 
 
8. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Considerando a função utilidade u(x)=−e−ax+β para todo α>0 e que β seja uma 
constante qualquer, julgue o próximo item, relativo ao comportamento do indivíduo em 
relação ao risco. 
O coeficiente de aversão absoluta ao risco desse agente é igual a rA(x,u)=α. 
 Certo 
 Errado 
 
9. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Mesmo enunciado da questão anterior: 
Em um nível de riqueza x=10, o coeficiente de aversão relativa ao risco é igual a α/10. 
Certo 
Errado 
 
10. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Mesmo enunciado: 
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O agente em análise apresenta aversão relativa ao risco constante, de modo que se a 
riqueza do consumidor aumentar, o percentual investido em ativos com risco se manterá 
constante. 
Certo 
Errado 
 
11. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Mesmo enunciado: 
Um indivíduo avesso ao risco com aversão ao risco relativa decrescente exibirá aversão 
absoluta ao risco decrescente. 
Certo 
Errado 
Gabarito Certo. 
 
12. CESPE - Especialista em Regulação de Serviços Públicos de 
Telecomunicações/Economia/2014/ 
Um investidor tem a função utilidade dada por U(W) = W1/2, em que W indica o nível de 
riqueza. Esse investidor deve escolher a loteria, A ou a B, cujos prêmios e probabilidades 
de ocorrência são apresentados na tabela abaixo. 
loteria A loteria B 
prêmio (R$) probabilidade prêmio (R$) probabilidade 
4 1/2 1 2/3 
9 1/2 16 1/3 
 
Com base nessas informações, julgue o item subsequente. 
O coeficiente de aversão relativa ao risco do referido investidor é igual a 1/2. 
Certo 
Errado 
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Questões que estão mais adequadas ao conjunto de matérias relacionadas com 
econometria e estatística, porém, decidi manter aqui apenas como referência. 
1. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política Econômica e 
Monetária/2013/ 
Considerando duas funções de distribuição de probabilidade, em que uma possui 
dominância estocástica de primeira ordem sobre a outra, julgue o item a seguir. 
Nas decisões de investimento com risco, o ordenamento de médias de retorno acarreta 
dominância estocástica por parte da distribuição com maior média de retorno. 
 Certo 
 Errado 
 
2. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política Econômica e 
Monetária/2013/ 
Considerando duas funções de distribuição de probabilidade, em que uma possui 
dominância estocástica de primeira ordem sobre a outra, julgue o item a seguir. 
A dominância estocástica de primeira ordem implica que todas as possibilidades de 
retorno da distribuição superior ofereçam maiores níveis de retorno ao investidor. 
 Certo 
 Errado 
 
3. CESPE - Analistado Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Considere que, em um modelo CAPM, o consumidor tenha um horizonte de tempo T e 
pretenda maximizar a função utilidade esperada apresentada a seguir: 
 
Em que: E(.|t) é a expectativa condicional, dadas as informações disponíveis no 
instante t; θ é a taxa de preferência intertemporal. 
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Considere, ainda, que, no instante t, o consumidor decida alocar sua riqueza em qualquer 
dos n ativos arriscados existentes na economia, cujo retorno (líquido) estocástico é dado 
por Zit, com i=1, ......, n, e que exista um ativo livre de risco com retorno rt. 
Considere, por fim, que as condições de primeira ordem para o problema do consumidor 
sejam descritas por: 
 
Com base nesse conjunto de informações, julgue o item seguinte: 
Quanto maior for a covariância do ativo com a utilidade do consumo do agente, menor 
será o retorno esperado do ativo. 
Certo 
Errado 
 
4. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Mesmo enunciado. 
Com base nesse conjunto de informações, julgue o item seguinte: 
Os consumidores estão dispostos a receber menor retorno do ativo com risco, caso este 
seja capaz de protegê-los contra um baixo consumo futuro. 
Certo 
Errado 
 
5. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Mesmo enunciado. 
Com base nesse conjunto de informações, julgue o item seguinte: 
Considera que exista um ativo composto M com retorno perfeitamente negativamente 
correlacionado com U’(ct+1), de modo que U’(ct+1)=γ*Zmt para algum γ>0. Nessas 
circunstâncias, E(Zit)= rt + β[E[Zmt-rt] onde: 
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𝐸(𝑍𝑖𝑡) = 𝑟𝑓 + 𝛽[𝐸(𝑍𝑚𝑡 − 𝑟𝑡)] 
 
𝛽 =
𝑐𝑜𝑣(𝑍𝑖𝑡, 𝑍𝑚𝑡)
𝑣𝑎𝑟(𝑍𝑚𝑡)
 
Certo 
Errado 
 
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 31 
QUESTÕES COMENTADAS COM GABARITO 
 
As respostas estão associadas ao número das questões do capítulo anterior, com 
comentários logo a seguir. 
 
1. Ano: 2012 Banca: Quadrix Órgão: DATAPREV Prova: Quadrix - 2012 - DATAPREV - Analista 
de Tecnologia da Informação - Finanças 
Na economia, os ativos de risco são parte integrante do portfólio de investimento de 
pessoas e empresas. O gráfico mostra a curva de indiferença de dois investidores distintos. 
 
Analise as afirmações. 
I. Podemos afirmar que a curva U1 tem pior relação risco retorno que a curva U2. 
II.O investidor da curva U2 tem menor aversão ao risco. 
III. O eixo x indica que, quanto maior o desvio padrão, maior o risco. 
Assinale a alternativa correta. 
A) Todas afirmações estão corretas. 
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 32 
B) Apenas uma afirmação está correta 
C) As afirmações I e II estão corretas. 
D) As afirmações II e III estão corretas. 
E) Todas afirmações estão incorretas. 
Gabarito D 
A I não é verdadeira, pois a curva 1 tem, em quase toda extensão, retornos maiores para 
riscos menores. 
A II é verdadeira, como vimos nas curvas, ele topa tomar mais risco para ter um retorno 
menor (por isso, talvez, ele terá acesso a mais produtos de investimento). 
A III está correta. Maior o desvio, maior o risco. 
 
2. Ano: 2018 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: ABIN Prova: CESPE - 2018 - ABIN - Oficial de 
Inteligência - Área 2 
A respeito da situação de um consumidor que possua uma função utilidade u(x) = √x e 
nível de riqueza w = 10 unidades e das decisões em um ambiente de risco, julgue o item 
subsequente. 
O coeficiente de aversão absoluta ao risco é igual a 2. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito Errado 
Relembrando a regra de derivação de polinômios: 
𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥𝑛 … 𝑓′(𝑥) = 𝑛. (𝑎. 𝑥𝑛−1) 
 
𝐴(𝑊) =
−𝑈′′(𝑊)
𝑈′(𝑊)
 
𝑈(𝑥) = 𝑥
1
2 … 𝑈′(𝑐) =
1
2
𝑥− 
1
2 … 𝑈′′(𝑐) = −
1
4
𝑥− 
3
2 
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 33 
𝐴(𝑊) =
− [−
1
4 𝑥− 
3
2]
1
2 𝑥− 
1
2
=
1
2𝑥
 
Para um nível de riqueza de 10, teríamos um AAR de 1/20 = 0,05. 
 
3. CESPE – Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 – Política Econômica e 
Monetária/2013/ 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
A função utilidade de um agente avesso ao risco é convexa. 
Certo 
Errado 
Gabarito Errado. 
A função utilidade de um agente avesso ao risco é CÔNCAVA (boca para baixo) e não 
convexa (boca para cima). 
Se fosse um agente PROPENSO ao risco seria convexa. 
 
4. CESPE - Especialista em Regulação de Serviços Públicos de 
Telecomunicações/Economia/2014/ 
Um investidor tem a função utilidade dada por U(W) = W1/2, em que W indica o nível de 
riqueza. Esse investidor deve escolher a loteria, A ou a B, cujos prêmios e probabilidades 
de ocorrência são apresentados na tabela abaixo. 
 
loteria A loteria B 
prêmio (R$) probabilidade prêmio (R$) probabilidade 
4 1/2 1 2/3 
9 1/2 16 1/3 
 
Com base nessas informações, julgue o item subsequente. 
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Para o investidor em questão, a loteria B é preferível à loteria A. 
Certo 
Errado 
Gabarito Errado. 
Aqui devemos aplicar a função de Von Neumann Morgenstern, pois não basta 
calcularmos o retorno esperado, mas sim a UTILIDADE esperada das loterias. 
𝑈(𝑋1, 𝑋2, 𝜋1, 𝜋2) = 𝜋1𝑈(𝑋1) + 𝜋2𝑈(𝑋2) 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐴: 𝑈(4,9,1/2,1/2) = 1/2 × √4 + 1/2 × √9 = 2,5 
Estamos tirando a raiz quadrada dos resultados, pois a função utilidade é a riqueza 
elevada a ½ (quadrada). 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐵: 𝑈(1,16,2/3,1/3) = 2/3 × √1 + 1/3 × √16 = 2,0 
Dessa forma a utilidade de A é maior do que a de B, portanto A seria preferível a B. 
 
5. ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
A curva de utilidade de um investidor que se preocupa somente com risco e retorno de 
oportunidades de investimento é dada pela equação: 
U = E(r) - 0,05σ2 
Onde: 
 U = nível de utilidade 
 E(r) = retorno esperado de qualquer investimento 
 σ2 = variância do retorno de qualquer investimento 
Estão disponíveis dois investimentos alternativos, com as seguintes características: 
 
Diante dessas alternativas, a atitude racional do investidor em questão será: 
a) aplicar no investimento A. 
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b) investir num ativo livre de risco, o qual promete um retorno de 8%. 
c) ficar indiferente entre A e B. 
d) aplicar no investimento B. 
e) mudar suas preferências em relação a risco e retorno esperado. 
Gabarito A. 
Essa questão, infelizmente, daria resultados diferentes para duas opções válidas. Usarmos 
os retornos em percentual ou em decimal. 
Usando o retorno e desvio-padrão decimais. 
𝑈 = 𝐸(𝑟) − 0,05. 𝜎2 
𝑈(𝐴) = 0,2 − 0,05. 0,12 = 0,1995 
𝑈(𝐵) = 0,25 − 0,05. 0,152 = 0,2489 
Dá para entender que essa não é a opção correta, pois o desvio padrão não está 
impactando praticamente nada na utilidade. 
Usando o retorno e desvio-padrão em porcentagem. 
𝑈 = 𝐸(𝑟) − 0,05. 𝜎2 
𝑈(𝐴) = 20 − 0,05. 102 = 15 
𝑈(𝐵) = 25 − 0,05. 152 = 13,75 
Resposta, letra A. 
 
6. CESPE - Especialista em Previdência Complementar (PREVIC)/Finanças e Contábil/2011/ 
Acerca de finanças, julgue o item. 
Quanto à função utilidade e à aversão a risco de um indivíduo, se uma utilidadede 
Bernoulli u(A) é convexa, então é correto concluir que o agente é avesso ao risco. Se, por 
exemplo, uma loteria paga zero com probabilidade 1/2 ou 1 milhão de reais com 
probabilidade 1/2, então o indivíduo é avesso ao risco quando a utilidade média é maior 
do que a utilidade de Von Neumann-Morgenstern, ou seja, 
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 36 
 
Certo 
Errado 
Gabarito Errado 
Aqui, apesar de parecer bem complexo, discutimos bastante na aula que a função 
utilidade que denota AVERSÃO ao risco é CÔNCAVA e não convexa. 
Relembrando a inequação de Jensen temos que um indivíduo é avesso ao risco se a 
utilidade de VNM for MENOR do que a utilidade do valor CERTO: 
∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑓(𝑥) ≤ 𝑢 (∫ 𝑥𝑑𝑓(𝑥)) 
 
 
Dessa forma ele está dizendo que a utilidade do VALOR certo é maior do que a utilidade 
da loteria, portanto o indivíduo é avesso ao risco. 
Mas como a primeira parte está errada, pois a curva é côncava, a questão ERRADA. 
 
7. CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 2/2009 
Paulo Portinho
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 37 
Um certo investidor aplica em ativos com risco uma proporção constante de sua riqueza. 
Logo, ele apresenta, em relação a risco, 
a) neutralidade. 
b) propensão negativa. 
c) aversão absoluta decrescente. 
d) aversão absoluta constante. 
e) aversão relativa crescente. 
Gabarito C. 
Essa questão não é tão simples. 
Normalmente quando tratamos de proporção constante estamos falando de Aversão 
Relativa e não Absoluta. 
Ocorre que a única opção com aversão relativa está errada, pois deveria ser CONSTANTE. 
Mas a Aversão Absoluta Decrescente nos informa que o indivíduo AUMENTA sua 
quantidade (em R$ e em termos absolutos) com o aumento de sua riqueza. Esse aumento 
pode ser proporcional, mais que proporcional ou menos que proporcional. 
A opção C é a correta, pois é a única permite que essa proporção seja constante. 
 
8. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Considerando a função utilidade u(x)=−e−ax+β para todo α>0 e que β seja uma 
constante qualquer, julgue o próximo item, relativo ao comportamento do indivíduo em 
relação ao risco. 
O coeficiente de aversão absoluta ao risco desse agente é igual a rA(x,u)=α. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito Certo 
É uma questão de matemática. 
Relembrando que: 
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 38 
𝐴(𝑊) =
−𝑈′′(𝑊)
𝑈′(𝑊)
 
As derivadas são: 
𝑈′(𝑥) = 𝑎 × 𝑒−𝑎𝑥 
𝑈′′(𝑥) = −𝑎2 × 𝑒−𝑎𝑥 
 
𝐴(𝑊) =
−(−𝑎2 × 𝑒−𝑎𝑥)
𝑎 × 𝑒−𝑎𝑥
= 𝑎 
Correta a questão. 
 
9. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Mesmo enunciado da questão anterior: 
Em um nível de riqueza x=10, o coeficiente de aversão relativa ao risco é igual a α/10. 
Certo 
Errado 
Gabarito Errado. 
Essa é simples, se lembrarmos que: 
𝑅(𝑊) =
−𝑊𝑈′′(𝑊)
𝑈′(𝑊)
= 𝑊 ∗ 𝐴(𝑊) 
 Logo: 
𝑅(𝑊) =
−𝑊𝑈′′(𝑊)
𝑈′(𝑊)
= 10 ∗ 𝑎 
 
10. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Mesmo enunciado: 
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O agente em análise apresenta aversão relativa ao risco constante, de modo que se a 
riqueza do consumidor aumentar, o percentual investido em ativos com risco se manterá 
constante. 
Certo 
Errado 
Gabarito Errado. 
É uma questão bem delicada, pois o enunciado nos fez calcular um R(W) constante na 
questão passada. 
Mas isso só foi possível, pois tínhamos um nível determinado de renda 10. 
A fórmula para qualquer nível de renda (X ou W) seria: 
𝑅(𝑊) =
−𝑊𝑈′′(𝑊)
𝑈′(𝑊)
= 𝑊 ∗ 𝑎 
Para sabermos como o investidor se comportará, precisamos da DERIVADA da aversão 
relativa ao risco, em função de W. 
Ela seria, evidentemente, a. Ela é constante, mas é maior do que zero. A resposta só estaria 
correta se fosse ZERO. 
Relembrando: 
 Se R’(W)>0, o PERCENTUAL investido em ativos de risco DECLINA à 
medida que sua riqueza cresce, portanto sua Aversão Relativa ao Risco 
(ARR) é crescente. 
 Se R’(W)=0, o PERCENTUAL investido em ativos de risco se mantém à 
medida que sua riqueza cresce, portanto sua Aversão Relativa ao Risco 
(ARR) é constante. 
 Se R’(W)<0, o PERCENTUAL investido em ativos de risco AUMENTA à 
medida que sua riqueza cresce, portanto sua Aversão Relativa ao Risco 
(ARR) é decrescente. 
 
11. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Mesmo enunciado: 
Um indivíduo avesso ao risco com aversão ao risco relativa decrescente exibirá aversão 
absoluta ao risco decrescente. 
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Certo 
Errado 
Gabarito Certo. 
Relembrando: 
 Se R’(W)>0, o PERCENTUAL investido em ativos de risco DECLINA à 
medida que sua riqueza cresce, portanto sua Aversão Relativa ao Risco 
(ARR) é crescente. 
 Se R’(W)=0, o PERCENTUAL investido em ativos de risco se mantém à 
medida que sua riqueza cresce, portanto sua Aversão Relativa ao Risco 
(ARR) é constante. 
 Se R’(W)<0, o PERCENTUAL investido em ativos de risco AUMENTA à 
medida que sua riqueza cresce, portanto sua Aversão Relativa ao Risco 
(ARR) é decrescente. 
 
 Se A’(W)>0, à medida que sua riqueza cresce, ele utiliza MENOS ativos 
de risco (em valores absolutos), portanto sua Aversão Absoluta ao Risco 
(AAR) é crescente. 
 Se A’(W)=0, à medida que sua riqueza cresce, ele utiliza a mesma 
quantidade de riqueza em ativos de risco, portanto sua Aversão Absoluta ao 
Risco é constante. 
 Se A’(W)<0, à medida que sua riqueza cresce, ele utiliza a maior 
quantidade dessa riqueza (em termos absolutos) em ativos de risco, portanto 
sua Aversão Absoluta ao Risco é decrescente. 
Como ARR é decrescente, AAR só pode ser decrescente, pois para que o percentual de 
riqueza aumente com o aumento da renda, evidentemente que o total investido tem que 
aumentar também. 
 
12. CESPE - Especialista em Regulação de Serviços Públicos de 
Telecomunicações/Economia/2014/ 
Um investidor tem a função utilidade dada por U(W) = W1/2, em que W indica o nível de 
riqueza. Esse investidor deve escolher a loteria, A ou a B, cujos prêmios e probabilidades 
de ocorrência são apresentados na tabela abaixo. 
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loteria A loteria B 
prêmio (R$) probabilidade prêmio (R$) probabilidade 
4 1/2 1 2/3 
9 1/2 16 1/3 
 
Com base nessas informações, julgue o item subsequente. 
O coeficiente de aversão relativa ao risco do referido investidor é igual a 1/2. 
Certo 
Errado 
Gabarito Certo 
Teremos: 
𝑈′(𝑊) = 1/2 × 𝑊−1/2 
𝑈′′(𝑊) = −1/4 × 𝑊−3/2 
𝑅(𝑊) =
−𝑊𝑈′′(𝑊)
𝑈′(𝑊)
=
−𝑊 × (−1/4 × 𝑊−3/2)
1/2 × 𝑊−1/2
= 1/2 
 
Questões que estão mais adequadas ao conjunto de matérias relacionadas com 
econometria e estatística, porém, decidi manter aqui apenas como referência. 
1. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política Econômica e 
Monetária/2013/ 
Considerando duas funções de distribuição de probabilidade, em que uma possui 
dominância estocástica de primeira ordem sobre a outra, julgue o item a seguir. 
Nas decisões de investimento com risco, o ordenamento de médias de retorno acarreta 
dominância estocástica por parte da distribuição com maior média de retorno. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito Errado. 
Acarretaria apenas dominância estatísticade primeira ordem, mas não diz nada sobre 
segunda ou terceira ordens. 
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 42 
Não podemos afirmar que acarretaria dominância estocástica APENAS por ter média 
maior. 
 
2. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política Econômica e 
Monetária/2013/ 
Considerando duas funções de distribuição de probabilidade, em que uma possui 
dominância estocástica de primeira ordem sobre a outra, julgue o item a seguir. 
A dominância estocástica de primeira ordem implica que todas as possibilidades de 
retorno da distribuição superior ofereçam maiores níveis de retorno ao investidor. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito Errado 
Essa questão é estranha. Alguns cursos explicam ela pela lógica que apresentamos para 
explicar a dominância de primeira ordem. 
 
Parecem entender que a distribuição superior seria aquela que está acima, no gráfico. 
Mas a fórmula não diz que TODAS as possibilidades de retorno da função “dominante” 
serão maiores do que os retornos da função “dominada”. 
Na verdade, nessa função os retornos da dominada podem ser iguais aos da função 
dominante, EXCETO em 1 ponto. 
Se houver um Retorno superior e todos os outros infinitos retornos iguais, haverá dominância 
estatística. 
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 43 
 
∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝐹(𝑥) ≥ ∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝐺(𝑥) 
 
3. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Considere que, em um modelo CAPM, o consumidor tenha um horizonte de tempo T e 
pretenda maximizar a função utilidade esperada apresentada a seguir: 
 
Em que: E(.|t) é a expectativa condicional, dadas as informações disponíveis no 
instante t; θ é a taxa de preferência intertemporal. 
Considere, ainda, que, no instante t, o consumidor decida alocar sua riqueza em qualquer 
dos n ativos arriscados existentes na economia, cujo retorno (líquido) estocástico é dado 
por Zit, com i=1, ......, n, e que exista um ativo livre de risco com retorno rt. 
Considere, por fim, que as condições de primeira ordem para o problema do consumidor 
sejam descritas por: 
 
Com base nesse conjunto de informações, julgue o item seguinte: 
Quanto maior for a covariância do ativo com a utilidade do consumo do agente, menor 
será o retorno esperado do ativo. 
Certo 
Errado 
Gabarito Certo 
Da fórmula: 
𝐸𝑡(𝑟𝑡+1
𝑖 ) = 𝑟𝑓 − 
 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑢′(𝑐𝑡+1), 𝑟𝑡+1
𝑖 )
𝐸𝑡(𝑢′(𝑐𝑡+1))
 
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Essa fórmula utiliza a covariância da derivada da utilidade com o retorno do ativo, A 
utilidade é crescente com o nível de consumo (pois mais é preferido a menos), mas a 
derivada da utilidade é também positiva e DECRESCENTE (ou seja a utilidade aumenta 
sempre, mas cada vez menos). 
Isso significa que os sinais da covariância entre o ativo e a utilidade, e da covariância entre 
ativo e a derivada da utilidade são opostos. 
Por essa lógica, ativos que covariam positivamente com o consumo deveriam oferecer 
aos investidores um retorno MAIOR do que os que têm covariância negativa. 
Parece que o gabarito estaria errado (Ver aqui): 
http://www.uio.no/studier/emner/sv/oekonomi/ECON4310/h11/undervisningsmateriale/le
cture15.pdf 
Outra forma de ver seria utilizar o BETA do consumo, que é: 
𝛽𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 =
𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑚 𝑡,
𝐶𝑡+1
𝐶𝑡
)
𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑡 ,
𝐶𝑡+1
𝐶𝑡
)
 
A interpretação desse beta é a mesma do beta dos ativos, quanto maior, mais retorno 
exigido do ativo. 
Vemos que a covariância do retorno do ativo com o aumento de consumo está do 
numerador, de forma que se essa covariância aumentar, o beta deve aumentar, 
esperando mais retorno. 
Veja nesse ótimo artigo de Mankiw-Shapiro (MIT, 1984): 
http://www.nber.org/papers/w1399.pdf 
Ainda nesse outro artigo de Sébastien Wälti: 
http://www.tcd.ie/Economics/staff/waltis/EC4050/ec4050_ccapm.pdf 
Repete-se o mesmo que eu disse anteriormente, se a covariância do ativo com a derivada 
da utilidade do consumo (utilidade marginal do consumo) for negativa, significa que o 
ativo terá uma covariância POSITIVA com o consumo (que é o que o exercício fala). E 
nesse caso, o retorno exigido vai aumentar (covariância com a derivada de U é negativa). 
Mandei para ex-colegas do mestrado da PUC e, na percepção deles, o gabarito está 
errado, ou a banca não foi precisa no que quis perguntar. 
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Aqui vale uma colocação sobra as provas do BACEN da CESPE e da ESAF. A “pegadinha”, 
aquela pergunta extremamente complexa sobre assunto que as pessoas não vão estudar 
a fundo, sempre acontece. Mas nunca é sobre o mesmo assunto. 
E numa prova extremamente complexa o que faz diferença é sua capacidade de acertar 
tudo do facílimo, do fácil e do médio. Devemos buscar ótima performance no difícil 
(acima de 50%) e o dificílimo muito provavelmente vai trazer mais transtorno do que 
resultado. Tomará tempo demais e vale o mesmo que as outras questões. 
Fiz uma prova dificílima em 2001 (ou 2002) do BACEN e passei (altamente competitiva a 
prova, mais de 10.000 candidatos para 30 vagas). 
Saí da prova afirmando que ninguém acertaria mais de que 40 questões das 50. E o 
número máximo de acertos foi de 36 (nota 7,2). Eu acertei 28 (acho que 3 ou 4 foram 
anuladas). 
Acho que um bom compromisso a assumir é tentar identificar a nova possível “pegadinha” 
quando o edital sair (se for CESPE ou ESAF). Se aparecer algum tópico novo, diferente, 
vamos tentar apresentar a teoria para preparar os alunos para a prova. 
Mas a probabilidade de cair novamente o modelo CAPM para consumo (que é bem mais 
economia que finanças) é pequena. 
De qualquer maneira, infelizmente a teoria não corrobora o gabarito. Sempre temos 
alunos preparadíssimos nos nossos cursos, se alguém conseguir interpretar o que a CESPE 
quis dizer de forma diferente, e que faça sentido, avalio se vale incluir essa nova visão aqui 
na aula. 
 
4. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Mesmo enunciado. 
Com base nesse conjunto de informações, julgue o item seguinte: 
Os consumidores estão dispostos a receber menor retorno do ativo com risco, caso este 
seja capaz de protegê-los contra um baixo consumo futuro. 
Certo 
Errado 
Gabarito certo 
Proteção contra baixo consumo remete à ideia de SEGURO, ou seja, de correlação 
negativa entre a utilidade do consumo e o retorno do ativo. 
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É o contrário do que foi enunciado na questão anterior e a afirmação está correta, pois a 
covariância negativa vai diminuir o retorno exigido do ativo de risco. 
 
5. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
Mesmo enunciado. 
Com base nesse conjunto de informações, julgue o item seguinte: 
Considera que exista um ativo composto M com retorno perfeitamente negativamente 
correlacionado com U’(ct+1), de modo que U’(ct+1)=γ*Zmt para algum γ>0. Nessas 
circunstâncias, E(Zit)= rt + β[E[Zmt-rt] onde: 
𝐸(𝑍𝑖𝑡) = 𝑟𝑓 + 𝛽[𝐸(𝑍𝑚𝑡 − 𝑟𝑡)] 
 
𝛽 =
𝑐𝑜𝑣(𝑍𝑖𝑡, 𝑍𝑚𝑡)
𝑣𝑎𝑟(𝑍𝑚𝑡)
 
Certo 
Errado 
Gabarito Certo 
Aqui temos que o ativo tem correlação perfeita negativa com a derivada da utilidade. 
Primeiro precisamos ver se a fórmula apresentada se encaixa nas definições. 
𝐸(𝑍𝑖𝑡) = 𝑟𝑓 + 𝛽[𝐸(𝑍𝑚𝑡 − 𝑟𝑡) 
É igual a: 
𝐸(𝑍𝑖𝑡) = 𝑟𝑓{1 − 𝛽[𝐸(𝑍𝑚𝑡)} 
Nós sabemos que autilidade é negativa e não faz sentido tratarmos de retorno negativo, 
por isso o enunciado diz que as variáveis são idênticas (em teremos de correlação), porém 
com sinal invertido. 
A fórmula que encontramos se assemelha à: 
𝐸𝑡(𝑟𝑡+1
𝑖 ) = 𝑟𝑓[(1 − 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑟𝑡+1
𝑖 )] 
Para a qual derivamos as seguintes fórmulas: 
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𝐸𝑡(𝑟𝑡+1
𝑖 ) = 𝑟𝑓 + (
 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑟𝑡+1
𝑖 )
𝑉𝑎𝑟𝑡(𝑚𝑡+1)
) (
−𝑉𝑎𝑟𝑡(𝑚𝑡+1)
𝐸𝑡(𝑚𝑡+1)
) 
𝛽𝑖,𝑚 = (
 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑟𝑡+1
𝑖 )
𝑉𝑎𝑟𝑡(𝑚𝑡+1)
) 
𝜆𝑖,𝑚 = (
−𝑉𝑎𝑟𝑡(𝑚𝑡+1)
𝐸𝑡(𝑚𝑡+1)
) 
Onde: 
𝐸𝑡(𝑟𝑡+1
𝑖 ) = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖,𝑚𝜆𝑖,𝑚 
Qual seria retorno de uma carteira de mercado que tivesse correlação PERFEITA com a 
função utilidade: 
Simples: 
𝐸𝑡(𝑟𝑚) = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖,𝑚𝜆𝑖,𝑚 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛽𝑖,𝑚 = 1 
Beta é um, pois a correlação desse ativo hipotético é perfeita com a utilidade do consumo 
(e negativa com a utilidade marginal do consumo). 
Logo: 
𝜆𝑖,𝑚 = (𝐸𝑡(𝑟𝑚) − 𝑟𝑓) 
Dessa forma, podemos escrever a função como o exercício sugere, pois a carteira de 
mercado tem correlação perfeita com a utilidade (e perfeita negativa com a utilidade 
marginal). 
 
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Anexos 
ANEXO 1 – Introdução à dominância estocástica 
Há, essencialmente, três regras de dominância estocástica: 
 A dominância estocástica de primeira ordem (DEP) seleciona 
investimentos para investidores racionais que preferem retorno maior a um 
retorno menor. 
 A dominância estocástica de segunda ordem (DES) seleciona 
investimentos para investidores racionais que preferem retorno maior a um 
retorno menor E QUE são avessos ao risco (preferem risco menor). 
 A dominância estocástica de terceira ordem (DEP) seleciona 
investimentos para investidores racionais que preferem retorno maior a um 
retorno menor, que são avessos ao risco (preferem risco menor) E QUE 
possuem aversão crescente ao risco. 
Dizemos que uma distribuição F domina estocasticamente em primeira ordem a 
distribuição G se, para toda função não decrescente u(x) temos: 
∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝐹(𝑥) ≥ ∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝐺(𝑥) 
 
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Pode parecer, pela figura, que G teria retorno MAIOR que F, mas é um erro de leitura do 
gráfico. 
Para cada probabilidade acumulada, F está com um retorno MAIOR que o de G. Perceba 
que no ponto 0,5, em que ambas as funções estão com probabilidade acumulada de 
50%, o retorno em F é superior. 
Dizemos que uma distribuição F domina estocasticamente em segunda ordem a 
distribuição G, que tem a MESMA MÉDIA de F se, para toda função não decrescente u(x) 
E CÔNCAVA temos: 
∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝐹(𝑥) ≥ ∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝐺(𝑥) 
Perceba que, nesse caso, estamos falando de retornos esperados iguais e aversão ao risco 
(curva côncava). 
A fórmula é a mesma. 
As demonstrações matemática não são necessárias para o presente estudo, assim como 
a explicação sobre a dominância estocástica de terceira ordem, que raramente é tratada 
nos livros de finanças. 
ANEXO 2 – Fundamentos do Fator Estocástico de Desconto 
A banca CESPE colocou, em 2013, 3 questões sobre a teoria de apreçamento de ativos, 
com base em utilidade de consumo no tempo na prova para o BACEN, mas isso, me 
parece, é algo que está pedido explicitamente em econometria, não em finanças. Deixo 
aqui o anexo para referência. 
Vamos tratar de alguns fundamentos relacionados a métodos de apreçamento de ativos 
utilizando o fator estocástico de desconto. 
Não entendo ser algo prático no mundo das finanças, é mais teórico (e mais apropriado 
para economia), no sentido de aprendermos a maximizar a utilidade do consumo no 
tempo. 
Apesar de ser parte importante de teoria, os modelos de apreçamento de ativos baseados 
em CONSUMO não são tão comuns na prática das casas de análise de projetos e ativos. 
Devemos apresentar o suficiente para o entendimento das questões que já caíram nos 
últimos anos. 
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 50 
Equação básica de apreçamento 
Um investidor, em seu mix decisório, precisa definir o quanto poupar, o quanto consumir e 
que portfólio adquirir a partir de uma condição de riqueza. A equação básica de 
apreçamento deriva das condições de primeira ordem dessas decisões. 
A perda marginal de utilidade de consumir um pouco menos hoje deve ser igual ao ganho 
de utilidade de se consumir um pouco mais amanhã. Isso deve balizar sua decisão de 
comprar ou não o ativo. 
Imaginemos o seguinte: 
 Xt+1 é o payoff de um ativo em t+1. Entende-se como payoff o novo 
preço do ativo pt+1 mais o retorno dela (dividendo, juros etc.) dt+1. 
Qual seria o preço pt em t desse ativo? 
Definamos a função utilidade sobre o consumo (em t e t+1) como: 
𝑈(𝑐𝑡, 𝑐𝑡+1) = 𝑢(𝑐𝑡) + 𝜃𝐸[𝑢(𝑐𝑡+1)] 
Para entender melhor essa equação, lembre-se de que, como estamos buscando avaliar 
quanto um ativo deveria me trazer de retorno para que eu DEIXE de consumir hoje, aquela 
utilidade em t, provavelmente seria negativa, pois estaríamos DEIXANDO de consumir. A 
letra grega teta é o fator subjetivo de desconto que incorpora a impaciência. E, como 
vimos anteriormente, a curvatura de u(c) determina a aversão a risco e a substituição 
intertemporal. 
Supondo que o investidor possa comprar o quanto quiser desse ativo, devemos buscar um 
Z que maximize a fórmula abaixo: 
𝑢(𝑊𝑡 − 𝑝𝑡𝑍) + 𝜃𝐸[𝑢(𝑊𝑡+1 + 𝑥𝑡+1𝑍)] 
Explicando a equação. 
Devemos maximizar essa fórmula, de forma que a utilidade de consumo da riqueza de 
hoje MENOS o que investimos no ativo (ptZ), seja mais que compensada pela utilidade de 
consumo da riqueza em t+1, mais o payoff do ativo, vezes o a quantidade de ativos Z. 
Sempre compensado pelo fator teta. 
Imagine que tenhamos hoje um patrimônio líquido de R$ 100.000, que me traria 
determinada satisfação se o consumisse hoje. 
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 51 
Deveria investir integralmente esses R$ 100.000 para a aposentadoria daqui a 30 anos. Qual 
o retorno que devo ter? 
Essencialmente algo que vai me trazer MAIS utilidade em 30 anos, compensado pelo fator 
de espera (teta). 
Derivando essa equação em relação a Z (a igualdade vem do fato de que, se derivamos 
para o ponto MÁXIMO de Z, significa que a derivada primeira é ZERO) teremos (perceba 
que a derivada de “-Z” em relação a Z, é -1): 
𝑝𝑡𝑢′(𝑐𝑡) = 𝐸[𝜃𝑢′(𝑐𝑡+1)𝑥𝑡+1] 
Nesse ponto de MÁXIMO (derivada primeira zero), teríamos que a perda marginal de 
utilidade vezes o preço do ativo (que é o montante de consumo do qual se abre mão) 
deve ser igual ao aumento de utilidade marginal esperado pelo “ganho” com o payoff. 
Essa equação seria a EBA, equação básica de apreçamento. 
Reescrevendo essa equação temos o FATOR ESTOCÁSTICO DE DESCONTO (FSD): 
𝑝𝑡 = 𝐸 [𝜃
𝑢′(𝑐𝑡+1)
𝑢′(𝑐𝑡)
𝑥𝑡+1] 
𝐹𝑆𝐷 = 𝑚𝑡+1 = 𝜃
𝑢′(𝑐𝑡+1)
𝑢′(𝑐𝑡)
 
Agora podemos simplificar a EBA: 
𝑝𝑡 = 𝐸[𝑚𝑡+1𝑥𝑡+1] 𝑜𝑢 𝑝𝑡 = 𝐸[𝑚𝑥] 
O preço que se pode pagar no ativo dependerá DIRETAMENTE da utilidade marginal do 
consumo em t+1 e do coeficiente teta, e INVERSAMENTE da utilidade marginal do 
consumo em t. 
Alguns livros apresentam, em vez de teta, (1-θ). 
Quanto maior for o valor ou a utilidade do consumo atual, menor terá que ser o valor do 
ativo (abrir mão de menos consumo). Quanto maior for a utilidade marginal do consumo 
no futuro, mais caro poderá ser o ativo. 
Um modelo bastante comumpara descrever a função de utilidade do consumo pelo 
tempo seria a seguinte: 
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𝑢(𝑐𝑡) =
1
1 − 𝛾
𝑐𝑡
1−𝛾
 
𝑢′(𝑐𝑡) = 𝑐𝑡
−𝛾
 
Em que γ seria o coeficiente de aversão ao risco, sendo maior ou igual a zero e diferente 
de 1. 
ANEXO 3 – Fatos Clássicos em Finanças vistos pelo prisma do FSD 
Taxa Livre de Risco com Retornos Conhecidos 
Em um mundo sem incertezas, em que sabemos qual a taxa livre de risco prefixada hoje, 
que vai nos oferecer o payoff em t+1, temos: 
𝑝𝑡 =
𝑥𝑡+1
𝑟𝑓
 
Nesse caso rf é o FATOR de desconto, pois xt+1 é o valor futuro do ativo + os dividendos ou 
juros atribuídos a ele. 
Percebemos que ativos arriscados deverão ter preços MENORES, pois as taxas são maiores 
do que as do ativo livre de risco. 
Ou, sendo mais preciso: 
𝑝𝑡 =
1
𝑟𝑓
𝐸(𝑥𝑡+1) 
Num mundo sem incertezas nos sabemos qual o valor de xt+1, por isso é o mesmo que a 
expectativa de xt+1. 
Dessa forma: 
𝑝𝑡 = 𝐸[𝑚𝑡+1]𝑥𝑡+1 =
𝑥𝑡+1
𝑟𝑓
 
𝑟𝑓 =
1
𝐸[𝑚𝑡+1]
 
Genericamente teríamos: 
𝑝𝑡
𝑖 =
1
𝑟𝑖
𝐸(𝑥𝑡+1
𝑖 ) 
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Em um mundo com taxa de livre de riscos rf e com a função utilidade do consumo definida 
como: 
𝑢(𝑐𝑡) =
1
1 − 𝛾
𝑐𝑡
1−𝛾
 
E sua derivada sendo: 
𝑢′(𝑐𝑡) = 𝑐𝑡
−𝛾
 
Nós conseguimos relacionar a taxa com o preço, a partir do fator estocástico de desconto. 
𝑟𝑓 =
1
𝜃
(
𝑐𝑡+1
𝑐𝑡
)
𝛾
 
Temos três efeitos: 
1. Taxas de juros são altas quando as pessoas são impacientes, querem consumir logo 
(fator teta) 
2. As taxas de juros são mais altas em tempos de expectativa de alto crescimento de 
consumo. Se a taxa é alta, vale a pena economizar para consumir muito mais no futuro. 
3. Se o parâmetro γ é grande, então taxas altas serão necessárias para aumentar a taxa 
de crescimento de consumo. Se γ é grande, o investidor é muito avesso ao risco, logo ele 
deseja manter um perfil bem suave de consumo ao longo do tempo, portanto, só uma 
mudanças grandes nas taxas de juros para leva-lo à mudança no crescimento do 
consumo. 
Correções ao risco 
Vamos utilizar a definição básica de covariância: 
𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑥𝑡+1) = 𝐸𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑥𝑡+1) − 𝐸𝑡(𝑚𝑡+1)𝐸𝑡(𝑥𝑡+1) 
Com: 
𝑝𝑡 = 𝐸[𝑚𝑡+1𝑥𝑡+1] 𝑜𝑢 𝑝𝑡 = 𝐸[𝑚𝑥] 
Temos então: 
𝑝𝑡 = 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑥𝑡+1) + 𝐸𝑡(𝑚𝑡+1)𝐸𝑡(𝑥𝑡+1) 
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Substituindo: 
𝐹𝑆𝐷 = 𝑚𝑡+1 = 𝜃
𝑢′(𝑐𝑡+1)
𝑢′(𝑐𝑡)
 
E também: 
𝑟𝑓 =
1
𝐸[𝑚𝑡+1]
 
Temos: 
𝑝𝑡 =
𝐸𝑡(𝑥𝑡+1)
𝑟𝑓
+
𝑐𝑜𝑣𝑡(𝜃𝑢′(𝑐𝑡+1), 𝑥𝑡+1)
𝑢′(𝑐𝑡)
 
Sabemos da teoria da utilidade do consumo que a utilidade marginal u’(ct) DECRESCE 
com o aumento de ct. 
Dessa forma, o preço do ativo será MENOR se o payoff possui covariância positiva com 
consumo, isso porque teria covariância NEGATIVA com a derivada do consumo, pois a 
curva é côncava e a segunda parte da equação seria negativa. 
O contrário também vale, se a covariância do retorno do ativo com a utilidade de 
consumo é negativa (covariância da utilidade MARGINAL seria positiva), o preço do ativo 
SOBE. 
Se a covariância é ZERO. O preço do ativo é indiferente à utilidade de consumo. 
Isso ocorre porque os investidores não gostam de incerteza em relação ao consumo, logo 
eles querem tornar o consumo o menos volátil possível. Portanto, se o payoff de um ativo 
tem covariância positiva com o consumo, eles vão requerer um preço menor (prêmio de 
risco maior) para investir no ativo. Por outro lado, para um seguro (negativamente 
correlacionado com o payoff) o prêmio de risco é negativo. 
Em termos de retorno, nos reescrevemos a EBA considerando o preço d ativo hoje como 
sendo 1 (um): 
1 = 𝐸[𝑚𝑡+1𝑟𝑡+1
𝑖 ] 
Substituindo: 
1 = 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑟𝑡+1
𝑖 ) + 𝐸𝑡(𝑚𝑡+1)𝐸𝑡(𝑟𝑡+1
𝑖 ) 
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Perceba que, ao utilizar o preço em 1, estamos transformando todos os fatores em X para 
R (fator de retorno). 
Utilizando: 
𝑟𝑓 =
1
𝐸[𝑚𝑡+1]
 
Teremos: 
1 = 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑟𝑡+1
𝑖 ) +
𝐸𝑡(𝑟𝑡+1
𝑖 )
𝑟𝑓
 
𝐸𝑡(𝑟𝑡+1
𝑖 ) = 𝑟𝑓[(1 − 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑟𝑡+1
𝑖 )] 
Reescrevendo, inserindo as definições de FSD para o retorno, teríamos a seguinte 
equação: 
𝐸𝑡(𝑟𝑡+1
𝑖 ) = 𝑟𝑓 − 
 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑢′(𝑐𝑡+1), 𝑟𝑡+1
𝑖 )
𝐸𝑡(𝑢′(𝑐𝑡+1))
 
Podemos reescrever a função como se segue: 
𝐸𝑡(𝑟𝑡+1
𝑖 ) = 𝑟𝑓 + (
 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑟𝑡+1
𝑖 )
𝑉𝑎𝑟𝑡(𝑚𝑡+1)
) (
−𝑉𝑎𝑟𝑡(𝑚𝑡+1)
𝐸𝑡(𝑚𝑡+1)
) 
O primeiro parâmetro: 
𝛽𝑖,𝑚 = (
 𝑐𝑜𝑣𝑡(𝑚𝑡+1, 𝑟𝑡+1
𝑖 )
𝑉𝑎𝑟𝑡(𝑚𝑡+1)
) 
É conhecido como a quantidade de risco associada a cada ativo. É o coeficiente da 
regressão linear do retorno Rt+1 em Mt+1. 
O segundo parâmetro: 
𝜆𝑖,𝑚 = (
−𝑉𝑎𝑟𝑡(𝑚𝑡+1)
𝐸𝑡(𝑚𝑡+1)
) 
É conhecido como preço do risco. A multiplicação do preço do risco pela quantidade do 
risco, nos dá o prêmio de risco em relação ao ativo livre de risco. 
Essa equação se parece muito com a equação do CAPM: 
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𝐸𝑡(𝑟𝑡+1
𝑖 ) = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖,𝑚𝜆𝑖,𝑚 
O coeficiente λm deve ser o mesmo para todos os ativos e vai depender da variância do 
SDF. Já βi,m varia de ativo para ativo. 
Dessa forma, derivamos o modelo CAPM a partir das funções utilidade. 
 
 
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