Exercício de Microeconomia II

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Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária..
CAPITULO 1
RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA
1. Reconhecendo a situação de pobreza de parte de sua população, um país da
América do Sul decide adotar políticas sociais. Vê-se, então, frente a duas
possibilidades. Por um lado, pode reduzir os preços dos alimentos; por outro,
pode aplicar um programa de renda mínima. Desenhe a restrição orçamentária
de um pobre nessa economia, comparando a sua situação inicial e final em cada
uma das duas políticas.
Solução
Opção 1: Redução preço dos alimentos (P*a<Pa)
 outros
 
 m/Pa m/P*a Alimentos
 
Opção 2: Incremento na renda. (m*>m)
 
outros
 m*/Po
 m/Po
 m/Pa m*/Pa
2. Uma das reclamações mais freqüentes na Organização Mundial do Comércio, é
a adoção, por parte de alguns países, de políticas de subsídio à agricultura. No
entanto, essa política, além de propiciar frutos no comércio internacional,
modifica as possibilidades de consumo da população. Trace a restrição
orçamentária de um consumidor hipotético para uma situação com e outra sem
subsídios à agricultura, considerando a existência de bens de apenas dois tipos.
Solução
Subsídios à agricultura.
 outros
 RO sem subsídio à agricultura
 RO com subsídio
 -Pa/Po -Pa’/Po 
 
 Produtos agrícolas
 Pa’=Pa(1-s)
3. Visando atrair possíveis clientes, um supermercado decide vender fraldas
Johnsonn’s que normalmente custam R$ 6,00, por apenas R$ 4,00 por pacote.
Limita, no entanto, a compra de dois pacotes por cliente. Suponha que duas
famílias de mesmo orçamento, m = R$ 50,00, decidam comprar nesse
supermercado. A família A se faz representar apenas por seu chefe, Dona
Clementina, enquanto a família B decide fazer as compras representada pelo pai
e pela mãe. Apresente graficamente a restrição orçamentária dessas duas
famílias, sabendo que a família B pode comprar o dobro de fraldas da família A,
passando uma pessoa de cada vez no caixa (pense a existência de fraldas e
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CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária..
cestas com composição de todos os outros bens). Esses conjuntos orçamentários
são convexos? 
Solução
Família A Família B
 Outros Outros
 
 
 2 4 
Fraldas Fraldas
Inclinação inicial: 4/Po (comprando até 2 pacotes)
Inclinação final: 6/Po (comprando + de 2 pacotes)
4. Marta é uma estudante do curso de Economia da UFRJ que está se preparando
para as provas de Estatística e Microeconomia. Ela dispõe de tempo para ler 40
páginas do livro de Estatística e 30 páginas do livro de Micro. Com o mesmo
tempo, ela consegue ler 30 páginas de Estatística e 60 páginas de Micro.
a) Qual o número de páginas do livro de Microeconomia que Marta
poderia ler se ela decidisse usar todo o seu tempo para estudar Micro? (dica:
você dispõe de dois pontos da reta orçamentária de Marta, e assim é possível
determinar a equação da reta).
b) b) Quantas páginas ela conseguiria ler se dedicasse todo o seu
tempo para estudar Estatística?
Solução
Primeiro, calcula-se a equação da reta orçamentária;
x2= m/p2 – (p1/p2) x1 






−=
−
=
∆
∆
=−
3
1
30
10
1
2
2
1
x
x
p
p
x2= m/p2 – (1/3)x1
 Estatística (x2)
 
 50
 40 
 10 
 30 
 30
 30 60 150 micro (x1)
Os interceptos:
a) Se só estuda Micro não dedica tempo a estatística. Temos que buscar o intercepto 
da reta com o eixo horizontal (x1) que é m/p1
x1 = m/p1 – (3) x2; onde m/p1 = x1 + (3)x2
substituindo m/p1 = 30 + (3) 40 = 150
b) Se só estuda Estatística não dedica tempo a Micro. Temos que buscar o intercepto
da reta com o eixo vertical (x2) que é m/p2.
x2 = m/p2 – 1/3 x1; onde m/p2 = x2 + 1/3 x1
substituindo m/p2 = 40 + 1/3(30) = 50
5. Se um estudante gastar toda a sua bolsa de estudos ele pode comprar 8 livros e 8
caixas de doces; ou ainda 10 livros e 4 caixas de doces por semana. O preço do
livro é $0,5. Trace a restrição orçamentária do estudante. Qual o valor semanal
da bolsa de estudos.
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Solução
 Doces (x2)
 
 8 
 4
 4 
 2
 8 10 livros (x1)
p1= 0,5 p2= 0,5/2 = 0,25 
p1/p2 = 4/2= 2 
x2= m/p2 – (p1/p2).x1
4=m/ 0,25 – (0,5/0,25).10 m= 6.
6. (ANPEC 1993) A figura seguinte apresenta a linha de orçamento (AB) de um
consumidor que possui uma renda de $ 300.
Bem 2
 60
 AB
30 Bem 1
a) Qual a expressão algébrica da restrição orçamentária (AB)?
b) Qual o preço nominal do bem 2?
Solução
P1/p2 = 60/30=2; m/p2=60 e m/p1=30
a) X2= m/p2 – (p1/p2).X1 X2= 60 – 2.X1
b) m/p2=60; p2= m/60= 300/60=5
7. (Varian). A princípio, o consumidor defronta-se com a reta orçamentária p1x1 +
p2x2 = m. Depois, o preço do bem 1 dobra, o do bem 2 passa a ser 8 vezes
maior e a renda quadruplica. Escreva uma equação para a nova renda
orçamentária com relação aos preços e à renda originais. 
Solução
mxpxp 482 2211 =+
8. (Varian). O que ocorre com a renda orçamentária se o preço do bem 2 aumentar
mas a renda e o preço do bem 1 permanecerem constantes?
Solução
O intercepto vertical (eixo de x2) diminuirá, e o intercepto horizontal (eixo de x1)
permanecerá constante. A reta orçamentária tornar-se-á, pois mais plana.
9. (Varian). Se o preço do bem 1 duplicar e a do bem 2 triplicar, como ficará a reta
orçamentária: mais ou menos inclinada?
Solução
Menos inclinada.
10. (Varian). Qual a definição de um bem numerário?
Solução
Aquele cujo preço ou valor monetário é 1. Exemplo: o dinheiro.
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CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária..
11. (Varian). Imaginemos que o governo baixe um imposto de 0,15 $ sobre o galão
de gasolina e depois resolva criar um subsídio para a gasolina a uma taxa de
0.07 $por galão. Essa combinação equivale a que taxa líquida?
Solução
Consulte as soluções no varian
12. (Varian). Suponhamos que a equação orçamentária seja dada por p1x1 + p2x2 =
m. O governo decide impor um imposto de montante fixo de u, um imposto t
sobre a quantidade do bem 1 e um subsídio s sobre a quantidade para o bem 2.
Qual será a fórmula da nova restrição orçamentária?
Solução
Consulte nas soluções do Varian
13. (Varian). Se, ao mesmo tempo, a renda de um consumidor aumentar e um dos
preços diminuir, estará ele necessariamente tão próspero quanto antes?
Solução
Sim. Os dois movimentos levam a aumentar o conjunto orçamentário, pelo qual ele
será mais próspero.
14. O governo de um município decide destinar uma quantidade Q de recursos para
a população com rendimentos inferiores a dois salários mínimos, composta de
1000 famílias com características muito parecidas – em média quatro pessoas,
com desvio padrão bastante baixo. Essas famílias consomem basicamente dois
produtos: alimentos ehabitação. A prefeitura pode destinar os recursos por
intermédio de um programa de renda mínima ou um programa de cesta básica
de alimentos com preços subsidiados. Em que situação a população carente
seria mais beneficiada?
Solução
De acordo com o visto na questão 1, os programas de rendas mínimas ampliam mais 
o conjunto orçamentário.
17. Comente as seguintes afirmações;
(i) O conjunto de possibilidades de consumo consiste em todas as cestas que o
consumidor deseja adquirir, aos preços de mercado e dada a sua renda.
Cestas Alimento(A) Vestuário(V) Despesa(D)
C1 0 40 R$80
C2 20 30 R$80
C3 40 20 R$80
C4 60 10 R$80
C5 80 0 R$80
(ii) A linha orçamentária obtida com base nas informações da tabela acima apresenta
o orçamento associado a uma renda de R$80,00 , um preço de alimentação de
R$1,00 por unidade e um preço de vestuário de R$2,00 por unidade. A inclinação da
linha orçamentária é, portanto, -1/2. 
(iii) Aumentos no preço do vestuário (tudo mais constante) fazem com que a linha
orçamentária fique mais inclinada. A medida que aumentamos o preço dos alimentos
(tudo mais constante), que a linha orçamentária ficará menos inclinada.
(iv) Mudanças na renda do consumidor (mantidos os preços dos bens constantes)
deslocam a linha orçamentária paralelamente. Contudo, o conjunto dos bens que são
factíveis para o consumidor não se altera. 
Solução
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CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária..
(i) O conjunto de possibilidades de consumo consiste em todas as cestas que o
consumidor PODE adquirir, não o que deseja. Cestas desejadas podem não estar
dentro do conjunto de possibilidades de consumo.
(ii) Correta. Por hipótese, o que o consumidor gasta é o total da sua renda porque
não há poupança. Logo m = 80= Despesa (D).
Por outro lado, sobre os preços se tem que:
C1; 0*1 + 40*2 = 80
C2; 20*1 + 30*2 =80
C3; 40*1 +20*2 = 80
C4; 60*1 + 10*2 = 80
C5; 80*1 + 0*2 = 80
Logo para os preços dados a inclinação é –1/2.
(iii) A primeira frase é verdadeira se o vestiário estiver no eixo horizontal, mas a
segunda é falsa sob a mesma consideração.
(iv) A primeira frase é verdadeira, mas a segunda é falsa dado que as possibilidades
de consumo se alteram para qualquer alteração da restrição orçamentária.
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CAPÍTULO 2. Preferências.
CAPITULO 2
PREFERÊNCIAS
1. Prove que um conjunto de preferências monótono implica curvas de
indiferença negativamente inclinadas. 
Solução
Monotonicidade: (x1x2) (y1y2) com y1>x1 e y2>x2 ; então (y1y2)> (x1x2)
(x1x2) (z1z2) com z1<x1 ou z2<x2; então (x1x2)> (z1z2)
2. Por que curvas de indiferença não podem se cruzar?
Solução
Porque se elas se cruzam, estaria-se contradizendo o axioma da transitividade a
cerca do comportamento racional do consumidor.
3. Curvas de indiferença de um indivíduo saciado violam que axioma(s)
colocado(s) com referência ao consumidor bem comportado?
Solução
O da monotonicidade; mais é melhor.
4. Um dos temas mais colocados pela literatura de meio ambiente é a
existência de investimentos diretos de plantas poluentes em países do terceiro
mundo por parte de empresas transnacionais. Isso coloca uma questão bastante
interessante para os países em desenvolvimento que apresentam uma relação de
troca entre os benefícios do investimento em termos de produto e emprego e os
malefícios da poluição. Desenhe curvas de indiferença que expressem essa
relação de troca.
Solução
Os paises em desenvolvimento estão dispostos a aceitar aumento de poluição se esse
ocasionar aumento dos investimentos. Do contrário o bem estar das economias
pioraria.
5. Em alguns processos de produção da siderurgia, uma empresa deve
misturar em quantidades fixas carvão e ferro, com o objetivo de obter aço, numa
razão de 1 para 4. Expresse as preferências dessa empresa com referência ao
carvão e ao ferro.
Solução
 8
 4 
1 2
São complementares na proporção de 1 para 4, ou seja, a cada 1 unidade de carvão e
4 de ferro, será produzida uma unidade de aço.
•(y1y2)
•(z1z2)
•(x1x2)
∆ Invest.
∆poluição
Carvão
Ferro
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CAPÍTULO 2. Preferências.
6. Prove graficamente que uma taxa marginal de substituição positiva viola o
axioma da monotonicidade.
Solução
 
(x1x2) (x1+∆x1,x2+∆x2)
∆x1 
 ∆x2
Se ∆x2/∆x1>0 então ∆x2>0 e ∆x1>0 o que significa que quanto mais é indiferente e não
“quanto mais melhor” como formula a hipótese da monotonicidade. Assim, não pode
acontecer que dadas as cestas (x1x2) e (x1+∆x1,x2+∆x2), então (x1+∆x1,x2+∆x2) > (x1x2)
mas (x1+∆x1,x2+∆x2)~ (x1x2). 
7. Luciano consome apenas café e caramelo. A sua cesta de consumo referente
ao consumo de x unidades de xícaras de café e y unidades de caramelo por
semana é representada pelo par (x,y). O conjunto de cestas de consumo (x,y)
para o qual Luciano é indiferente entre (x,y) e (1,16) é o conjunto de cestas tal
que y = 20 - 4 x. O conjunto de cestas (x,y) para o qual ele é indiferente em
relação a (6,0) é tal que y = 24 - 4 x.
a) Trace as curvas de indiferença que passam pelos pontos (1,16) e (6,0).
b) Qual a inclinação da curva de indiferença que passa pelos pontos (9,8) e
(4,12)1?
c) As preferências de Luciano são convexas? Por que?
Solução
(x,y) = (café,caramelo)
y = 20 - 4x conjunto de cestas indiferentes a (1,16)
y = 24 - 4x conjunto de cestas indiferentes a (6,0)
1 Lembre-se dos recursos de Cálculo para determinar a inclinação de uma curva.
a)
 (0,24)
 (0,20)
 (5,0)(6,0) 
c) 
m = 9. p1 + 8 p2
m = 4.p1 + 12 p2 -
 -----------------------------
0 = 5 p1 – 4p2; 5 p1 = 4p2; p1 /p2 = 4/5
d) Sim. Porque qualquer segmento traçado entre duas cestas dentro da mesma curva
de indiferença, são pontos tão bons quanto as cestas da curva de indiferença. As
preferências são convexas, embora não estritamente convexas.
8. Marina gosta de gastar parte do seu tempo estudando e a outra parte na
academia de ginástica. Na verdade, as curvas de indiferença traçadas entre
“horas por semana gastas com estudo” e “horas por semana gastas com
ginástica” são circunferências concêntricas em torno da sua combinação
favorita: 20 horas de estudo e 15 horas de ginástica por semana. Quanto mais
próxima ela está da sua combinação favorita, mais satisfeita ela está; isto é as
suas preferências obedecem à relação de saciedade. Suponha que Marina esteja
atualmente estudando 25 horas por semana e fazendo ginástica 3 horas por
semana. Será que ela preferiria estar estudando 30 horas por semana e fazendo
ginástica 8 horas por semana? (dica: Lembre-se da fórmula para o cálculo da
distância entre dois pontos).
Solução
Distância entre (25,3) e (20,15): h2=(15-3)2+(25-20)2=144+25=169 h= 169 =13
(1,16)
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CAPÍTULO 2. Preferências.
Distância entre (30,8) e (20,15): H2=(15-8)2+(30-20)2=49+100=149 h= 149 .
Esta é uma distância menor ,logo 30hs/semana de estudo e 8hs/semana de ginástica a
deixarão mais satisfeita.
Horas de
Ginástica
 15
 8
 3
 20 25
Horas de Estudo
9. A nota final do curso de Microeconomia é calculada com base na maior
das notas dos dois testes realizados durante o semestre. Joyce é uma aluna
deste curso, e deseja maximizar a sua nota final. Considere x1 como sendo a
nota no primeiro teste e x2 a nota do segundo teste. 
a) Qual das duas seguintes combinações é a melhor para Joyce: x1 = 20 e x2 = 70;
ou x1 = 60 e x2 = 50? Trace as curvas de indiferença relativas a estas
combinações. Joycepossui preferências convexas?
b) Joyce também é aluna do curso de Econometria. O professor desta matéria
também aplica dois testes. Porém, ao invés de descartar a menor nota, ele
descarta a maior delas. Considere x1 como sendo a nota no primeiro teste e x2 a
nota do segundo teste. Qual das seguintes combinações Joyce irá preferir: x1=20
e x2=70; ou x1= 60 e x2 = 50? Joyce possui preferências convexas?
Solução
a) x1=20; x2=70 é a combinação preferida, dado que sua nota final será 70.
Curvas de diferença no gráfico abaixo. As preferências de Joice não são convexas.
Isto significa que as notas extremas são preferíveis a tirar notas médias, ou seja,
descartar a nota mais baixa faz com que quanto maiores o valores da nota tirada
numa prova, melhor a Joice estará.
Nota do 2° teste
 (20,70)
 70
 
 60
 50 (60,50) 
 20
 20 50 60 70 Nota 1°teste
b) Descartando a maior nota a melhor combinação é (60,50). Neste caso as
preferências são convexas. Combinações que se correspondem com valores médios
deixariam a Joice mais satisfeita. Tirar 60,50 na primeira e segunda prova
respetivamente, deixaria ela com uma nota de 50. Tirando 70,20 ela ficaria com nota
final de 20.
10. Mauro, um estudante de Economia, gosta de almoçar às 12:00hs. Todavia,
ele gosta também de economizar dinheiro, para poder consumir outros bens, e
para isso ele procura aproveitar as promoções que a lanchonete realiza
diariamente. Mauro possui R$15 por dia para gastar com a refeição e outros
bens. O almoço às 12:00hs custa R$ 5. Se ele atrasa seu almoço t horas depois
de 12:00hs, ele paga R$5 - t. Da mesma forma, se ele almoça t horas antes das
12:00hs, ele paga R$ 5 - t.
a) Se Mauro almoça ao meio dia, quanto ele terá para gastar em outros bens? E se
ele almoça às 14:00 hs.? 
(20,15)
(30,8)
(25,3)
saciedade
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CAPÍTULO 2. Preferências.
b) Trace a curva que demonstra as combinações entre horas e dinheiro disponível
para o gasto em outros bens?
Solução
Outros bens
 (5,10)
5 Almoço
a) Almoçando ao meio-dia x2=15-5=10
 Almoçando às 14:00h x2=15-(5-t)=10+t=12
b)
 12 
 11
 10
10 11 12 13 14
11. Larry considera margarina e manteiga como sendo substitutos perfeitos.
Será que tais curvas de indiferença seriam convexas? Por que? 
Solução
As preferências entre bens substitutos perfeitos são convexas, embora não
estritamente convexas.
12. (ANPEC) A teoria ordinal do consumidor baseia-se nas suposições
principais de que: (i) o consumidor sempre prefere mais do que menos de
uma mercadoria; e, (ii) as ordenações das cestas de bens são transitivas.
Com a suposição adicional de indiferença entre certas cestas, é possível
construir curvas de indiferença. Com base nestas suposições, marque V ou
F, justificando suas opções:
a) Duas cestas em que uma tenha mais de cada mercadoria do que a outra
podem ser representadas pela mesma curva de indiferença.
b) Uma cesta qualquer de uma das curvas de indiferença será preferível não só
a outra que tenha quantidades menores de cada mercadoria, mas também a cada
cesta que seja indiferente à cesta de menores quantidades.
c) O cruzamento de duas curvas de indiferença é consistente com as
suposições (1) e (2) acima.
d) Com a suposição adicional de concavidade, a curva de indiferença, pela sua
inclinação, mostra a queda do valor atribuído a uma mercadoria quando
aumenta o seu consumo pelo indivíduo.
Solução
a) Falso. A cesta com maior mercadoria deverá melhorar (ser melhor) o nível de
satisfação do consumidor considerando que não atingiu o estado de saciedade.
b) Verdadeiro.
c)Falso.Viola o axioma sobre transitividade.
d) A curva de indiferença côncava também tem inclinação negativa. Como valos não
está associado com preço no estudo das preferências, o valor atribuído a um bem é
medido pela quantidade de bens aos quais se está disposto a renunciar para aumentar
o consumo de outro. Neste sentido, concavidade envolve relação negativa.
13. (ANPEC) Marque V ou F, justificando suas opções. Com relação à teoria
do consumidor, pode-se afirmar que:
a) A hipótese de taxa marginal de substituição decrescente corresponde à hipótese
de que as curvas de indiferença são estritamente convexas em relação à origem.
b) A hipótese de taxa marginal de substituição decrescente significa admitir que o
consumidor prefere diversificação à especialização no consumo de bens.
Solução
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CAPÍTULO 2. Preferências.
a) Taxa marginal de substituição negativa significa primeira derivada menor que
zero (negativa) e segunda derivada positiva. Ou seja; 0
1
2 〈
dx
dx
 Inclinação negativa e
0
1
2
2
2
〉
xd
xd
 Taxa decrescente. Se a TMS é decrescente, então as preferências são
estrictamente convexas (convexas curvadas). 
b) A hipóteses de convexidade envolve que cestas com valores médios se
correspondem com níveis de satisfação maiores. A afirmativa é verdadeira.
14. (ANPEC) Marque V ou F, justificando suas opções. Sobre a Teoria do
Consumidor é correto afirmar que:
a) Se as curvas de indiferença fossem convexas em relação à origem, o consumidor
compraria apenas um dos bens.
b) Se uma curva de indiferença é horizontal, supondo o bem X no eixo horizontal e
o bem Y no eixo vertical, isso significa que o consumidor está saturado do bem
Y.
c) Se uma cesta de bens A é indiferente a B e simultaneamente preferida a C,
enquanto B é indiferente a C, então há um cruzamento de curvas de indiferença.
Solução
a) Falso. As soluções de canto são preferíveis de acordo com o
pressuposto de concavidade, convexidade não estrita (substitutos perfeitos),
neutros e males, e a determinadas formas que podem adquirir curvas de
indiferença convexas como no exemplo abaixo. (o ponto grosso indica escolha
ótima).
 Neutros Formato convexo com Males
solução de canto
b) y Falso. Isto significa que o 
 consumidor é neutro em 
 relação ao consumo de x.
 
 x
c)x2 Verdadeiro.
 x1 
15. V ou F, justificando suas opções. Sobre a Teoria do Consumidor é correto
afirmar que:
a) A teoria da preferência do consumidor baseia-se na premissa de que as
pessoas não se comportam sempre de modo racional em sua tentativa de
maximizar o grau de satisfação por meio da aquisição de uma determinada
combinação de bens e serviços.
b) As preferências do consumidor podem ser completamente descritas por um
conjunto de curvas de indiferença ou mapa de indiferença. Este mapa de
indiferença oferece uma ordenação ordinal de todas as escolhas que um
consumidor poderia fazer.
c) Um dos axiomas básicos sobre preferências do consumidor é que estas
devem ser completas, isto é, dadas as cestas A e B, o consumidor ordena A
como sendo pelo menos tão boa quanto B, ou B sendo pelo menos tão boa
quanto A, ou ambos (A e B são indiferentes para o consumidor).
Obviamente, os preços devem ser levados em consideração.
d) Um outro axioma básico sobre preferência diz que estas são transitivas, isto
é, dadas as cestas A, B e C, se A é pelo menos tão boa quanto B e B é pelo
menos tão boa quanto C, então A é pelo menos tão boa quanto C. Tal
axioma, contudo, não assegura que as preferências do consumidor sejam
racionais (coerentes).
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CAPÍTULO 2. Preferências.
e) Preferências “bem comportadas” são monotônicas (significa que mais é
melhor) e convexas (significa que a inclinação dacurva de indiferença é
negativa).
Solução
a) Errada. A premissa é de que as pessoas se comportam de modo racional.
b) Correta. 
c) Errado preferências não leva preço em consideração. 
d) Errado.Assegura sim. 
e) Errada. Convexidade implica que o consumidor prefere as médias aos extremos.
16. (ANPEC) Marque V ou F, justificando suas opções. Sobre a Teoria do
Consumidor é correto afirmar que:
a) Bens complementares perfeitos são consumidos sempre em proporções
fixas. As C. de I. tem forma de L, com vértice sempre quando a quantidade
de um dos bens é igual a quantidade do outro bem.
b) Bens substitutos perfeitos são aqueles que o consumidor está disposto a
substituir um pelo outro a uma taxa constante. As C. de I. são retas com
inclinação negativa, não necessariamente constante e também não
necessariamente iguais a –1.
c) A TMS de A por V corresponde à menor quantidade de V à qual o
consumidor se dispõe a renunciar para que possa obter uma unidade
adicional de A.
d) A TMS é a inclinação da C. de I.; ela vai sendo reduzida à media que nos
movemos para abaixo ao longo da curva de indiferença.
e) Quando ocorre uma TMS crescente, as preferências são convexas.
Solução
a) Errada. As quantidades podem ser diferentes.
b) Errada, é necessariamente constante.
c) Errada. Corresponde a maior.
d) Correta. 
e) Errado. Quando ocorre uma TMgS decrescente.
17. (ANPEC) Marque V ou F, justificando suas opções. Sobre a Teoria do
Consumidor é correto afirmar que:
a) A TMS é a razão entre as UMG dos dois bens. A UMG com respeito ao
bem 1 é a derivada da função de utilidade com respeito a esse bem e sua
interpretação é o quanto o custo do consumidor com esse bem muda em função
de mudanças na quantidade desse bem. 
b) Ao observarmos uma escolha do consumidor para um dado conjunto de
preços, podemos obter a TMS. Se os preços mudam, podemos novamente obter a
TMS. À medida que essas mudanças de preços ocorrem, podemos aprender mais
sobre as preferências que geraram as escolhas observadas pelo consumidor.
c) Na abordagem ordinal, se a TMS for decrescente haverá especialização do
consumo em apenas um bem. As C. de I. seriam côncavas.
Solução
a) Falso. A UMG com respeito ao bem 1 é a derivada da função de utilidade com
respeito a esse bem e sua interpretação é o quanto a utilidade do consumidor com
esse bem muda em função de mudanças na quantidade desse bem.
b) Verdadeiro. No equilíbrio TMS=P1/P2, ou seja, a observação dos preços
relativos da informação sobre as preferências dos consumidores.
c) Falso. Uma TMS decrescente significa que a taxa à qual uma pessoa deseja
trocar x1 por x2 diminui à medida que aumentamos a quantidade de x1, ou seja,
que quanto mais temos de um bem, mais propensos estaremos a abrir mão de um
pouco dele em troca de outro bem, o que se refere ao caso da diversificação – o
consumidor consome nesse caso os dois bens.
18. Marque V ou F, justificando suas opções. Sobre a Teoria do Consumidor é
correto afirmar que:
(i) A hipótese de monotonicidade implica que as curvas de
indiferença devem ter inclinação negativa e, portanto, a TMS sempre
envolve a redução ou o aumento do consumo de ambos os bens. Assim, é
possível descrever a forma da curva de indiferença, descrevendo-se o
comportamento da TMS.
(ii) No caso de bens perfeitos substitutos, as curvas de indiferença
são caracterizadas por uma TMS constante e igual a 1. 
(iii) As curvas de indiferença, no caso dos bens neutros, são
caracterizadas por uma TMS tanto igual a zero quanto igual a infinito e
nada entre os dois.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. 
CAPÍTULO 2. Preferências.
(iv) No caso de bens perfeitos complementares as curvas de
indiferença são caracterizadas por uma TMS tanto igual a 0 quanto igual a
infinito e nada entre os dois.
Solução
(i) Falso. A TMS é a taxa à qual o consumidor está propenso a substituir um
pouco mais de consumo de um bem por um pouco menos de consumo do
bem 1.
(ii) Falso. A TMS é constante, mas não necessariamente igual a um.
(iii) Falso. A TMS no caso dos “neutros” é infinita em qualquer ponto.
(iv) Verdadeiro. No caso de “complementares” a TMS é zero ou infinita, sem
meio-termo.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
CAPITULOS 3-4
UTILIDADE E ESCOLHA
1. A função utilidade de Pedro é definida por U(x,y) = x2 + 2xy +y2.
a) Calcule a sua taxa marginal de substituição (subtendendo-se que TMSy,x).
b) Calcule a taxa marginal de substituição de Luiz, irmão de Pedro, cuja
função utilidade é definida por V(x,y) = y + x. Existem diferenças efetivas
entre o padrão de preferências dos dois irmãos?
c) Avalie se os agentes estão maximizando sua utilidade quando o preço dos
dois bens é igual (isto é, px = py).
d) u(x1,x2) e v(x1,x2) representam as mesmas preferências ? Por que? 
Solução
a) TMSy/x(Pedro)= 
1
22
22
=
+
+
=
yx
yx
UMgx
UMgy
b) TMSy/x(Luiz)= 
1
1
1
==
UMgx
UMgy
. Não existem diferenças.
c) TMS=
2
1
P
P
 P1=P2 TMS=1 . Sim os agentes estão maximizando, porque a TMS
se iguala à relação de preços e é igual a 1
d) Representam as mesmas preferências pq a função de utilidade de Pedro é uma
transformação monotônica da fn de utilidade de Luis.
v(x, y) = y + x; u(x, y) = (y+x)2
2. Dada uma função utilidade U=10 X 3/4 Y1/4 , onde U é a utilidade obtida, e X e Y as
quantidades dos dois bens adquiridos. Sendo dados px e py os preços dos bens:
a) Determine a relação entre as quantidades dos dois bens que serão
efetivamente adquiridos.
b) Determine também o nível de utilidade alcançado e o dispêndio total do
consumidor quando X =6, sendo e py = 625 e px=27.
Solução
a) Para preferências bem comportadas e funções diferenciáveis, são condições
necessárias para o equilíbrio.
TMS =
Py
Px
 (1); X Px + Y Py = m 
TMS = =
UMgy
UMgx
4/34/3
4/14/1
4
1
4
3
−
−
yx
xy
. A relação entre as quantidades efetivamente
adquiridas é TMS= 3
x
y
 .
b) Se o consumidor estiver maximizando, então 3
x
y
=
Py
Px
. 3
6
y
= (27/625), onde
y = 0,0864. O nível de utilidade alcançado é U(6, 0,0864) =10 X 3/4 Y1/4 = 10 6 3/4
0,08641/4. O nível de despendio é m = X Px + YPy = 6*27 + 0,0864*625
3. Admita que a função utilidade de um consumidor pode ser expressa na forma U =
XY, onde X e Y são as quantidades consumidas dos respectivos bens. 
a) Supondo que os preços dos bens são respectivamente px = 10 e py = 2, diga
quanto será adquirido de cada bem e qual será o gasto total do consumidor,
supondo que no nível de maximização U = 180. 
b) Considere um aumento do preço do bem X para px = 20. Supondo que o
preço de y não se alterou e que o mesmo volume de gastos foi realizado,
identifique as novas quantidades que serão adquiridas dos dois bens e o
novo nível de utilidade atingido.
Solução
a) TMS = 
x
y
= (10/2) Y = 5. X
U = XY = 180, logo X.* 5X = 180, onde X = 6 e Y = 30, sendo estas as quantidades
consumidas por cada bem para este nível de utilidade.
b) Como o consumidor gasta toda sua renda (não há poupança), então o nível de
gasto com os preços antes da subida de preços é:
13
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
m = X Px + YPy = 6*10 + 30*2 = 120
Com o aumento de preços, TMS =
x
y
= (20/2) Y = 10X
m = X Px + Ypy; ou seja, como o nível de renda (e de gasto) não se altera entre
períodos, então;
120 = 20X + (10X). 2, onde X = 3 e, substituindo Y = 30.
Observe que, como as preferências são Cobb-Douglas, as quantidades consumidas
do bem Y não se alteram.
4. Um determinado consumidor dispõe de 30 unidades monetárias para despender
em dois bens A e B. Os preços destes bens, as quantidades adquiridas dos mesmos e
a avaliação sobre a utilidade proporcionada pelo consumo destes bens são
apresentados na tabela abaixo:Produ-
to
Preço
por
unidade
Quantidade
adquirida
(unidades)
UtilidadeTotal
do consumo
(utils)
Utilidade Marginal
última unidade
adquirida (utils)
A $ 0,70 30 500 30
B $ 0,50 18 1.000 20
Considerando estas informações, diga se o consumidor em questão está
maximizando a utilidade proporcionada pelo consumo, dada a restrição de renda, e
justifique sua resposta. Se ele não estiver maximizando a utilidade, explique o que o
consumidor deve fazer para tornar esta maximização possível.
Solução
As duas condições de equilíbrio são TMS =
Pb
Pa
UMgB
UMgA
= (1) e A Pa + BPb = m
(2). A partir de (1) 
5.0
7.0
20
30
= , não é verdadeiro. O consumidor não maximiza a
utilidade. Como 
5
7
2
3
> , o consumidor deve aumentar a quantidade de A, desde que
preferências sejam convexas. 
O consumidor está numa situação como a que indica o ponto U, onde a tangente da
curva de indiferencia (TMS) é superior à inclinação da restrição orçamentária
(Pa/Pb). Se o consumidor aumentar a quantidade consumida de A sem reduzir a
quantidade consumida de B, ele se desloca para um nível de utilidade maior (curvas
de indiferença à direita de U) até o ponto V, onde ele maximiza.
 B
 U
 V
A
5. Um consumidor pode adquirir dois bens a ou b no intuito de maximizar sua
utilidade, sendo que, na situação retratada: Umg (a) = 3; pa = $1; Umg (b) = 6; pb =
$4. O consumidor está efetivamente adquirindo combinações de a e b que
maximizam sua utilidade? Se não estiver, o que ela deveria fazer? 
Solução
 TMS =
Pb
Pa
UMgB
UMgA
= ; 3/6 > 1/4. Como no caso anterior, o consumidor
deveria aumentar as quantidades de A para chegar ao ponto de maximização onde a
TMS se iguale à relação dos preços.
6. Um consumidor apresenta a função de utilidade U = xy e uma receita
orçamentária igual a 2x +4y = 120. Quais os consumos ótimos de x e y ?
Solução
TMS = 
x
y
= (2/4) 2Y = X
14
1/2 1/4
a
b
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Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
2X + 4Y = 120; 2 (2Y) + 4Y = 120; Y = 15
e X = 2Y = 30
7. Supondo-se um mapa de curvas de indiferença dado por X = 0,2Y2 - 50Y + U,
onde: X e Y são dois produtos quaisquer e U é o nível de utilidade do consumidor Px
= 25 e Py = 150 são os preços dos respectivos bens; R = 50.000, onde R é a renda do
indivíduo, determine as quantidades dos bens X e Y que o consumidor irá
efetivamente adquirir.
Solução
U = - 0.2Y 2 + 50Y + X é a função de utilidade (quase linear).
TMS =
150
25
50)2,0(2
1
=
+−
=
YUMgB
UMgA
 , onde -10Y + 1250 = 150, Y = 110.
Como a função de utilidade é quase-linear as escolhas não dependem da renda.
Assim, a quantidade demandada de produto X será:
50.000 = 110*150 + 25 X, donde se obtém que X = 1340
8. A função utilidade de um consumidor é dada por u = xy, onde u é o nível de
utilidade, e y e x representam as quantidades dos dois bens adquiridos pelo
consumidor. Calcule a taxa marginal de substituição do bem y pelo bem x quando as
quantidades consumidas forem iguais a x = 2 e y = 16 .
Solução
TMS= =
UMgy
UMgx
x
y
=
2
16
= 8.
9. Para um indivíduo com uma função de utilidade U(x,y) = x + y, os dois bens x e y
são substitutos perfeitos? Por que?
Solução
Suponha U(x,y) = k, ou seja, uma curva de indiferença tal que x +y = k ⇒ y = k
– x. A TMS = 
dx
dy
= -1 para qualquer valor de k, ou seja, para qualquer nível de
satisfação. A TMS é sempre constante, ou seja, o consumidor renuncia a uma
unidade de bem x para adquirir uma unidade de bem y, o que só acontece quando os
bens são substitutos perfeitos.
10. Suponha que a função utilidade para cada consumidor individual é dada por U =
10q1 + 5q2 +q1q2. Cada um deles tem uma renda fixa de 100 dólares. Suponha que o
preço de Q2 seja 4 dólares.
a) Qual a taxa marginal de substituição do bem 1 pelo bem 2?
b) Se p1 = $2, qual será a quantidade do bem 1 demandada pelo consumidor?
Solução
a) Dois caminhos.
Caminho 1: colocar U=10f 1 +5f 2 +q 1 q 2 em função de q 2 e derivar em relação
a f 1 , obtendo a TMS.
Caminho 2: 
2
1
UMg
UMg
=TMS
O resultado de ambos deverá ser TMS =
1
2
5
10
q
q
+
+
b) 
1
2
5
10
q
q
+
+
=
4
2
 , onde q2 = (-15+q1)/2
Subsituindo na restrição orçamentária; 100 = 2q1 + 4 {(-15+q1)/2}, onde q1 = 32,5 e
q2 = 8,7.
11. A função de utilidade de Fábio é U(x,y) = max x, 2y. Trace a curva de
indiferença tal que x = 10. Faça o mesmo para 2y = 10.
a) Se x = 10 e 2y < 10, determine U(x,y)
b) Se x< 10 e 2y = 10, determine U(x,y)
c) Trace a curva de indiferença tal que U(x,y) = 10. Fábio possui preferências
convexas ?
Solução
Para desenhar a curva de indiferença fixo o valo de U(x, y) = k, por exemplo k = 10.
Assim:
- Se X = 10 e Y = 1 max (10, 2*1) = 10 
15
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
- Se X = 10 e Y =2 max (10, 2*2) = 10
 
5
 3 
 2 
- Se X = 10 e Y = 3 1
max (10, 2*3) = 10 
 10 X
Fazendo o mesmo para 2y = 10 teríamos a mesma curva de indiferença, dado que se
2y = 10 então y tem que ser fixo em 5 e se obteria a linha vertical com valores de X
entre 1 e 10.
a) U(x, y) = max {10, 2y<10} = 10
b) U(x,y) = max {x<10, 10} = 10
c) Fabio não possui preferências convexas. Como visto anteriormente, suas
preferências são côncavas. 
12. (ANPEC) Seja U = min Xa , Xb, a função de utilidade de um consumidor, R a
renda, e Pa e Pb os preços respectivos de A e B. Marque V ou F, justificando suas
opções.
a) As curvas de indiferença não são convexas em relação a origem.
b) A utilidade marginal de um dos bens é sempre igual a zero.
c) Para qualquer R > 0, se Pa > Pb, o consumidor escolhe apenas o bem B.
Solução
a)
Conjunto de cestas
 Preferíveis a X
 I 
As cestas contidas no segmento traçado entre duas cestas que se encontram na
mesma curva de indiferença de reta, são cestas melhores (estão em níveis de
utilidade maiores), cumprindo-se a hipóteses de preferência pela diversificação
(convexidade).
c) Verdadeiro. Como os bens são complementares perfeitos, o aumento da
quantidade de um bem, sem aumento de outro, não leva a aumento de utilidade.
d) Falso. O consumidor escolhe as quantidades onde Xa = Xb, que é o ponto de
maximização, o que não necessariamente envolve escolher apenas quantidades
de B, mesmo sendo Pa > Pb.
 B
 -2 
A
13. Ricardo gosta de promover festas em sua casa, sendo o número de homens igual
ao de mulheres. As suas preferências podem ser representadas pela função de
utilidade U(x,y) = min 2x - y, 2y - x sendo x o número de mulheres e y o número
de homens na festa.
a) Trace a curva de indiferença correspondente a utilidade de 10.
b) Quando min 2x - y, 2y - x = 2y - x, o número de homens é maior do que o
número de mulheres, ou o contrário ?
Solução
a) 
 y
 
 14
 12
 
16
Y
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
 10
 10 11 12
 
2x - y = 10 ⇒ y = 2x – 10
2y – x ≥ 10 ⇒ y ≥ 5 + x/2
y
x = ≥
10 10 10
11 12 10,5
12 14 11
b) 2y – x ≤ 2x - y ⇒ 3y ≤ 3x ⇒ y ≤ x
14. (ANPEC). Admita que a função de utilidade de Dona Maria pode ser
representada por U = QAQV, onde U é sua utilidade, QA é a quantidade de alimentos
que ela consome e QV é a quantidade de peças de vestuário. Suponha que a sua renda
mensal de dez mil reais é gasta integralmentecom os dois bens. O preço unitário dos
alimentos é quinhentos reais e do vestuário mil reais. A fim de maximizar o seu nível
de satisfação mensal, quantas unidades ela consumirá de cada um dos bens?
Solução
 TMS = 
Qa
Qv
= (Pa/Pb) = (500/1000) = 1/2
Assim, 2Qv = Qa ; 10000 = 500 Qa + 1000 (1/2Qa); Qa = 10 e Qv = 5.
15. (ANPEC) Um consumidor tem renda de 60 unidades monetárias e adquire as
quantidades x1=10 e x2=5 quando os preços dos dois bens são p1=3 e p2=6. Suponha
que haja apenas dois bens, e que a função de utilidade do consumidor seja U(x1,x2) =
min {x1,2x2}. Se p1 sobe para 5, qual o acréscimo de renda que o fará ficar
indiferente entre a nova cesta demandada e a antiga cesta 9 i.e., x1 = 10 e x2 = 5) ?
Solução
Maximização ocorre quando x1 = 2 x2 e x2 = 
1.
2
1
2
x
P
P
P
m
−
 ⇒ x2 =
2.
2
12
2
x
P
P
P
m
−
 
x2 = 122 PP
m
+ e x1 = 122 PP
m
+ . Quando x2 = 5 e P1 = 3 e P2 = 6 ⇒ m =
80 e ∆m = 20
16. (ANPEC) Um consumidor tem suas preferências apresentadas pela função
utilidade U(a,v) = aαvβ onde a = quantidade de alimento e v = quantidade de
vestuário, e os parâmetros α > 0 e β > 0. Marque V ou F, justificando suas opções:
a) Se o preço do alimento for maior que o preço do vestuário, então o consumidor
irá demandar uma quantidade maior de vestuário do que a de alimento.
b) Se α = β, os dispêndios do consumidor com os dois tipos de bens são iguais, para
quaisquer níveis de preços não nulos.
c) Se α + β > 1, a função de utilidade é convexa, implicando que inexiste solução
de máxima utilidade do consumidor.
d) Se α + β > 1, as utilidades marginais dos dois bens são crescentes.
Solução
Nas funções de utilidade Cobb-Douglas, os parâmetros α e β indicam a proporção
de gasto destinada à consumir cada produto sempre que α + β = 1.
No ponto de maximização:
Pv
Pa
a
v
UMgv
UMga
==
β
α
a) Se Pa > Pb, então αv > βa, o que não necesariamente significa que v > a. O
consumidor demanda mais vestiário se α=β.
b) Falso. Só gastaria o mesmo se α + β =1.
c) Falso. A convexidade não envolve inexistência de solução máxima.
d) Verdadeiro.
17. (ANPEC) Considere um consumidor residente em Recife, com preferências
estritamente convexas. A renda total desse consumidor é constituída por um salário
mensal de $400, sendo que o mesmo consome 100 unidades do bem A e 200
unidades do bem B, por mês, com PA = $2 e PB = $1, o que lhe fornece um nível de
utilidade de U = 40. A empresa onde ele trabalha pretende transferi-lo para São
Paulo, onde PA = $1 e PB = $2. Caso isso ocorresse, ele passaria a consumir 200
unidades do bem A e 100 unidades do bem B, o que lhe propiciaria um nível de
utilidade de U = 20. Marque V ou F, justificando suas opções:
a) Não se pode afirmar que ele é maximizador de utilidade, pois aos novos preços a
sua escolha implica em redução de utilidade.
17
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
b) Dado que em Recife U = 40 e em São Paulo U = 20, pode -se afirmar que a sua
situação em Recife é duas vezes melhor do que aquela que obteria em São Paulo.
c) O consumidor estaria disposto a se mudar desde que ele obtivesse um aumento
de salário de $100.
d) O consumidor não estaria disposto a se mudar por um aumento de salário menor
que $100.
Solução
a) Falso. Ter de reduzir a utilidade não significa que o consumidor não esteja sendo
maximizador.
b) Falso. A função utilidade é ordinal, não tem a propriedade da cardinalidade.
XB
 400
 200
 100
 100 200 400 XA
 
c) Verdadeiro. Com mais $100 a cesta inicial (100,200) custará aos preços finais
100*1 + 200 *2 = 500, o que significa que estará disponível. Se4 o consumidor
escolher outra cesta, estará pelo menos tão bem quanto antes.
d) Falso. Existe um conjunto de cestas que o consumidor pode consumir e que não
estava disponível antes. Nada se pode afirmar.
18. A função de utilidade de Luiz é U(b,c) = b + 100c - c 2, sendo b o número de
begônias que ele planta no seu jardim, e c é o número de cravos. Ele possui uma
área de 500 m2 para alocar entre plantações de begônias e cravos, sendo que cada
begônia necessita de 1 m2 e cada cravo de 4 m2. 
a) Para maximizar sua utilidade, dado o tamanho do jardim, quantas begônias e
cravos Luiz deve plantar?
b) Se ele adquire uma área extra de 100 m2 para o seu jardim, quantas unidades
adicionais de begônias ele deveria plantar? E quantas unidades de cravos?
c) Se Luiz tivesse somente 144 m2 de jardim, quantas unidades de cravos ele
plantaria ?
d) Para que Luiz plante cravos e begônias juntos, qual deve ser a área mínima do
jardim?
Solução
TSM = =
UMGb
UMGc
 (100 – 2c)/1 = PC / Pb = 4 
100 – 2c = 4 ⇒ c = 96/2 = 48. A restrição é 4c + 1b = 500; b = 500-4c ⇒ b = 500 –
4 * 48 ⇒ b = 500 – 192 = 308
b) 100. Cravos não variam com m2 a partir de 192.
c) 144/4 = 36
d) > 192 m2
19. Pablo considera guaraná tão bom quanto suco de laranja. Suponha que ele tenha
disponível a quantia de $30 para gastar entre os dois bens, e que o preço do
refrigerante seja de $0,75 e o do suco seja de $1. 
a) A estes preços, qual das duas bebidas ele irá preferir? Ou será que ele consome
um pouco de cada ?
b) Suponha que o preço do suco de laranja permaneça em $1 e que o preço do
guaraná seja reduzido para $0,55. Ele consumirá mais refrigerante ?
c) Se o preço guaraná for reduzido para $0,40 , quantas garrafas de refrigerante
Pablo iria consumir?
d) Se o preço do copo de suco de laranja permanecer em $1, e admitindo que Pablo
consuma um pouco das duas bebidas, qual é o preço do guaraná?
Solução
Se considera um bem tão bom quanto o outro se trata de substitutos perfeitos.
a) Consome o mais barato e somente o mais barato. (Lembre das soluções de canto).
b) Sim. (Novamente solução de canto).
c) 30/0,4 = 75.
d) $ 1,00. (Escolhe alguma quantidade ao longo da reta orçamentária)
20. Carlos tem a seguinte função de utilidade U(x,y) = 3x + y sendo x o número de
revistas e y o número de ingressos para um show de rock. Se o custo total de x
unidades de revistas é x2, py = 6 e m=100, quantas revistas ele lê ?
18
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
Solução
=
UMgy
UMgx
TMS = 3 = Px/Py, Assim Px = 3*6 = 18
Como se trata de substitutos perfeitos, e o preço das revistas é maior, ele não
consumirá revistas.
21. Determine se as seguintes transformações funcionais são monótonas: (i) f(u) = ln
u; (ii) f(u) = 1/u; f(u) = 2u; f(u) = u0; f(u) = -1/u.
Solução
u é a função de utilidade u = u(x1,x2), e f(u) é a transformação monotônica. Tem que
acontecer que se 
12
)1()2(
uu
ufuf
u
f
−
−
=
∆
∆
, onde u é a função de utilidade. Para que f(u) seja uma
transformação monotônica, o numerador e o denominador deverão ter o mesmo
sinal. Assim, a taxa de variação da transformação monotônica tem que ser positiva
(derivada).
f(u)=ln u ; f’(u)= 
u
1
>0 ⇒ é monotônica.
f(u)= 
u
1
; f’(u)=-
2
1
u
,0⇒ não é monotônica.
f(u)=2u; f’(u)=2>0⇒monotônica.
f(u)=u0; f’(u)=1>0; não é monotónica 
f(u)=
u
1−
; f’(u)= 
2
1
u
⇒monotônica.
22. Suponha uma função utilidade de substitutos perfeitos, u(x1, x2) = x1 + x2. Seria
correto afirmar, de acordo com a teoria da utilidade ordinal que um consumidor que
estivesse consumindo 2 unidades do bem 1 e 2 unidades do bem 2, no ano de 1995, e
3 unidades do bem 1 e 5 unidades do bem 2, no ano de 1996, dobrou sua satisfação?
Solução
u(x1,x2)= x1+x2; u(2;2)=2+2=4 em 1995 e u(3;5)=3+5=8 em 1996. Sim podemos
dizer que a utilidade em 1996 é o dobro de 1995.
23. Suponha que um aluno deriva satisfação com os estudos desde que cada hora de
aula assistida seja acompanhada de duas horas de estudos em casa. Caso contrário,
sua satisfação não se altera. Construa uma função utilidade hipotética para esse
estudante.
SoluçãoU(x1;x2)=min{x1;
2
1
x2}
U(1;1)={1;
2
1
}=
2
1
 
 U(1;2)={1;1}=1 2 
 U(2;1)={2; 
2
1
}=
2
1
 1 
24. Calcule a taxa marginal de substituição para as funções u(x1, x2) = x1x2 e h(x1, x2)
= ln x1 + ln x02.
Solução
-
2
1
UMgx
UMgx
=TMS ; TMSu=- 
1
2
x
x
; TMSh=
2
1
1
1
x
x
= -
1
2
x
x
25. A TMS de uma transformação funcional monótona deverá ser a mesma da
função original. Verdadeiro ou falso.
Solução
19
1/2 1 2
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Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
Verdadeiro. como visto no exemplo anterior, elas deverão ser iguais. O que não será
igual é a utilidade marginal, dado que as funções de utilidade são diferentes, embora
se manterá a monotonicidade. (Ver no livro a relação entre utilidade marginal e
TMS). 
26. Que lição se aprende do resultado da questão acima no que se refere à aplicação
da teoria da utilidade ordinal?
Solução
Aprendemos que o comportamento de escolha revela apenas informações de como o
consumidor hierarquiza diferentes cestas de bens. A utilidade marginal depende da
função de utilidade específica que utilizamos para representar o ordenamento das
preferências e sua grandeza não tem nenhuma importância especial.
27. Por que dadas preferências convexas, a taxa marginal de substituição, em
módulo, deverá ser decrescente?
Solução
A TMS mede o quanto o consumidor está disposto a abrir mão de um bem para
adquirir uma certa quantidade de um outro bem de acordo com suas preferências. A
TMS varia de acordo com os diferentes níveis de consumo. Assim, quanto menos
temos de um bem, mais vamos querer do outro bem para abrir mão dele (sempre que
se cumpra acondição de convexidade: primeira derivada é negativa e a segunda
positiva, ou seja, as quantidades demandadas decrescem a ritmos decrescentes).
28. Calcule a taxa marginal de substituição das seguintes funções: (i)
2
221
2
121 2),( xxxxxxu ++= (ii) 2121 ),( xxxxu += ; e (iii)
2121 2),( xxxxu += .
Solução
TMS=-
2
1
UMg
UMg
i) u(x1;x2)= x1
2+2x1x2+x2
2
UMgx1= 2x1+ 2x2 e UMgx2= 2x1+ 2x2; TMSi= - 
)2x 2x(
)2x 2x(
21
21
+
+
=-1
ii) u(x1,x2)= x1
1/2 +x2
Umgx1=
12
1
x
, UMgx2=1; TMSii= 12
1
x
iii) u(x1,x2)=x1+2x2 
UMgx1=1; UMgx2=2; TMSiii=-
2
1
29. A melhor cesta que determinado consumidor consegue consumir será sempre
aquela em que a taxa marginal de substituição iguala a inclinação da restrição
orçamentária, no caso em que a escolha ótima envolver o consumo de um pouco de
ambos os bens. Verdadeiro ou Falso. Justifique sua resposta.
Solução
Verdadeira. Nesse ponto a reta de restrição orçamentária tangencia a curva de
indiferença, ou seja, atinge a última curva de indiferença que o consumidor poderia
atingir dada sua restrição orçamentária, maximizando sua satisfação.
30. Dois tipos de caneta são substitutos perfeitos. Qual será a cesta consumida se a
renda do consumidor destinada à compra de canetas for R$ 2,00. Demonstre que,
sempre a TMS > 21 pp− . 
Solução
1
2
p
quando p1< p2
⇒ TMS<-1. x1= qualquer número entre 0 e 
1
2
p
 quando p1 = p2
⇒ TMS=-1; 0 quando p1>p2
⇒ TMS>-1 quando a relação de troca é de 1x1.
31. Um consumidor tem preferências quase-lineares que podem ser expressas por
2
2/1
121 ),( xxxxu += . Sendo o preço do bem 1 igual a R$ 3,00, o preço do bem 2,
R$ 1,50, e a renda do consumidor, R$ 30,00;
20
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
a) Qual a quantidade consumida de cada bem. Suponha que os bens são
perfeitamente divisíveis.
b) O que ocorrerá com o consumo do bem 1 se o seu preço for reduzido para
R$ 1,00. 
Solução
a) 
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
'
'
p
p
x
x
xu
xu
=== , sujeito a m=x1p1+x2p2
p2 = 2p1
1x , 
1
1
2
2
x
p
p
=
 , 
2
1
2
2
1
4 p
p
x =
No caso de quase lineares essa é a função de demanda para x1, que independe da
renda.
P1=3 0625,0
36
25,2
9.4
5,1 2
1 ===x
P2=1,5
Para x2: 222
1
2
2
1
4
. xp
p
p
pm += 22
1
2
2
4
. xp
p
p
m += 
22
1
2
2
4
xp
p
p
m =− 
21
2
2
2
2 4 pp
p
p
m
x −=
1
2
2
2 4 p
p
p
m
x −= 875,19
12
5,1
5,1
30
2 =−=x
b) 
2
1
2
2
1
4 p
p
x =
 , 
5625,0
4
25,2
1.4
5,1 2
1 ===x
32. Um aluno considera que diversão e estudos são complementos perfeitos, de
maneira que sua utilidade é expressa em [ ]ededu ,2min),( = . Sabendo que durante
os finais de semana, o seu tempo disponível para diversão e estudos fica restrito a 30
horas e que cada unidade de diversão custa 6 horas e cada unidade de estudos custa 3
horas, qual será a cesta escolhida pelo aluno.
Solução
min{2d,e}=u(d,e) 
2d=e 
m=p1d+p2e; 30=6d+3 (2d), onde d=2,5 e = 5
33. Sendo as curvas de indiferença côncavas, ou seja, 0
2
1
2
2
<
dx
xd
, a taxa marginal de
substituição nunca se igualará à relação de preços relativos. Verdadeiro ou falso.
Solução:
Falso. Na estimação da escolha ótima a taxa marginal de substituição se iguala aos
preços relativos mas não no ponto de tangência interior. A escolha ótima é sempre
um ótimo de fronteira. Nesse tipo de curva de indiferença, o consumidor não gosta
de consumir os bens x1 e x2 juntos e sempre vai gastar sua renda comprando tudo de
um bem ou de outro.
34. Supondo que todos os agentes da economia tenham curvas de indiferença
estritamente convexas e que acessem os produtos sempre aos mesmos preços. Então,
a taxa marginal de substituição de equilíbrio para todos os agentes deverá sempre ser
a mesma. Verdadeiro ou falso. Comente.
Solução
Verdadeiro. No ponto de equilíbrio TMS = P1/P2. Se P1 e p2 são os mesmos para
todos os agentes, então a taxa marginal de substituição de equilíbrio será a mesma.
35. Na questão acima, as quantidades consumidas serão também as mesmas.
Verdadeiro ou falso. Comente. 
Solução
Não necessariamente, pois as quantidades consumidas não dependem só das
preferências e da relação de preços, dependem dos níveis de renda. Como as
preferências são as mesmas (mesma TMS) e a relação de preços também, então os
níveis de consumo de cada consumidor dependerá de seu nível de renda.
21
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
36. Suponha um consumidor sujeito a saciedade, mas com preferências estritamente
convexas. O que ocorrerá quando a taxa marginal de substituição se igualar aos
preços relativos?
Solução
Se as preferências são convexas, quando a 
2
1
p
p
TMS −= o consumidor estará em
seu ponto de escolha ótima, ou seja, estará maximizando sua utilidade.
37. Curvas de indiferença de substitutos perfeitos sempre geram soluções de canto.
Verdadeiro ou falso. 
Solução
A situação de saciedade geralmente gera solução de fronteira, mas se os preços dos
bens x1 e x2 forem iguais numa relação de troca 1x1, as curvas de indiferença de
substitutos perfeitos podem passar por toda a restrição orçamentária, nesse caso
haverá todo um segmento de escolhas – todas as quantidades dos bens 1 e 2 que
satisfazem a restrição orçamentária serão uma escolha ótima. 
38. A utilidade que João obtém a través do consumo de alimentos (A) e vestuário (V)
pode ser expressa como: u (A, V) = A.V
a) Suponha que alimentação custa R$ 1 por item, que vestuário custa $R 3 e
que João dispõe de R$ 12 para gastar em estes dois bens. Desenhe a linha
do orçamento com a qual se defonta João.
b) Qual a escolha entre alimentação e vestuário que maximiza a utilidade de
João.
c) Qual a TMS entre alimentação e vestuário quando a utilidade é
maximizada?
d) Suponha que João decide adquirir 3 itens de alimentação e 3 itens de
vestuário com o seu orçamento de R$ 12. Sua TMS de alimentaçãopor
vestuário seria maior ou menor do que 1/3?
Solução
a. 1=ap 3=vp m = 12 
R.O.: 1231 =+ VA (1)
Vestuário
 
4=
vp
m
 12=
ap
m
 Alimentação
b.
VA
A
V
p
p
A
V
p
p
TMS
A
V
UMgv
UMga
TMS
v
a
v
a 3;
3
1
;;; ====== (2)
Substituindo (2) em (1):
3V + 3V = 12; 6V = 12; V = 2 A = 3(2); A = 6
(A*, V*) = (6, 2)
c. Maximização da utilidade:
3
1
==
v
a
p
p
TMS
 
d) 
3
1
1
1
3
3
>
====
A
V
UMgv
UMga
TMS
39. Quando (Px, Py) = (10, 30) um consumidor compra (x, y) = (100, 50). Como
são compradas 100 unidades de x e 20 de y, isto significa que o consumidor deve
estar disposto a trocar 2 unidades de de x por 1 de y e permanecer indiferente. Dados
os preços, 3 unidades de x podem ser substituídas para cada unidade de y ao longo
da reta orçamentária. Por tanto, o consumidor não está maximizando sua utilidade. V
o F. Justifique.
22
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
Solução
Verdadeira. Se o consumidor está disposto a renunciar 2 unidades de x para obter 1
de y e o mercado troca 3 unidades de x por uma de y, o consumidor não estará
maximizando sua utilidade nessa situação.
40. Seja u (x, y) – x.y + x – 3y a função de utilidade de Maria, onde x e y são os dois
únicos bens existentes nessa economia. Os preços destes bens são, respectivamente,
(Px, Py) = (5, 2). A renda mensal de Maria é de 500 R$.
a) Qual a escolha ótima da Maria?
b) Suponha agora que o governo, necessitando de dinheiro, decidiu taxar o
bem x em 1 R$. Qual a nova escolha ótima da Maria por estes dois bens?
c) Suponha que, ao invés de taxar p bem x, o governo decidiu taxar
diretamente a renda dos consumidores. Ele quer arrecadar de cada
consumidor o mesmo montante que arrecadaria caso taxasse o produto x
(como item anterior). Qual a nova escolha ótima da Maria?
d) Mudou alguma coisa na escolha ótima da Maria? Qual das duas opções de
taxação seria melhor para Maria?
Solução
R.O.: 5x + 2y = 500 (1)
a) Escolha ótima: 
y
x
p
p
TMS =
15522;
2
5
3
1
;
3
1
;;
3
1
−=+=
−
+
=
−
+
=
−
+
== xy
x
y
p
p
x
y
p
p
TMS
x
y
UMgy
UMgx
TMS
y
x
y
x
2
175 −= x
y (2)
Substituindo (2) em (1):
)75,120;7,51(*)*,(
75,120
2
175,258
2
17)7,51(5
7,51;51710;5001755;500
2
175
25
=
=
−
=
−
=
===−+=




 −
+
yx
y
xxxx
x
x
b) px =5 +1 = 6
R.O.: 6x + 2y = 500 (3)
2
6
3
1
;
3
1
;;
3
1
=
−
+
=
−
+
=
−
+
==
x
y
p
p
x
y
p
p
TMS
x
y
UMgy
UMgx
TMS
y
x
y
x
103 −= xy (4)
Substituindo (4) em (3):
)99,119;33,43(*)*,(
99,11910)33,43(3
33,43;52012;5002066;500)103(26
=
=−=
===−+=−+
yx
y
xxxxxx
c)
mypxtp
mypxp
yx
yx
=++
=+
)(
Qualquer que seja o caso, sabemos que a escolha ótima, (x*,y*), tem de satisfazer a
restrição orçamentária:
mypxtp yx =++ **)( .
A receita arrecadada por esse imposto será R* = tx*
Obs.: x* da restrição orçamentária com imposto (letra b).
Um imposto sobre a renda que arrecade a mesma quantidade de receita, terá uma
restrição orçamentária da seguinte forma:
 
*
,
*
txmypxp
ou
Rmypxp
yx
yx
−=+
−=+
)33,43(150025 −=+ yx (5)
Substituindo, (2) em (5):
)92,109;37,47(*)*,(
92,109
2
17)37,47(5
37,47
1767,45610
67,4561755
)33,43(1500
2
175
25
=
=
−
=
=
+=
=−+
−=




 −
+
yx
y
x
x
xx
x
x
d) A escolha ótima de Maria mudou:
23
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
- com imposto sobre a quantidade:
)99,119;33,43(*)*,( =yx
- com imposto de renda: )92,109;37,47(*)*,( =yx
)92,109;37,47()99,119;33,43(
52,4924)92,109;37,47(
53,4882)99,119;33,43(
3),(
uu
u
u
yxxyyxu
<
=
=
−+=
A melhor opção de taxação para Maria é a do imposto de renda, uma vez
que ela se encontrará melhor do que numa situação com o imposto sobre a
quantidade, ou seja , a utilidade total obtida com a cesta ótima do primeiro tipo de
taxação é maior do que a obtida com a do segundo tipo.
41. Seja u(mr) = m ½ . r ½ a função utilidade de um consumidor onde m é margarina
e r requeijão. Este consumidor tem uma renda mensal de R$ 100 e os preços destes
dois bens são, respectivamente, R$ 1 e R$ 2,50.
a. Desenhe a restrição orçamentária com a qual esse consumidor
se defronta.
b. Qual a sua escolha ótima por esses dois bens?
c. Qual a proporção de sua renda que gasta com cada um desses
bens?
d. Se esse consumidor considerasse esses dois bens como sendo
perfeitos substitutos, qual seria a nova escolha ótima destes dois bens?
Solução
a. R.O.: m +2,5r = 100 (1)
Requeijão 
40
5,2
100
==
rp
M
 100
1
100
==
mp
M
Margarina
b.
5,2
1
;;;
.2/1
.2/1
2/12/1
2/12/1
======
−
−
m
r
p
p
m
r
p
p
TMS
m
r
mr
rm
UMgr
UMgm
TMS
r
m
r
m
rm 5,2= (2)
Substituindo (2) em (1):
)20;50(*)*,(
50)20(5,2
20;1005;1005,25,2
=
==
===+
rm
m
rrrr
c. Proporção da renda gasta com cada bem:
1/2M com manteiga
1/2M com requeijão
d. Se os dois bens fossem substitutos, e para uma TMS = -1, o consumidor iria
gastar toda a sua renda com o bem mais barato, e no caso exposto seria a
margarina, então a escolha ótima seria:
)0;100(*)*,(
100
1
100
*
=
==
rm
m
42. Responda Verdadeiro ou Falso.
(i) A função utilidade associa números às cestas de bens de tal
forma que a ordenação numérica gerada pela função utilidade representa a
ordenação ordinal das cestas do consumidor.
(ii) Na teoria ordinal, o valor que uma função de utilidade atribui
a uma cesta pode ter um significado intrínseco na medida em que uma
transformação monotônica preserva a ordenação das cestas do consumidor. 
(iii) Uma transformação monotônica é uma forma de transformar
um conjunto de números num outro conjunto de números. A preservação da
ordenação dos mesmos, no entanto, se dá nos casos em que a função
utilidade é linear.
(iv) Uma transformação monotônica de uma função de utilidade
representa a mesma função utilidade original e as mesmas preferências.
(v) Uma transformação monotônica na função utilidade afeta a
TMgS. embora não afete as utilidades marginais com respeito a cada um
dos bens.
Solução
24
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
(i) Correta.
(ii) Errada. Não tem nada a ver uma coisa com a outra.
(iii) Errada. Uma transformação monotônica sempre preserva a ordenação.
(iv) .Errada. Uma transformação monotônica gera uma nova função de utilidade.
(v) Errada. Não afeta a TMgS.
43. Responda Verdadeiro ou Falso
(i) Seja u(x,y)=(x+y)2. A função w(x,y)=x2+2xy-y2 é uma
transformação monotônica da função u(x,y). 
(ii) Seja u(x,y)= xy+x +2y. A função w (x,y)= 1/2x +1/2y é Uma
transformação monotônica da função u(x,y). 
(iii) A função u(x,y)= ln(x)+ln(y) representa preferências quase
lineares e a função w(x,y)=x.y é uma transformação monotônica de
u(x,y). 
(iv) As funções de u(x,y)=x1/2+y e w(x,y)=1/2x+1/2y representam
as mesmas preferencias. 
(v) A função u(x,y)= x2+ln(y) representa preferências quase-
lineares e a função w(x,y)=x4+2x2ln(y)+[ln(y)]2 é uma transformação
monotônica de u(x,y).
Solução
(i) Falso. 
)(2
)(2
yx
yx
UMgy
UMgx
TMSu +
+
== = 1
)(2
)(2
22
22
yx
yx
yx
yx
UMgy
UMgx
TMSu −
+
=
−
+
==
⇒≠ wu TMSTMS w(x,y) não é uma transformação monotônica
de u(x, y).
(ii) Falso. 
2
1
+
+
==
x
y
UMgy
UMgx
TMSu
1
2/1
2/1
===
UMgy
UMgx
TMSu
⇒≠ wu TMSTMS w(x,y) não é uma transformação monotônica
de u(x, y).
(iii) Falso. A função u(x, y) não representa preferências quase-lineares.
(iv) Falso. A primeira é uma função de quase-linear e a segunda de
substitutos perfeitos.
(v) Verdadeiro. 
xy
y
x
UMgy
UMgx
TMSu 2
1
2
===
xy
yx
y
yxx
y
y
y
x
yxx
UMgy
UMgx
TMSu 2
))](ln([
2
))](ln(1[4
))(ln(22
)ln(44
2
2
2
3
=
+
+
=
+
+
==
⇒= wu TMSTMS w(x,y) é uma transformação monotônica de u(x, y).
w(x,y) = [u(x,y)]2
44. Responda Verdadeiroou Falso.
(i) O consumidor maximiza sua utilidade respeitando sua restrição
orçamentária. A solução ótima desse problema (quantidades ótimas dos dois
bens a serem consumidas) pode estar situada sobre a restrição orçamentária
desse consumidor. 
(ii) A solução ótima do problema de maximização de utilidade do
consumidor requer que a inclinação da restrição orçamentária seja sempre
tangente a inclinação da curva de indiferença. Na solução ótima do problema
de maximização de utilidade do consumidor a tangência entre a inclinação da
restrição orçamentária e a inclinação da curva de indiferença passa a ser uma
condição necessária quando nos limitamos a soluções interiores. 
(iii) Se a curva de indiferença for convexa e a solução do problema interior,
então, a tangencia entre a restrição orçamentária e a curva de indiferença
passa a ser uma condição necessária e suficiente para obtermos uma solução
única para o problema. 
(iv) Se a curva de indiferença for convexa e a solução do problema
interior, então, a tangencia entre a restrição orçamentária e a curva de
indiferença passa a ser uma condição necessária e suficiente.
Solução
(i) Pode não, ela esta situada na RO.
(ii) Errado. Se a curva de indiferença tiver quina ou tivermos uma solução
de canto há solução ótima mas não há tangência.
(iii) Errado. Se a curva tiver uma quina não há tangencia.
(iv) Errada. Pode haver infinitas soluções.
(v) Correta. 
25
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
45. Responda Verdadeiro ou Falso.
(i) Mesmo quando a TMgS é diferente da razão de preços, o consumidor
ainda pode estar na escolha ótima. Isso ocorre quando as curvas de
indiferença não são estritamente convexas. 
(ii) Se os bens x e y são perfeitos substitutos, px e py são os respectivos
preços, e m é a renda do consumidor , então, a função demanda pelo bem x é
m/px e pelo bem y é m/py. 
(iii) Na abordagem ordinal, se a taxa marginal de substituição for
decrescente haverá especialização do consumo em apenas um bem. As curvas
de indiferença seriam côncavas.
(iv) A TMgS é a razão entre as utilidades marginais dos dois bens. A
utilidade marginal com respeito ao bem 1 é a derivada da função utilidade
com respeito a esse bem e sua interpretação é o quanto o custo do consumidor
com esse bem muda em função de uma mudança na quantidade desse bem.
(v) Ao observarmos uma escolha do consumidor para dado conjunto de
preços podemos obter a TMgS. Se os preços mudam podemos, novamente,
obter uma TMgS. A medida que essas mudanças de preços ocorrem podemos
aprender mais sobre as preferências que geraram as escolhas observadas do
consumidor. 
Solução
(i) Verdadeiro. Vejamos o caso de substitutos perfeitos, a C.I. não é
estritamente convexa, em que p1<p2 , em que o ponto ótimo ocorra no ponto
em que o consumo de x2 seja zero, as inclinações da C.I. (TMS) e da R.O. (–
p1/p2) são diferentes.
 
(ii) Falso. Vai depender da relação entre os preços.
(iii) Falso. Se ela for decrescente estamos no caso de curvas convexas. Haveria
especialização se a taxa fosse crescente - curvas côncavas.
(iv) Falso.
(v) Verdadeiro - capítulo 5 (5.6).
46. Responda Verdadeiro ou Falso.
(i) Seja a função utilidade u(x,y)=5x+2y2. Sejam px=2 , py=4 e
m=50. A cesta que maximiza a utilidade desse consumidor é (x*,y*)=(20;2,5).
(ii) Seja a função utilidade u(x,y)=x.y2. Sejam px=2 , py=4 e
m=60. . A cesta que maximiza a utilidade desse consumidor é (x*,y*)=(10,21).
(iii) Seja a função utilidade u(x,y)=5x+2y. Sejam px=2 , py=4 e
m=50. A cesta que maximiza a utilidade desse consumidor é (x*,y*)=(20;2,5).
Solução
(i) Verdadeiro.
R.O: 2x +4y = 50 (1)
y
yp
p
UMg
UMg
p
p
TMS
yUMg
UMg
TMS
y
x
y
x
y
x
y
x 410;
4
2
4
5
;;;
4
5
======
5,2=y (2)
Substituindo (2) em (1):
)5,2;20(*)*,(
20;10502;50)5,2(42
=
=−==+
yx
xxx
(ii) Falso.
R.O: 2x +4y = 60 (1)
4
2
2
;;;
222
122
=======
−
x
y
p
p
UMg
UMg
p
p
TMS
x
y
x
yy
xy
y
UMg
UMg
TMS
y
x
y
x
y
x
y
x
xy = (2)
Substituindo (2) em (1):
)10,10(*)*,(
10
10
606;60)(42
=
=
=
==+
yx
y
x
xxx
(iii) Falso.
R.O: 2x +4y = 5 0 (1)
4
2
2
5
;;
2
5
>>==
y
x
y
x
p
p
TMS
UMg
UMg
TMS
Os dois bens são substitutos perfeitos, o consumidor irá consumir o bem com menor
preço, levando também em consideração a TMS, logo ele consumirá apenas x.
26
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos3-4. Utilidade e escolha.
 
)0;25(*)*,(
25
2
50
=
===
yx
p
m
x
x
27
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 5. Demanda Individual.
CAPITULO 5.
DEMANDA INDIVIDUAL
1. Cláudio consome biscoito e mate. Sua função de demanda por biscoito é qB = m -
30pB + 20pM, sendo m a renda, pM o preço do copo de mate, pB o preço do pacote de
biscoito e qB a quantidade consumida de pacotes de biscoito. 
a) Mate e biscoito são bens complementares ou substitutos? 
b) Determine a equação de demanda para o biscoito, considerando m=100 e pM = 1.
c) Determine a equação da demanda inversa por biscoitos. Para que preço Cláudio
consumiria 30 pacotes de biscoito?
Solução
a) Qb=m –30pb+20pm
dpm
dQb =20>0 , sendo assim, são substitutos. 
2
1
p
x
∆
∆
>0.
b) Qb=m –30pb+20pm
Qb= 100 –30pb+20(1)
Qb= 120 –30pb
c) Qb= 120 –30pb
30pb=120 - Qb
pb=
30
Q
30
120 b−
pb= 4 - 
30
30
= 4 - 1= 3
2. Alex gosta de consumir café e biscoito juntos, e em proporções fixas, na razão de
duas unidades de biscoito para uma unidade de café. Ele possui uma renda de $20; pc
= $1; e, pb = $0,75.
a) Nesta situação, quantas unidades de café e biscoito ele consumiria?
b) Determine a função de demanda por biscoito?
Solução
Ele consome 2 biscoitos com 1 café, sendo assim, a quantidade de biscoito
consumida é duas vezes a quantidade de café consumida (B=2C)
a) b=2c, ou seja, c = b/2; m=20; pc=1; pb=0,75
m = B.pb + C.pc m = B.pb + 
2
1
B.pc m = B (pb + 
2
1
pc)
B=
pc
2
1
pb
m
+
B=
)1.(
2
1
75,0
20
+
 B=
25,1
20
= 16
20 = 16 * 0,75 + C*1, onde C = 8
b) B =
2
1
20
+pb
= 
12
40
+pb
3. (ANPEC) O gráfico a seguir mostra posições de equilíbrio alternativas de um
consumidor. Marque V ou F justificando suas opções.
a) A mudança de linha de orçamento BC para BG resulta de uma diminuição apenas
do preço do bem y.
b) A mudança da linha de orçamento BC para HE resulta da diminuição apenas do
preço do bem y.
c) A curva de Engel para o bem x, que relaciona a quantidade de equilíbrio deste
bem com a renda monetária, está representada no gráfico.
d) A linha preço-consumo é representada por AF
 y
 E
 F
 G
 C
 A
 B H x
Solução
a) Verdadeiro.
b) Falso.
c) Falso.
d) Verdadeiro.
28
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 5. Demanda Individual.
4. Carlos possui a seguinte função de utilidade U (Xa, Xb) = Xa
4Xb, sendo Xa a
quantidade de amoras Xb a quantidade de bananas. Seja pa o preço das amoras, pb o
preço das bananas, e m a sua renda. Qual a equação de demanda por amoras?
Solução
Trata-se de uma função de utilidade Cobb-Douglas. De acordo com o apêndice
matemático do capítulo de escolha:
x1 = 
1
.
p
m
dc
c
+
; onde “c” seria o expoente de Xá (amoras) e “d” representaria o
expoente de Xb (bananas). Assim a função por demanda de amoras seria Xa =
ap
m
.
5
4
Uma outra forma de comprovar que esta é a função de demanda e a través da
resolução do problema de escolha ótima.
U(Xa,Xb)= Xa
4.Xb 
a
b
UmgX
UmgX
=
pa
pb
b
3
a
4
a
X.X4
X
=
b
a
X4
X
=
pa
pb
; Xa= b
b
a X.
X4
X
pa
m
− ; m= Xapa +Xbpb4Xa= aX
pa
m4
− ; Xa= bX.
pa
pb
pa
m
− ; Xa= pa5
m4
5. Seja x o número de livros e y o número de discos. Se João tem a seguinte função
de utilidade U(x,y) = min 7x , 2x + 10y, e considerando px = 20 e py = 80, qual a
razão entre as demandas por discos e livros?
Solução
7x = 2x + 10y; 5x = 10y; x = 2y
m= Xpx + Ypy; m= 2Ypx + Ypy; m= Y(2px + py)
Y=
)pypx2(
m
+ =
120
m
8040
m
=
+
Mesmo procedimento para X:
X= 60
m
py
2
1
px
m
=
+
;
2
1
60
m
120
m
X
Y
==
6. Flávia tem a seguinte função de utilidade U(a,b) = a2 + 1,5 ab + 30b. Sendo pa =
1e pb = 1, desenhe a curva de Engel para níveis de renda entre 20 e 60.
Solução
U(a,b)= a2+1,5ab +30b pa=1 pb=1
Umg = 
1
1
30a5,1
b5,1a2
=
+
+
; 2 a +1,5b = 1,5a +30; 0,5a = 30 – 1,5b
1,5b = 30 - 0,5b; b = 20 - 
3
a
m = a.pa. + b.pb; a = b.
pa
pb
pa
m
− ; a= m – 1 (20 - 
3
a
)
a=m –20 +
3
a
; a= 30
2
m3
− ; 
m=50 a= 4530
2
)50(3
=−
m=20 a= 030
2
60
=− 
m=60 a= 3030
2
)60(3
=−
m=30 a= 1530
2
)30(3
=−
m=40 a= 3030
2
)40(3
=−
 curva de Engel
60
50
40
29
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 5. Demanda Individual.
30
20
 15 30 45 60 
7 Suponha que um aluno de graduação de Direito cujo objetivo é completar seu
curso e conseguir uma vaga de Procurador Público por intermédio de um concurso
não enviesado. Esse aluno avança em seu conhecimento, e, por conseqüência, na
probabilidade de passar no concurso na medida em que estuda em casa e assiste
aulas de direito, em uma relação constante de 2 para 1. Faça graficamente o caminho
de expansão da renda (horas disponíveis para estudo e aula) e a curva de Engel para
esse aluno, especificando as inclinações. 
Solução
 m
 curva de renda consumo Curva de Engel
Estudo
 6
 4 
 2
 1 2 3 Aula Aulas
Inclinação curva de Engel= (pa+2pe); E=2 A
m = Apa + Epe; m = Apa + 2Ape; m = A(pa+2pe) 
8. Suponha uma função utilidade 2121 ln),( xxxxu += . Encontre a curva de
Engel e a curva de demanda para o bem 1.
Solução
Umg=
2p
1p
x
1
1
= m Curva de Engel
x1= 1p
2p
m=x1p1+x2p2 
 
 
1p
2p
 x1
m=
1p
2p
p1+ x2p2 p1
m=p2+ x2p2 
x2= 2p
2p
2p
m
− 
 
x1
9.Suponha uma função utilidade )1)(1(),( 2121 ++= xxxxu . Encontre a taxa
marginal de substituição dessa função e determine a quantidade a ser consumida de
cada um dos bens. Depois, encontre a curva de Engel e a curva de demanda para o
bem 1. Esse bem é inferior, necessário ou de luxo?
Solução
U(x1x2) = x1x2+x1+x2+1 m=x1p1+x2p2
TMS = 2Umg
Umg1
=
=
+
+
1x
1x
1
2
2
1
p
p
; resolvendo fica que x2 = 
−
+
2
11 )1(
P
xP
1
Substituindo x2 na restrição orçamentária:
m = p1 x1 + p2 ( −
+
2
11 )1(
P
xP
1), e operando, resulta a função de demanda para o
bem 1: x1 =
1
21
p2
ppm +−
. 
 m
 
Curva de Engel
30
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 5. Demanda Individual.
 x1
A inclinação da curva de Engel é: 
m
x
∂
∂ 1 = 
12
1
p
. Como p1 é um valor positivo, a 
inclinação é também positiva, logo se trata de um bem normal. A inclinação maior 
ou menor depende dos valores de p1. 
A inclinação da função de demanda é 
1
1
p
x
∂
∂
= 2
1
2
2
12
1
p
p
p
−− , e como p1 e p2 são
valores positivos, a derivada é negativa, logo são bens comuns (não Giffen).
10. O que você entende por bem de Giffen? Apresente o caminho de expansão da
renda e a curva preço consumo de um bem de Giffen.
Solução
Bem de Giffen é um caso especial de bens inferiores em que variações de preço
levam a variações de demanda na mesma diereção.
x2
 curva de renda consumo Curva de preço consumo
 
 x1 x1 
11. Em determinado país, a construção de piscinas públicas gerou um aumento de
utilização de piscinas para a população. Com isso se verificou um aumento na
demanda dos calções de banho. Pode-se portanto afirmar que calções de banho e
piscinas são bens substitutos?
Solução
Falso, o aumento da quantidade de piscinas levou a um aumento da quantidade de
calções de banho, o que caracteriza os bens como complementares. Se fossem
substitutos um aumentaria e outro diminuiria.
12. Prove que, em um conjunto de n bens, pelo menos um entre eles não poderá ser
bem de Giffen.
Solução
Bem de Giffen é aquele que quando o preço diminui a demanda também diminui. Se
todos os n bens forem bens de Giffen, quando o preço diminuir vai diminuir a
demanda e o consumidor não encontraria bens onde gastar toda a sua renda na
escolha ótima. Sendo assim, um dos n bens não pode ser bem de Giffen para compor
a demanda do consumidor que não é formada pelo bem Giffen.
13. Suponha um consumidor com a seguinte função de demanda 
p
m
x
2/1
10= .
Sendo o preço do bem igual a 1, pode-se afirmar que se trata de um bem de luxo.
Verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Solução
No caso dos bens de luxo, quando a renda aumenta o consumo aumenta numa
proporção maior que a renda. Para isto, observamos os valores da derivada:
Para P=1, a função de demanda fica 2/1.10 mx = .
Primeira derivada
2/1
5
mm
x
=
∂
∂
 e segunda derivada 
2/32
2
2
5
mm
x
−=
∂
∂
 é negativa
para qualquer valor de m com m >0. Isto significa que as quantidades demandadas
variam positivamente com a renda, mas a taxas decrescentes. Assim, o incremento
de renda levará a um incremento das quantidades demandadas, sim, mas este
aumento será proporcionalmente menor.
14. Desenhe o caminho de expansão e a curva de Engel para preferências côncavas e
homotéticas.
Solução
Preferências Homotéticas
X2 m
 renda-consumo curva de Engel
 x1 x1
Preferências côncavas
31
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 5. Demanda Individual.
X2 m curva de Engel
 ∆m= ∆x1 
 Renda consumo X1 x1
15. Todo bem inferior é um bem de Giffen. Verdadeiro ou falso. Justifique. 
Solução
Bem inferior é aquele que vê diminuir sua demanda quando a renda aumenta. Bem
de Giffen é um tipo específico de bem inferior, onde, por causa do efeito renda que
tem lugar nas variações de preços, uma diminuição dos preços levará a diminuições
da demanda. Sendo assim, todo bem de Giffen é um bem inferior, mas nem todo
bem inferior é um bem de Giffen. Em qualquer caso, os bens são inferiores ou
Giffen de acordo com o comportamento do consumidor. Ex: ônibus é um bem
inferior e não é um bem de Giffen, quando o preço da passagem diminui a demanda
não diminui. 
16. Determine se dois bens são substitutos ou complementares para indivíduos com
funções utilidade 2121 ),( xxxxu = .
Solução
Trata-se de funções de utilidade Cobb-Douglas. Por tanto, 
Umg = 2
1
1
2
p
p
x
x
=
 x1= 
2
2
1
1
x.
x
x
p
m
−
; x1= 1p2
m
X2= 1
2
1
2
x.
p
p
p
m
−
 x2 = 1
1
2
2
x.
x
x
p
m
−
; x2=
2p2
m
A quantidade do bem 2 não depende do preço do bem 1 e vice-versa, sendo assim 
são bens independentes.
17. Sobre a teoria da demanda podemos afirmar que:
a) A curva de DA inversa mede o preço ao qual será demandada uma certa
quantidade.
b) A função demanda por um bem de um consumidor, em geral, depende
apenas dos preços dos bens em questão.
c) Um bem normal é aquele para o qual a demanda aumenta quando o preço
diminui. Um bem inferiore aquele para o qual a demanda aumenta quando
a renda aumenta.
d) Um bem de Giffen é aquele para o qual a demanda aumenta quando seu
preço diminui.
e) A curva de Engel é o gráfico da demanda por um dos bens como função do
seu preço, com todos os demais preços mantidos constantes.
Solução
a) Verdadeiro. 
b) Falso. Depende também da renda: x1 = (p1, p2, m).
c) Falso. Bem normal: a demanda pelo bem aumenta quando a renda aumenta.
01 >
∆
m
x
Bem inferior: a demanda pelo bem diminui quando a renda aumenta.
01 <
∆
m
x
d) Falso. Bem de Giffen: a demanda pelo bem diminui quando seu preço
diminui.
e) Falso. Curva de Engel: gráfico da demanda de um dos bens como função da
renda, com os preços constantes.
18. Sobre a teoria da demanda podemos afirmar que:
(i) A demanda de um consumidor por um bem pode ser obtida
simplesmente a partir de informações sobre suas preferências pelos bens
existentes e a partir de sua restrição orçamentária.
(ii) Dois bens são substitutos quando uma redução no preço de
um deles ocasiona uma majoração na quantidade demandada do outro. 
Solução
(i) Correta. Sempre que as hipóteses relativas ao comportamento
maximizador forem cumpridas.
32
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 5. Demanda Individual.
(ii) Errada. Dois bem são substitutos quando a demanda de um dos bens
subir quando o preço do outro aumentar.
0
2
1 ≥
∆
p
x
19. Sobre a teoria do consumidor pode se dizer que:
(a) Para um indivíduo com função de utilidade u(x,y)= yx + , os dois bens são
substitutos.
(b) A curva de Engel de um bem normal é sempre uma linha reta.
(c) Se as curvas de indiferença fossem convexas em relação a origem, o
consumidor compraria apenas uns dos dois bens.
(d) As Curvas de Engel descrevem a relação entre a quantidade consumida de
uma mercadoria e a renda dos consumidores.
(e) Um caso pouco comum mas interessante é aquele onde a quantidade
demandada varia na mesma direção da variação do preço (bem de Giffen). Isto
ocasiona uma inclinação crescente e depois decrescente na curva de demanda
individual.
Solução
(a) Correto. 2/1)(),( yxyxyxu +=+= é uma transformação monotônica
de yxyxw +=),( , que é uma função de bens substitutos.
(b) Errado. A curva de Engel será uma linha reta somente em casos de
preferências homotéticas – a cesta demandada aumentará ou diminuirá na mesma
proporção do aumento/diminuição da renda, ou seja, se duplicarmos a renda
duplicaremos também a demanda de cada bem, o que implica que as curvas de
Engel sejam também linhas retas. Um bem poder ser normal e não
necessariamente apresentar uma linha reta como curva de Engel, exemplo bem de
luxo (sua demanda aumenta quando a renda aumenta, mais o aumento na
quantidade demandada é maior proporcionalmente do que o aumento da renda).
(c) Errado. Convexidade: diversificação – se consome os dois bens juntos.
(d) Correto.
(e) Correto. Bem de Giffen: quando o preço do bem diminui a quantidade
demandada por ele também diminui.
20. A função de utilidade de um consumidor é yxxyyxu 2),( ++= . Sabendo-se
que px e py são os preços dos bens 1 e 2 respectivamente, ambos positivos, pergunta-
se:
(a) Os dois bens são complementares ou substitutos?
(b) Os dois bens são normais ou inferiores?
Solução
(a) R.O: pxx +pyy =m (1)
2
1
+
+
==
x
y
UMgy
UMgx
TMS
Escolha ótima:
( ) ( ) ( );2;21;
2
1
; +=++=+=
+
+
= xppypxpyp
p
p
x
y
p
p
TMS xyyxy
y
x
y
x
( )
y
yx
p
pxp
y
−+
=
2
 (2)
Substituindo (2) em (1):
( )
( )
0
2
1
2
2
22
2
2
2
>=
∆
∆
−+
=
+=+
=−++
=−++
=






 −+
+
xy
x
xy
yxx
yxxx
yxx
y
yx
yx
pp
x
p
ppm
x
pmpxp
mppxpxp
mpxpxp
m
p
pxp
pxp
Os dois bens são substitutos, visto que quando py aumenta x também
aumenta .
(b) →>=
∆
∆
0
2
1
xpm
x
 x é um bem normal, a demanda por x varia no mesmo
sentido da renda, quando a renda aumenta a quantidade demandada por x
também aumenta.
33
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 5. Demanda Individual.
y
yxy
y
y
xy
y
y
x
xy
x
p
pppm
y
p
p
ppm
y
p
p
p
ppm
p
y
22
2
2
2
2
2
−++
=
−




 ++
=
−





+
−+
=
→>=
∆
∆
0
1
ypm
y
y é um bem normal.
34
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 6. Preferência Revelada.
CAPITULO 6.
 PREFERÊNCIA REVELADA
1. Suponha que a cesta (x1, x2) tenha sido escolhida com preços (p1, p2) e renda
m, sendo 22112211 ypypxpxp +≥+ . Suponha ainda que a cesta (y1, y2)
tenha sido escolhida quando os preços eram (q1,q2), sendo
22112211 yqyqzqzq +≤+ , mas 22112211 zpzpxpxp +<+ . Pelo
axioma fraco da preferência revelada pode-se afirmar que a cesta (x1, x2) foi
revelada preferível à cesta (z1, z2). Verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Solução
Falso. Com as informações acima, temos que (x1,x2) é diretamente revelada como
preferida à (y1,y2), e (y1,y2) é diretamente revelada como preferida à (z1,z2). Logo, a
cesta (x1,x2) é indiretamente revelada como preferida à cesta (z1,z2). O Axioma Fraco
se refere apenas às cestas diretamente reveladas como preferidas. Somente o
princípio da transitividade, considerado pelo Axioma Forte da Preferência Revelada,
nos garante que (x1,x2) é (indiretamente) revelada como preferida à (z1,z2). Trata-se
de uma situação como a seguinte:
 •X
 •Y
 
 • Z
2. Considerando as seguintes informações:
Quando o sistema (1) de preços vigora, a cesta “A” é escolhida; 
Quando o sistema (2) de preços vigora, a cesta “B” é escolhida;
Quando o sistema (3) de preços vigora, a cesta “C” é escolhida. 
E considerando a tabela abaixo onde constam as rendas necessárias para comprar
cada cesta, 
A B C
(1) 75 70 80
(2) 70 68 67
(3) 63 65 60
Marque V ou F, justificando sua resposta:
a) “A” é diretamente revelada como preferida à “C”.
b) “A” é diretamente revelada como preferida à “B”.
c) A cesta “A” é a melhor de todas.
d) “B” e “C” nunca devem ser compradas.
e) De acordo com a tabela, duas cestas são diretamente reveladas como preferidas
e uma é indiretamente revelada como preferida.
f) Caso o consumidor fique rico, ao sistema de preços tal que a cesta “C” seja a
mais cara, ele deveria comprar esta cesta.
Solução
(1) AB; (2) BC e AC; (3) as cestas não podem ser comparadas.
a) F (quando a cesta “A” foi escolhida, “C” não estava disponível).
b) V (quando “A” foi escolhida, “B” poderia ter sido escolhida).
c) F (só podemos dizer que ela é preferível, não melhor).
d) Falso. Apenas se a cesta “A” também estiver disponível. Dependendo do
orçamento e dos preços, elas podem ser escolhidas, sempre que a cesta A não
esteja disponível).
e) Verdadeiro. “A” é diretamente revelada preferida à “B”, “B” é diretamente
revelada pref. à “C” e “A” é indiretamente revelada preferida à “C”.
f) Falso. Como visto no item acima, a cesta “A” foi indiretamente revelada como
preferida à cesta “C”. Assim, quando ambas estiverem disponíveis, a cesta “A”
deverá ser a cesta escolhida. Sendo a cesta “C” a mais cara de todas, as três
cestas estarão disponíveis, logo “A” deverá ser adquirida).
3. Quando os preços são (p1;p2) = (3;5), um consumidor demanda (X1;X2) =
(15;20). Quando os preços são (q1;q2) = (5;3), este mesmo consumidor demanda
35
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 6. Preferência Revelada.
(Y1;Y2) = (20;15). Esse comportamento é consistente com o modelo de
comportamento maximizador? Por que?
Solução
Quando (x1,x2) é escolhida, ou seja, com os preços (P1, P2), temos:
P1X1+P2X2 = 3*15 + 5*20 = 145
P1Y1+P2Y2 = 3*20 + 5*15 = 135
Então a cesta (x1,x2) é diretamente revelada preferida à cesta (y1,y2), dado que X
foi escolhida quando as duas cestas estavam disponíveis.
Quando (y1,y2)é escolhida, ou seja, com os preços (Q1, Q2), temos:
Q1X1+Q2X2 = 5*15 + 3*20 = 135
Q1Y1+Q2Y2 = 5*20 + 3*15 = 145
Então a cesta Y foi escolhida quando X estava disponível, logo (y1,y2) é
diretamente revelada como preferível à (x1,x2). Esse comportamento não pode
ser consistente com o modelo de comportamento maximizador. Ele não obedece
ao AFrPR.
4. Quais das relações abaixo podem ser utilizadas apenas para indicar que a cesta
X→ é diretamente revelada como preferida à cesta Y→ ?
i) P→ Y→ = P→ X → iii) P→ Y→ > P→ X→ 
ii) P→ X→ ≥ P→ Y→ iv) P→ Y→ < P→ X→
Solução
P→Y→ = P→X → (fracamente preferida); P→X→ ≥ P→Y→ e P→Y→ <
P→X→
5. Admita agora que existe uma outra cesta Z→ = ( z1 , z2 , z3 , . . . , zn ), que por sua
vez possa ser diretamente revelada como preferida à Y→ = ( y1 , y2 , y3 , . . . , yn ).
Neste caso, pode-se estabelecer alguma relação entre as cestas X→ e Z→ ?
Solução
Sim. Pelo princípio da transitividade, se X é diretamente revelada como preferida à
Y e Y é diretamente revelada como preferida à Y, X está sendo indiretamente
revelada como preferida à cesta Z.
6. Dado três cestas de bens e serviços X→, Y→ e Z→. Um consumidor racional
poderia gastar sua renda “m”, revelando X→ >Y→, Y→ >Z→ e Z→ >X → ? Ilustre
em um gráfico com dois bens.
Solução
Não. Não há nenhuma curva de indiferença que passe por Z que seja superior a
aquela que passa por X, para qualquer conjunto de preços. E se houver, ela cortaria
às CI anteriores, rompendo hipóteses sobre o comportamento maximizador expresso
a través de CI.
7. Considere X e Y como representações das quantidades de dois bens que estão na
cesta de preferências de um consumidor individual. Qual dos gráficos abaixo
pode ser utilizado para explicar o Axioma Fraco da Preferência Revelada?
Admita que os pontos “A” e “B” representem cestas que tenham sido
diretamente reveladas como preferidas às demais cestas disponíveis.
A
B
Graf.
1
Y
X
C
B
Y
X
A
Z
Y
X
Bem 1
Bem 2
36
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 6. Preferência Revelada.
Solução
O gráfico 1 permite comparar cestas, revelando comportamento não maximizador.
O gráfico 2 permite comparar cestas revelando o cumprimento do AFRPR.
8. VARIAN. Quando os preços são (p1,p2) = (1,2), um consumidor demanda (x1,x2)
= (1,2). Quando os preços são (q1,q2) = (2,1), o consumidor demanda (y1,y2) =
(2,1). Esse comportamento é consistente com o modelo de comportamento
maximizador? Por que?
Solução
Quando (x1,x2) é escolhida, temos:
P1X1+P2X2 = 5
P1Y1+P2Y2 = 4
Então a cesta (x1,x2) é diretamente revelada preferida à cesta (y1,y2), dado que X
foi escolhida quando as duas cestas estavam disponíveis.
Quando (y1,y2) é escolhida, temos:
Q1X1+Q2X2 = 4
Q1Y1+Q2Y2 = 5
Então a cesta Y foi escolhida quando X estava disponível, logo (y1,y2) é
diretamente revelada como preferível à (x1,x2).
Esse comportamento não pode ser consistente com o modelo de comportamento
maximizador. Ele viola o AFrPR.
9. VARIAN. Quando os preços são (p1,p2) = (2,1), um consumidor demanda (x1,x2)
= (1,2). Quando os preços são (q1,q2) = (1,2), o consumidor demanda (y1,y2) =
(2,1). Esse comportamento é consistente com o modelo de comportamento
maximizador? Por que?
Solução
Quando (x1, x2) é escolhida, temos:
P1X1+P2X2 = 4
P1Y1+P2Y2 = 5
Então a cesta (x1,x2), mas a cesta (y1,y2) não estava disponível.
Quando (y1,y2) é escolhida, temos:
Q1X1+Q2X2 = 5
Q1Y1+Q2Y2 = 4
Então a cesta Y foi escolhida quando X não estava disponível.
Esse comportamento é coerente com o modelo de comportamento maximizador,
embora não é possível tirar conclusões sobre PR pela impossibilidade de
comparar cestas.
10. VARIAN. No exercício anterior, qual cesta é preferida pelo consumidor, a cesta
X ou a cesta Y?
Solução
Não podemos saber. As observações não permitem comparações entre as cestas, pois
no momento que uma era escolhida, a outra não estava disponível.
11. VARIAN. Vimos que o ajustamento da Previdência Social para as variações de
preços tipicamente fariam com que os beneficiários ficassem pelo menos tão
bem quanto estavam no ano-base. Que tipo de variações de preços deixaria os
beneficiários exatamente na mesma situação, independentemente de suas
preferências?
Solução
Variações nos preços onde os preços relativos do período atual coincidam (ou sejam
proporcionais) com os preços do período base da indexação.
12. VARIAN. No mesmo contexto da questão anterior, que tipo de preferências
deixaria o consumidor exatamente como no ano-base, para todas as variações de
preços?
Solução
Preferências aplicadas à bens complementares perfeitos, pois para qualquer nível de
preços relativos, ou seja, para qualquer inclinação da restrição orçamentária, o
consumidor não irá alterar seu nível de satisfação.
37
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 6. Preferência Revelada.
13. Segue abaixo a tabela de preços e demandas de um consumidor cujo
comportamento foi observado em cinco diferentes situações:
Situação p1 p2 x1 x2
A 1 1 5 35
B 1 2 35 10
C 1 1 10 15
D 3 1 5 15
E 1 2 10 10
a) Trace cada uma das retas orçamentárias identificando os pontos escolhidos pelas
letras A, B, C, D e E.
b) O comportamento deste consumidor é consistente com o Axioma Fraco da
Preferência Revelada?
Solução:
a)
b) Sim. As cestas A e B são reveladas como preferidas às cestas C, D e E.
Quando A é escolhida, B não está disponível e, quando B é escolhida, A não está
disponível.
A cesta C é revelada como preferida às cestas D e E, mas quando C é
escolhida, A e B não estão disponíveis e, quando D e E são escolhidas, C não está
disponível.
Quando D ou E são escolhidas, nenhuma outra cesta está disponível. Então
esse comportamento é consistente com o AFrPR.
14. Suponha que Joyce e Ricardo gastem cada um $24 por semana com 
entretenimentos de vídeo e cinema. Quando os preços de vídeo e cinema estão 
em $4, Joyce e Ricardo alugam ambos 3 vídeos e compram cada um 3 entradas 
de cinema. Após algum tempo, o preço do vídeo cai para $2 e a entrada de 
cinema sobe para $6. Joyce passa então a alugar seis vídeos e comprar duas 
entradas de cinema por semana. O Ricardo, entretanto, passa a comprar uma 
entrada de cinema e alugar nove vídeos por semana.
a) Joyce estaria em uma situação pior ou melhor após a modificação nos preços ?
b) Ricardo estaria em uma situação pior ou melhor após a modificação nos preços ?
Solução:
Período Pc Pv c v
Joyce
T 4 4 3 3
T+1 6 2 2 6
Ricardo
T 4 4 3 3
T+1 6 2 1 9
- Joyce:
Quando (ct, vt) é escolhida, ou seja, com os preços (pc
t, pv
t), temos:
pc
t ct + pv
t vt = 4-*3 + 4*3 = 24
pc
t ct+1 + pv
t vt+1 = 4-*2 + 4*6 = 32
A cesta (ct, vt) foi escolhida quando (ct+1, vt+1) não estava disponível.
Quando (ct+1, vt+1) é escolhida, ou seja, com os preços (pc
t+1, pv
t+1), temos:
pc
t+1 ct+1 + pv
t+1 vt+1 = 6*2 +2*6 = 24
pc
t+1 ct + pv
t+1 vt = 6*3 +2*3 = 24
Então a cesta (ct+1, vt+1) (ct, vt) é diretamente revelada preferida à cesta (ct, vt), dado
que (ct+1, vt+1) foi escolhida quando as duas cestas estavam disponíveis.
 a) Joyce estaria numa situação melhor. Com a mudança de preços, ela se situa numa
curva de indiferença mais deslocada à direita.
Bem 1
Bem 2
38
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 6. Preferência Revelada.
- Ricardo:
Quando (ct, vt) é escolhida, ou seja, com os preços (pc
t, pv
t), temos:
pc
t ct + pv
t vt = 4-*3 + 4*3 = 24
pc
t ct+1 + pv
t vt+1 = 4-*1+ 4*9 = 40
A cesta (ct, vt) foi escolhida quando (ct+1, vt+1) não estava disponível.
Quando (ct+1, vt+1) é escolhida, ou seja, com os preços (pc
t+1, pv
t+1), temos:
pc
t+1 ct+1 + pv
t+1 vt+1 = 6*1 +2*9 = 24
pc
t+1 ct + pv
t+1 vt = 6*3 +2*3 = 24
Então a cesta (ct+1, vt+1) (ct, vt) é diretamente revelada preferida à cesta(ct, vt), dado 
que (ct+1, vt+1) foi escolhida quando as duas cestas estavam disponíveis.
b) O mesmo ocorre com Ricardo.
15. (Jehle e 
Peny) O 
consumidor compra cestas xi aos preços pi, i = 0,1. Em cada um dos casos 
abaixo, verifique se as escolhas realizadas satisfazem o Axioma Fraco da 
Preferência Revelada.
a) p0 = (1,3), x0 = (4,2); p1 = (3,5), x1 = (3,1)
b) p0 = (1,6), x0 = (10,5); p1 = (3,5), x1 = (8,4)
c) p0 = (1,2), x0 = (3,1); p1 = (2,2), x1 = (1,2)
d) p0 = (2,6), x0 = (20,10); p1 = (3,5), x1 = (18,4)
Solução
a) Quando a cesta X0 é escolhida, ele gasta P0X0’=1*4+3*2=10 para sua aquisição.
No mesmo momento, a cesta X1 custaria P0X1’=1*3+3*1=6. Assim, dado que X1
também estava disponível, podemos concluir que X0 foi revelada como preferida a
X1. Porém, quando ele escolhe a cesta X1, ele gasta P1X1’=3*3+5*1=14 e o custo da
cesta X0 seria de P1X0’=3*4+5*2=22. Logo, ele não viola o AFRPR, mas nada pode
se dizer sobre suas preferências.
b) Seguindo o mesmo raciocínio do item anterior, quando X0 é escolhida,
P0X0=1*10+6*5= 40 e P0X1=1*8+6*4=32, logo ele revela que X0 X1, dado que
ambas poderiam ter sido compradas. Quando ele adquiriu a cesta X1,
P1X1’=3*8+5*4=44 e P1X0’=3*10+5*5=55, logo a cesta adquirida antes não estava
disponível. Assim, ele não viola o AFRPR, mas nada pode se dizer sobre suas
preferências.
c) Quando a cesta X0 foi comprada, P0X0=1*3+2*1=5 e P0X1=1*1+2*2=5, ou seja,
ambas estavam disponíveis. Assim, o consumidor nos revelou que X0 X1. No
momento 1, P1X0=2*3+2*1=8 e P1X1=2*1+2*2=6, e mais uma vez a cesta X0 não
estava disponível quando X1 é escolhida, assim não podemos afirmar que o
consumidor viole o AFRPR, mas nada pode se dizer sobre suas preferências
d) No momento 0, P0X0=2*20+6*10=100 e P0X1= 2*18+6*4=60, portanto ambas as
cestas estão disponíveis e podemos concluir que X0 X1, dado que ele poderia ter
adquirido a cesta X1, mas não o fez. Já no momento 1, ele gastou
P1X1=3*18+5*4=74 para adquirir a cesta X1 e a cesta X0 teria custado
P1X0=3*20+5*10=110. Mais uma vez apenas a cesta X1 estava disponível, logo não
há violação do Axioma Fraco da Preferência Revelada, mas nada pode se dizer sobre
suas preferências.
16. (Jehle e Peny) O consumidor compra cestas xi aos preços pi, i = 0,1,2 , onde:










=
2
1
1
0p










=
9
19
5
0x










=
1
1
1
1p










=
22
12
12
1x










=
1
2
1
2p










=
2
11
27
2x
a) Mostre que esses dados satisfazem o Axioma Fraco da Preferência 
Revelada.
b) Ache a intransitividade nas preferências reveladas.
Solução
39
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 6. Preferência Revelada.
preços cestas Valor das Cestas
C0 C1 C2
0
1
2
1 1 2
1 1 1
1 2 1
 5 9 17
12 12 22
27 11 2
48 68 42
31 46 40
40 58 51
a) As escolhas foram xi ao Pi, ou seja, em P1 escolheu X1, em P2 escolheu X2 e em P3
escolheu X3. C0  C2 ; C1  C0 ; C1  C2; C2 C0 .
b) Intrasitividade: Se C2 C0 e C1  C0 , então C1 C0, logo há transitividade.
17. ANPEC 94. Através da observação direta verificou-se que um consumidor fez 
as seguintes escolhas:
(i) Quando os preços (p1,p2) prevaleciam, o consumidor escolhia a cesta x1.
(ii) Quando os preços (q1,q2) prevaleciam, o consumidor escolhia a cesta x2.
As retas orçamentárias AB e CD embutem os preços que prevaleciam nas situações 
(i) e (ii), respectivamente. Sobre o comportamento observado podemos dizer que:
a) Por não ter acesso à função de utilidade do consumidor, nada se pode 
afirmar sobre a consistência das escolhas feitas.
b) Pode-se afirmar que o consumidor teria feito escolhas consistentes se as 
curvas de indiferença fossem côncavas em relação à origem.
c) Sabe-se que o custo da cesta x2 aos preços (p1,p2) é maior que o custo da 
mesma cesta aos preços (q1,q2).
d) Uma situação como esta não é usual posto que as linhas orçamentárias, em 
geral, não se cruzam. 
Solução
a) Falso. Não é necessária a função de utilidade do consumidor para inferirmos a
respeito da escolha do consumidor. Pelo gráfico, claramente ele viola o AfrPr, ou
seja, suas preferências são inconsistentes com o comportamento de um consumidor
maximizador.
b) Falso. Se as preferências fossem côncavas, teríamos soluções de canto, dado que
estas são as cestas maximizadoras.
c) Falso. Não se pode saber. Embora aos preços (q1, q2), a cesta X2 esteja dentro de
seu conjunto orçamentário e aos preços (p1, p2) esteja sobre o conjunto orçamentário,
o valor do orçamento é relativo aos preços vigentes.
d) Falso. Não há nada que impeça que as linhas orçamentárias se cruzarem, ao
contrário das curvas de indiferença.
18. ANPEC 94. Três indivíduos participam de um comitê encarregado de apreciar 
os projetos A, B e C. Sabe-se que o símbolo < representa a relação “é pior que” e
que as preferências dos indivíduos são as seguintes:
Indivíduo 1: A<B<C; Indivíduo 2: B<C<A; Indivíduo 3: C<A<B
O processo decisório do comitê recomenda considerar as alternativas duas a duas, 
escolhendo o projeto vencedor por maioria simples. Nestas condições, pode-se 
afirmar que:
a) As preferências do comitê seriam completas.
b) As preferências do comitê não seriam transitivas.
c) O comitê poderia ser considerado um núcleo decisório típico contemplado 
pela Teoria do Consumidor.
d) O ordenamento dos projetos pelo comitê é idêntico às preferências do 
indivíduo 1.
Solução
Como o comitê considera as alternativas duas a duas, suas escolhas são: B>A, A>C
e C>B.
a) Verdadeiro. É possível compará-las duas a duas.
b) Verdadeiro. A>B e C>B, então A>B, mas de acordo com a escolha B>A
c) Falso. Pois não respeita a transitividade, violando o AFOPR.
d) Verdadeiro. Se B>A e C>B, então A<B, e por tanto A<B<C, tal e como foi a
escolha do comitê.
 
x2
x1
Bem 2
Bem 1
A
C
B D
40
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 6. Preferência Revelada.
19. A tabela abaixo apresenta os preços em 1830, 1850, 1890 e 1913 para cereais, 
carne, leite e batatas na Suécia, coletados por Gunnar Myrdal da Universidade de
Estocolmo. Estas quatro mercadorias representaram 2/3 do orçamento sueco para
alimentação.
Preço em Kg / coroa
 1830 1850 1890 1913
Cereais 0,14 0,14 0,16 0,19
Carne 0,28 0,34 0,66 0,85
Leite (l) 0,07 0,08 0,10 0,13
Batatas 0,032 0,044 0,051 0,064
 
A tabela abaixo apresenta as cestas de consumo típicas da classe trabalhadora em
1850 e 1890.
Quantidades em Kg por ano
 1850 1890
Cereais 165 220
Carne 22 42
Leite (l/a) 120 180
Batatas 200 200
a) Complete a tabela abaixo, que relata o custo anual das cestas de 1850 e 1890 aos
vários preços dos anos considerados.
 Custo Cesta de 1850 Cesta de 1890
Custo a Preços de 1830 44,1 61,6
Custo a Preços de 1850
Custo a Preços de 1890
Custos a Preço de 1913
b) A cesta de 1890 é preferida à cesta de 1850? Por que?
c) Calcule o índice de quantidade de Laspeyres da cesta de consumo de 1890,
considerando o ano de 1850 como base.
d) Idem para o índice de quantidade de Paasche
e) Calcule o índice de preços Laspeyres para 1890, considerando o ano base de 
1850.
Solução
Preços Quantidades
1830 1850 1890 1913 1850 1890
Cereais 0,14 0,14 0,16 0,19 165 220
carne 0,28 0,34 0,66 0,85 22 42
leite 0,07 0,08 0,1 0,13 120 180
batatas 0,032 0,044 0,051 0,064 200 200
Valor da cesta 1850 aos preços de
1830 1850 1890 1913
Cereais 23,1 23,1 26,4 31,35
carne 6,16 7,48 14,52 18,7
leite 8,4 9,6 12 15,6
batatas 6,4 8,8 10,2 12,8
Total 44,1 49,0 63,1 78,5
Valor da cesta 1890 aos preços de
1830 18501890 1913
Cereais 30,8 30,8 35,2 41,8
carne 11,76 14,28 27,72 35,7
leite 12,6 14,4 18 23,4
batatas 6,4 8,8 10,2 12,8
Total 61,6 68,3 91,1 113,7
a)
Sumatórios ou valores agregados das cestas
Custo Cesta de 1850 Cesta de 1890
Preço 1830 44,1 61,6
Preço 1850 48,98 68,3
Preço 1890 63,12 91,1
Preço 1913 78,45 113,7
b) A cesta de 1890 é melhor porque aos mesmos preços (independentemente
de qual seja o ano escolhido) tem um valor maior, ou seja, em 1890 poderia ter sido
escolhida a cesta de 1850. Mas a escolhida foi a de 1890.
41
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 6. Preferência Revelada.
c)
d)
e)
20. Considere as seguintes observações feitas em dois períodos consecutivos sobre 
o comportamento de um indivíduo que gasta sua renda com uma cesta de 
mercadorias:
Despesa que teve no período inicial $ 4000,00
Despesa que teve no período final $ 5600,00
Despesa que teria com as quantidades iniciais aos preços finais $ 4480,00
Despesa que teria com as quantidades finais aos preços iniciais $ 5600,00
a) Qual o índice de preços de Paasche?
b) Qual o índice de quantidades de Laspeyres?
c) Qual o índice de variação nominal da despesa do consumidor?
d) Qual o índice de preços de Laspeyres?
e) Qual o índice de quantidades de Paasche?
f) O que se pode dizer sobre o nível de bem-estar do indivíduo de um período para
outro? (explique em um gráfico com curvas de indiferença e o índice de quantum de
Paasche )
Solução
Pb x Qb = 4.000
Pt x Qt = 5.600
Pt x Qb = 4.480
Pb x Qt = 5.600
a) Pp = PtQt / PbQt = 5600 / 5600 = 1
b) Lq = PbQt / PbQb = 5600 / 4000 = 1,4
c) M = PtQt / PbQb = 5600 / 4000 = 1,4
d) Lp = PtQb / PbQb = 4480 / 4000 = 1,2
e) Pq = PtQt / PtQb = 5600 / 4480 = 1,25
f) Sendo Pq > 1 e PtQt>PtQb, então ele poderia ter escolhido a mesma cesta do
período base, mas não escolheu, logo, ele está numa situação melhor no período
atual.
21. Considere a matriz de quantidades e preços observados em dois períodos
consecutivos para uma cesta de mercadorias compostas nos seguintes itens:
 PERÍODO INICIAL PERÍODO FINAL 
Bens e serviços Po Qo Pt Qt
Alimentação 2,00 10,00 2,50 8,00
Transporte 5,00 4,00 4,00 6,00
Habitação 3,00 2,00 4,00 1,50
Vestuário 4,00 3,00 5,00 2,50
Educação 2,50 3,00 2,00 3,50
Lazer 1,50 1,00 2,50 1,00
a) Qual o índice de preços de Paasche?
b) Qual o índice de quantidades de Laspeyres?
c) Qual o índice de variação nominal da despesa do consumidor?
d) Qual o índice de preços de Laspeyres?
e) Qual o índice de quantidades de Paasche?
f) O que se pode dizer sobre o nível de bem-estar dos indivíduos de um
período para outro? (explique em um gráfico com curvas de indiferença e o
índice de quantidades de Laspeyres).
Solução
∑p0q0 = 67,00
∑p0q1 = 70,75 
∑p1q0 = 72,50
∑p1q1 = 72,00 
a) Pp = 72 / 70,75 = 1,02
b) Lq = 70,75 / 67 = 1,06
c) M = 72 / 67 = 1,07
42
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 6. Preferência Revelada.
d) Lp = 72,5 / 67 = 1,08
e) Pq = 72 / 72,5 = 0,99
f) No período base, a cesta consumida tinha valor inferior à do período atual, ou seja,
a cesta do período atual não estava disponível. Desse modo, não podemos afirmar
nada sobre o nível de bem-estar dos indivíduos de um período para o outro, dado que
as cestas não são comparáveis.
IQL = 
∑
∑
o
t
QP
QP
0
0
= 1,06; ∑ tQP0 > ∑ tQP0 ; ou seja, 70,75 >
67,00
• Qt (valor da cesta = 70,75)
 • Qo (valor da cesta = 67,00) P
0
 ou preços do 
ano base
43
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos 7e 8. Tecnologia e Maximização de lucros
CAPITULOS 7 E 8
TECNOLOGIA E MAXIMIZAÇÃO DE LUCRO
1. Diga como se comportam o formato e a posição das curvas de isoquantas
envolvendo dois fatores nas seguintes situações:
a) fatores perfeitamente substitutos;
b) fatores combinados em proporções fixas, dado o estado da técnica;
c) existência de retornas constantes, crescentes ou decrescentes de escala.
Solução
x2
a) f(x1,x2) = x1+x2 3
 2 
 2 3 x1
b) f(x1,x2) = Min{ x1,x2} 
 x2
x1
c) retornos constantes; a + b = 1
 2f(x1,x2)=f(2x1,2x2)
 Retornos crescentes=a+b>1
 tf(x1,x2)< f(tx1,tx2)
 Retornos decrescentes=a+b<1
 tf(x1,x2)> f(tx1,tx2)
2. Determine o produto marginal e o produto médio da função Y = A K αL(1-α)
conhecida como função Cobb-Douglas, sendo 0< α < 1. Demonstre que as funções
associadas aos mesmos são decrescentes. 
Solução
α+1-α = 1, logo trata-se de função de produção com rendimentos constantes de
escala.
PMGk=AL(1-α)α Kα-1 PMGL=A Kα (1-α)L1-α-1 = A Kα (1-α)L-α
PMGk: como α -1<0, o valor de Kα-1 está no denominador. Assim, quando K
aumenta, seu produto marginal decresce (mantendo constante L).
PMGL: como –α < 0, o valor de Lα fica no denominador. Por tanto, quando L
aumenta, seu produto marginal decresce (mantendo constante K).
Produto médio do fator K= )1(1
)1( αα
αα −−=
−
LAK
K
LAK
Produto médio do fator L= αα
αα
−=
−
LAK
L
LAK )1(
Novamente, observa-se pelo sinal do α associado a K e L nos seus produtos médios,
que quando estes aumentam, tanto K como L decresce. Uma outra forma de
demonstrar isto é calculando as suas derivadas (segunda ordem para produto
marginal e derivada do produto médio) que deverão ser negativas.
3. Trace as isoquantas para as seguintes funções de produção e calcule o produto
marginal do fator 1:
a) 4/1
2
2/1
1 xxy = ;
b) 212 xxy +=
c) [ ]21 2,min xxy =
Solução
a) Pmg1= 4
1
2
1
x.
x2
1
 x2
y = 1 = x1
1/2. x2
1/4 1
x2= 2
1x
1
 1/4 
 1 2 x1
Para valores específicos de x1 são obtidos os valores de x2. Experimente. 
 
b) PMG1 = 2
y = 10 = 2x1+x2 x2
x1=5- x2/2 
para 10 
x1=5 x2 = 0
x1= 0 x2 =10 8
 
x1=1 x2 = 8 6 
x1=2 x2 = 6 
44
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos 7e 8. Tecnologia e Maximização de lucros
 1 2 5 x1
c) O produto marginal do fator 1 fator é zero, dado que qualquer aumento da
quantidade de fator 1 não levaria a incrementos de produção se o outro fator
permanecer constante.
 x2
 4
Y(x1;x2) = Min{x1,2x2}
Y(5;4) = Min{5;8}=5 2,5
Y(10;2,5) = Min{10;5}=5
Y(5;2,5) = Min{5;5}=5
 5 10 x1
4. Afirme se é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta. Na função de produção
3/2
2
2/1
1 xxy = :
a) o fator 1 tem produto marginal decrescente;
b) o fator 2 tem produto marginal crescente; 
c) os retornos de escala são decrescentes.
Solução
a) Verdadeiro.
PMG 1 = 0.)(
2
1 3/2
2
2/1
1 >− xx para qualquer valor de x1>0
A condição de segunda ordem de convexidade é que a derivada segunda (do produto
marginal) deve ser < 0.
1
2
2
xd
yd
= (½). (-1/2) (x1) -3/2 (x2)2/3< 0 para qualquer valor de x1>0, o que demonstra
que o PMG do fator 1 é decrescente.
b) Falso.
 PMG 2 = 0).()(
3
2 2/1
1
3/1
2 >− xx para qualquer valor de x1>0
A condição de segunda ordem de convexidade é que a derivada segunda (do produto
marginal) deve ser < 0
1
2
2
xd
yd
= (2/3). (-1/3) (x2) -4/3
. (x1)1/2 < 0 para qualquer valor de x1>0, o que
demonstra que o PMG do fator 2 é decrescente.
c) Falso.
6
7
3
2
2
1
=+ >1 a soma dos coeficientes é maior do que 1, por tanto, a firma opera
com rendimentos crescentes a escala. 
5. A função de produção ba xxy 21= , sendo a e b>0, tem que produtos marginais?
Determinea taxa marginal de substituição técnica? Em algum momento o produto
marginal de algum dos fatores se torna negativo? Para que valores de a e b a função
de produção terá retornos constantes de escala? Prove que as isoquantas dela
provenientes são convexas em relação à origem.
Solução
Pmg1=ax1
a-1x2
b
Pmg2=bx1
ax2
b-1
TMST =
1
2
1b
2
a
1
b
2
1-a
1
bx
ax
xbx
xax
=− . O produto marginal de x1 se torna negativo quando a<0
ou b<0, o que não pode acontecer nunca porque são parâmetros positivos.
Para a + b = 1 a função terá retornos constantes de escala.
À medida que aumentamos a quantidade do fator 1 e ajustamos o fator 2 para
permanecermos na mesma isoquanta, a taxa marginal de substituição técnica
diminui, ou seja, a diminuição da TMST significa que a inclinação de uma isoquanta
tem de diminuir em valor absoluto à medida que nos movemos ao longo da
isoquanta na direção do aumento de x1, e tem de aumentar à medida que nos
movemos na direção do aumento de x2, o que significa que as isoquantas terão o
mesmo formato convexo das curvas de indiferença bem-comportadas.
45
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos 7e 8. Tecnologia e Maximização de lucros
6. Para uma firma com uma função de produção Q(x,y) = x + y, os dois fatores x e y
são substitutos perfeitos ? Por que?
Solução
Sim, pois a quantidade total produzida depende apenas da soma entre x e y.
Mantendo constante o produto, se altero um fator tenho que alterar o outro numa
proporção constante, que neste caso é 1 .
7. Que razões podem ser alinhadas para explicar que, no longo prazo, os
rendimentos de escala não seriam constantes?
Solução
- Os rendimentos não seriam constantes no caso em que uma empresa tornar-se tão
grande que não poderia operar de maneira efetiva, isso significa dizer que a empresa
não tem rendimentos constantes de escala em todos os níveis de produção, dado que,
devido a problemas de coordenação, ela pode entrar numa região de rendimentos
decrescentes de escala;
- a empresa poderia tornar-se tão grande que dominaria totalmente o mercado de seu
produto e pararia de agir competitivamente;
- na verdade as firmas só podem obter retornos constantes de escala no longo prazo.
Se a firma obtiver rendimentos a escala para uma tecnologia dada, esta seria imitada,
a produção da indústria iria aumentar o que levaria a uma redução de lucros que
acabaria com os lucros. Todas as firmas operando com a mesma tecnologia é uma
situação só compatível com rendimentos constantes a escala. Este efeito será
analisado melhor no estudo do equilíbrio concorrencial do longo prazo.
8. Demonstre que na função de produção y = A [ ∝ x1 – b . (1-∝) x2 – b ] - v / b , onde y
é o nível de produção e x1 e x2 são as dotações dos fatores, se o parâmetro “v” é
maior do que 1 os rendimentos de escala são crescentes.
Solução
Quando multiplicamos a produção por t (para t >1):
ty(x1,x2)=t A [ ∝ x1 – b . (1-∝) x2 – b ] - v / b =ty
Ao multiplicarmos todos os insumos por t, teremos:
y(tx1,tx2)=A [ ∝ (tx1) – b . (1-∝) (tx2) – b ] - v / b 
y (tx1,tx2)=A [ ∝ t– b (x1) – b . (1-∝) t– b (x2) – b ] - v / b 
y(tx1,tx2)=A [ ∝ t–2 b (x1) – b . (1-∝) (x2) – b ] - v / b 
y(tx1,tx2)=t–2 b(-v/b) A [ ∝ (x1) – b . (1-∝) (x2) – b ] - v / b 
y(tx1,tx2)=t2v A [ ∝ (x1) – b . (1-∝) (x2) – b ] - v / b 
y(tx1,tx2)=t2v y
Rendimentos constantes de escala: y(tx1,tx2)=ty(x1,x2) 
Rendimentos crescentes de escala: y(tx1,tx2) > ty(x1,x2)
Rendimentos decrescentes de escala: y(tx1,tx2) < ty(x1,x2)
Para v >0,5:
t2vy > ty (rendimentos crescentes de escala)
Logo se v >1, os rendimentos de escala são crescentes.
9. Por que no curto prazo algumas firmas poderão operar com prejuízo?
Solução
Porque no curto prazo alguns fatores tem de ser utilizados em quantidades
predeterminadas, sendo assim mesmo que a produção seja zero , vão existir custos
fixos.
10. O que distingue os fatores quase-fixos dos fatores fixos?
Solução
Os fatores quase fixos são fatores de produção que têm uma quantidade fixa,
independente do nível de produção da empresa, desde que a produção seja positiva.
Já os fatores fixos existem mesmo se a produção da empresa for zero.
11. A função de produção de uma firma é dada por Q = LK onde Q é o nível de
produção, e L e K representam as quantidades dos dois fatores adquiridos para
viabilizar a produção. Calcule a taxa marginal de substituição técnica entre os fatores
quando as quantidades contratadas de fatores forem iguais a L = 2 e K = 16. Nestas
condições, se o preço do fator trabalho for pL= 10, qual será o preço do fator
capital?
46
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos 7e 8. Tecnologia e Maximização de lucros
Solução
TMSTLK= 
2
16
==
L
K
Pmg
Pmg
K
L
K=16 L=2 w=10
PmgL.p=w Pmgk.p=r
K.p=w L.p=r
16p=10 2. 
16
10
=r
p=
16
10
r=
16
20
12. Supondo uma função de produção representada pela tabela abaixo, responda aos
itens que se seguem: 
Terra 
(fator fixo)
Mão-de-Obra 
(fator variável) 
Produção Total
20 1 10
20 2 30
20 3 60
20 4 80
20 5 95
20 6 102
20 7 105
20 8 105
20 9 99
20 10 90
a) Qual a produtividade média da mão de obra quando a produção for 60?
b) Qual a produtividade marginal da mão de obra quando a produção for 102?
c) Quando a produtividade marginal da mão de obra será igual a zero?
d) Qual o nível de produção para o qual a produtividade média iguala a marginal?
Solução
a) Quando y = 60 x1=3
PME = 20
3
60
x1
==
y
b) Y = 102; PMG=
1x
y
∆
∆
= 7
56
95102
=
−
−
c) PMG = 0 quando um variação no insumo não causar uma variação no produto. Ou
seja, quando x1 varia de 7 para 8.
d) PMG = PME = 20 para y = 80
13. Suponha uma situação em que os mercados de produto e de fatores são
competitivos. O preço do bem produzido pela empresa é R$ 4,00 os preços do
insumo variável e fixo são R$ 1,00. A quantidade do insumo fixo é 2. A função de
produção é 2
2/1
1 xxy = . Calcule a quantidade de insumo utilizada, a quantidade de
produto vendido e o nível de lucros obtidos. No exercício acima, o que ocorreria se o
preço do insumo 1 fosse elevado para R$ 2,00? Demonstre graficamente. 
Solução
PMG1= 2
1
.
2
1
x
x
; p.PMG1 = w1; 2
1
.
2
1
x
x
.p = w1; 14.2.
2
1
1
=
x
x1 = 42 =16
y =x1
1/2x2 = 82.16 =
2x21x1 pxp.xp.y −−=π
1418321.21.164.8 =−=−−=π
Se w1=2; 2
1
.
2
1
x
x
.p = w1; 2.
2
1
1x
.4 = 2; x1 = 22 = 4
x1+x2 = 4 + 2 = 6
y = 42.4 =
622.44.4 =−−=π
intercepto =
p
xp
p
x 22+
π
; intercepto 1= 4
4
2
4
14
=+ ; Intercepto 2 = 2
4
2
4
6
=+
y inclinação=1/2
8 
y=f(x1,x2)=8
47
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos 7e 8. Tecnologia e Maximização de lucros
4
 
2
 
 X1
14. Uma importante fábrica de latas de cerveja de alumínio produz uma determinada
quantidade do produto que pode ser definida por Q = 10.000L0,5, onde L representa a
quantidade de horas de trabalho. Suponha que a empresa opera em um ambiente
competitivo e o preço unitário de cada lata é de R$ 0,01. Na hipótese do salário dos
trabalhadores ser igual a R$ 2,00/hora, qual é o número de horas de trabalho que a
empresa contratará?
Solução
PMGL =
L2
1
.10000 ; p. PMGL = w; 201,0.
5000
. =
L
; L=252 = 625 horas
15. Explique sinteticamente o significado dos seguintes conceitos:
a) Axioma Fraco da Maximização do Lucro;
b) Produtividade marginal de um fator;
c) “Lei” dos rendimentos decrescentes”. 
Solução
a) Os lucros que a empresa obtém aos preços do período t têm de ser maiores
do que se ela utiliza-se o plano do período s e vice-versa. Se qualquer uma
dessas desigualdades fosse violada a empresa não poderia ter sido
maximizadora de lucros. A satisfação dessas duas desigualdades constitui oaxioma fraco de maximização de lucro.
b) O quanto vai variar a produção se aumentar a quantidade de um dos
insumos em uma unidade. 
c) O produto marginal de um fator diminui a medida que aumentamos mais e
mais desse fator. Isso é chamado Lei do produto marginal decrescente.
16. Discuta as condições genéricas que devem ser satisfeitas para que ocorra a
maximização do lucro da firma. 
Solução
O valor do produto marginal de cada fator que é livre para variar tem de ser igual ao
preço do fator. A lógica da maximização de lucros implica que a função oferta da
empresa competitiva tem de ser uma função crescente do preço do produto e a
função demanda de cada fator tem de ser uma função decrescente de seu preço. Em
síntese maximizar lucros significa maximizar receita e minimizar custos. 
17. Suponha que a função de produção estimada do produto X é a seguinte:
Q = K 2 (2L – K)
L2
Defina a taxa TMSTK,L num ponto e calcule os valores que assume para (L = 8,45; K
= 11) e (L = 30; K = 40). 
Solução
PMGK=
22
2 )34(34
L
KLK
L
KKL −
=
−
)(2
)34(
)(2
)34(
)(222
2
3
2,
3
2
4
322
KLK
KLL
KLK
L
x
L
KLK
PMG
PMG
TMST
L
KLK
L
LKKL
PMG
L
K
LK
L
+−
−
=
+−
−
==
+−
=
+−
=
Para L = 8,45 e K = 11:
12,0
1,56
76,6
)(2
)34(
8 , ==
+−
−
=
KLK
KLL
TMST LK
Para L = 30 e K = 40:
0
800
0
)(2
)34(
8 , ==
+−
−
=
KLK
KLL
TMST LK
18. As funções de produção relacionadas a seguir apresentam rendimentos
decrescentes, constantes ou crescentes de escala?
a) Q = 0,5KL
b) Q = 2K + 3L
c) Y = 3KL
d) Y = 2 K 1/4 L1/2
e) Y = 0,5 K 1/2 L3/4
48
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos 7e 8. Tecnologia e Maximização de lucros
f) f (K,L) = (K+L)2
g) f (K,L) = 2K2 + 3L2
h) f (K,L) = (KL) 0,5 
i) f(K,L) = 3K/L + L2
j) f(K,L) = KL –K-1/2
Solução
a) 0,5K(k) * L(k) = 0,5 K L . k2 > Q*k = (0,5 K L). k para todo k > 0, ou seja,
há rendimentos crescentes a escala.
b) 2Kk + 3Lk = k (2K + 3L) = k Q, ou seja, há rendimentos constantes a
escala.
c) 3K(k) * L(k) = 3KL * k2 > kQ = 3KL . k para todo k > 0, ou seja, há
rendimentos crescentes a escala.
d) 2 (kK)1/4 * (kL)1/2 = 2 K 1/4 L 1/2 * k ½ + ¼ = Q k ¾ < kQ, logo ha rendimentos
decrescentes a escala.
e) 2 (kK)1/4 * (kL)3/4 = 2 K 1/4 L 3/4 * k 5/4 = Q k 5/4 > k Q, logo há rendimentos
crescentes a escala.
f) K2 k2 + 2 KL (k2) + Lk2 = (K+L)2 k2 = Q k2 > Qk, logo há rendimentos
crescentes a escala.
g) 2K2k2 + 3L2k2 = (2K2 + 3L2) k2 = Q k2 > Qk, logo há rendimentos crescentes
a escala.
h) = (KL) 0,5 = K 0,5 k 0,5 L 0,5 k 0,5 = (KL) 0,5 k = Qk, logo há rendimentos
constantes a escala.
i)
0)();1(0)1(;0;0
0//)()1(3
0//33
33),(),(
3),(
3)(3),(
2
22
222
222
2
222
>−>→−<−>>
=><−+−=
=><−+−=





 +−+=−
+=
+=+=
tttselembretLk
ttLt
L
K
tLLt
L
K
t
L
K
tL
L
K
tLt
L
K
LKtftLtKf
tl
L
K
tLKtf
Lt
L
K
tL
tL
tK
tLtKf
)1(
)(
//
.
3
2
2 t
tt
LL
K
−
−
−=><
→
−
−
−>
)1(
)(
3
2
3 t
tt
L
K
Retornos crescentes
→
−
−
−=
)1(
)(
3
2
3 t
tt
L
K
Retornos constantes
→
−
−
−<
)1(
)(
3
2
3 t
tt
L
K
Retornos decrescentes
Neste caso, há diferentes tipos de rendimentos de escala segundo o nível de
produção.
)()(
),(),(
),(
),(
2/12/12
2/12/12/12
2/1
2/12/1
ttKttKL
tKKttKLKLtLKtftLtKf
tKtKLLKtf
KttKtLtLtKf
−+−=
+−−=−
−=
−=
)()( 2/12/12 ttKttKL −+− >/</=0
Então:
→>−+− 0)()( 2/12/12 ttKttKL Rendimentos crescentes
19. Por que a hipótese de produto marginal decrescente não pode ser aplicada ao
longo prazo?
Solução
Porque no longo prazo todos os fatores de produção são variáveis. Sendo assim, a lei
de rendimentos marginais decrescentes não acontece. 
49
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos 7e 8. Tecnologia e Maximização de lucros
20. Suponha que um fabricante de bicicletas esteja produzindo no CP e que o
equipamento seja permanente. O fabricante sabe que à medida que o número de
funcionários utilizados no processo produtivo aumenta de 1 para 7, o número de
bicicletas produzidas varia da seguinte forma: 10, 17, 22, 25, 26, 25, 23.
a) Calcule o produto marginal e o produto médio da mão de obra para esta
função de produção.
b) Esta função de produção apresenta rendimentos crescentes, decrescentes ou
constantes de escala? Explique o porque
c) Explique, de forma intuitiva, qual poderia ser a razão de o produto marginal
se tornar negativo.
Solução
a)
Mão-de-obra Produção Total PMg Pme
1 10 10 10
2 17 7 8,5
3 22 5 7,33
4 25 3 6,25
5 26 1 5,2
6 25 -1 4,17
7 23 -2 3,29
b) Rendimentos de escala ocorrem quando aumentamos a quantidade
de todos os insumos da função de produção, e o caso em questão refere-se
ao curto prazo, em que há algum fator fixo, o equipamento, logo não se
pode falar em rendimentos de escala.
c) Ao aumentar o nº de funcionários mantendo fixo o equipamento,
um funcionário a mais dificultará o trabalho dos demais, proporcionando
um PMg negativo. 
21. Sobre a teoria da firma podemos afirmar que:
a) Uma forma de descrever as restrições tecnológicas da firma é a través das
isoquantas.
b) Geralmente, assume-se que as isoquantas são côncavas e monotônicas.
c) A TMST mede a inclinação da isoquanta. Em geral, assumimos que a
TMST cresce quando nos movemos ao longo da isoquanta, aumentando a
quantidade do insumo que está sendo representado no eixo X.
d) Se uma firma apresenta retornos constantes de escala, então, no longo
prazo, seu lucro será positivo.
e) Se p*PMG > w, então a firma aumentará seus lucros diminuindo a
quantidade utilizada de insumo.
Solução
a) Verdadeiro.
b) Falso. A monotonicidade (se aumentarmos a quantidade de pelo menos um
dos insumos, deverá ser possível produzir pelo menos a mesma quantidade
produzida originalmente) e a convexidade (se tivermos duas formas de
produzir y unidades de produto, (x1,x2) e (z1,z2), a média ponderada dessas
duas formas produzirá, pelo menos, y unidades do produto) são
propriedades das isoquantas.
c) Falso. A inclinação de uma isoquanta tem de diminuir em valor absoluto à
medida que há um movimento ao longo da isoquanta na direção do
aumento do x – pressuposto a TMST decrescente.
d) Falso. Seu lucro será zero.
e) Falso. A firma aumentará suas receitas aumentando a quantidade utilizada
de x, uma vez que o valor do produto marginal do fator excede o seu custo.
22. Responda:
a) O que é uma função de produção?
b) Como uma função de produção de longo prazo difere de uma função de
produção no curto prazo?
c) O que é uma isoquanta?
d) O que nos diz a “Lei dos Rendimentos Decrescentes”?
Solução
a) Uma função que relaciona insumos com produto.
b) No longo prazo todos os insumos são variáveis. Não existem mais
rendimentos marginais decrescentes e a firma se defronta com produção
crescente, constante ou decrescente a escala.
c) Uma função que representa as infinitas formas em que podem combinar-se
os insumos para obter um determinado nível de produção.
d) Quando um fator é fixo, o incremento de uso do fator variável levará a
incrementos de produção cada vez menores, podendo ser inclusive
negativos (a produção pode reduzir-se se, a partir de um determinado nível
de produção, continua-se aumentando o insumo variável).
50
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulos 7e 8. Tecnologia e Maximização de lucros
23. Uma firma utiliza dois insumos no seu processo de produção: x e y. Se a taxa
marginal de substituição técnica entre os dois insumos é –2 e a firma deseja produzir
o mesmo montante de produto mas com menos do insumo x, qual a mudança que
deve fazer na quantidade do insumo y?
Solução
2, −=
∆
∆
=
x
y
yTMSTx
Para continuar a produzir o mesmo montante, para cada unidade a menos do insumo 
x, será necessário duas a mais do insumo y.
24. Sobre a teoria da produção podemos afirmar que:
(a) A função de produçãodescreve a produção máxima que uma firma pode obter
para cada combinação de insumos e custo.
(b) A isoquanta é uma curva que representa as combinações de insumos que
representam o mesmo custo de produção.
(c) De acordo com a “Lei dos rendimentos decrescentes, quando um ou mais
insumos são fixos, o insumo variável, provavelmente, apresentará um produto
marginal crescente a medida que o nível de produção aumentar.
(d) A função de produção de uma firma pode ser representada por uma série de
isoquantas associadas a diferentes níveis de produção.
Solução
a) Verdadeiro.
b) Falso. São combinações de insumos que representam o mesmo nível de
produção.
c) Falso. O insumo variável apresentará um produto marginal decrescente à
medida que a produção aumentar.
d) Verdadeiro. No caso de dois insumos variáveis.
51
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 9. Minimização de custos
CAPITULO 9
MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS
1. Um bem pode ser produzido utilizando-se o insumo a ou o insumo b, sendo que,
na situação retratada: Pmg (a) = 3; pa = $1; Pmg (b) = 6; pb = $4. A firma está
utilizando as combinações de a e b que minimizam custos? Se não estiver, o que ela
deveria fazer? 
Solução
Pmg(a)=3; pa=1; Pmg(b)=6; pb=4
b
a
b
a
a
b
p
p
Pmg
Pmg
x
x
==
∆
∆
 
4
1
6
3
≠
Não esta minimizando custo, para minimizar custos seria preciso aumentar a
quantidade do insumo a e diminuir a quantidade do insumo b, para ficar no mesmo
nível de produção na proporção de 
4
1
.
2. A função de produção de um determinado produto é dada pela expressão Y = 100
KL. Sendo o custo do capital $ 120 por dia e o da mão-de-obra $30 por dia, diga
qual será o custo mínimo de produção para 10.000 unidades de produto,
especificando como ele se reparte na aquisição dos dois fatores. Em seguida,
considere que, no curto prazo, a quantidade utilizada do fator capital é dada
(constante) e igual a 2. Identifique o custo total nesta nova situação, especificando
como ele se reparte entre os dois fatores e compare o resultado com o da situação
anterior. 
Solução
Procedimento A: iguala as produtividades marginais a relação de preço dos fatores.
Procedimento B: minimizo a função de custos com relação a restrição da função de
produção. 
Procedimento A:
y= 100KL r= 120 w=30 y=10000.
C=Lw + Kr
w
r
Pmg
Pmg
L
K = PmgK=100L PmgL=100K
30
120
100
100
=
K
L
 L=4K Substituindo em y=100KL
10000= 100K(4K) 4K2=100 K= 25 K=5
L=4(5)=20 C=20.30+5.120=1200
Curto Prazo; K=2
10000=100KL 10000=100(2)L L=50
C=50.30+120.2=1740
Como agora o produtor só pode variar um dos fatores de produção, ele vai ter custos
maiores para o mesmo nível de produção.
Procedimento B:
Y=100KL r=120 w=30 y=10000
10000=100KL K=
L
100
 L=
K
100
 
C=wL+
L
100
.r C=30L+12000L-1
0
L
12000
30
dL
dC
2
=−= 30L2=12000 L2=400 L=20
C=
K
100
.w+ K.r C=3000K-1+120K
0120
K
3000
dK
dC
2
=+
−
= 120K2=3000 K2=25 K=5
C=L.w+K.r C=20.30+5.120=1200
Curto Prazo
K=2
L=
K
100
= 50
2
100
= C=L.w+K.r C=50.30+2.120=1740
3. Uma firma tem função de produção dada por f(x1, x2) = x1 + 2x2 . Se o preço do
fator 1 é w1 = 1 e do fator 2 é w2 = 3, qual será a combinação de x1 e x2 capaz de
minimizar o custo de produção para que a quantidade de produto seja f(x1, x2) = 20?
Solução
52
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 9. Minimização de custos
Como os dois fatores são substitutos perfeitos a empresa utilizará o fator mais
barato, mas TTS = -1/2, ou seja x2 =1/2x1
- Se só utilizar o fator x1 na produção, então:
y = x1; y =20; x1 = 20
- Se só utilizar o fator x2 na produção, então:
y = 2x2; y =20; x2 = 10
c(w1,w2,y) = min.{w1, 1/2w2}y 
c(1;3;20) = min.{1, 1,5}20 = min.{20, 30}=20
A combinação que minimizará o custo é (x1,x2) = (20;0).
4. A função de produção de uma empresa é dada por Q = 2K0,5L0,5, onde Q é o nível
de produção e K e L são as quantidades de dois insumos. Tais insumos são
comprados competitivamente aos preços r = 8 e w = 2, respectivamente para K e L.
Calcule a quantidade de L que minimiza os custos de se produzir Q=64.
Solução
Procedimento A: iguala as produtividades marginais a relação de preço dos fatores.
Procedimento B: minimizo a função de custos com relação a restrição da função de
produção. 
Procedimento A:
Q=2K0,5L0,5 r=8 w=2 Q=64
PmgK=
5,0L
K2
1
.2 PmgL=
5,0K.
L2
1
.2
w
r
Pmg
Pmg
L
K = 
K
L
LK
KL
Pmg
Pmg
5,05,0
5,05,0
L
K ==
−
−
=
w
r
2
8
K
L
= L=4K K = 
4
L
 Q=2K0,5L0,5
64=2 5,0
5,0
L.
4
L






 64=2. 5,0
5,0
L.
2
L L=64
Procedimento B:
Q=2K0,5L0,5 r=8 w=2 Q=64
32=2K0,5L0,5 1024=K.L K=
L
1024
 C=L.w+K.r
C=2L+
L
1024
.8 




−=
2L
1024
.82
dL
dC
=0 2L2=8.1024
L2=4096 L=64
5. Uma firma possui a seguinte função de produção f(x1,x2) = x1
1/3 x2
1/3. Se a firma
vai produzir y unidades de produto ao menor custo possível, quais as expressões que
representam as quantidades dos insumo x1 e x2 utilizadas ? Qual a expressão que
representa o custo que a firma possui ao produzir y unidades do produto aos preços
dos fatores w1 e w2?
Solução
f(x1,x2)= 3
1
23
1
1 xx y3=x1x2 x1=
2
3
x
y
C=x1w1+x2w2 C= 2
3
x
y
 w1+x2w2 
0ww.
x
y
dx
dC
212
2
3
2
=+−=
1
3
2
2
2 w.yw.x = 
2
1
3
2 w
wy
x = 
2
1
2 w
yw
yx =
x2= 1
3
x
y
 C= x1w1+ 1
3
x
y
w2 
0. 22
1
3
1
1
=−= w
x
y
w
dx
dC
 
x1
2.w1=y3.w2 x1=
1
2
3
w
wy
 x1=y
1
2
w
yw
C= x1w1+x2w2
C=w1 y
1
2
w
yw
+w2.y
2
1
w
yw
 C=y
2
2
212
1
1
2 .
.
w
wyw
yw
w
yw
+
C=2y 21wyw
53
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 9. Minimização de custos
6. Seja a função de produção f (x) = x2, onde x é a quantidade do insumo utilizado.
Esta função apresenta retornos crescentes, decrescentes ou constantes de escala? Se
o preço do insumo é w por unidade, qual é o custo de se produzir y unidades com
esta tecnologia? Qual é o custo médio? Qual é a relação existente entre retornos de
escala da função produção e o custo médio?
Solução
f(x)=x2. Retornos crescentes de escala, se varia x de 2 para 4 o y vai variar de 4 para
16, o insumo foi dobrado e o produto mais que dobrou.
Custo total =wx; custo médio=
y
wx
Onde os retornos de escala da função produção são crescentes o custo médio é
decrescente, onde são constantes o custo médio é constante, e onde são decrescentes
o custo médio é decrescente.
7. Uma empresa sub-contratada do setor automobilístico deve produzir 100 unidades
de um determinado componente a cada mês, tendo suas possibilidades de produção
definidas pela função; Q = L3/5K1/5. O salário pago aos trabalhadores é de R$ 4 por
hora e o custo do fator capital é de R$ 5 por hora. Com base nestas informações,
identifique o tipo de função de produção (em termos de rendimentos de escala) e a
relação entre L e K que serão efetivamente adquiridos. Em seguida, identifique o
valor de K e L que será utilizado de maneira a minimizar o custo total da produção
de 100 unidades do componente.
Solução
Procedimento A: iguala as produtividades marginais a relação de preço dos fatores.
y=100 Q= 5
1
5
3
KL
 w=4 r=5
Rendimentos de escala= 1
5
4
5
1
5
3
<=+ rendimentos decrescentes.
PmgL= 5
1
5
2
KL
5
3
−
 PmgK= 5
4
5
3
KL
5
1
−
 
w
r
Pmg
Pmg
L
K =
4
5
K3
L
= L=
4
K15
 y=100 Q= 5
1
5
3
KL
 
100= 5
1
5
3
KL
 Substituindo temos: 100= 5
1
5
3
K
4
K15






K=117,3 e substituindo em L=
4
K15
 temos L=440.
Procedimento B: minimizo a função de custos com relação a restrição da função de
produção. 
y=100 Q= 5
1
5
3
KL
 w=4 r=5
K=
3
5
L
y
 L=
31
3
5
K
y
 C=wL+Kr
C=w.L+
3
5
L
y
r 0
L
)100(15
4
dL
dC
4
5
=−=
4L4=15(100)5 L= 056,440
4
)100(154
5
=
C=wL+Kr C=w
3
1
3
5
K
y
+Kr 5
K
)100(
3
4
dK
dC
3
4
3
5
+
−
=
3
4
3
5
K5)100(
3
4
= 45 K125)100(
27
64
= K= 348,117
125.27
)100(644
5
=
8. Dada uma função de produção Y = 10 k 1/4 L3/4 , onde Y é a quantidade do produto
obtido, e K e L as quantidades dos fatores capital e mão de obra. Sendo dados r e w,
respectivamente, os preços dos fatores capital e trabalho, determine a relação entre
as quantidades dos dois fatores que serão efetivamente adquiridos. Determine
também o nível de produção a ser realizado e o custo total de longo prazo quando L
=9, sendo r = 27 e w = 256.
Solução
Procedimento A: iguala as produtividades marginais a relação de preço dos fatores:
54
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 9. Minimização de custos
y=10 4
3
4
1
LK
 PmgK= 4
3
4
3
LK
4
10
−
 PmgL= 4
1
4
1
LK
4
3.10
−
w
r
K3
L
LK
4
3.10
LK
4
10
Pmg
Pmg
4
1
4
1
4
3
4
3
L
K ===
−
−
 L=
w
Kr3
 K=
r3
Lw
w=256 r=27 L=9
Y=10. 4
3
4
1
L.
r3
Lw






 Y4=104 r3
w.L.L3
 Y4=104 r3
wL4
Y=10L 4
r3
w
 Y=10.9 120
81
256
4 =
C=Kr+Lw= 3072256.927.
9
256
=+
Procedimento B: minimizo a função de custos com relação a restrição da função de
produção. 
y=10 4
3
4
1
LK
 y4=(10)4KL3 K= 34
4
)10( L
y
 L=
3
1
3
4
3
4
)10( K
y
C=Lw+r 34
4
)10( L
y
 
dL
dC
=w 0
L)10(
ry3
44
4
=
−
 L4= 
w)10(
ry3
4
4
Y4=
r
wL
3
)10( 44
 y=10L 4
3r
w
9. Uma firma tem a seguinte função de produção Q(K,L) = 2(KL) 1/2 e está utilizando
8 unidades de trabalho (L) e 2 unidades de capital (K). Se esta é a composição ótima
dos insumos e o custo total é igual a R$ 16, quais são os preços do trabalho e do
capital ?
Solução
Q(K,L)=2 2
1
2
1
LK
 L=8 K=2 C=16
w
r
Pmg
Pmg
L
K = PmgK= 2
1
2
1
LK
−
 PmgL= 2
1
2
1
LK
−
w
r
K
L
Pmg
Pmg
L
K == 4=
w
r
 r=4w=4.1=4
C=Lw + Kr
C=Lw+K4w
16=8w+2.4w w=1
10. Touchie MacFeelie publica histórias em quadrinhos. Os únicos insumos de que
necessita são velhas piadas e cartunistas. Sua função de produção é:
Q = 0,1 J1/2L3/4,
onde J é o número utilizado de velhas piadas, L o número de horas de trabalho dos
cartunistas, sendo J e L os insumos e Q o número produzido de revistas em
quadrinhos.
(a) Este processo de produção indica rendimentos de escala crescentes,
decrescentes ou constantes? Explique sua resposta.
(b) Se for 100 o número de velhas piadas utilizadas, escreva a expressão do
produto marginal do trabalho dos cartunistas como uma função de L
(c) O produto marginal do trabalho é crescente ou decrescente à medida que a
quantidade de trabalho aumenta? 
Solução
(a)
QttLtJtJtLQ
LJttQ
4/54/32/1
4/32/1
)()(1,0),(
1,0*
==
=
→> tQQt 4/5 Rendimentos de escala crescentes, se dobrarmos a quantidade
dos insumos, a produção mais que duplicará (t = 2, 25/4Q > 2Q , 2,38Q>2Q).
(b)
4/1
4/3
4/32/1
4
3
)100,(
.)100(1,0)100,(
−=
=
=
LPMg
LLf
LLf
L
55
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 9. Minimização de custos
(c) →<−=




−=
∂
∂ −− 0
16
3
4
3
4
1 4/54/5
2
2
LL
L
Q
PMgL é decrescente.
11. Touchie pede a seu irmão, Sir Francis MacFeelie, que estude e analise o quadro 
de longo prazo. Sir Francis, que já havia se detido com grande atenção no apêndice 
ao Capítulo 19 em nosso texto, preparou o seguinte relatório.
a) Se todos os insumos forem variáveis e se as velhas piadas custam
US$ 1 cada uma e o trabalho dos cartunistas custa US$ 2 por hora, a maneira
mais barata de produzir exatamente uma revista em quadrinhos é utilizar _____
piadas e _____ horas de trabalho. (Piadas fracionadas são aceitáveis.).
b) Isto custaria __________ dólares.
c) Dada a nossa função de produção, as proporções de utilização de
piadas e horas de trabalho da soluções mais barata se mantêm a mesma, não
importa quantas revistas em quadrinhos nós imprimimos. Mas, quando
dobramos a quantidade de ambos os insumos, o número produzido de revistas
em quadrinhos se multiplica por _____________________.
Solução
a)
L
J
L
J
LJ
JL
PMg
PMg
TMST
JLPMg
LJPMg
J
L
L
J
2
32,0
3
2
1,0
4
3
1,0
4
3
*1,0
2
1,0
4/32/1
2/14/1
2/14/1
4/32/1
====
=
=
−
−
−
−
Minimização de custos:
JL
L
J
w
w
PMg
PMg
w
w
TMST
J
L 3;
1
2
2
3
;;
2
1
2
1 ====
Para a produção de uma revista (Q = 1):
4/54/3
4/34/32/1
4/32/1
4/32/1
3*1,01
)(3.1,01
)3(1,01
1,0
J
JJ
JJ
LJQ
=
=
=
=
9,78L
26,3
3*1,0
1
4/3
4/5
=
=
=
J
J
b) c(w1,w2,y) = Jw1 + Lw2
c(2;1;1) =3,26*2 + 9,78*1= 16,3
c) f(tL,tK) = t 5/4Q
t = 2
f(2L,2K) = 2 5/4Q =2,38 Q
Resp.: 2,38
12. Assuma que uma firma produz 90 unidades de determinado produto utilizando 9
unidades do fator L e 9 unidades do fator K. As possibilidades tecnológicas da
produção podem ser expressas pela função de produção Q = 10 L1/2K1/2 . A partir
destas informações, responda aos seguintes itens: 
a) Se o preço de L é $ 8 e o preço de K é 16, a combinação de 9 unidades de L com
9 unidades de K é a maneira mais eficiente de produzir 90 unidades de produto?
Justifique sua resposta.
b) Qual é a combinação dos preço de fatores que torna a combinação de insumos
anteriormente mencionada uma combinação eficiente? 
c) Assumindo que o preço de L é $ 1 e que o preço de K é $2, identifique o menor
custo de produção associado à produção de 400 unidades de produto. 
d) Identifique uma expressão para o custo total (CT = f(Q)) a partir dos dados do
problema. 
Solução
y=90 L=9 K=9 Q=10 2
1
2
1
KL
a)PmgK=5 2
1
2
1
LK
−
 PmgL=5 2
1
2
1
LK
−
=
K
L
Pmg
Pmg
r
w
L
K
= 
16
8
9
9
≠ nao é eficiente.
56
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 9. Minimização de custos
b)
r
w
9
9
= w=r
c)w=1 r=2 y=400 Q(K,L)=10 2
1
2
1
LK
 
=
K
L
Pmg
Pmg
r
w
 
2
1
L
K
= L=2K
Substituindo na função produção:
400=2 KK 2 400=10K 2 K=
2
40
 
e) Q=10 2
1
2
1
KL
 Q2=(10)2LK K=
L10
Q
2
2
 L=
K10
Q
2
2
)(
C=Lw+Kr C=w
K
Q
2
2
)10(
+Kr 0
)10( 22
2
=+−= r
K
wQ
dK
dC
K2= 2
2
10r
Qw
)(
.
 K=
r
w
10
Q
 Denominador elevado ao quadrado na derivada
(100 K)2 
Repetindo o mesmo procedimento para L achamos L= 
w
rQ
10
CT=f(q) CT=w. 
w
rQ
10
+r. 
r
wQ
10
 CT= rw
Q
2
10
 CT= rw
Q
5
13. Uma firma tem função de produção 3/1
2
2/1
121 ),( xxxxf = . Os preços unitários
dos insumos são 2 e 3 21 == ww . Achar as funções de custos de longo e curtos
prazos (se 21 ou xx são constantes e iguais a 1). 
Solução
2
3
2
1
3/1
2
2/1
1
2211
=
=
=
+=
w
w
xxy
xwxwc
No curto prazo:
3/12/1
1
3/1
2
2/1
1
3/1
2
2/1
1
2211
222
1.
;1
xy
xxy
xxy
xwxwc
xxx
=
=
=
+=
==
→= 2
1 yx este é o mínimo do fator x1 para produzir cada unidade de produto, para
x2 = 1. Substituindo 21 yx = na função de custos:
23 2
2211
+=
+=
yc
xwxwc
No longo prazo:
2/3
1
3
3
2/1
1
2
21
3/1
2
2/1
1
2211
2;3
x
y
x
y
x
ww
xxy
xwxwc
=







=
==
=
+=
Substituindo x2 na função de custos:
=+=







+=








+=
− 2/3
1
3
12/3
1
3
1
2/3
1
3
211
2323 xyx
x
y
xc
x
y
wxwc
Minimização de custos:
57
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 9. Minimização de custos
( )
5/6
5/9
3
2/35/6
3
2/3
1
3
2
5/6
1
2/53
11
033;0 1
y
y
y
y
y
x
y
x
yx
xy
x
c
x
c
====
=
=−=
∂
∂
=
∂
∂ −
Substituindo x1 e x2 na função de custos, temos:
5/65/65/6
2211
523 yyyc
xwxwc
=+=
+=
Para:
2
3
2
1
=
=
w
w
14. Admita que uma função de produção de determinada firma pode ser representadapor Q = LK. Suponha que o custo total associado à contratação dos dois fatores é de
dez mil reais mensais. O preço unitário do fator trabalho é quinhentos reais e o do
fator capital mil reais. A fim de maximizar os seus resultados, quantas unidades ela
contratará de cada fator? 
Solução
Q=L.K C=10000 w=500 r=1000
10000=500L+1000K
20=L+2K 
r
w
Pmg
Pmg
K
L = 
2
1
L
K
= L=2K
20=2K+2K K=5 L=10
15. Seja a função de produção f(K,L) = 10K2 + L2, onde L é um insumo fixo. O
preço do produto foi normalizado em 1,00 e o preço do capital (K) é r.
a) Ache a função de demanda por fator, maximizando o lucro dessa firma.
b) Obtenha a função lucro.
c) Mostre que ao derivar a função lucro encontrada no item b com respeito a r,
obtemos a função de demanda pelo insumo K obtida no item a.
Solução
a)
rK
rLKPMgp K
=
=
*)20(1
)*,(.
; →=
20
*
r
K função de demanda do fator K
b)
)(
40
2040
20400
10
20
)
400
10(1
*)10(
*
2
222
22
2
22
22
wLL
r
LwL
rr
Lw
r
L
r
Lwr
r
L
r
LwrKLKp
LwrKpy
−+−=
−+−=
−−+=
−−+=
−−+=
−−=
π
π
π
π
π
π
c) 
2040
2 rr
r
−=
−
=
∂
∂π
16- Suponha a seguinte função de produção: Q = 100 KL. Sendo o custo do capital
R$ 120,00 por dia, e o da mão-de-obra de R$ 30,00 por dia, qual é o custo mínimo
de produção para 1.000 unidades de produto?
Solução
Procedimento A:
y= 100KL r= 120 w=30 y=1000
C=Lw + Kr
w
r
Pmg
Pmg
L
K = PmgK=100L PmgL=100K
30
120
K100
L100
= L=4K Substituindo em y=100KL
1000= 100K(4K) 4K2=10 K= 5,2 K=1,58
L=4( 5,2 )=6,32 
C=120 5,2 +30*4 5,2 =240 5,2 =379,2
Procedimento B:
58
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 9. Minimização de custos
Y=100KL r=120 w=30 y=1000
1000=100KL K=
L
10
 L=
K
10
 
C=wL+
L
10
.r C=30L+1200L-1
0
1200
30
2
=−=
LdL
dC
 30L2=1200 L2=40 L=6,32
C=
K
10
.w+ K.r C=300K-1+120K
0120
300
2
=+
−
=
KdK
dC
 120K2=300 K2=2,5 K=1,58
C=L.w+K.r 
C=120*1,58+30*6,32=379,2
59
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 10. Curvas de custo
CAPITULO 10.
CURVAS DE CUSTO
1. Uma firma tem a função de custo total C (y) = 100 + 10 y. Achar as
equações para suas várias curvas de custo. 
Solução
C(y)= 100 + 10y
CMg= C’(y)= 10
Cme= 100 + 10y = 100 + 10
 Y y 
CFMe= 100
 Y
CF= 100
CV= 10Y
CVMe=10=CMg
2. O Sr. Otto Carr, dono da Otto´s Autos, vende carros. Otto compra carros
por US$ c cada um e não tem quaisquer outros custos.
(a) Qual é o seu custo total quando ele vende 10 carros? 
(b) E se ele vende 20 carros?
(c) Enuncie a equação dos custos totais da Otto´s, admitindo que o Sr. Otto
venda y carros. 
(d) Qual é a função de custo médio da Otto´s ?.
(e) Para cada carro adicional que o Sr. Otto vende, de quanto aumenta seu
custo? 
(f) Enuncie a função de custo marginal da Otto`s 
(g) No gráfico abaixo trace as curvas de custo médio e marginal da Otto´s se c
= 20.
CM, CMg
Y
Solução
 a) C(y)= cY , onde: C(10)= 10c
b) C(20)= 20c
c) C(y)= Yc
d) CMe= Yc = c
 Y
e) Em c.
f) CMg= C’(Y)= c
g)
 
 CMe
 CMg
 20 CMe=CMg
 
 
 Y
3. Suponha que o Sr. Otto tenha que pagar US$ b por terríveis comerciais de
televisão. 
(a) Qual a nova curva de custo total da Otto´s
(b) Qual a nova curva de custo médio
(c) Qual a nova curva de custo marginal
(d) Se b = US$ 100, utilize tinta vermelha para traçar a curva de custo
médio da Otto´s no gráfico acima.
Solução
a) C(Y)= Yc + b
b) Cme= c + b/y
c) CMg= c
d) Cme(10)=30; Cme(20)=25;Cme(30)=23; Cme(40)=22.5
40
30
20
10
60
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 10. Curvas de custo
21
22
23
24
25
26
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Y
C
m
e
4. O irmão do Sr. Otto, Dent Carr, está no negócio de mecânica de automóveis.
Dent, recentemente, parou para calcular suas condições de custo. Chegou à
conclusão que o custo total de conserto de s caros é CT (s) = 2s2 + 10. Acabou,
porém, não terminando seu trabalho e é aí que você entra em cena. Por favor,
complete o seguinte:
(a) Custos Variáveis Totais de Dent:
(b) Custos Fixos Totais
(c) Custos Variáveis Médios
(d) Custos Fixos Médios
(e) Custos Marginais
Solução
a) CVT(s)= 2s²
b) CFT(s)=10
c) CVMe(s)=2s 
 
d) CFMe(s)= 10/s
e) CMg(s)= 4s
5. Um terceiro irmão, Rex Carr, possui um ferro velho. Rex pode usar apenas
dois métodos para destruir carros. O primeiro implica a aquisição de um esmagador
hidráulico de carros que custa US$ 200 por ano na compra e, depois, US$ 1 por cada
carro esmagado até o desaparecimento. Já o segundo método implica a aquisição de
uma pá que terá a duração de um ano e custa US$ 10, além de pagar ao último dos
irmãos Carr, de nome Scoop, para enterrar os carros a um custo de US$ 5 cada um.
(a) Escreva as funções de custo total para os dois métodos, onde y é a produção por
ano (CT1 (y); CT2 (y)).
(b) Calcule a função de custo médio e a função de custo marginal para o primeiro e
para o segundo método respectivamente. 
(c) Se Rex arrebenta 40 carros por ano, qual método deveria usar? 
(d) Se Rex arrebenta 50 carros por ano, qual método deveria usar?
(e) Qual é o número mínimo de carros por ano a partir do qual vale a pena ele
adquirir o esmagador hidráulico?
Solução
a) Método 1: CT(y) = Y + 200
Método 2: CT(y)= 5Y + 10
b) CMe1: 1 + 200/Y CMg1: 1
CMe2: 5 + 10/Y CMg2: 5
c) CMe1(40)= 1+ 200/40= 6
 CMe2(40)= 5+ 10/40= 5.25 , logo o método 2 é preferido.
d) Cme1(50)= 1 + 200/50= 5
 Cme2(50)= 5 + 10/50= 5.2, logo o método 1 é preferido.
e) Iguala as funções CMe1=CMe2
 1 + 200/Y =5 +10/Y
 4y > 190
 y> 47,5
6. Mary Magnolia quer abrir uma loja de flores, com o nome de The Petal
Pusher, em um novo shopping. Ela tem a opção de três tamanhos diferentes de
loja: 200 pés quadrados (N.T. – Um pé quadrado é uma medida de superfície
próxima a 1/10 de metro quadrado.), 500 pés quadrados e 1000 pés quadrados.
O aluguel mensal será de US$ 1 por pé quadrado. Mary estima que se ela tiver
F pés quadrados de espaço e vender y buquês por mês, seus custos variáveis
serão cv (y) = y2 / F por mês.
(a) Se ela tiver 200 pés quadrados de espaço comercial, escreva sua 
função de custo marginal e sua função de custo médio.
(b) Qual é a quantidade de produto que minimiza o seu custo médio?
(c) E, com este nível de produção, de quanto é o custo médio de Mary
Magnolia? 
61
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 10. Curvas de custo
Solução
CT= Y²/200 + 200
 a) CMg(y) = C’(y)= 2 y = y/100
 200
b) Cme(y)= y ² /200 + 200/Y= y/200 +200/Y
 Y
 Y= 200 Buquês.
c) 2
7. Se Mary Magnolia tiver 500 pés quadrados de espaço comercial, escreva 
sua função de custo marginal e sua função de custo médio.
(a) Qual é a quantidade de produto que minimiza o seu custo médio? 
(b) Com este nível de produção, de quanto é o custo médio de Mary 
Magnolia? 
Solução
CT= Y²/500 + 500
CMg(y) = C’(y)= 2y/500= y/250
Cme(y)= Y/500 + 500/y=
y
y
500
50022 +
a) Cmg(y) =Cme(y)
500
500
500
250
22
=
+
=
y
y
yy
b) Cme(500)=2
8. Se ela tiver 1000 pés quadrados de espaço comercial, escreva sua função de
custo marginal e sua função de custo médio.
(a) Qual é a quantidade de produto que minimiza o seu custo médio?
(b) Com este nível de produção, de quanto é o custo médio de Mary Magnolia?
Solução
CT= Y²/1000 + 1000
CMg(y) = C’(y)= 2y/1000= y/500
Cme(y)= Y/1000 + 1000/y=
y
y
1000
100022 +
a) Cmg(y) =Cme(y)
1000
1000
1000
500
22
=
+
=
y
y
yy
b) Cme(1000)=2
9. Use tinta vermelha para indicar a curva de custo médio de Mary e sua curva
de custo marginal casoela tenha 200 pés quadrados de espaço comercial. Use 
tinta azul para indicar a curva de custo médio de Mary e sua curva de custo 
marginal caso ela tenha 500 pés quadrados de espaço comercial. E use tinta 
preta para indicar a curva de custo médio de Mary e sua curva de custo 
marginal caso ela tenha 1000 pés quadrados de espaço comercial. Chame de 
CM estas curvas de custo médio e de CMg as de custo marginal.
Solução
 
 CMe
200
 
 200 500 1000 y 
Use um marcador amarelo para mostrar a curva de custo médio de longo prazo de
Mary e sua curva de custo marginal de longo prazo no gráfico. Chame estas curvas
de CMLP e CMgLP.
Para tamanhos discretos de planta, a curva de custos médios de longo prazo é a 
envolvente para cada tamanho discreto de planta.
62
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 10. Curvas de custo
 CMe
 
 200 
 Y 
10. O irascível gerente do negócio de Touchie, o Sr. Gander MacGrope,
anuncia que paga US$ 1 por cada velha piada e que a taxa de salário (hora
trabalhada) correspondente aos cartunistas é US$ 2. 
Q= 0.1J½. L¾
(a) Suponha que, no curto prazo, Touchie tenha que trabalhar com
exatamente 100 velhas piadas (pelas quais ele paga US$ 1 cada uma), mas que
possa contratar tanto trabalho dos cartunistas quanto queira. Quantas horas de
trabalho ele teria que contratar para produzir Q revistas em quadrinhos? 
(b) Enuncie o custo total de curto prazo de Touchie como uma função
de sua quantidade produzida.
(c) Qual sua função de custo marginal de curto prazo?
(d) Qual sua função de custo médio de curto prazo?
Solução
a) 
3/4
4/34/3
:Re
;1001,0
QLsp
LLQCP
=
==→
 
b)
100)(
)(
3/4 −−=
−−=
QQQCT
JrLwpQQCT
 
c) 3/1
4
3
1)( QQCMg −=
d) 
Q
Q
Q
QQ
QCMe
100
1
100
)( 3/1
3/4
−−=
−−
=
11. Considere a função de custo c(y) = 4y2 + 16.
(a) Qual é função de custo médio?
(b) Qual é a função de custo marginal?
(c) Qual o nível de produção que gera o menor custo médio de produção?
(d) Qual é a função de custo variável médio?
(e) Em que nível de produção o custo variável médio é igual ao custo marginal? 
Solução
a)
y
yyCMe
16
4)( +=
b) yyCMg 8)( =
c)
2
8
16
4
)()(
=
=+
=
y
y
y
y
yCMgyCMe
; yyCVMe 4)( = ; 
0
84
)()(
=
=
=
y
yy
yCMgyCVMe
12. Desenhe o gráfico das seguintes funções de curto-prazo: custo total, custo
variável, custo fixo, custo médio total, custo variável médio e custo marginal
da função de produção Q = 3KL, onde K é fixo, igual a 2 unidades e representa
a quantidade de capital, r = 3 e w = 2, com r indicando a remuneração do
capital e w o custo do trabalho.
Solução
K = 2, então Q = 6L, L = Q/6 (1)
rKwLQCT +=)(
62)( += LQCT (2)
Como ),,( Qrwc , então substituiremos (1) em (2):
63
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 10. Curvas de custo
3
136
3
16
3)(
6)(;
3
)(
6
3
6
6
2)(
==+=
+
=
==
+=+=
Q
Q
QQ
Q
QCMe
QCF
Q
QCV
QQ
QCT
3
1
)( =QCMg
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4
Q
C
T
, C
V
, C
F
, C
M
e
, 
C
V
M
e
, 
C
M
G
CT CV CF Cme CVMe CMg
Q CT CV CF Cme CVMe CMg
0 6,00 0,00 6,00 - 0,33 0,33
1 6,33 0,33 6,00 6,33 0,33 0,33
2 6,67 0,67 6,00 3,33 0,33 0,33
3 7,00 1,00 6,00 2,33 0,33 0,33
4 7,33 1,33 6,00 1,83 0,33 0,33
13. Dada a função de produção y = 10 . x 1
0,25 . x2 
0,25 . x3 
0,5 e conhecendo-se
os preços dos fatores como w1 = 2 e w2 = w3 = 4 , admitindo que o
fator x3 seja fixo em 9, determine as expressões das funções de custo abaixo ,
em relação ao nível de produção (y).
a) Custo total
b) Custo Médio
c) Custo Unitário Variável
d) Custo Marginal
Solução
25,0
2
25,0
1
5,025,0
2
25,0
1
3
30
)9(10
9
xxy
xxy
x
=
=
=
4
25,0
1
2
30 







=
x
y
x
36
30
42
)9(442
4
25,0
1
1
21
332211
+







+=
++=
++=
x
y
xc
xxc
xwxwxwc
14. Marque V ou F, justificando sua opção. Com relação às curvas de custo sabe-se
que:
a) A curva de custo marginal sempre fica por baixo da curva de custo médio
b) A área abaixo da curva de custo marginal é igual aos custos variáveis
c) Custo marginal de curto prazo iguala-se ao custo marginal de longo prazo apenas
no ponto em que o custo médio de curto prazo é mínimo
d) Custo marginal iguala-se ao custo médio no ponto em que o custo médio é
mínimo.
e) A curva de custo médio de longo prazo é o envelope dos pontos de mínimo do
custo médio de curto prazo.
Solução
64
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 10. Curvas de custo
a) F. A curva de custo marginal tem de sirtuar-se abaixo da curva de custo variável
médio, à esquerda do seu ponto de mínimo e acima dele , à direita.
B)V. Uma vez que o custo marginal mede o custo de produzir cada unidade adicional
de um bem, ao somarmos o custo de produzir cada unidade adicional de um bem,
obteremos o custo total da produção - com exceção dos custos fixos.
C)V. O custo médio de curto prazo é mínimo no ponto em que a quantidade do fator
fixo é ótima, ou seja , é igual à quantidade requerida para produzir y no longo
prazo (todos os fatores são variáveis), visto que o custo marginal é igual ao custo
médio no seu ponto de mínimo.
d)V. A curva de custo marginal localiza-se abaixo da curva de custo médio, quando
os custos médios diminuem e, acima, quando crescem. Logo, os custos marginais
têm de ser iguais aos custos médios no ponto de custo médio mínimo.
E)F. A curva de custo médio de longo prazo é a envoltória inferior das curvas de
custo médio de curto prazo.
15. Considerando a função custo C(y) = 2y2 + 10, ache as expressões
correspondentes para: 1. custo variável; 2. custo fixo; 3. custo variável médio; 4.
custo fixo médio; 5. custo médio; 6. custo marginal. Represente graficamente as
curvas de custo.
Solução
1. 22)( yyCV =
2. 10)( =yCF
3. y
y
y
yCVMe 2
2
)(
2
==
4.
y
yCFMe
10
)( =
5.
y
yyCMe
10
2)( +=
6. yyCMg 4)( =
16. Os custos de longo e curto prazos de uma firma são 105)( += qqcl e
fc cqqc += 2)( respectivamente. Achar o custo fixo de curto prazo fc .
Solução
A empresa tem de conseguir sair-se pelo menos tão bem ajustando o tamanho da
fábrica quanto mantendo-o fixo. Assim:
2
2
105
105
)()(
qqc
cqq
qcqc
f
f
cl
−+≥
+≤+
≤
17. Considere a função custo C(y) = 4y2 + 16.
a) Ache as função custo médio e custo marginal. 
b) Qual é o nível de produção que minimiza o custo médio?
c) Ache a função custo variável.
d) A que nível de produção o custo variável médio se iguala ao custo marginal.
Solução
a)
yyCMg
y
y
y
y
yCMe
8)(
16
4
164
)(
2
=
+=
+
=
b) Custo médio mínimo:
2
164
8164
8
16
4
)()(
2
22
=
=
=+
=+
=
y
y
yy
y
y
y
yCMgyCMe
c) 24)( yyCV =
d) CVMe(y) = CMg (y)
0
84
=
=
y
yy
18. Se o custo marginal da produção estiver aumentando, o custo variável médio
estaria aumentando ou diminuindo? Explique.
Solução
65
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 10. Curvas de custo
Depende. À esquerda do ponto de mínimo do CVMe, um aumento do CMg
permitirá que o CVMe continue diminuindo, porém a taxas decrescentes., já à direita
do ponto de CVMe mínimo, o aumento do CMg será consistente com aumento no
CVMe.
19. Na tabela abaixo são apresentados alguns dados sobre os custos da empresa A. 
Preencha o restante das informações;
Quantidade CT CF CV CME CMV CMF CMG
0 24
1 16
2 50
3 108
4 52
5 39,2
6 47
Solução
Quantidade CT CF CV CME CMV CMF CMG
0 24 24(1) 0 0 0 0 0
1 40(2) 24 16(3) 40(4) 16(5) 24(6) 16
2 74(7) 24 50 37 25 12 34
3 108 24 84 36 28 8 34
4 160 24 13640 34 6 52
5 220 24 196 44 39,2 4,8 60
6 282 24 258 47 43 4 62
(1) CT(0) = CF; (2) CT(1) = (CT(0)+CMG)/1; CF = é o mesmo p/ todos os níveis de
produção; (3)CMV(1) = CMG; (4) CME(1)=CT/1;(5) CMV(1) =CV(1)/1;
(6)CMF(1)=CF/1; (7)CT(2) = CF(2)+CV(2). Fazer o mesmo para os demais níveis de
produto.
20. A função custo total de longo-prazo de uma firma é dada por CT = Q3 -
40Q2+ 430Q, onde Q representa a quantidade produzida por semana;
a) qual o formato curva de custo total?
b) calcule a função do custo médio para este produto. Qual é o formato? A que nível
de produto a função custo médio atinge o ponto mínimo? Qual é o valor do custo
médio no seu ponto de mínimo?
c) mostre a função custo marginal. Mostre que a curva de custo marginal intercepta
a curva de custo médio no seu ponto mínimo;
d) faça o gráfico das curvas de custo médio e de custo marginal.
Solução
(sem resolver)
21. Sobre a teoria de Custos podemos afirmar que:
a) O CME é composto do CMV mais o CMF. Tanto o CMF quanto o
CMV caem quando aumentamos a quantidade produzida.
b) Existe uma relação estreita entre retornos de escala e o
comportamento da função custo. Retornos crescentes de escala implicam CME
crescente; Retornos decrescentes de escala implicam CME decrescentes e
Retornos constantes de escala implicam CME constante.
c) A área abaixo curva de CMG mede o Custo Variável.
Solução
a) Errado. Quando aumentamos a quantidade produzida o CMF cai,
o CMV poderá até decrescer no início, mas aumentarão uma vez que os fatores
fixos presentes acabarão por restringir o processo de produção.
b) Errado. Retornos crescentes de escala implicam CME
decrescentes – à medida que o produto aumentar, os custos médios de produção
tenderão a cair. Retornos decrescentes de escala implicam CME crescentes – os
CME crescerão à medida que o produto cresce.
c) Correto. A curva de CMg mede o custo de produzir cada unidade
adicional de um bem, se somarmos o custo de produzir cada unidade adicional
de um bem, obteremos o custo total da produção –com exceção dos CF.
66
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 10. Curvas de custo
 23. Considere a seguinte função custo: C(y) = (y+3)2 – 6y –7. Obtenha:
a) Custo variável
b) Custo fixo
c) Custo variável médio
d) Custo fixo médio
e) Custo médio
f) Custo marginal
g) Represente graficamente as curvas de custo marginal, custo médio e custo
variável médio.
Solução
A função de custos é: C(y)= 2y2 + 6y + 9 - 6y – 7 = 2y2 + 2
a) 2)( yyCV =
b) 2)( =yCF
c) y
y
y
yCVMe ==
2
)(
d) 
y
yCFMe
2
)( =
e) 
y
y
y
y
yCMe
22
)(
2
+=
+
=
f) yyCMg 2)( =
g)
 
0,;03,;2
)()(
===
=
yyyy
yCVMeyCMg
A curva de CMe alcança seu mínimo quando o CMe se iguala ao Cmg:
41,12
2
2
)()(
≅=
=+
=
y
y
y
y
yCMgyCMe
22)2(
22)2(;2
=
==
CMg
CMeymín
A curva de CVMe é uma linha reta com inclinação de 1.
A curva de Cmg é uma linha reta com inclinação de 2.
CMg, CMe,CVMe
CMg
CMe
CVMe
y
67
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 11. A oferta da firma.
CAPITULO 11.
A OFERTA DA FIRMA
Exemplo: 
• Uma firma tem a função de custo de longo prazo c(y) = 2y2 + 200 para y > 0
e c (0) = 0. Qual sua curva de oferta de longo prazo. 
O custo marginal da firma quando sua produção é y é CMg (y) = 4y. Se colocarmos
a produção no eixo horizontal de um gráfico e os dólares no eixo vertical,
encontraremos que a curva de custo marginal de longo prazo é uma linha reta
inclinada para cima que passa pela origem com a inclinação 4. A curva de oferta de
longo prazo é a porção desta curva situada acima da curva de custo médio de longo
prazo. Quando a produção é y, os custos médios de longo prazo desta firma são
dados por CM (y) = 2y + 200/y. Trata-se uma curva em forma de U. À medida que
y se aproxima de zero, CM (y) vai-se tornando muito grande porque 200/y torna-se
muito grande. Quando y é muito grande, CM (y) torna-se também muito grande, já
que 2y é muito grande. 
• Em quais circunstâncias é que CM (y) < CMg (y) é válida? 
Tal acontece quando 2y + 200/y < 4y. Simplifique esta inequação para achar que
CM (y) < CMg (y) quando y > 10. A curva de oferta de longo prazo, portanto, é a
porção da curva de custo marginal de longo prazo para a qual y > 10. Assim, a curva
de oferta de longo prazo tem como equação p = 4y para y > 10. Se nós quisermos
encontrar a quantidade ofertada como uma função do preço, devemos resolver esta
expressão para y como função de p. Temos, então, y = p/4 sempre que p> 40.
• Suponha que p < 40. Por exemplo, se p = 20, qual quantidade a firma
ofertará? 
Ao preço de 20, se a firma produz no ponto em que o preço iguala o custo marginal
de longo prazo, estará produzindo 5 = 20/4 unidades de produto. Quando a firma
produz apenas 5 unidades, seus custos médios são 2 x 5 + 200/5 = 50. Quando o
preço é 20, portanto, o melhor que a firma pode fazer se ela produz uma quantidade
positiva é produzir 5 unidades. Mas, neste caso, terá custos totais de 5 x 50 = 250 e
receita total de 5 x 20 = 100. Estará perdendo dinheiro. Estaria melhor se não
produzisse quantidade alguma. De fato, para qualquer preço p < 40, a firma
escolherá o nível zero de produção.
1. Você se lembra do irmão de Otto Carr, Dent, que está no negócio de oficina
mecânica? Pois Dent concluiu que o custo total de conserto de s carros é c (s) = 2s2
+ 100.
(a) Isto implica que o custo médio de Dent é igual a ___________, seu custo
variável médio é igual a ____________ e seu custo marginal a ______________.
Desenhe as curvas acima e também a curva de oferta de Dent.
(b) Se o preço de mercado é US$ 20, quantos carros Dent estará disposto a
consertar? ______. E se o preço for US$ 40, quantos carros serão? ________.
(c) Suponha que o preço de mercado seja US$ 40 e que Dent maximize os seus
lucros. Indique no gráfico os custos totais,a receita total e os lucros totais.
Solução
a) C(s) = 2s2 + 100
CME (s) = 2s + (100/s); CVME(s) = 2s; CMG (s) = 4s
Min CME = 2 – (100s2) = 0; s ≈ 7 ou CME = CMG 2s + (100/s) = 4s; s ≈ 7
 
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
y
a) P = 20; P = CMG
20 = 4s; s=5
CMV (5) = 2*5 = 10. Com um preço igual a 20 ele cobre os custos médios variáveis.
Ele produz para este preço 5 carros.
a) P = 40; P = CMG
CMg
CVMe
CMe
68
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 11. A oferta da firma.
40 = 4s; s= 10
Área sombreada com listas = receita total.
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y
 Custos Totais =CMe*y
 Receita total = P*y
 
 Lucros totais = RT -CT
2. Uma firma competitiva tem a seguinte função de custo de curto prazo:
c (y) = y3 - 8 y2 + 30y + 5.
(a) A função de custo marginal da firma é CMg(y) = ____________________.
(b) A função de custo médio da firma é CM(y) = ____________________. [Dica:
Observe que os custos variáveis totais são iguais a c (y) - c (0).]
(c) Trace um gráfico da função de custo marginal e da função de custo variável
médio.
(d) O custo variável médio cai à medida que a produção aumenta se esta for menor
do que ___________ e aumenta quando a produção aumenta para um nível de
produção superior a ______________.
(e) O custo marginal é igual ao custo variável médio quando a produção é:
(f) A firma terá oferta igual a zero se o preço for menor do que _____________.
(g) A menor quantidade (positiva) que a firma em algum momento ofertará a
qualquer preço é ___________ A que preço a firma oferecerá exatamente 6 unidades
do produto?
Solução
a) CMG (y) = 3y2 – 16y + 30
b) CME (y) = y2 – 8y + 30 + (5/y)
c) 
0
20
40
60
80
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 y
C
m
g
, 
C
M
e
V
CMg
CMV
d) CMV = y2 – 8y + 30
Min CMV = 2y – 8 = 0; y = 4.Por tanto, o custo variável médio cai a medida
que a produção aumenta se esta for menor do que 4 e aumenta para um nível de
produção superior a 4.
e) CMV = CMG na primeira unidade produzida e no ponto mínimo de custos
médios variáveis. Assim:
y2 – 8y + 30 = 3y2 – 16y + 30, onde y = 0 e y = 4, onde está o ponto mínimo de
CMV. 
f) P = CMG = CMV
CMV (4) = 14. A firma produzirá zero (y=0) se o P<14.
CMg
CMe
CVMe
69
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 11. A oferta da firma.
g) A quantidade positiva que a firma ofertará a qualquer preço é 4 (no curto
prazo) porque para quantidades inferiores a 4 não cobre CMV. 
A curva de oferta da firma é a curva de CMG para P>14 e y > 4. Para y =6;
P(6) = 3(6)2 – 16 (6) + 30 = 42
3. Antônio possui uma área de 5 acres (N.T. - Um acre é uma medida de superfície
equivalente a 0,405 hectare.) plantada com repolho. Ele força sua mulher, Maria, e
seu filho, José, a trabalhar no cultivo do repolho sem ganhar salário. Admita, por
ora, que a terra não possa ser usada para outra cultura que não a do repolho e,
também, que Maria e José não encontrem qualquer outra alternativa de emprego. O
único insumo pelo qual o Antônio tem que pagar é o fertilizante. Se ele usar x sacos
de fertilizante, a quantidade de repolhos que colhe é 10 √x. O fertilizante custa US$
1 por saco.
(a) Qual é o custo total do fertilizante necessário para produzir 100 repolhos?
_____________ Qual é o custo total da quantidade de fertilizantes necessárias para
produzir y repolhos? ______________________
(b) Se o único modo que Antônio tem para variar sua produção é pela variação na
quantidade de fertilizante aplicada à sua área de repolhos, enuncie a expressão do
seu custo marginal como uma função de y. CMg(y) = _______________.
(c) Se o preço do repolho é US$ 2 cada, quantos repolhos Antônio produzirá?
__________________. Quantos sacos de fertilizante comprará neste caso? _____.
Qual será o seu lucro? ___________________________.
(d) Suponha que os preços dos fertilizantes e dos repolhos permaneçam como antes,
mas Antônio percebe que pode arranjar empregos no verão para Maria e José numa
lanchonete local. Juntos, Maria e José ganhariam US$ 300 pelo verão todo, soma
que Antônio poderia embolsar, mas eles ficariam sem tempo para trabalhar no
cultivo do repolho. Sem a sua mão-de-obra, Antônio não colhe repolho algum.
Qual é agora o custo total do Sr. McGregor de produção de y repolhos?
___________________________________
(e) Ele deveria continuar a cultivar repolhos ou simplesmente colocar Maria e José
para trabalhar na lanchonete? ____________________________
Solução
a) y = 10 x
Px = 1$
x = y2 / 100
CT (x) = x . Px = (y2 / 100) . 1 = y2 / 100 = CT (y)
CT (100) = 100
Ou de outra maneira;
y = 10 x ; 100 = 10 x ; x = 100,
e como CT (x) = x.Px = 100 * 1 = 100.
b) CMG = 2y/1000
c) Py = 2
Py = CMG (y); 2y/100 = 2; y = 100
Para y = 100; x = y2 / 100 = 1002 / 100 = 100
Π = 2 . 100 – 100 = 100
d) Px = 1 e Py = 2; CT(y) = x = (y2 / 100) + 300
e) Py = CMG (y); 2y/100 = 2; y = 100
Π = 2 . 100 – (100+300) = -200
Antônio cultiva repolho se Π (y) > Π (o), e como –200 não é maior que 300
ele não cultivará.
4. Severino, o cultivador de plantas medicinais, é famoso por seus produtos. Sua
função de custo total é c (y) = y2 + 10 para y > 0 e c (0) = 0. (Ou seja, seu custo de
produção de zero unidades de produto é zero.)
(a) Qual é a sua função de custo marginal? ______________E qual a sua função de
custo médio? ___________________________
(b) Com qual quantidade o seu custo marginal se iguala ao seu custo médio?
____________E qual quantidade minimiza o seu custo médio?_________.
(c) Num mercado competitivo, qual é o menor preço ao qual ele oferecerá uma
quantidade positiva em um equilíbrio de longo prazo? ________. E se o preço for
este, qual quantidade dos seus produtos ele oferecerá? ___________________. 
Solução
a) CMG (y) = 2y se y>0
CMG (0) = 0 se y = 0
CME (y) = y + (10/y) se y>0
CME (0) = 0 se y = 0
70
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 11. A oferta da firma.
b) CMG (y) = CME (y)
2y = y + (10/y) se y>0
2y2 = y2 + 10 , onde y = 10 o nível de produção onde CME = CMG.
Ou também;
Min de CME (y) = 1 – (10/y2) = 0, onde y = 10
c) O menor preço ao qual ele oferecerá num equilíbrio competitivo de longo
prazo será o equivalente ao ponto mínimo de custos médios.
CME ( 10 ) = 20 10 = P
Para este preço a quantidade produzida é y = 10
5. Peter vende limonada em Filadélfia. Sua função de produção é f (x1, x2) = x1
1/3x2
1/3,
onde x1 é o número de libras de limão que ele utiliza (N.T. - Uma libra equivale a
0,454 quilogramas) e x2 o número de horas que despende, espremendo-as. Como
você já deve ter percebido, sua função de custo é c(w1, w2, y) = 2w1
1/2 w2
1/2 y3/2, onde
y é o número de unidades produzidas de limonada.
(a) De um modo geral, o custo marginal de Earl depende do preço dos limões e da
taxa de salários. Aos preços w1 para os limões e w2 para o trabalho, seu custo
marginal, quando ele produz y unidades de limonada, é CMg( w1, w2, y) = _____. A
quantidade que Earl estará ofertando depende das três variáveis: p, w1, w2, Como
função dessas três variáveis, a oferta de Earl é S (p, w1, w2) = ________.
(b) Se os limões custam US$ 1 por libra, a taxa de salários é US$ 1 por hora e o
preço da limonada é p, a função de custo marginal de Earl é CMg(y) = ________ e
sua função de oferta é S (p) = ______. Caso os limões custem US$ 4 por libra e a
taxa de salários seja US$ 9 por hora, sua função de oferta passa a ser S (p) = ____.
Solução
(a) CMg(y) = 3w1
1/2w2
1/2y1/2
 p = Cmg(y)
 S(p) = p2/(9w1w2)
(b) Cmg(y) = 3y1/2
 S(p) = p2/9
6. Como você pode bem lembrar do capítulo sobre as funções de custo, a produção
de peças de artesanato de Irma forma uma função de produção 
f (x1, x2) = [ min {x1, 2 x2 }]1/2, onde x1 é a quantidade utilizada de plástico, x2 a
quantidade de trabalho empregada e f (x1, x2) é o número de ornamentos de jardim
produzidos. Seja w1 o preço da unidade de plástico e w2 o salário por unidade de
trabalho.
(a) A função de custo de Irma é c ( w1, w2, y) = _____________________.
(b) Se w1 = w2 = 1, então, para Irma, o custo marginal de produção de y unidades de
produto é CMg( y) = ___________. O número de unidades de produto que ela
ofereceria ao preço p é S (p) = _____________. Com esses preços de fatores, seu
custo médio por unidade de produto seria CM( y) = _________________.
(c) Se o preço competitivo de ornamentos de jardim que ela vende for p = 48 e w1 =
w2 = 1, quantas unidades ela produzirá? ______. E qual será o seu lucro? _____
(d) De modo mais genérico, aos preços de fatores w1 e w2, o custo marginal de Irma
é uma função CMg( w1, w2, y) = _________________. Com esses preços de fatores
e um preço p para o seu produto, o número de unidades de produção que ela decidirá
ofertar é dado por S (p, w1, w2) = _____________________.
Solução
a) (y)2 = [min{x1, 2x2}1/2]2
y2 = min{x1, 2x2}; y2 = x1 ; y2 = 2x2
 C(w1, w2, y) = x1w1+ x2w2 = y2w1+ (y2/2)w2 
 C(w1, w2, y) = (w1+w2/2)y2
b) CMg(y) =3 y; p =3y; S(p) = p/3
 CMe(y) = (3/2)y
c) S(48) = 48/3 =16
Π = 48*16-(3/2)(16)2 = 384
d) CMg(w1, w2, y) = 3y(w1+w2/2)
S(p) = p/[3(w1+w2/2)]
7. O Professor Pardal consegue extrair sangue de pedra. Se ele tiver x pedras, o
número de bolsas de sangue que obtém delas é f (x) = 2 x1/3. As pedras custam para o
Professor US$ w cada uma e ele consegue vender cada bolsa de sangue por US$ p.
a) De quantas pedras o Professor Pardal precisa para obter y bolsas de sangue? 
b) Qual é o custo de obtenção de y bolsas de sangue? 
71
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 11. A oferta da firma.
c) Qual é a função de oferta do Professor Pardal quando as pedras custam, cadauma, US$ 8? E quando custam US$ w cada?
d) Se o Professor Pardal tiver 19 parentes com a mesma capacidade de extrair
sangue de pedra, qual é a função de oferta agregada de bolsas de sangue quando as
pedras custam, cada uma, US$ w?
Solução
a) y = f (x) = x 1/3, de onde x = (y/2)3
b) CT (x) = w.x = w . (y/2)3
c) CT (w=8) = y3
CMG (w=8) = 3y2 ; P =3y2 é a função de oferta e y = (p/3)1/2 é a função de oferta
inversa.
CT (w=w) = w . (y/2)3
CMG (w=w) = (3w/8) . y2 = P é a função de oferta e y = (8p/3w)1/2 é a função
de oferta inversa
d) Oferta inversa; S(p) = ∑
=
n
i
pSi
1
)( ; S(p) = 20 (8p/3w)1/2
8. A Refinaria Miss Manners, em Dry Rock, Oklahoma, converte petróleo cru em
gasolina. Para cada barril de gasolina produzido, é necessário 1 barril de petróleo
cru. Além do custo do petróleo, há outros custos envolvidos no refino da gasolina.
Os custos totais de produção de y barris de gasolina são descritos pela função de
custo c (y) = y2/2 + p0 y, onde p0 é o preço do barril de petróleo cru.
(a) Enuncie a expressão do custo marginal de produção de gasolina como uma
função de p0 e de y.
(b) Admita que a refinaria possa comprar 50 barris de petróleo cru a US$ 5 o barril,
mas que deva pagar US$ 15 por barril adicional que comprar além desses 50. A
curva de custo marginal da gasolina será ____________________ até 50 barris de
gasolina e __________________ a partir daí.
(b) Trace a curva de oferta da Refinaria Miss Manners.
(d) Suponha que a Refinaria tenha uma curva de demanda horizontal por gasolina ao
preço de US$ 30 o barril. Assinale esta curva no gráfico. Qual será a quantidade de
gasolina que a Refinaria Miss Manners ofertará? 
(e) Se a Refinaria não puder mais obter os primeiros 50 barris de petróleo cru ao
preço de US$ 5, mas, ao invés, tiver que pagar US$ 15 por todo petróleo cru que
adquirir, de quanto variaria a sua quantidade produzida? 
(f) Suponha agora que é introduzido um programa oficial que permite ás refinarias
comprarem a US$ 5 cada qualquer barril de petróleo cru pelo qual antes pagariam
US$ 15. Qual será agora a curva de oferta da Refinaria Miss Manners? 
Admita que possa também comprar frações de barril. Marque esta nova curva de
oferta no gráfico com tinta preta. Se a curva de demanda é horizontal a US$ 30 o
barril, qual quantidade de gasolina a Miss Manners passará a ofertar agora? 
Solução
a) CMG (y, p0) = y + p0
b)
15)50(;152/)50(
5)50(;52/)50(
2
2
+=>+=>
+=≤+=≤
yyCMgyyyCT
yyCMgyyyCT
 
c)
15)(
)50(
5)(
)50(
−=
>=
−=
≤=
=
ppS
yCMgp
ppS
yCMgp
CMgp
72
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 11. A oferta da firma.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 y
p
d) P = CMG
30 = y + 5; y = 25
e) P =CMG
30 = y + 15; y = 15 
∆y = 15-25 = -10
f) A nova curva de oferta não seria mais descontínua em y = 50 sendo uma
função contínua P = y + 5 (linha descontínua no gráfico) e a quantidade de gasolina
ofertada para P=30 é 25.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 y
p
9. Suponha que um fazendeiro tenha uma função de custo de produção de y bushels
de milho (N.T. – Um bushel é uma medida de capacidade próxima a 35 litros.), dada
pela expressão c (y) = (y2/20) + y.
(a) Se o preço do milho for US$ 5 por bushel, de quanto será a produção de milho
deste fazendeiro?
(b) Qual é a curva de oferta de milho do fazendeiro como uma função do preço do
milho?
(c) O governo decide agora introduzir um programa de Pagamento em Espécie
(PES). Se o fazendeiro decidir produzir y bushels de milho, receberá, dos estoques
do governo, (40 – y)/2 bushels. Enuncie a expressão dos lucros do fazendeiro como
função de sua produção e do preço de mercado do milho, levando em consideração o
valor do pagamento em espécie recebido.
(d) Ao preço de mercado p, qual será a produção de milho do fazendeiro que
maximiza o seu lucro? Trace um gráfico da curva de oferta do milho.
(e) Se p = US$ 2, quantos bushels de milho ele produzirá? E quantos bushels ele
obterá dos estoques do governo? 
(f) Se p = US$ 5, qual a produção de milho que será ofertada? E quantos bushels de
milho o fazendeiro obterá dos estoques do governo, admitindo que ele decida por
inscrever-se no programa PES?
(g) Enuncie a fórmula para o tamanho do pagamento do programa PES para
qualquer preço entre p = US$ 2 e p = US$ 5.
(h) Qual é a quantidade de milho que o fazendeiro ofertará ao mercado (contando
tanto com a sua produção como com o pagamento do programa PES) como uma
função do preço de mercado p? 
(i) Trace um gráfico da curva de oferta total de milho – incluindo o milho do
programa PES.
Solução
a) CMG (y) = (y/10) +1
P = CMG
5 = (y/10) + 1; onde y = 40
b) P = (y/10) +1
S(P)
DA
DA
S(P)
73
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 11. A oferta da firma.
S(p) = 10p – 10 
c) Π = p y + [(40-y)/2] p - (y2/20 + y)
d)
dy
dΠ
= p -1/2 p – y/10 - 1 = 0
y = 5 p - 10 é a quantidade que maximiza os lucros do produtor.
e) Para P = 2 ele produz 0 bushels de milho. Ele receberá do governo (40-
0)/2, ou seja, 20 bushels de milho que para um preço igual a 2 dólares será na
sua receita 40 dólares.
f) Para P = 5 ele produzirá 15 bushels de milho. Ele receberá do governo
(40-15)/2, ou seja 12,5 bushels de milho que a 5 dólares será um total de 62,5
dólares. 
g) Pagamento = [(40 - 5 p +10)/2]2= (25 – 2,5 p )p
h)
( )
155,2)(
5,225105)(
2
)]105(40[
1010
2
40
105)(
+=
−+−=
−−
+−=
−
+−=
ppS
pppS
p
p
y
ppS
Total
Total
Total
i)
10. Considere uma função Custo Total dada pela equação:
C(y) = 15y2 + 6000 e responda: 
i) Qual a equação da curva de oferta?
ii) A que nível de produção o custo médio total será minimizado?
iii) Qual o nível de produção a ser realizado quando P = 700? 
iv) Qual a variação dos lucros quando y se eleva de 40 para 50?
Solução
i) P = 30 y
ii) CME = 15 y + 6000/y
iii) Min CME = 15 – 6000/y2 = 0, onde y =20
iv) 700 = 30 y, onde y = 23,3
v) Π (40) = 700*40 – [ 15*402 + 6000] = 21.400
Π (50) = 700*50 – [ 15*502 + 6000] = 28.250
vi) variação de lucros = 6.850
11. Considerando que a receita total de uma firma é dada pela equação: RT = 60q -
2q2 e que seu custo total é dado por CT = q3 - 6q2, identifique as quantidades
relativas a:
i) Eficiência máxima (mínimo custo);
ii) Receita total máxima; 
iii) Lucro máximo.
Solução
a) CME = q2 – 6q
Min CME ; 2q – 6 = 0, onde q=3. Os custos médios são os mínimos quando a
firma produz 3
b) RT = 60q – 2q2
74
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 11. A oferta da firma.
Max RT; 60 – 4q = 0, onde q = 15. A receita é máxima quando a firma produz
15.
c) Π = 60q – 2q2 – q3 + 6q2
dq
dΠ
= 60 – 4q – 3q2 + 12q = 0, onde q = 6
12. Demonstre o seguinte teorema sobre a função de custo variável médio: “O ponto
de mínimo do Custo Variável Médio é igual ao custo marginal, sendo este
crescente".
Solução
Na região em que os custos variáveis médios estejam aumentando, os custos
marginais terão de ser maiores que os custos variáveis médios – são os custos
marginais maiores que empurram a média para cima, ou seja a curva de custo
marginal tem de situar-se abaixo da curva de variável médio, à esquerda do seu
ponto de mínimo e acima dele, à direita, o que implica que a curva de custo marginal
tem de cortar a curva de custo variável médio em seu ponto de mínimo.
13. Demonstre analiticamente que a elasticidade do Custo Total C(y) em relação ao
nível de produção é igual a razão entre o Custo Marginal e o Custo Médio.
Solução
da
q
CT
dCT
CT
Q
dq
dCT
Q
CT
dq
dCT
CME
CMG
..: === , sendo esta última expressão a
elasticidade do Custo Total em relação ao nível de produção.
14. Dada a função de produção y = 10 x1
0,25 x2 0,25 x3 0,50 e conhecendo-seos preços
dos fatores como w1 = w2 =2 e w3=4 , respectivamente para x1 , x2 e x3:
a) Determine a posição de equilíbrio da firma, com as quantidades dos fatores (x1, x2
e x3) para uma produção y = 100.
b)Calcule as elasticidades do produto (y) em relação aos fatores de produção (x1, x2
e x3).
Solução
a) y = 10x1 1/4. x2 1/4 .x3 1/2 = 100
w1 = w2 = 2 e w3 = 4, logo,
y = 10 x1 1/2 . x31/2 = 100
PMG1 = 5(x3/x1)1/2
PMG3 = 5(x1/x3)1/2
-
1
3
3
1
x
x
PMG
PMG
−= = 
2
1
; onde 2x3 = x1
y = 10. 21/2 . x3
1/2 . x3
1/2 = 100, de onde x3 = 501/2
b)
4
1
1
1
=
x
dx
y
dy
; 
4
1
2
2
=
x
dx
y
dy
; 
2
1
3
3
=
x
dx
y
dy
15. Em continuação da questão anterior admita que o fator x3 =144 seja fixo nessa
quantidade e determine abaixo as expressões de custo de curto prazo:
a) Custo Total: C = C(y)
b) Custo Fixo: CF = K
c) Custo Médio: CMe = C(y) / y
d) Custo Unitário Variável: CUV = CV(y) / y
d) Custo Marginal: CMg = dC(y) / dy
Solução
a)
)144(422
120
 x120x y
144 x10x 
 x .x10x y
21
332211
4
4/1
1
2
1/4
2
1/4
 1
1/21/4
2
1/4
 1
1/2
3
1/4
2
1/4
 1
++=
++=








=
=
=
=
xxC
xwxwxwC
x
y
x
y
 
Substituindo x2 na função de custos, temos:
75
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 11. A oferta da firma.
)144(4
120
22
4
4/1
1
1 +







+=
x
y
xC
576
120
2
2
4
1
1 +




+=
y
x
xC
Minimização de Custos:
2
1
120120
120
2
2
0
120
2
2
2/14
1
4
2
1
4
2
1





=













=





=
=




−=
yy
x
y
x
y
xx
dC
Substituindo x1 em x2, temos:
2
4
2/1
4
4/12 120
120
120
120
120
2





=




















=






























=
y
y
y
y
y
x
Substituindo x1 e x2 na função de custos, temos:
576
120
4)(
576
120
2
120
2)(
57622
2
22
21
+




=
+




+




=
++=
y
yC
yy
yC
xxC
b) 576=CF
c)
y
y
yCMe
yy
y
y
y
y
yC
yCMe
576
120
4)(
576
120
4
576
120
4
)(
)(
2
2
2
2
+=
+=
+





==
d)
2120
4
)(
)(
y
y
yCV
yCUV ==
e)
2120
8
)(
y
yCMg =
16. Por que no curto prazo algumas firmas poderão operar com prejuízo?
Solução
Elas operarão com prejuízo na medida em que sejam capazes de cobrir seus custos
variáveis médios. Neste sentido, a medida do prejuízo que é possível para uma firma
suportar no curto prazo é seu custo fixo, será melhor para a empresa encerrar suas
atividades quando:
p
y
yCV
yCVMe
FyCVpyF
>=
−−>−
)(
)(
)(
Ou seja, se os custos variáveis médios forem maiores do que p, a empresa ficará
melhor se fabricar zero unidade de produto. (-F são os lucros de fabricar zero
unidade de um produto)
17. Em qual das seguintes situações a firma competitiva faz lucro zero?:
 
A) Se o preço de mercado for igual ao mínimo custo variável médio de produção; 
B) Se o preço de mercado for menor que o mínimo custo variável médio de
produção;
C) Se o preço de mercado for igual ao mínimo custo médio de produção; 
A) Se a receita marginal for maior que o custo marginal.
76
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.
Capítulo 11. A oferta da firma.
Solução
Na situação descrita pela letra C.
18. Em relação ao equilíbrio em concorrência perfeita podemos afirmar que:
A) As firmas no curto prazo sempre fazem lucros positivos; 
B) No longo prazo algumas firmas podem fazer lucros estritamente negativos;
C) No longo prazo existem infinitas firmas produzindo quantidades estritamente
positivas do produto;
D) No longo prazo todas as firmas ativas fazem lucro zero.
Solução
Letra D.
19. A função custo de uma firma é 32136)( 23 ++−= qqqqc . Qual das
seguintes afirmações é INCORRETA?
A) Se o preço de mercado é menor que 4 a firma não produz;
B) Se o preço de mercado é 5 a firma produz 0,845 unidades;
C) A firma faz lucro positivo se o preço de mercado é maior que 13;
D) O custo marginal decrescente se a produção é inferior a 2.
Solução
B) p = CMg
p = 3q2-12q+13
para p=5, temos:
q = 3,155 e q =0,845
Como a curva de oferta da firma é a parte ascendente da curva de CMg que está
localizada acima da curva de CVMe, a quantidade produzida será 3,155 (esse
nível de produção encontra-se na parte ascendente da curva de CMg, enquanto o
nível de 0,845 na parte descendente)
 
77
	CAPITULO 1
	RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA
	CAPITULO 2
	PREFERÊNCIAS
	CAPITULOS 3-4
	UTILIDADE E ESCOLHA
	Solução
	Solução
	-=TMS ; TMSu=- ; TMSh== -
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	CAPITULO 6.
	PREFERÊNCIA REVELADA
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	a) p0 = (1,3), x0 = (4,2); p1 = (3,5), x1 = (3,1)
	b) p0 = (1,6), x0 = (10,5); p1 = (3,5), x1 = (8,4)
	c) p0 = (1,2), x0 = (3,1); p1 = (2,2), x1 = (1,2)
	(i) Quando os preços (p1,p2) prevaleciam, o consumidor escolhia a cesta x1.
	Solução
	CAPITULOS 7 E 8
	TECNOLOGIA E MAXIMIZAÇÃO DE LUCRO
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	Solução
	CAPITULO 9
	MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS
	CAPITULO 10.
	CURVAS DE CUSTO
	Solução
	Solução
	CMg, CMe,CVMe
	CAPITULO 11.
	A OFERTA DA FIRMA
	Solução