Preferência Revelada e Índices de Preços

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Capítulo 7: Preferência Revelada 
Pressupostos: 
- Preferências estritamente convexas 
- Há apenas uma única cesta demandada a cada orçamento 
A cesta x* é diretamente revelada como preferida a y e z.: 
 
 
 
A cesta x* é indiretamente revelada como preferida a z, pois z está fora do orçamento de x. 
 
 
 
Axioma Fraco da Preferência Revelada (AFrPR) 
Se x for diretamente revelada como preferida a y e se as duas cestas não forem idênticas, 
então não pode acontecer que y seja diretamente revelada como preferida a x. 
 
Axioma Forte da Preferência Revelada (AFoPR) 
Se x for revelada como preferida a y, direta ou indiretamente, e se as duas cestas não forem 
idênticas, então y não poderá ser nem direta nem indiretamente revelada como preferida a x. 
 
 
 
 
Índice de Preços 
 
•• Índice de Laspeyres: o valor monetário, a preços correntes, necessário para comprar uma 
cesta de bens e serviços que foi escolhida no ano-base, dividido pelo montante de dinheiro 
necessário para comprar a mesma cesta a preços do ano-base. 
 
 
 
•• Índice de Paasche: o valor monetário, a preços correntes, necessário para comprar uma cesta 
de bens e serviços que foi escolhida no ano corrente, dividido pelo montante de dinheiro 
necessário para comprar a mesma cesta a preços do ano-base. 
 
 
 
Tanto o índice de Laspeyres (IL) quanto o índice de Paasche (IP) são índices com pesos 
constantes: as quantidades dos vários bens e serviços permanecem inalteradas. Entretanto, o 
índice de Laspeyres leva em conta as quantidades consumidas no ano-base, enquanto o índice 
de Paasche leva em conta as quantidades consumidas no ano corrente. 
 
 
Exercícios: 
 
1) Quando os preços são (4,6), Gertrudes escolhe a cesta (6,6), e quando os preços são (6,3), 
ela escolhe a cesta (10,0). 
a. Marque sua escolha na primeira reta orçamentária com a letra A, e sua escolha na 
segunda reta com um B. 
b. O comportamento de Gertrudes é compatível com axioma fraco da preferência 
revelada? 
 
2) Considerando as seguintes informações: 
i.Quando o sistema (1) de preços vigora, a cesta “A” é escolhida 
ii.Quando o sistema (2) de preços vigora, a cesta “B” é escolhida 
iii.Quando o sistema (3) de preços vigora, a cesta “C” é escolhida 
E considerando a tabela abaixo onde constam as rendas necessárias para comprar cada cesta, 
 A B C 
1 75 70 80 
2 70 68 67 
3 63 65 60 
 
Marque V ou F, justificando sua resposta. 
a) “A” é diretamente revelada como preferida a “C”. 
b) “A” é diretamente revelada como preferida a “B”. 
c) “B” e “C” nunca devem ser compradas. 
d) De acordo com a tabela, duas cestas são diretamente reveladas como preferidas e uma 
é indiretamente revelada como preferida. 
e) Caso o consumidor fique rico, ao sistema de preços tal que a cesta “C” seja a mais cara, 
ele deveria comprar esta cesta. 
 
3) A respeito dos índices de Laspeyres e Paasche, e de seu emprego na avaliação de mudanças 
de bem-estar do consumidor, avalie as afirmações: 
a) O índice de preços de Laspeyres baseia-se na premissa de que os consumidores não 
alteram seus padrões de consumo após uma mudança de preços. 
b) O índice de preços de Laspeyres superestima e o de Paasche subestima o “custo de 
vida ideal. 
a) Um governo que utilize um índice de preços de Laspeyres para reajustar benefícios 
sociais tenderá a sobrevalorizar o reajuste. 
 
 
Respostas: 
1) 
Quando os preços são (4, 6), Gertrudes escolhe a cesta (6, 6). Aplicando à RO, temos: 
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = m 
4 × 6 + 6 × 6 = 60 
Quando os preços são (6,3), Gertrudes escolhe a cesta (10,0). Aplicando à RO, temos: 
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚 
6 × 10 + 3 × 0 = 60 
 
 
 
 
Axioma fraco da preferência revelada (AFrPR): Se (x1, x2) for diretamente revelada como 
preferida a (y1,y2) e se as duas cestas não forem idênticas, então, não pode acontecer que 
(y1,y2) seja diretamente revelada como preferida a (x1,x2) 
Em outras palavras: Se a cesta Y puder ser adquirida quando a cesta X for realmente 
comprada, então, quando a cesta Y for comprada, a cesta X não estará ao alcance do 
consumidor. 
 
0; 10
6; 6
15; 0
0; 20
10; 0
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12 14 16
X
2
X1
m=60, -p1/p2 = -2/3 m=60, -p1/p2 = -2
A
B
 
2) 
a) F. Quando a cesta “A” foi escolhida, “C” não estava disponível. 
b) V. Quando a cesta “A” foi escolhida, “B” estava disponível. 
c) F. Apenas se a cesta “A” também estiver disponível, daí a cesta “B” e “C” poderiam ser 
escolhidas. 
d) V. “A” é diretamente revelada como preferida a “B”, “B” é diretamente revelada como 
preferida a “C” e “A” diretamente revelada como preferida a “C”. 
e) F. A cesta “A” foi indiretamente revelada como preferida à cesta “C”. Assim, quando 
ambas estiverem disponíveis, a cesta “A” deverá ser a cesta escolhida. 
3) 
a) Verdadeiro. O consumidor continua adquirindo a mesma cesta de bens nos dois 
períodos 
b) Verdadeiro. O índice de preços de Laspeyres superestima o custo de vida ideal, pois 
este se baseia na premissa de que os consumidores não alteram seus padrões de 
consumo após uma mudança dos preços. Logo, aos novos preços, para que o indivíduo 
continuasse a consumir a cesta inicial haveria que “dar mais renda do que o 
necessário”, levando-o a ter um nível de utilidade acima da sua utilidade inicial. O 
oposto ocorre com o índice de preços de Paasche. Este subestima o custo de vida 
ideal, pois se baseia na premissa de que os indivíduos comprariam a cesta do ano 
corrente no período-base. Neste caso, “retira-se” menos renda do que se retiraria se 
ele voltasse a sua utilidade original. 
c) Como o índice de preços Laspeyres superestima o custo de vida ideal, existirá sempre 
uma tendência a compensar exageradamente os beneficiários. 
 
Capítulo 8 – Equação de Slutsky 
 
4) Seja U (x1, x2) = (x1
1
2 + x2) Supoha que o preço do bem 1, p1 = 1 tenha aumentado 
para p′1 = 2 e que p2 = 4 e m = 20 se mantiveram constantes. 
a) Qual é o tipo de preferência pelos dois bens? Qual é a demanda marshalliana pelo 
bem 1? E pelo bem 2? 
b) Calcule a escolha ótima aos preços p1 e p′1. Qual foi a variação total na quantidade 
demandada do bem 1 em decorrência do aumento do preço. 
c) Decomponha a variação da demanda em efeito renda e efeito substituição e de 
Slutsky. 
 
 
a) A função de utilidade é do tipo Quase linear. Para encontrar a demanda 
marshalliana, temos que relacionar o x1 da escolha ótima com os preços dos bens e 
a renda. Para esse tipo de função de utilidade é válida a regra de tangência: 
TM𝑆 =
𝑝1
𝑝2
 
TM𝑆 =
1
2
x1
−−
1
2
1
= 
𝑝1
𝑝2
 
2x1
1
2 =
𝑝2
𝑝1
 → x1
1
2 =
1𝑝2
2𝑝1
 
𝑥1= 
1𝑝2
2
4𝑝1
2 → Demanda Marshalliana pelo bem 1 
b) Calcule a escolha ótima aos preços p1 e p′1. Qual foi a variação total na 
quantidade demandada do bem 1 em decorrência do aumento do preço. 
𝑥1= 
1𝑝2
2
4𝑝1
2 
Cesta original (p1=1, p2=4,m=20) 
𝑥1= 
1𝑝2
2
4𝑝1
2 =
1×42
4×1
= 4 𝑥2 =
m
 𝑝2
 - (
1 𝑝2
4𝑝1
) = 
20
4
 - (
1×4
4×1
) = 5-1 = 4 
Cesta final(p′1=2, p2=4,m=20) 
𝑥1
′′ =
1𝑝2
2
4𝑝′1
2 =
1×42
4×2²
= 1 𝑥2
′′ =
m
 𝑝2
 − (
1 𝑝2
4𝑝1
) = 
20
4
 - (
1×4
4×2
) = 5-0,5 = 4,5 
A variação total na demanda por 𝑥1 é igual a 𝑥1
′′- 𝑥1 = 1 − 4 = −3 
c) Decomponha a variação da demanda em efeito renda e efeito substituição e de 
Slutsky. 
 
Para isso precisamos calcular a compensação de renda necessária para manter a escolha ótima 
de x1 ao preço novo: 
𝑚′ = 𝑚 + x1(p1
′ − p1) 
𝑚′ = 20 + 4(2 − 1) 
𝑚′ = 24 
ES = Cesta intermediária x1(p1,
′ m′) − Cesta original (p1, m) 
Cesta intermediária x′′1(p1,
′ m′) 
𝑥1
′′′ =
1𝑝2
2
4𝑝′1
2 =
1 × 42
4 × 2²
= 1 
ES = Cesta intermediária x1(p1,
′ m′) − Cesta original (p1, m) 
ES =1 – 4 = -3 
ER = Cesta intermediária x1(p1,
′ m′) − Cesta original (p1, m) 
ES =1 – 4 = -3 
ER = Cesta final (p’1, m) - Cesta intermediária x1(p1,
′ m′) 
ER = 1 – 1 =0 
No caso de preferencias quase lineares o efeito renda é nulo para o bem 1 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 14:Excedente do consumidor e medidas de Bem Estar 
 
 
5) Considere a seguinte demanda de mercado: 
p1= 100 − 0,5x1 
a) Calcule o excedente dos consumidores quando p1*=R$ 60 
b) Se o preço subir para R$ 70, qual será a variação no excedente dos consumidores? 
 
 
a) p1*=60 
Quando p1*=60, a quantidade demandada é igual a: 
100 – 0,5 x1 = 60 
0,5 x1 = 40 
x1 = 80 
O excedente do consumidor é representado pela área acima do preço praticado no 
mercado, e abaixo da Curva de Demanda: 
𝐸𝐶 =
(𝑝1
𝑚𝑎𝑥 − 𝑝1
∗)x1
2
 
𝐸𝐶 =
(100−60)×80
2
=
40×80
2
= 1600 
b) Novo preço: p1’=70 
100 – 0,5 x1 = 70 
0,5 x1 = 30 
x1 = 60 
𝐸𝐶 =
(100−70)×60
2
=
30×60
2
= 900 
Perda do Excedente do Consumidor = 1600 – 900 = 700 
 
 
6) Suponha um consumidor com função de utilidade U(x1, x2) = (𝒙
𝟏
𝟏
𝟐 𝒙
𝟐
𝟏
𝟐 ) 
Originalmente, ele se defronta com preços (1, 1) e tem uma renda de US$100. Então, o preço 
do bem 1 aumenta para 2. Quais são as variações compensadora e equivalente? 
U(x1, x2) = (𝑥1
1
2𝑥2
1
2) 
p1 = 1, p2 = 1, m=100 
Demandas Marshallianas: 
𝑥1
∗ =
1𝑚
2𝑝1
 
𝑥2
∗ =
1𝑚
2𝑝2
 
Substitui na função de utilidade: 
U(𝑥1, 𝑥2)= (
1𝑚
2𝑝1
 )
1
2
× (
1𝑚
2𝑝2
 )
1
2
 
U(𝑥1, 𝑥2)= (
100
2×1
 )
1
2
× (
100
2×1
 )
1
2
= 50
1
2 × 50
1
2= 50 → Utilidade original (antes da variação no 
preço) 
Variação Compensadora: alteração de renda que, aos novos preços, restabelece o nível de 
utilidade original 
VC = {
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑂𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
 U1
̅̅ ̅(𝑥1, 𝑥2) = (
𝑚′
2×2
 )
1
2
× (
𝑚′
2×1
 )
1
2
= 50 
U1
̅̅ ̅(𝑥1, 𝑥2) =
(𝑚′)
1
2
2
× (𝑚′)
1
2
√2
= 50 
𝑚′
2√2
= 50 → 𝑚′ = 100√2 ≅ 141 
VC = 141 – 100 = 41 
Variação Equivalente: alteração de renda que, aos preços originais, provoca variação de 
utilidade semelhante ao aumento de preço. Pode ser interpretada como um montante de renda 
que o consumidor estaria disposto a pagar para evitar uma variação de preço 
VE = {
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
Calculando a utilidade final (após a variação de preço) 
U2
̅̅̅̅ (𝑥1, 𝑥2) = (
100
2 × 2
 )
1
2
× (
100
2 × 1
 )
1
2
 
U2
̅̅̅̅ (𝑥1, 𝑥2) = (25 )
1
2 × (50 )
1
2 = 5√50 
Agora recalculamos a renda (m’’) de modo a manter a utilidade final constante com o preço 
inicial: 
U2
̅̅̅̅ (𝑥1, 𝑥2) = (
𝑚′′
2 × 1
 )
1
2
× (
𝑚′′
2 × 1
 )
1
2
= 5√50 
U2
̅̅̅̅ (𝑥1, 𝑥2) =
𝑚′′
2
= 5√50 
𝑚′′ = 10√50 ≅ 10 × 7 = 70 
𝑚′′ =70 
VE = 𝑚′′ − 𝑚 = 70 − 100 = −30 
|VE| = 30 
|VC| = 41 
Dessa forma temos que |VC| > |VE| 
 
7) Suponha um consumidor com função de utilidade U(x1, x2) = ln(x1) + x2 
(a) Encontre as demandas pelos bens x1 e x2. 
(b) Calcule a utilidade quando os preços são: p1=1 e p2=1 e renda m=2. 
(c) Calcule a utilidade quando os preços são: p’1=2 e p2=1 e renda m=2. 
(d) O quanto temos que dar de renda ao consumidor para que aos novos preços ele alcance 
a utilidade inicial, isto é, qual é a Variação Compensatória? 
(e) O quanto temos que retirar de renda do consumidor para que aos preços antigos ele 
alcance a utilidade final, isto é, qual é a Variação Equivalente? (responda com o valor 
positivo) 
(f) Sem precisar calcular a variação no excedente do consumidor, qual será o seu valor (em 
termos absolutos)? Explique sua resposta 
 
(a) Encontre as demandas pelos bens x1 e x2. 
a) A função de utilidade é do tipo Quase linear. Para encontrar a demanda 
marshalliana, temos que relacionar o x1 da escolha ótima com os preços dos bens e 
a renda. Para esse tipo de função de utilidade é válida a regra de tangência: 
TM𝑆 =
𝑝1
𝑝2
 
TM𝑆 =
1
𝑥1
= 
𝑝1
𝑝2
 
𝑥1
∗ =
𝑝2
𝑝1
 
 
Substitui na RO para encontrar 𝑥2
∗ : 
𝑝1
𝑝2
𝑝1
+ 𝑝2𝑥2 = 𝑚 
𝑝2(1+𝑥2) = 𝑚 
𝑥2
∗ =
𝑚
𝑝2
− 1 
 
(b) Calcule a utilidade quando os preços são: p1=1 e p2=1 e renda m=2. 
𝑥1
∗ =
𝑝2
𝑝1
 
𝑥2
∗ =
𝑚
𝑝2
− 1 
Substituindo pelos valores de p1, p2 e m: 
𝑥1
∗ =
1
1
= 1 
𝑥2
∗ =
2
1
− 1 = 1 
U1
̅̅ ̅(𝑥1, 𝑥2) = ln(1) + 1 
U1
̅̅ ̅(𝑥1, 𝑥2) = 0 + 1= 0 
 
(c) Calcule a utilidade quando os preços são: p’1=2 e p2=1 e renda m=2. 
Substituindo pelos valores de p’1, p2 e m: 
𝑥1
∗ =
1
2
 
𝑥2
∗ = 1 
U2
̅̅̅̅ (𝑥1, 𝑥2) = ln (
1
2
) + 1 
U2
̅̅̅̅ (𝑥1, 𝑥2) = −0,69 + 1= 0,31 
 
(d) O quanto temos que dar de renda ao consumidor para que aos novos preços ele alcance a 
utilidade inicial, isto é, qual é a Variação Compensatória? 
VC = {
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑂𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
 
U1
̅̅ ̅(𝑥1, 𝑥2) = ln (
1
2
) + 𝑚′ − 1 = 1 
U1
̅̅ ̅(𝑥1, 𝑥2) = −0,69 + 𝑚′ − 1 = 1 
𝑚′ = 2,69 
VC = m’ - m 
VC = 2,69 -2 = 0,69 
 
(e) O quanto temos que retirar de renda do consumidor para que aos preços antigos ele 
alcance a utilidade final, isto é, qual é a Variação Equivalente? (responda com o valor positivo) 
VE = {
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
 
U2
̅̅̅̅ (𝑥1, 𝑥2) = ln(1) + 𝑚′′ − 1= 0,31 
𝑚′′= 1,31 
VE = m’’ – m = 1,31 – 2 = -0,69 
|VE| = |VC| = 0,69 
 
(f) Sem precisar calcular a variação no excedente do consumidor, qual será o seu valor (em 
termos absolutos)? Explique sua resposta 
Assim, como nesse caso temos que |𝑉𝐸| = |𝑉𝐶| = 0, 69, então |∆𝐸𝐶| = 0, 69. Esse é um 
resultado característico de preferências quase-lineares, onde não temos efeito renda e portanto 
as três aproximações para utilidade vão ser iguais.