11-BinômiodeNewton

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Coeficientes binomiais e aplicações 
Aula 14: Binômio de Newton 
Conteúdo: 
Q Definição de binômio 
Q Introdução ao binômio de Newton 
Q Teorema binomial 
ceded 
14.1 
Binômio de Newton 14.2 
Definição de binômio: 
V Chamamos de binômio qualquer expressão da forma 
a + b , onde a e b são símbolos diferentes . 
ceded 
Binômio de Newton 14.2 
Definição de binômio: 
V Chamamos de binômio qualquer expressão da forma 
a + b , onde a e b são símbolos diferentes . 
Exemplo 1: Sejam x, y eJR 
(a) x -y = x + (-y) é um binômio 
ceded 
Binômio de Newton 14.2 
Definição de binômio: 
V Chamamos de binômio qualquer expressão da forma 
a + b , onde a e b são símbolos diferentes . 
Exemplo 1: Sejam x, y eJR 
(a) x -y = x + (-y) é um binômio(a := x, b := -y) 
ceded 
Binômio de Newton 14.2 
Definição de binômio: 
V Chamamos de binômio qualquer expressão da forma 
a + b , onde a e b são símbolos diferentes . 
Exemplo 1: Sejam x, y eJR 
(a) x -y = x + (-y) é um binômio(a := x, b := -y) 
(b) 3xy + x2 é um binômio 2 (a := 3xy, b := x ) 
ceded 
Binômio de Newton 14.3 
Introdução ao binômio de Newton: 
Exemplo 2: 
Desenvolva as potências do binômio a+ b, (a+ b)º, para 
n = O, 1, 2, 3. 
ceded 
Binômio de Newton 14.3 
Introdução ao binômio de Newton: 
Exemplo 2: 
Desenvolva as potências do binômio a+ b, (a+ b)º, para 
n = O, 1, 2, 3. 
(a+ b)0 = 1 
(a+ b)1 =a+ b 
(a + b)2 = (a + b)(a + b) a 2 + 2ab + b 2 
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3 
ceded 
Binômio de Newton 14.3 
Introdução ao binômio de Newton: 
Exemplo 2: 
Desenvolva as potências do binômio a+ b, (a+ b)º, para 
n = O, 1, 2, 3. 
o (a + b) =li 
(a+ b)1 =la +1 b 
(a + b)2 = (a + b)(a + b)la 2 + ~ ah +l b 2 
(a + b)3 = (a + b)(a + b)l a 3 + 3Ja 2b +33ab2 -1 b 3 
ceded 
Binômio de Newton 14.3 
Introdução ao binômio de Newton: 
Exemplo 2: 
Desenvolva as potências do binômio a+ b, (a+ b)º, para 
n = O, 1, 2, 3. 
o (a + b) =li 
(a + b)1 =la +1 b 
(a + b)2 = (a + b)(a + b)la 2 + ~ ah +l b 2 
(a + b)3 = (a + b)(a + b)l a 3 + 3Ja 2b +33ab2 -1 b 3 
= Observação: os coeficientes dos termos podem ser ordenados da 
seguinte forma: 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
[!]@ ceded 
Binômio de Newton 14.3 
Introdução ao binômio de Newton: 
Exemplo 2: 
Desenvolva as potências do binômio a+ b, (a+ b)º, para 
n = O, 1, 2, 3. 
o (a + b) =li 
(a + b)1 =la +1 b 
(a + b)2 = (a + b)(a + b)la 2 + ~ ah +l b 2 
(a + b)3 = (a + b)(a + b)l a 3 + 3Ja 2b +33ab2 -1 b 3 
= Observação: os coeficientes dos termos podem ser ordenados da 
seguinte forma: 
1 
1 1 
1 2 1 
e~ 
e~ e~ 
e~ e! e~ 
1 3 3 1 eº c1 c2 3 3 3 
Triângulo de Pascal 
c3 
3 
ceded 
Binômio de Newton: Introdução ao binômio de Newton 14.4 
Exemplo 3: 
Calcule a linha n = 4 do triângulo de Pascal e verifique 
que são os coeficientes da expansão de (a+ b)4 • 
ceded 
Binômio de Newton: Introdução ao binômio de Newton 14.4 
Exemplo 3: 
Calcule a linha n = 4 do triângulo de Pascal e verifique 
que são os coeficientes da expansão de (a+ b)4 • 
Resolução: n = 3 1 3 3 1 
ceded 
Binômio de Newton: Introdução ao binômio de Newton 14.4 
Exemplo 3: 
Calcule a linha n = 4 do triângulo de Pascal e verifique 
que são os coeficientes da expansão de (a+ b)4 • 
Resolução: n = 3 1 3~ f 1 
n=4 1 4 6 4 1 ._...,, ._...,, ._...,, ._...,, ._...,, 
C.F. C.S. R.S. C.S. C.F. 
ou ou 
R.S. R.S. 
ceded 
Binômio de Newton: Introdução ao binômio de Newton 14.4 
Exemplo 3: 
Calcule a linha n = 4 do triângulo de Pascal e verifique 
que são os coeficientes da expansão de (a+ b)4 • 
Resolução: n = 3 1 3~ f 1 
n=4 1 4 6 4 1 ._...,, ._...,, ._...,, ._...,, ._...,, 
C.F. C.S. R.S. C.S. C.F. 
ou ou 
R.S. R.S. 
Cálculo de (a+ b)4 : 
(a+ b)4 =(a+ b)(a + b)3 =(a+ b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) 
ceded 
Binômio de Newton: Introdução ao binômio de Newton 14.4 
Exemplo 3: 
Calcule a linha n = 4 do triângulo de Pascal e verifique 
que são os coeficientes da expansão de (a+ b)4 • 
Resolução: n = 3 1 3~ f 1 
n=4 1 4 6 4 1 ._...,, ._...,, ._...,, ._...,, ._...,, 
C.F. C.S. R.S. C.S. C.F. 
ou ou 
R.S. R.S. 
Cálculo de (a+ b)4 : 
(a+ b)4 =(a+ b)(a + b)3 =(a+ b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)= 
= a(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + b(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) = 
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4) 
ceded 
Binômio de Newton: Introdução ao binômio de Newton 14.4 
Exemplo 3: 
Calcule a linha n = 4 do triângulo de Pascal e verifique 
que são os coeficientes da expansão de (a+ b)4 • 
Resolução: n = 3 1 3~ f 1 
n=4 1 4 6 4 1 ._...,, ._...,, ._...,, ._...,, ._...,, 
C.F. C.S. R.S. C.S. C.F. 
ou ou 
R.S. R.S. 
Cálculo de (a+ b)4 : 
(a+ b)4 =(a+ b)(a + b)3 =(a+ b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)= 
= a(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + b(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) = 
= l a4 + 4 a3b +ffia2b2 +44ab3 +1 b4) ._...,, ._...,, ._...,, ._...,, ._...,, 
[!] @ e~ e! e! e! e: ceded 
Binômio de Newton 14.5 
Teorema Binomial 
y Se. a e b são números reais e n é um número natural 
ent ão tem-se: 
o 
(a + b)º = L c : an-r br = 
r = O 
_ eº o c l n-1 b c 2 n-2 b2 c n-1 bn-1 Cº 
- ºª + º a + ºª + · · · + º a + º 
ceded 
Binômio de Newton 14.5 
Teorema Binomial (Binômio de Newton): 
y Se. a e b são números reais e n é um número natural 
ent ão tem-se: 
o 
(a + b)º = L c : an-r br = 
r = O 
_ eº o c l n-1 b c 2 n-2 b2 c n-1 bn-1 Cº 
- ºª + º a + ºª + · · · + º a + º 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.6 
Prova (princípio de indução matemática): 
o 
= Seja P(n): (a + b)º = L c : an-r br 
r = O 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.6 
Prova (princípio de indução matemática): 
o 
= Seja P(n): (a + b)º = L c : an-r br 
r = O 
(1) Rase de indução 
1 (a + b) = a + b 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.6 
Prova (princípio de indução matemática): 
o 
= Seja P(n): (a + b)º = L c : an-r br 
r = O 
(1) Rase de indução 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.6 
Prova (princípio de indução matemática): 
o 
= Seja P(n): (a + b)º = L c : an-r br 
r = O 
(1) Rase de indução 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.6 
Prova (princípio de indução matemática): 
o 
= Seja P(n): (a + b)º = L c : an-r br 
r = O 
(1) Rase de indução 
Logo, P(l) é verdadeira 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
Prova (princípio de indução matemática): 
o 
= Seja P(n): (a + b)º = L c : an-r br 
r = O 
(1) Rase de indução 
Logo, P(l) é verdadeira 
(2) Hipótese de indução (HI) 
P(k) é verdadeira 
14.6 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.7 
Prova (continuação): 
(3) P(k) é verdadeira ⇒ P(k + 1) é verdadeira 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
Prova (continuação): 
(3) P(k) é verdadeira 
~ k 
(a + b)k = r, C~ak-rbr 
r = O 
⇒ P(k + 1) é verdadeira 
' , 
- k+l 
( b )k+l - ~ c r k+l -r br a + - L- k+l a 
r = O 
ceded 
14.7 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
Prova (continuação): 
(3) P(k) é verdadeira 
~ k 
(a + b)k = r, C~ak-rbr 
r = O 
Desenvolvendo 
⇒ P(k + 1) é verdadeira 
k+l 
( b)k+l - ~ c r k+l -r br a + - L- k+l a 
r = O 
(a + b)k+i = (a + b)(a + b)k 
ceded 
14.7 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
Prova (continuação): 
(3) P(k) é verdadeira 
~ k 
(a + b)k = r, C~ak-rbr 
r =O 
Desenvolvendo 
⇒ P(k + 1) é verdadeira 
k+l 
( b )k+l - ~ c r k+l -r br a + - L- k+l a 
r =O 
14.7 
k 
(a + b)k+l = (a + b)(a + b)k ~ (a + b) L C~ak-r br 
r =O 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
Prova (continuação): 
(3) P(k) é verdadeira 
~ k 
(a + b)k = r, C~ak-rbr 
r =O 
Desenvolvendo 
⇒ P(k + 1) é verdadeira 
k+l 
( b )k+l - ~ c r k+l -r br a + - L- k+l a 
r =O 
14.7 
k 
(a + b)k+l = (a + b)(a + b)k ~ (a + b) L C~ak-r br = 
r =O 
k k 
~ c r k-rbr = a L- ka + 
r =O 
b r, C~ak-r br 
r= O 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.8 
Desenvolvimento indutivo (continuação): 
• 
OU SeJa : 
(a + b)k+l= a( C~ak + C! ak-lb + c ;ak-2b2 + ... + c : -1abk-l + C!b ) 
b(co k c l k-lb c 2 k-2b2 c k-1 bk-1 Ckbk) + ka + ka + ka + ... + k a + k 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.8Desenvolvimento indutivo (continuação): 
• 
OU SeJa: 
(a + b)k+l = a( C~ak + C! ak-lb + c ; ak-2b2 + ... + c : -1abk-l + C!b ) 
b(co k c l k-lb c 2 k-2b2 c k-1 bk-1 Ckbk)= + ka + ka + ka + ... + k a + k 
eº k+l c 1 kb c 2 k-1b2 c k-1 2bk-1 c k bk ka + ka + ka + ... + k a + ka 
eº kb c 1 k-1b2 c 2 k-2b3 c k-1 bk c kbk+l + ka + ka + ka + ... + k a + k 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.8 
Desenvolvimento indutivo (continuação): 
• 
OU SeJa: 
(a + b)k+l = a( C~ak + C! ak-lb + c ;ak-2b2 + ... + c : -1abk-l + C!b ) 
b(co k c l k-lb c 2 k-2b2 c k-1 bk-1 Ckbk)= + ka + ka + ka + ... + k a + k 
eº k+l nil kb c 2 k-1b2 c k-1 2bk-1 c k bk ka + '-'1k:a + ka + ... + k a + ka 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.8 
Desenvolvimento indutivo (continuação): 
• 
OU SeJa: 
(a + b)k+l= a( C~ak + C!ak-lb + c ;ak-2b2 + ... + c : -1abk-l + C!b ) 
b(co k c l k-lb c 2 k-2b2 c k-1 bk-1 Ckbk)= + ka + ka + ka + ... + k a + k 
eº k+l c 1 kb a@ k-1b2 c k-1 2bk-1 c k bk ka + ka +~ a + ... + k a + ka 
+ C~akb + ~ ak-lb2 + c ;ak-2b3 + ... + c : -1abk + C!bk+~ 
eº k+l (Cº Cl) kb (Cl C2) k-lb2 k a + k + k a + k + k a 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.8 
Desenvolvimento indutivo (continuação): 
• 
OU SeJa: 
(a + b)k+l= a( C~ak + C! ak-lb + c ;ak-2b2 + ... + c : -1abk-l + C!b ) 
b(co k c l k-lb c 2 k-2b2 c k-1 bk-1 Ckbk)= + ka + ka + ka + ... + k a + k 
e º k+l c 1 kb c 2 k-1b2 c k-1 2bk-1 .~ k bk ka + ka + ka + ... + k a ~ ka 
+ C~akb + c ! ak-lb2 + c ;ak-2b3 + ... ~ 1abk + C!bk+~ 
e º k+l (Cº Cl ) kb (Cl C2) k-lb2 k a + k + k a + k + k a + ... 
+ (c :-l + C! )abk + e ! bk+l 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.8 
Desenvolvimento indutivo (continuação): 
• 
OU SeJa: 
(a + b)k+l = a( C~ak + C! ak-lb + c ; ak-2b2 + ... + c : -1abk-l + C!b ) 
b(co k c l k-lb c 2 k-2b2 c k-1 bk-1 Ckbk)= + ka + ka + ka + ... + k a + k 
eº k+l c 1 kb c 2 k-1b2 c k-1 2bk-1 c k bk ka + ka + ka + ... + k a + ka 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.9 
Desenvolvimento indutivo (continuação): 
Usando a relação de Stifel e as condições de fronteira 
obtém-se: 
P(k + 1)·. < b )k+l e º k+l c 1 k b c 2 k- 1 b 2 a + = k+l a + k+l a + k+l a + · · 
Ck b k c k+l b k+l + k+l a + k+l 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.9 
Desenvolvimento indutivo (continuação): 
Usando a relação de Stifel e as condições de fronteira 
obtém-se: 
P(k + 1)·. < b )k+l eº k+l c 1 k b c 2 k- 1 b 2 a + = k+l a + k+l a + k+l a + · · 
Ck b k c k+l b k+l + k+l a + k+l = 
k+l r, a k+l - r b r 
r = O 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.9 
Desenvolvimento indutivo (continuação): 
Usando a relação de Stifel e as condições de fronteira 
obtém-se: 
P(k + 1)·. < b )k+l eº k+l c 1 k b c 2 k- 1 b 2 a + = k+l a + k+l a + k+l a + · · 
Ck b k c k+l b k+l + k+l a + k+l = 
k+l r, a k+l - r b r 
r = O 
Logo, P(k + 1) é verdadeira 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.9 
Desenvolvimento indutivo (continuação): 
Usando a relação de Stifel e as condições de fronteira 
obtém-se: 
P(k + 1)·. < b)k+l eº k+l c 1 k b c 2 k-1 b2 a + = k+l a + k+l a + k+l a + · · 
Ck bk c k+lbk+l + k+la + k+l = 
k+l 
= L ak+l-r br 
r = O 
Logo, P(k + 1) é verdadeira 
Então, pelo princípio de indução matemática tem-se 
o 
P(n): (a + b)º = r, c : an-r br é verdadeira 'v n EN 
r = O 
[!]@ ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.10 
y Observações: º 
(a + b)º T1. r, c : an-r br 
r = O 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.10 
y Observações: º 
(a + b)º T1. r, c : an-r br 
r = O 
desenvolvimentmu expansão 
da potência n de a + b 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.10 
y Observações: º 
(a + b)º T1 . r, c : an-r br 
r = O 
desenvolvimentmu expansão 
da potência n de a + b 
(1) Os coeficientes do desenvolvimento de (a+ b)º são os 
elementos da linha n do triângulo de Pascal. 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.10 
y Observações: º 
(a + b)º T1. r.c : an-r br 
r = O 
desenvolvimentmu expansão 
da potência n de a + b 
(1) Os coeficientes do desenvolvimento de (a+ b)º são os 
elementos da linha n do triângulo de Pascal. 
( por exemplo, (a+ b)3 = C~a 3+ C!a 2b + C!ab2 + C;b3 ) 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.10 
y Observações: º 
(a + b)º T1 . r.c : an-r br 
r = O 
desenvolvimentmu expansão 
da potência n de a + b 
(1) Os coeficientes do desenvolvimento de (a+ b)º são os 
elementos da linha n do triângulo de Pascal. 
( por exemplo, (a + b)3 = C~a 3+ C!a 2b + C!ab2 + C;b3 ) 
(2) O desenvolvimento de (a+ b)º tem (n + 1) termos 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.10 
y Observações: º 
(a + b)º T1. r.c : an-r br 
r = O 
desenvolvimentmu expansão 
da potência n de a + b 
(1) Os coeficientes do desenvolvimento de (a+ b)º são os 
elementos da linha n do triângulo de Pascal. 
( por exemplo, (a+ b)3 = C~a 3+ C!a 2b + C!ab2 + C;b3 ) 
(2) O desenvolvimento de (a+ b)º tem (n + 1) termos 
(3) O somando (r + 1) do desenvolvimento de (a+ b)º 
T = c r n-r br 
r+l na 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.10 
y Observações: º 
(a + b)º T1 . r.c : an-r br 
r = O 
desenvolvimentmu expansão 
da potência n de a + b 
(1) Os coeficientes do desenvolvimento de (a+ b)º são os 
elementos da linha n do triângulo de Pascal. 
( por exemplo, (a + b)3 = C~a 3+ C!a 2b + C!ab2 + C;b3 ) 
(2) O desenvolvimento de (a+ b)º tem (n + 1) termos 
(3) O somando (r + 1) do desenvolvimento de (a+ b)º 
T = c r n-r br 
r+l na 
( por exemplo, o segundo somando de (a + b)3 é T 2 = C!a 2 b, n = 3, = 1 ) 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.11 
Exemplo 4: 
Determine a expansão de (x + 3)4 • 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
Exemplo 4: 
Determine a expansão de (x + 3)4 • 
Resolução: 
14.11 
(X + 3)4 B __ .N. e º 4 c 1 ª 3 c 2 2 32 e ª 3a c 434 4X + 4X . + 4X . + 4X. + 4 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
Exemplo 4: 
Determine a expansão de (x + 3)4 • 
Resolução: 
14.11 
4 B.N. O 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (x + 3) = C4x + C4x .3 + C4x .3 + C4x.3 + C43 
Triângulo de Pascal até n = 4 
e~ 
e~ e! 
e~ e! e! 
e~ e! e! e! 
e~ e! e! e! e: 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
Exemplo 4: 
Determine a expansão de (x + 3)4 • 
Resolução: 
14.11 
4 B.N. O 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (x + 3) = C4x + C4x .3 + C4x .3 + C4x.3 + C43 
Triângulo de Pascal até n = 4 
e~ 1 
e~ e! 1 1 
e~ e! e! 1 2 1 
e~ e! e! e! 1 3 3 1 
e~ e! e! e! e: 1 4 6 4 1 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.11 
Exemplo 4: 
Determine a expansão de (x + 3)4 • 
Resolução: 
4 B.N. O 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (x + 3) = C4x + C4x .3 + C4x .3 + C4x.3 + C43 
Triângulo de Pascal até n = 4 
e~ 
e~ e! 
e~ e! e! 
e~ e! e! e! 
e~ e! e! e: e: 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
Resposta: (x + 3)4 = x4 +41.3x3 +66.9x2 -t44.27x + 81 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.11 
Exemplo 4: 
Determine a expansão de (x + 3)4 • 
Resolução: 
4 B.N. O 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (x + 3) = C4x + C4x .3 + C4x .3 + C4x.3 + C43 
Triângulo de Pascal até n = 4 
e~ 
e~ e! 
e~ e! e! 
e~ e! e! e! 
e~ e! e! e: e: 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
Resposta: (x + 3)4 = x4 +41.3x3 +66.9x2 -t44.27x + 8i 
= x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.12 
Exemplo 5: 
Seja n um número natural. Prove que para todo númer > 
real x se verifica: o 
Prova (desafio!) Desafio Voltar 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.13 
Exemplo 6: 
Seja n um número natural. Determine a expansão do 
binômio de Newton de (x - 1)0 , para x eJR . 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.13 
Exemplo 6: 
Seja n um número natural. Determine a expansão do 
binômio de Newton de (x - 1)0 , para x eJR . 
Resolução: 
No teorema do binômio de Newton consideramos 
a := x , b := - 1 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.13 
Exemplo 6: 
Seja n um número natural. Determine a expansão do 
binômio de Newton de (x - 1)0 , para x eJR . 
Resolução: 
No teoremado binômio de Newton consideramos 
a := x , b := - 1 
o 
Logo, (x - 1)0 = (x + (- 1))0 B~. L c :xn-r(- l)r 
r = O 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.13 
Exemplo 6: 
Seja n um número natural. Determine a expansão do 
binômio de Newton de (x - 1)0 , para x eJR . 
Resolução: 
No teorema do binômio de Newton consideramos 
a := x , b := - 1 
o 
Logo, (x - 1)0 = (x + (- 1))0 B~. L c :xn-r(- l)r= 
r = O 
o 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.13 
Exemplo 6: 
Seja n um número natural. Determine a expansão do 
binômio de Newton de (x - 1)0 , para x eJR . 
Resolução: 
No teorema do binômio de Newton consideramos 
a := x , b := - 1 
o 
Logo, (x - 1)0 = (x + (- 1))0 B~. L c :xn-r(- l)r= 
r = O 
o 
= L c :(- l)rxn-r 
o r = O 
isto é, (x - 1)0 = L c : (- l)rxn-r 
r = O 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.13 
Exemplo 6: 
Seja n um número natural. Determine a expansão do 
binômio de Newton de (x - 1)0 , para x eJR . 
Resolução: 
No teorema do binômio de Newton consideramos 
a := x , b := - 1 
o 
Logo, (x - 1)0 = (x + (- 1))0 B~. L c :xn-r(- l)r= 
r = O 
o 
= L c :(- l)rxn-r 
o r = O 
isto é, (x - 1)0 = L c : (- l)rxn-r 
r = O 
= Ilustração: (x - 1)5 = x5 - 5x 4 + 10x3 - 10x2 + 5x - J 
[!]@ ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.14 
y Observação: 
o 
(a + b)º = (b + a)º B~. r, c :bn-r ar ' 
r = O 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.14 
y Observação: 
o 
(a + b)º = (b + a)º B~. r, c :bn-r ar ' 
r = O 
substituindo r por k , resulta 
o 
(a + b)º = r, c !ak bn-k 
k = O 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
y Observação: 
o 
(a + b)º = (b + a)º B~. r, c :bn-r ar ' 
r = O 
substituindo r por k , resulta 
o 
(a + b)º = r, c !ak bn-k 
k = O 
y Outra notação: 
n 
k 
k n ! := Cn = -----
k ! (n - k)! 
o 
(a + b)º 8~ - L 
k = O k 
14.14 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
y Propriedade 
14.15 
Dados a e b números reais e n um número natural, o 
binômio de Newton admite o seguinte desenvolvimento 
o 
(a + b)º = L 
r = O n- k 
n 
Prova (desafio!) Desafio Voltar 
Use a condição complementar ou de simetria do 
coeficiente binomial. 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.16 
Exemplo 7: 
Determine o coeficiente de x2 no desenvolvimento de 
I 
3 
X 
\ 
1 ' 9 
2 
X 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.16 
Exemplo 7: 
Determine o coeficiente de x2 no desenvolvimento de 
I 
3 
X 
\ 
1 ' 9 
2 
X 
Resolução: 
º ' n ' 
(a + b )º = r, an-k bk 
k = O k 
_\ 
V 
' n ' 
T an-k bk k+l = 
' k , 
k = O, 1, ... , n 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.16 
Exemplo 7: 
Determine o coeficiente de x2 no desenvolvimento de 
I 
3 
X 
\ 
1 ' 9 
2 
X 
Resolução: 
º ' n ' 
(a + b)º = r, an-k bk 
k = O k 
_\ 
V 
I ' 
T - n n-k bk k+l - a 
' k , 
k = O, 1, ... , n 
Consideramos a = x3 , b = - 12 , n = 9 : 
-~ -~ X 
~~ ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 
Resolução (continuação): 
, , I , k 
9 (X3)9- k _ 
2 
\ k ' \ X 
1 ' 27- 3k 
9 (- l )k _ X-=-_ 
k 2k 
' ' X 
I 1 
( - l)k 9 x 21- 3k- 2k 
, k , 
27- 5k 
X 
14.17 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.17 
Resolução (continuação): 
, , I , k 
T 9 (X3)9- k _ 2 k+ l = 
\ k ' \ X 
1 ' 27- 3k 
9 (- l )k _ X-=-_ 
k 2k 
' ' X 
I 1 
( - l)k 9 x 21- 3k- 2k 
, k , 
Logo, devemos determinar k tal que 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.17 
Resolução (continuação): 
, , I , k 
T 9 (X3)9- k _ 2 k+ l = 
\ k ' \ X 
1 ' 27- 3k 
= 9 (- l )k _ X-=-_ 
k 2k 
' ' X 
--
J 1 / 1 = (- l)k 9 x 21- 3k- 2k = (- l)k 9 x 21- 5k 
, k , , k , , 
Logo, devemos determinar k tal que T k+i = ( - l)k 9 x 2 
Portanto, deve ser 27 - 5k = 2 ⇒ k = 5 ' k 
ceded 
Binômio de Newton: Teorema binomial 14.17 
Resolução (continuação): 
, , l , k 
T 9 (X3)9- k _ 2 k+ l = 
\ k ' \ X 
1 ' 27- 3k 
= 9 (- l )k _ X-=-_ 
k 2k 
' ' X 
--
J 1 / 1 = (- l)k 9 x 21- 3k- 2k = (- l)k 9 x 21- 5k 
, k , , k , , 
Logo, devemos determinar k tal que T k+i = ( - l)k 9 x 2 
Portanto, deve ser 27 - 5k = 2 ⇒ k = 5 ' k 
Resposta: 
I 
O coeficiente x2 de 
\ 
, g 
3 1 / x -~
2 
e 
X 
= - 126 
ceded 
Binômio de Newton 14.18 
Resumo: 
Definição de binômio: a + b 
Teorema binomial (ou Binômio de Newton): 
o 
(a+ b)º = r, c : an-r br "v' a , b E~ ' "v' n EZ+ 
r = O 
Observações: 
(1) Os coeficientes da expansão de (a+ b)º são os 
elementos da linha n do triângulo de Pascal. 
(2) A expansão de (a+ b)º tem n + 1 termos 
(3) O termo r + 1 da expansão de (a+ b)º é Tr+l = c : an-r b ' 
ceded 
Binômio de Newton: Resumo 
Notação: 
n 
r 
Propriedade: 
·- cr . - o 
o 
(a + b)º = L 
k = O 
n 
k 
o 
n-k b k a = L, 
k = O 
o 
L, 
k = O 
n 
n-k 
14.19 
ceded