AL_2022_Aula6_Autovetores_Autovalores

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Aula 6 – Autovetores e Autovalores
Prof. Me. Arthur F. E. Lucena
ÁLGEBRA LINEAR
mailto:prof.arthurlucena@uninga.edu.br
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LIVRO DE REFERÊNCIA
STEINBRUCH, A.; WINTERLE,
P. Álgebra Linear. São
Paulo: Pearson, 1995.
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AUTOVETORES E AUTOVALORES
Autovetor
Operador linear: é uma transformação linear de mesmo domínio e
contradomínio
Seja 𝑇: 𝑉 → 𝑉 um operador linear. Um vetor 𝑣 ∈ 𝑉 , sendo 𝑣 ≠ 0, é um
vetor próprio, vetor característico ou autovetor do operador T se
existe 𝜆 ∈ ℝ tal que 𝑇 𝑣 = 𝜆𝑣
Autovalor
O número real 𝜆 é denominado valor próprio, valor característico ou
autovalor de T associado ao autovetor 𝑣.
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AUTOVETORES E AUTOVALORES
- Em outras palavras, um vetor 𝒗 ≠ 𝟎 é vetor próprio se a imagem
𝐓(𝒗) for um múltiplo escalar de 𝒗.
- Graficamente, no ℝ2 e no ℝ3, 𝑣 e T(𝑣) têm a mesma direção.
- Dependendo do valor do autovalor 𝜆, o operador T dilata 𝒗, contrai 𝒗,
inverte o sentido de 𝒗, ou o anula (no caso de 𝜆 = 0)
𝒗 é 
Autovetor →
 𝒗 não é 
Autovetor
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AUTOVETORES E AUTOVALORES
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DETERMINAÇÃO DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES
Determinação de autovalores
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DETERMINAÇÃO DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES
Determinação de autovalores
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DETERMINAÇÃO DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES
Determinação de autovalores
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DETERMINAÇÃO DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES
Determinação de autovalores
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DETERMINAÇÃO DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES
Determinação de autovalores
- A equação det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 é denominada equação característica do
operador T ou da matriz A, e suas raízes são os valores próprios do
operador T ou da matriz A. O determinante det 𝐴 − 𝜆𝐼 é um polinômio
em 𝜆 denominado polinômio característico.
Determinação de autovetores
- A substituição de 𝜆 pelos seus valores no sistema homogêneo de
equações lineares permite determinar os autovetores.
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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01
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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02
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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03
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PROPRIEDADES DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES
I. Se v é o autovetor associado ao autovalor 𝜆 de um operador linear T, o
vetor α𝑣, para qualquer real α ≠ 0, é também autovetor de T associado ao
mesmo 𝜆.
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PROPRIEDADES DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES
II. Se 𝜆 é um autovalor de um operador linear 𝑇: 𝑉 → 𝑉, o conjunto 𝑆𝜆 de
todos os vetores 𝑣 ∈ 𝑉, inclusive o vetor nulo, associados ao autovalor 𝜆
é um subespaço vetorial de V.
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PROPRIEDADES DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES
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PROPRIEDADES DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES
III. Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, por
isso, os mesmos autovalores.