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Livro Digital Aula 07 – 
Trigonometria 
 
Medicina – Fuvest 2020 
 
 
 
 
Professor Marçal 
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Sumário 
Introdução .................................................................................................................................. 4 
1. Elementos básicos da trigonometria ........................................................................................ 4 
1.1. O que é um ângulo ..................................................................................................................... 4 
1.2. Ângulos e arcos de circunferência .............................................................................................. 5 
2. Razões Trigonométricas ......................................................................................................... 15 
2.1. Porcentagem ............................................................................................................................ 15 
2.2. Razão cosseno .......................................................................................................................... 16 
2.3. Razão seno ............................................................................................................................... 22 
3. Ciclo Trigonométrico ............................................................................................................. 23 
3.1. Tabela de senos e cossenos ...................................................................................................... 30 
3.2. Redução ao primeiro quadrante .............................................................................................. 31 
4. Razões trigonométricas no triângulo retângulo ...................................................................... 32 
4.1. Razões seno e cosseno no triângulo retângulo ........................................................................ 32 
4.2. Razão tangente no triângulo retângulo ................................................................................... 34 
4.3. Outras razões trigonométricas ................................................................................................. 35 
4.4. Associação de arcos ................................................................................................................. 35 
5. Funções Trigonométricas ....................................................................................................... 36 
5.1. Função cosseno ........................................................................................................................ 36 
5.2. Função seno .............................................................................................................................. 39 
5.3. Comparativo entre as funções seno e cosseno ........................................................................ 40 
5.4. Translação ................................................................................................................................ 41 
5.5. Amplitude e proximidade com relação ao eixo 𝒙 .................................................................... 41 
5.6. Período da função .................................................................................................................... 43 
5.7. Notação cíclica ......................................................................................................................... 46 
6. Questões de vestibulares anteriores ...................................................................................... 48 
7. Gabarito das questões de vestibulares anteriores .................................................................. 55 
8. Questões de vestibulares anteriores resolvidas e comentadas ............................................... 56 
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9. Considerações finais ............................................................................................................. 104 
 
 
 
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Introdução 
Nesta aula estudaremos as razões trigonométricas. Ao longo do curso, outros tópicos de 
trigonometria serão adicionados conforme necessidade pedagógica. Contudo, esta aula contém 
bases importantíssimas para o desenvolvimento do assunto. 
A teoria contém uma contextualização para entendermos o que são as razões seno e cosseno 
e a resolução dos exercícios traz de forma mais extensiva a aplicação dessa teoria. 
Estude com cautela tanto a teoria quanto a resolução dos exercícios. Trigonometria é um 
assunto delicado e precisa de um tempo de maturação para ser absorvido. 
Indico a leitura da parte teórica, seguida da lista de exercícios de vestibulares anteriores 
resolvidos e comentados e, ao final, a resolução dos exercícios de forma autônoma até que consiga 
resolver toda a lista sem consulta. 
Se ficar com dúvidas, já sabe. Entre em contato pelo fórum ou pelo site. 
Um grande abraço e bons estudos. 
 
1. Elementos básicos da trigonometria 
1.1. O que é um ângulo 
Você se lembra, das aulas de física, das ideias de direção e sentido? 
Ao passo que uma reta tem uma única direção, apresenta dois sentidos diferentes. 
Parecido ao que ocorre em uma rua de mão única, a rua (se reta, claro) representa a direção 
enquanto a mão da rua, o sentido. 
Direção é como se fosse um “rumo”. Um professor me disse uma vez que direção é o que 
existe de comum em um feixe de retas paralelas. 
Pois bem, o ângulo, objeto deste tópico, é a diferença de direção entre duas retas 
concorrentes1. 
Ao analisarmos duas retas concorrentes, podemos notar várias situações possíveis, 
acompanhe: 
 
1 Retas concorrentes: retas que têm apenas um ponto em comum. 
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Na representação dos ângulos é comum colocarmos os ângulos entre segmentos de retas, 
vetores, ou até representações de objetos. No entanto, estamos nos referindo ao ângulo entre as 
retas que contém os segmentos ou os vetores ou qualquer outro elemento que se possa representar, 
ok? Um ângulo é tomado entre duas retas. 
1.2. Ângulos e arcos de circunferência 
Ao analisarmos os ângulos, é natural dizermos que o ângulo reto é “maior” que um ângulo 
agudo. 
Mas veja que, sem definirmos um sistema de medida, a própria comparação fica 
comprometida. 
Com esse problema na cabeça, foram desenvolvidos vários sistemas de medida para os 
ângulos. Os mais famosos são: 
 
Vamos entender cada uma dessas medidas. 
1.2.1. Graus 
Há séculos a humanidade tem ciência de que a trajetória da Terra em torno do sol é circular 
e de ciclo periódico. A esse período, denominamos ano terrestre. 
Grau
Grado
Radiano
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Nos primeiros calendários, o ano figurava com 360 dias. Conforme nosso conhecimento se 
ampliava, a precisão foi aumentando até chegarmos aos 365 dias e 6 horas, aproximadamente. 
Justamente por causa dos calendários antigos, a circunferência foi dividida em 360 partes, 
uma para cada dia de translação da Terra em torno do sol. A cada uma dessas partes, chamamos de 
um grau2, simbolizado por 1°. 
Desse modo, surgiu a divisão da circunferência em graus como conhecemos hoje. 
Para praticidade, dividiremos a circunferência em quatro partes, chamadas quadrantes. Cada 
parte é o equivalente a 
1
4
∙ 360° = 90° 
Embora você possa traçar uma origem onde quiser em uma circunferência, por padrão, 
iniciamos no ponto extremo à direita e contamos osângulos no sentido anti-horário. 
1.2.2. Grados 
A origem da palavra grados é a mesma da palavra graus e eles apresentam significados 
semelhantes. 
A diferença é que, enquanto para os graus a circunferência foi dividida com base na 
astronomia e no calendário, para os grados a base foi nosso próprio sistema de numeração decimal. 
Como nossa contagem é decimal, é de se esperar que dividamos as coisas em múltiplos e 
divisores dessa linguagem. Dessa forma, cada quadrante da circunferência foi dividido em 100 
partes, cada parte denominada de 1 grado. 
Desse modo, a circunferência toda conta com 400 grados. 
Veja a graduação da circunferência em graus e em grados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Grau: do latim gradus, significa etapa, passo. 
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1.2.3. Radianos 
A palavra radianos deriva do latim radius que significa raio. 
Nos radianos, a intenção é estabelecer uma medida angular que dependa somente da própria 
circunferência. 
Como a definição de circunferência está intimamente ligada à definição de raio, nada mais 
justo que atrelarmos a medida angular ao raio da circunferência. 
 
Falando em circunferência, você sabe diferenciá-la de círculo? 
Circunferência é o conjunto de pontos equidistantes de um ponto central. 
 
A distância desse ponto central a qualquer um dos pontos 
da circunferência é chamada de raio da circunferência. 
 
Já o círculo é a área interna a uma circunferência. 
 
Podemos pensar que uma pizza e um disco são exemplos de círculos, 
enquanto um anel e um pneu fino são mais semelhantes à circunferência. 
 Para o estabelecimento do radiano como 
unidade de medida angular, vamos pegar a medida 
de um raio da circunferência e colocá-lo na própria 
circunferência. 
Aqui podemos definir dois conceitos 
importantes. 
O ângulo entre a reta que contém o raio 
contínuo e o raio pontilhado é de 1 radiano, 
representado por 1 rad. 
Um “pedaço” da circunferência, nesse caso 
referente a 1 raio, é chamado de arco de 
circunferência. 
 
 
 
Ângulo Arco
diferença de direção 
entre duas retas
parte de circunferência
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Mesmo dividindo a circunferência em radianos, ainda há a necessidade de dividir a circunferência 
em quadrantes. Vejamos como isso acontece. 
 
Agora começaram os problemas. 
Dividir a circunferência em arcos de um raio de comprimento, ou, em outras palavras, em 
arcos de 1 radiano, não retorna um número inteiro. 
Pelo que vimos na imagem anterior, uma volta na circunferência tem pouco mais de 6 raios, 
ou 6 radianos, o que é proporcional a pouco mais de 3 radianos em meia volta (dois quadrantes ou 
180°). 
Por meio do cálculo diferencial e de computação de alto desempenho, hoje sabemos com 
milhões de casas decimais de precisão, quanto vale esse “pouco mais de 3 radianos” que estão em 
180°. 
Esse 3 e pouco é tão importante em nossa ciência atual que tem até um nome específico. Já 
sabe de quem eu estou falando? 
Do número 𝜋 (Pi), que vale, aproximadamente, 𝜋 = 3,1415926535… 
Na verdade, o 𝜋 é um número irracional, sem padrão definido e infinitas casas decimais. 
A definição formal do número 𝜋 é a razão entre o semiperímetro da circunferência (o 
comprimento equivalente a 180°) e o raio (obviamente, da mesma circunferência). 
 
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𝑆𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑟𝑎𝑖𝑜
=
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜
= 𝜋 
Utilizando somente a segunda igualdade, temos: 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜
= 𝜋 
Multiplicando por 2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 ∙
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜
= 𝜋 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 
 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜
∙ 2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 = 𝜋 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 
 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝜋 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 
Você já deve ter visto essa relação, com o perímetro da circunferência simbolizado pela letra 
C, o raio da circunferência por 𝑟 e invertendo a ordem do produto do segundo membro: 
𝐶 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 
Muito bem, já conseguimos definir o valor de 𝜋, dividir a circunferência em quadrantes e 
descobrir uma fórmula para o perímetro da circunferência. 
Vamos, agora, escrever os ângulos dos quadrantes em radianos. 
No entanto, para escrevê-los, não utilizaremos os números inteiros(1 𝑟𝑎𝑑, 2 𝑟𝑎𝑑, 3 𝑟𝑎𝑑,… ), 
pois vimos que a circunferência não pode ser dividida em um número inteiro de radianos. 
Ao invés disso, já que 𝜋 é justamente o número de radianos correspondentes a 180° (meia 
volta), vamos utilizá-lo como padrão. 
Marquemos também a metade de 𝜋 rad, equivalente a 90°: 
1
2
∙ 180° =
1
2
∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 =
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑, 
o arco referente a 270°, o triplo de 90°, portanto, 
3 ∙ 90° = 3 ∙
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 =
3𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑, 
E a totalidade da circunferência: 
360° = 2 ∙ 180° = 2 ∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
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E, assim, estabelecemos como dividir a circunferência em radianos. 
1.2.4. Arcos notáveis 
Alguns arcos são muito recorrentes em problemas de física, matemática, engenharia e até 
computação. 
Por aparecerem tanto, vale a pena verificá-los com alguma deferência. 
Esses arcos notáveis são algumas frações do arco 𝜋 radianos, que acabamos de ver. 
Os mais frequentes são: 
𝜋
2
,
𝜋
3
,
𝜋
4
 𝑒
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 
Ok, professor, tudo bem. Mas como vou saber quantos graus equivalem a cada um destes 
arcos em radianos? 
Ótima pergunta! 
A técnica mais comum para essa transformação de unidades é a famosa regra de três: 180° 
equivalem a 𝜋 radianos. Quantos graus equivalem a fração de radianos procurada? 
No entanto, gostaria que você fosse por outro caminho. 
Sabemos que 180° equivalem a 𝜋 radianos e você precisa memorizar isso. 
Pois bem. Para transformar uma fração de 𝜋 radianos em graus, basta retirar o número 𝜋 
(com a unidade radianos) e colocar 180° no lugar, veja como é simples. 
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𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 =
180°
2
= 90° 
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 =
180°
3
= 60° 
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 =
180°
4
= 45° 
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 =
180°
6
= 30° 
Essa técnica é um pouco mais rápida que a regra de três e, a meu ver, tem mais potencial 
para ajudar na interpretação dos exercícios do vestibular. 
Vamos marcar estes arcos notáveis na circunferência? 
 
Professor, e se eu tenho um ângulo em graus, como o expresso em radianos? 
Igualmente simples. A regra de três sempre é uma opção, além de podermos dizer a fração 
que o ângulo é de 180°, afinal, é exatamente o que vale o 𝜋, não é? Já fizemos isso para estabelecer 
os ângulos de 90°, 270° 𝑒 360° anteriormente. 
Vish, entendi nada, professor... 
Calma, vejamos como fica na prática que você vai entender. 
Vamos transformar, digamos, 150° para uma fração de 𝜋 radianos. 
150° = 150° ∙ 1 = 150° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 150 
5 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o =
5𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
Perceba que a fração que inserimos não afeta o valor de 150°, pois a fração tem valor nominal 
igual a 1. Ao simplificar 150° com 180°, chegamos à fração correspondente ao arco em radianos. 
Note também que a unidade de graus também foi simplificada. 
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Esse método, com prática, acaba sendo mais rápido que a regra de três e aconselho a você 
treinar por este nos exercícios. 
Além dos arcos que já vimoscomo notáveis, todos os seus múltiplos, até uma volta completa, 
costumam aparecer nos problemas também. 
Sendo assim, vamos transformar todos esses múltiplos em radianos e marca-los na 
circunferência. 
Podemos fazer os múltiplos desses arcos tanto em radianos quanto em graus. 
Como exercício, vamos fazer em graus e, depois, transformá-los para radianos. 
Arco Múltiplos 
𝟑𝟎° 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, 270°, 300°, 330°, 360° 
𝟒𝟓° 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360° 
𝟔𝟎° 120°, 180°, 240°, 300°, 360° 
Nossa, são muitos, professor! 
Sem preguiça! Eu faço daqui e você faz daí, depois conferimos. 
Muitos deles se repetem como múltiplos de mais de um ângulo, então não precisamos 
calculá-los toda vez que aparecerem. Os arcos já conhecidos também não precisam ser calculados, 
como 90°, 180°, 270° e assim por diante. 
Vamos lá? Façamos essas transformações como um exercício de fixação. 
(Exercício de fixação) 
Transforme para radianos os seguintes ângulos dados em graus: 
a) 120° b) 135° c) 150° d) 210° e) 225° f) 240° g) 300° 
h) 315° i) 330° j) 360° 
 
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Já fez? Ok, minha vez então. 
Arco em graus Arco em radianos 
𝟏𝟐𝟎° 
120° = 120° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 120 
2 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
3 o =
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
𝟏𝟑𝟓° 
135° = 135° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 135 
3 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
4 o =
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 
𝟏𝟓𝟎° 
150° = 150° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 150 
5 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o =
5𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
𝟐𝟏𝟎° 
210° = 210° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 210 
7 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o =
7𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
𝟐𝟐𝟓° 
225° = 225° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 225 
5 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
4 o =
5𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 
𝟐𝟒𝟎° 
240° = 240° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 240 
4 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
3 o =
4𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟎𝟎° 
300° = 300° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 300 
5 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
3 o =
5𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟏𝟓° 
315° = 315° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 315 
7 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
4 o =
7𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟑𝟎° 
330° = 330° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 330 
11 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o =
11𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟔𝟎° 
360° = 360° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 360 
2 o
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
1 o = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
 
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Como nosso último exercício sobre esse assunto, que tal colocarmos todos esses arcos na 
circunferência? 
 
(Exercício de fixação) 
Indique os múltiplos dos arcos notáveis na circunferência. 
Resposta 
 
 
 
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2. Razões Trigonométricas 
2.1. Porcentagem 
A porcentagem é uma razão entre duas grandezas, expressa em grupos de cem. 
Para calcular uma porcentagem de algo, é comum que se use uma calculadora ou, na melhor 
das hipóteses, a regra de três. 
Veremos aqui uma maneira mais direta de expressar essa razão, quer expressa em grupos de 
cem, quer na forma pura. 
Vamos lá. 
Pense na idade da pessoa mais idosa que você conhece. Pode ser um parente, alguém do 
trabalho, da escola, quem você quiser. 
Agora, vamos comparar a idade dessa pessoa com a sua por meio da porcentagem. 
De posse da sua idade e da outra, podemos fazer duas razões: 
 a sua idade dividida pela dela a idade dela dividida pela sua 
Vamos analisar ambos os casos. 
Aqui, vou indicar a sua idade como 20 anos e a idade da pessoa mais velha como 95 anos, 
mas você pode refazer as operações com os valores reais. 
O que indicaria a razão: a sua idade dividida pela dela? 
Vejamos: 
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 1 =
20
95
≅ 0,2105 
Se quisermos expressar essa razão em porcentagem, basta multiplicarmos por 100 100⁄ . 
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 1 =
20
95
≅ 0,2105 ∙
100
100
=
21,05
100
= 21,05 % 
Isso significa, literalmente, que você viveu 0,2105 vida da pessoa ou, se preferir, 21,05 % da 
vida da pessoa. Bem simples, não é? 
Vamos fazer a razão inversa: a idade da pessoa dividida pela sua. 
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 2 =
95
20
= 4,75 = 4,75 ∙
100
100
=
475
100
= 475 % 
Indicando que a pessoa viveu 4,75 vidas suas ou 475 % da sua vida. 
Desse modo, veja mais algumas relações entre a notação decimal e a de porcentagem. 
 
 
 
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Porcentagem Notação decimal 
𝟏𝟓 % 0,15 
𝟒𝟖 % 0,48 
𝟏𝟎 % 0,10 = 0,1 
𝟓 % 0,05 
𝟏 % 0,01 
𝟗𝟗 % 0,99 
𝟏𝟎𝟎 % 1 
Durante nosso curso, sempre que você vir um número na forma decimal, indico fazer um 
gatilho mental para a porcentagem até que isso fique automático para você. Isso lhe trará muitos 
benefícios na matéria. 
2.2. Razão cosseno 
Imagine que, em um dia de sol a pino, você coloque uma tábua deitada no chão. 
O solo, imediatamente abaixo dessa tábua, será impedido de receber diretamente a luz solar, 
pois a tábua projeta no solo uma sombra. 
Você diria que a sombra dessa tábua, que está praticamente tocando o solo, será muito maior 
que a própria tábua, aproximadamente do mesmo tamanho ou menor que a tábua? 
Pois bem, a sombra deve ter, praticamente, o mesmo tamanho de quem a projeta, já que 
quem a projeta está a pouca distância. 
 
 
 
Usando a porcentagem que acabamos de ver, é seguro dizer que essa sombra tem 100% do 
tamanho da tábua ou, em decimal, 1 tábua de comprimento. 
Por algum motivo, você decide levantar uma das extremidades da tábua e nota que a sombra que a 
tábua projeta no chão começa a diminuir. 
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Se precisássemos calcular qual o tamanho da sombra em relação à tábua, poderíamos fazer 
a razão entre o tamanho da sombra e o comprimento da tábua. 
É de se imaginar que, quanto mais inclinamos a tábua, menor será sua sombra, até que, 
quando a tábua estiver de pé, praticamente não fará sombra alguma, ou seja, 0 % de sombra. 
Se projetarmos uma circunferência com uma tábua de raio, podemos representar essa exata 
situação, veja: 
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 A sombra máxima possível é de 1 tábua e a mínima, quando a tábua estiver a 90°, zero. 
Nesse modelo, é razoável considerarmos a sombra do outro lado da tábua, como negativa, 
significando que a tábua foi “tombada”. 
Vamos indicar os arcos notáveis do primeiro quadrante, bem como os números máximo e 
mínimo para a sombra da tábua em função da tábua. 
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Conforme vamos alterando o ângulo entre a tábua e a horizontal, a sombra também varia. 
Suponhamos que você tenha feito as medidas e calculado as razões para os arcos indicados e 
os tenha anotado no diagrama. Seria algo mais ou menos assim: 
 
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Muito bem, vejamos o que conseguimos concluir disso tudo. 
Vamos comparar as inclinações que obtivemos e as razões entre sombra e tábua. 
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Arco 𝑹𝒂𝒛ã𝒐 =
𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒂
𝒕á𝒃𝒖𝒂
 Porcentagem 
𝝅
𝟔
𝒓𝒂𝒅 (𝟑𝟎°) 0,866 86,6 % 
𝝅
𝟒
𝒓𝒂𝒅 (𝟒𝟓°) 0,707 70,7 % 
𝝅
𝟑
𝒓𝒂𝒅 (𝟔𝟎°) 0,5 50 % 
 
Trocando em “miúdos” 
Com a tábua deitada, ou seja, a 0°, a sombra tinha 100% do comprimento da tábua. 
Quando inclinamos a tábua em um ângulo de 30° com a horizontal, a sombra representava 
86,6 % do comprimento da tábua. 
Inclinando mais um pouco, a 45°, a sombra tinha o equivalente a 70,7 % do comprimento da 
tábua.Um pouco mais e chegamos a 60°, quando a tábua estava com 50 % do comprimento da 
tábua. 
E, finalmente, se inclinarmos a tábua até 90°, a sombra do comprimento da tábua deixaria de 
existir, ou seja, 0 % do comprimento da tábua. Talvez uma pequena sombra da largura da tábua, 
mas o comprimento não projetaria sombra. 
Agora é que vem a parte interessante. Esses ângulos estão atrelados a essas porcentagens, 
independentemente do tamanho da tábua. 
É isso mesmo. 
Em qualquer lugar do universo, ao montarmos um experimento semelhante, as porcentagens 
seriam idênticas. 
Essas porcentagens são muito conhecidas e recebem o nome de cosseno do ângulo, 
simbolizadas por cos (𝑎𝑟𝑐𝑜), assim, podemos dizer que: 
cos (
𝜋
6
) = cos(30°) ≅ 0,866 cos (
𝜋
4
) = cos(45°) ≅ 0,707 cos (
𝜋
3
) = cos(60°) ≅ 0,5 
Perceba que, quando falamos em radianos, não precisamos anotar a unidade no argumento 
da razão cosseno; mas quando falamos em graus, sim. 
Além disso, a partir de agora e pelo resto de sua vida, quando vir um cosseno, relacione-o à 
porcentagem de projeção na horizontal de uma barra inclinada. 
Entender o que representam as razões trigonométricas é um diferencial imenso e tem o 
potencial de levar você a um patamar muito diferenciado tanto na hora da prova quanto no ensino 
superior em si, caso opte por algum curso na área de exatas. 
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Vamos, por fim, nomear o eixo horizontal de nossa circunferência como eixo dos cossenos e 
nasce, aqui, nosso ciclo trigonométrico: uma circunferência de raio 1, cuja projeção do arco na 
horizontal representa uma porcentagem com relação ao raio. 
 
 
2.3. Razão seno 
A razão seno é semelhante à razão cosseno, porém é uma porcentagem com relação ao eixo 
vertical ao invés de ao horizontal. 
Podemos pensar na seguinte situação prática para compreender essa razão de modo mais 
efetivo. 
Uma estrutura inclinada sempre projeta uma sombra cuja porcentagem do comprimento da 
estrutura é dada pelo cosseno do ângulo de inclinação. 
Essa mesma estrutura inclinada sempre atinge uma altura máxima, que é expressa em 
porcentagem do comprimento da estrutura e é dada pelo seno do ângulo de inclinação. 
Colocando essa estrutura o eixo vertical do nosso ciclo trigonométrico, temos: 
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3. Ciclo Trigonométrico 
Comecemos desfazendo um engano muito comum: o nome é ciclo trigonométrico e não 
círculo trigonométrico. 
Apesar de ser, sim, construído em cima de um círculo, o nome ciclo trigonométrico se dá por 
ser cíclico, ou seja, a cada volta que se dá na circunferência do ciclo trigonométrico, as razões seno 
e cosseno (e todas as outras que veremos mas adiante) voltam a seus valores iniciais e o ciclo se 
repete. 
Estudemos, agora, como o ciclo trigonométrico completa seu ciclo. 
Intuitivamente, fomos construindo os elementos base de que precisaremos agora. Dividimos, 
por exemplo, a circunferência em quadrantes. Esses quadrantes, que, certamente são quatro, 
recebem a seguinte denominação: 
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A origem dos arcos se dá no ponto extremo à direita e seu sentido de rotação é anti-horário. 
 
Seno e cosseno são, na verdade, porcentagens com relação ao objeto de referência. Como o 
tamanho do objeto de referência é, em porcentagem, 100 % = 1, temos, aí, definido o raio do ciclo 
trigonométrico: raio unitário. 
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O seno e o cosseno de um arco do 1° quadrante são, sempre, positivos e servem de referência 
para os valores de seno e de cosseno de arcos de outros quadrantes. 
 
No segundo quadrante, os ângulos continuam apresentando seno positivo, mas o cosseno 
passa a ser negativo. 
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Para arcos do terceiro quadrante, tanto seno quanto cosseno são negativos. 
 
 
E, por fim, os ângulos do quarto quadrante apresentam valores de seno negativos e de 
cosseno positivos. 
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Professor, e quando o ângulo está em cima do eixo, a qual quadrante ele pertence? 
Excelente pergunta! Na verdade, a quadrante nenhum, ele pertence ao eixo. 
Quando isso acontece, uma de suas razões trigonométricas é nula e a outra é máxima. 
Vejamos no ciclo trigonométrico como isso acontece. 
 
Esse caso reflete nossa situação inicial, lembra? A tábua deitada tem sombra máxima 
(cos(0) = 1 = 100 %) e altura mínima (sen(0) = 0), praticamente sem altura. 
Vejamos o próximo caso. 
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Ou seja, a tábua em pé não faz sombra, mas atinge altura máxima igual a 100 % = 1 altura. 
Próximo. 
 
O caso aqui é similar à tábua no chão. O sinal de negativo no cosseno indica só que ela está 
do outro lado da origem, mas a interpretação é a mesma. 
Mais um? 
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E, finalmente, completamos o ciclo com o último arco, 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. 
 
Perceba que 
sen(2𝜋) = sen(0) = 0 cos(2𝜋) = cos(0) = 1 
E essa igualdade marca o reinício do ciclo trigonométrico. Caso continuemos a girar, todo o 
comportamento visto até aqui se repetirá indefinidamente. 
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3.1. Tabela de senos e cossenos 
Nossa, vimos muita coisa, não? Vamos organizar esses dados. 
Arco em 
radianos 
𝟎 
𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
𝝅
𝟐
 𝝅 
𝟑𝝅
𝟐
 𝟐𝝅 
Arco em 
graus 
0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 
seno 0 0,5 0,707… 0,866… 1 0 −1 0 
cosseno 1 0,866… 0,707… 0,5 0 −1 0 1 
 
Você percebeu uma inversão entre os valores apresentados para os arcos de 30° e 60°? 
Isso acontece porque esses arcos são complementares, isto é, arcos cuja soma é 90°. 
Quaisquer arcos 𝛼 e 𝛽, nos quais 
𝛼 + 𝛽 =
𝜋
2
, 
temos 
sen(𝛼) = cos(𝛽) 
sen(𝛽) = cos(𝛼) 
Outro ponto importante é que há, nessa tabela, alguns números aproximados. 
Chegamos a esses valores de maneira experimental, no experimento da tábua inclinada. 
Utilizando outros métodos, podemos chegar a frações mais precisas que a medição direta e 
aí, esses números aproximados são representações dessas frações já estabelecidas. Você pode usar 
tanto o valor aproximado quanto a fração. No entanto, em alguns exercícios é mais indicado um ou 
outro método. 
Sendo assim, para facilitar, vejamos também a mesma tabela com as frações que geram os 
valores que constam na tabela anterior. 
Arco em 
radianos 
0 
𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
𝝅
𝟐
 𝝅 
𝟑𝝅
𝟐
 𝟐𝝅 
Arco em 
graus 
0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 
seno 0 
1
2
 
√2
2
 
√3
2
 1 0 -1 0 
cosseno 1 √3
2
 
√2
2
 
1
2
 0 -1 0 1 
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E sim, você terá que memorizar esses valores. Mas não precisa ser agora, pois vamos, ainda, 
colocar mais informação nessa tabela. Quando chegar a hora, passo a você um método para 
memorizá-la facilmente, ok? Sem estresse por enquanto, mais tarde ele aparece . 
 
3.2. Redução ao primeiro quadrante 
Os arcos que vimos como notáveis funcionam,também, como guia para descobrirmos senos 
e cossenos de ângulos correspondentes nos outros quadrantes. 
Veja, para o caso do arco de 30°, como isso acontece. 
 
Professor, tenho que decorar isso? 
Negativo! 
Na verdade, a redução ao primeiro quadrante é uma técnica que permite a você uma dedução 
rápida dos arcos dos outros quadrantes, sabendo apenas as razões trigonométricas dos arcos do 
primeiro quadrante. 
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4. Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
4.1. Razões seno e cosseno no triângulo retângulo 
Suponha que você pegue uma escada e a encoste 
na parede para fixar um quadro. 
O pé da escada está a 2 metros da parede e o topo 
da escada, a 4 metros de altura. 
Que tamanho de sala, heim professor! 
Sim, minha sala é grande! 
Vamos ilustrar a situação. 
Como retomada de conteúdo, pergunto a você: 
qual é o comprimento da escada? 
Bom, o chão e a parede, normalmente, formam 
um ângulo de 90°, então estamos falando dos lados de 
um triângulo retângulo. 
Um teorema muito famoso relacionado aos lados 
de um triângulo retângulo é o teorema de Pitágoras, 
lembra-se dele? 
O teorema de Pitágoras diz que a soma dos 
quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. 
Escrevendo uma equação equivalente, com a hipotenusa representada pela letra 𝑎 e os 
catetos, pelas letras 𝑏 e 𝑐, temos: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
Os catetos são os lados menores, no nosso caso, o chão e a parede, enquanto a hipotenusa é 
o maior, a própria escada. 
Substituindo, temos: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
𝑎2 = 22 + 42 
𝑎2 = 4 + 16 
𝑎2 = 20 
Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros, temos: 
√𝑎2 = √20 
|𝑎| = √20 
𝑎 = ±√20 
Como estamos falando de uma distância, 
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𝑎 = +√20 
Fatorando o 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5, temos: 
𝑎 = √22 ∙ 5 
𝑎 = √22 ∙ √5 
𝑎 = 2 ∙ √5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
Atualizando nossos dados: 
 
Com o que aprendemos até agora, podemos nos perguntar: qual é o cosseno do ângulo 𝜃, 
formado entre o chão e a escada? 
Simples, o cosseno é a porcentagem da projeção horizontal (sombra) da escada no chão. 
Como já sabemos calcular a porcentagem, podemos fazer: 
cos(𝜃) =
𝑐ℎã𝑜
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎
=
2
2√5
=
1
√5
≅ 0,447 ≅ 44,7 % 
E a altura, que porcentagem ela representa da escada? 
Altura? Seno! 
A porcentagem é dada por: 
sen(𝜃) =
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎
=
4
2√5
=
2
√5
≅ 0,894 ≅ 89,4 % 
Perfeito. 
No triângulo retângulo, como dito a pouco, os dois menores lados são chamados de catetos 
e o maior, hipotenusa. 
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Quando estabelecemos um ângulo no triângulo que não seja o ângulo reto, temos um cateto 
ao lado do ângulo, ou seja, adjacente3 ao ângulo; e outro do outro lado do triângulo, oposto. 
Com essa nomenclatura nova, cateto adjacente e cateto oposto, podemos fazer, diretamente, 
essas porcentagens em quaisquer triângulos retângulos que queiramos, veja: 
cos(𝜃) =
𝑐ℎã𝑜
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
 
sen(𝜃) =
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
 
 
4.2. Razão tangente no triângulo retângulo 
Ainda sobre a escada na parede, outra pergunta muito frequente, sobretudo na engenharia 
civil, é: quantas vezes a altura é maior que a sombra? 
Essa ideia é até intuitiva e dá diretamente uma ideia de inclinação. 
Na aviação, a razão de planeio de uma aeronave é exatamente isso: quantos quilômetros de 
alcance para cada quilômetro de altura (caso pare o motor). 
O nome dessa relação é tangente, tg(𝜃) e, em nosso exemplo anterior, é dada por: 
 
tg(𝜃) =
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
𝑐ℎã𝑜
=
4
2
= 2 = 200 % 
 
Indicando que a altura atingida pela escada na parede é 
equivalente ao dobro da sombra. 
Essa definição da tangente pode ser expandida para qualquer 
triângulo retângulo, como fizemos com o seno e com o cosseno, veja: 
 
tg(𝜃) =
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
𝑐ℎã𝑜
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
 
Um fato interessante é que, ao dividirmos o seno pelo cosseno, chegamos exatamente à 
mesma expressão: 
 
sen(𝜃)
cos(𝜃)
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
 
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
 
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
∙
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
∙
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
⇒ tg(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
 
3 Adjacente: ao lado, junto, próximo, vizinho. 
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4.3. Outras razões trigonométricas 
Além das razões trigonométricas que estudamos, há as chamadas razões trigonométricas 
derivadas, que são razões definidas a partir das que já estudamos. 
Apesar de não serem tão comuns, vale a citação. 
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 ⇒ sec(𝜃) =
1
cos(𝜃)
 
𝐶𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝜃) =
1
sen(𝜃)
 
𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) =
1
tg(𝜃)
=
cos(𝑥)
sen(𝑥)
 
4.4. Associação de arcos 
Professor, se cos(60°) = 0,5, podemos dizer que cos(120°) = 1? 
Negativo. 
Veremos no próximo capítulo quanto vale cos(120°), mas adianto que não é 1. 
Quando conhecemos o valor de uma razão trigonométrica de um ângulo e queremos 
descobrir a mesma razão trigonométrica do dobro desse mesmo ângulo, não podemos 
simplesmente dobrar o valor, pois as razões trigonométricas não são lineares, não podemos fazer 
regras de três com elas. 
Você terá contato aqui com algumas fórmulas prontas. 
Ainda não temos recursos para prová-las, mas teremos quando estudarmos a Geometria 
Analítica. 
Até lá, não é preciso decorá-las de imediato. Tenha-as à mão para consulta quando for fazer 
os exercícios e, com a prática, sua memória as fixará. 
No transcorrer do curso, daremos a elas um tratamento minucioso e a memorização, então, 
ficará muito mais fácil. 
Por enquanto, as apresento. 
 
sen 𝜃 =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
cos 𝜃 =
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
tg 𝜃 =
sen 𝜃
cos 𝜃
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
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4.4.1. Soma de arcos 
sen(𝑎 + 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) + sen(𝑏) cos(𝑎) 
cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − sen(𝑎) sen(𝑏) 
tg(𝑎 + 𝑏) =
tg(𝑎) + tg(𝑏)
1 − tg(𝑎) tg(𝑏)
 
4.4.2. Diferença de arcos 
sen(𝑎 − 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) − sen(𝑏) cos(𝑎) 
cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sen(𝑎) sen(𝑏) 
tg(𝑎 − 𝑏) =
tg(𝑎) − tg(𝑏)
1 + tg(𝑎) tg(𝑏)
 
4.4.3. Arco duplo 
sen(2𝑎) = 2 sen(𝑎) cos(𝑎) cos(2𝑎) =
{
 
 
 
 
cos2(𝑎) − sen2(𝑎)
 
2 cos2(𝑎) − 1
 
1 − 2 sen2(𝑎)
 tg(2𝑎) = 
2 tg(𝑎)
1−tg2(𝑎)
 
4.4.4. Arco metade 
cos (
𝑎
2
) = ± √
1+cos(𝑎)
2
 sen (
𝑎
2
) = ± √
1−cos(𝑎)
2
 tg (
𝑎
2
) = ± √
1−cos(𝑎)
1+cos(𝑎)
 
 
5. Funções Trigonométricas 
Quando estudamos as funções, vimos que há duas condições a serem satisfeitas para que 
uma relação entre dois conjuntos seja uma função. 
 
5.1. Função cosseno 
Podemos, então, estabelecer dois conjuntos: 
 
Função
1) A regra da função deve 
fornecer um 𝑓(𝑥) para todo 
𝑥 pertencente ao Domínio. 
Sem exceções.
2) Não são aceitas 
ambiguidades. A cada 𝑥 deve 
haver um único 𝑓(𝑥)
correspondente.
ângulos do ciclo 
trigonométrico
números entre −1 e 1
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E, entre eles, uma relação tal que a cada ângulo 𝑥, relacionamos o seu cosseno, cos(𝑥). 
Essa relação obedece às duas regras para que tenhamos uma função? 
Vejamos. 
Para qualquer ângulo 𝑥, conseguimos calcular cos(𝑥), então, a primeira regra está satisfeita. 
A cada ângulo 𝑥 está associado um único valor de cos(𝑥), então, a segunda regra também 
está satisfeita. Desse modo, é seguro estabelecer que 𝑓(𝑥) = cos(𝑥)é uma função. 
 
Estamos em um ponto crítico na construção do conhecimento acerca da trigonometria. 
De um lado temos o ciclo trigonométrico cujo eixo horizontal marca os cossenos dos 
ângulos marcados na circunferência. 
De outro, definindo uma função como o cosseno de um ângulo, podemos fazer o gráfico 
dessa função. 
O gráfico da função é, como foi até agora para todas as funções que estudamos, no 
plano cartesiano. E plano cartesiano não é o mesmo que ciclo trigonométrico, apesar de 
terem seus pontos em comum. 
Esclarecido, pergunto: como seria o gráfico dessa função? 
Vamos calcular alguns valores de cosseno e relacioná-los aos seus respectivos valores 
angulares em uma tabela e, a partir dela, esboçar o gráfico da função. 
x cos(x) x cos(x) x cos(x) 
0 1,000 
 
165 -0,966 
 
330 0,866 
15 0,966 
 
180 -1,000 
 
345 0,966 
30 0,866 
 
195 -0,966 
 
360 1,000 
45 0,707 
 
210 -0,866 
 
375 0,966 
60 0,500 
 
225 -0,707 
 
390 0,866 
75 0,259 
 
240 -0,500 
 
405 0,707 
90 0,000 
 
255 -0,259 
 
420 0,500 
105 -0,259 
 
270 0,000 
 
435 0,259 
120 -0,500 
 
285 0,259 
 
450 0,000 
135 -0,707 
 
300 0,500 
 
465 -0,259 
150 -0,866 
 
315 0,707 
 
480 -0,500 
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Os valores foram calculados em meio computacional, mas podemos reconhecer, neles, alguns 
dos valores que já estudamos. 
Agora, vamos colocar esses valores em um plano cartesiano. 
 
Comentamos anteriormente que o cosseno só poderia variar entre −1 e 1, visto que ele 
representa uma porcentagem. Era de se esperar que o esboço do gráfico da função cosseno também 
ficasse limitado a esses extremos. 
Se colocarmos cada vez mais pontos no gráfico, vamos desenhar uma linha contínua cuja 
forma é chamada de cossenoide. 
 
 
 
 
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5.2. Função seno 
Podemos fazer exatamente o mesmo para o seno, estabelecendo a função 𝑔(𝑥) = sen(𝑥). 
x sen(x) 
 
x sen(x) 
 
x sen(x) 
0 0,000 
 
165 0,259 
 
330 -0,500 
15 0,259 
 
180 0,000 
 
345 -0,259 
30 0,500 
 
195 -0,259 
 
360 0,000 
45 0,707 
 
210 -0,500 
 
375 0,259 
60 0,866 
 
225 -0,707 
 
390 0,500 
75 0,966 
 
240 -0,866 
 
405 0,707 
90 1,000 
 
255 -0,966 
 
420 0,866 
105 0,966 
 
270 -1,000 
 
435 0,966 
120 0,866 
 
285 -0,966 
 
450 1,000 
135 0,707 
 
300 -0,866 
 
465 0,966 
150 0,500 
 
315 -0,707 
 
480 0,866 
 
Colocando esses valores em um plano cartesiano. 
 
E, enfim, esboçando o gráfico da função. 
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O nome dessa curva é senoide e tem exatamente o mesmo formado da cossenoide, porém 
deslocada. 
5.3. Comparativo entre as funções seno e cosseno 
Vamos analisar ambas as curvas em um mesmo plano cartesiano. 
 
Perceba que ambas as funções estão sempre fora de sincronia, embora seus ciclos sejam 
sempre de 360°. 
No ângulo 0°, o cosseno é máximo enquanto o seno é zero, exatamente o que vimos quando 
estudamos o ciclo trigonométrico. Já em 90°, é ao contrário, o cosseno é nulo e o seno é máximo. 
Ambas as funções vão se alternando ciclicamente. (Ciclo trigonométrico, lembra?) 
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5.4. Translação 
Na aula passada, estudamos os conceitos de translação (horizontal e vertical) para as funções. 
Pois bem, essas translações também valem para as funções trigonométricas, então, fique à 
vontade para usá-las. No item anterior, fizemos o esboço do gráfico de 𝑓(𝑥) = sen(𝑥). 
Esbocemos, então, com as técnicas de translação, o gráfico da função 𝑓(𝑥) deslocada 2 
unidades para cima e 80° para a direita. 
Para deslocar a função para cima em 2 unidades, façamos 𝑔(𝑥) = sen(𝑥) + 2 
Para deslocar a função 80° para a direita, façamos ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥 − 80°) = sen(𝑥 − 80°) + 2. 
Vejamos como ficam essas funções no gráfico. 
 
5.5. Amplitude e proximidade com relação ao eixo 𝒙 
Vimos que tanto a função seno quanto a função cosseno são limitadas ao intervalo [−1; 1]. 
Esse limite vem, diretamente, do raio do ciclo trigonométrico, que é unitário. 
Dizemos, assim, que a amplitude das funções seno e cosseno é igual a 1, 𝐴 = 1. 
No gráfico dessas funções, podemos entender a amplitude como sendo o deslocamento 
máximo da função com relação ao eixo 𝑥. Mas atenção, só podemos comparar com o eixo 𝑥 quando 
a função não sofreu translações, ok? 
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Note que a amplitude da função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) é 𝐴 = 1. Não há amplitude negativa, 
amplitude é o módulo do afastamento máximo da função com relação ao eixo. 
Caso nós apliquemos a teoria que vimos sobre afastamento à função seno, seus pontos 
sofrerão alteração e, consequentemente, também afetará a amplitude. 
A amplitude das funções seno e cosseno está intimamente ligada ao módulo do número que 
a acompanha, multiplicando a própria função. 
𝑓(𝑥) = sen(𝑥) ⇒ A = 1 
𝑓(𝑥) = 2 ∙ sen(𝑥) ⇒ A = 2 
𝑓(𝑥) = −5 ∙ cos(𝑥) ⇒ A = 5 
𝑓(𝑥) = − sen(𝑥) ⇒ A = 1 
𝑓(𝑥) = √3 ∙ cos(𝑥) ⇒ A = √3 
Vejamos graficamente quando multiplicamos a função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) por 3. 
 
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Amplitude 
Deslocamento horizontal 
Deslocamento vertical 
? 
Desse modo, podemos definir a amplitude das funções seno e cosseno como sendo: 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ sen(𝑥) 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ cos(𝑥) 
5.6. Período da função 
Para calcular qual é o período da função, ou seja, o tamanho de seu ciclo, podemos pegar a 
diferença horizontal entre dois pontos máximos (pontos de pico) ou dois pontos mínimos (pontos 
de vale). 
Para a função seno, por exemplo, vemos no gráfico que o primeiro ponto de pico acontece 
em (90°; 1) e o segundo em (450°; 1). A diferença horizontal entre esses pontos é de 450° − 90° =
360°. 
E o que isso significa? 
Significa que o período da função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) é 360°, ou ainda, 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. A função faz todo 
o seu ciclo e volta a repetir seu comportamento indefinidamente a cada 360°. 
Podemos usar os pontos de vale também. Peguemos os dois pontos de vale da função 𝑓(𝑥) =
cos(𝑥), que acontecem em (180°;−1) e (540°;−1). O ciclo da função é dado por 540° − 180° =
360°, ou seja, o período da função cosseno também é de 360°. 
5.6.1. Alteração do período da função 
Olhando todos os termos de uma função seno (ou cosseno), já entendemos os papéis de 
várias constantes, veja: 
 
 
 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ sen(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 
 
 
 
Oras, ainda falta um termo para estudarmos! 
O que será que faz esse termo 𝑏? 
Vamos fazer alguns gráficos alterando o termo 𝑏 e descobrir de vez. 
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Aumentemos o termo 𝑏 para 𝑏 = 2. 
 
Interessante... 
Mais um, 𝑏 = 3. 
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Legal. Será que 𝑏 pode ser fracionário? Testemos para 𝑏 = 1,5. 
 
 
 
 
 
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Amplitude 
Deslocamento horizontal 
Deslocamento vertical 
Número de ciclos em 360° 
Negativo? 𝑏 = −1 
 
Muito bem, já entendi. 
O termo 𝑏 é responsável pelo número de ciclos que a função executa em 360°.Desse modo, vamos completar nosso esquema. 
 
 
 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ sen(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 
 
 
 
 
5.7. Notação cíclica 
Por causa da periodicidade das funções trigonométricas, frequentemente temos mais de uma 
resposta para condições dadas em equações. 
Por exemplo, imagine que estejamos interessados em expressar quais os valores de 𝑥 
satisfazem: 
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{
 
 
 
 cos(𝑥) =
√3
2
 
sen(𝑥) =
1
2
 
Oras, esse é um ângulo notável, já sabemos quanto ele vale. 
{
 
 
 
 cos(𝑥) =
√3
2
 
sen(𝑥) =
1
2
 ⇒ 𝑥 =
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 (30°) 
Pois é, não está errado, mas também não está inteiramente correto. 
Pense que, as mesmas condições de seno e cosseno que são próprias do ângulo de 30°, 
aconteceriam novamente a cada 360°, ou seja, 30° + 360°, 30° + 2 ∙ 360°, 30° + 3 ∙ 360° e assim 
por diante. 
Dessa forma, é comum expressarmos a resposta a esse tipo de situação como: 
{
 
 
 
 cos(𝑥) =
√3
2 
sen(𝑥) =
1
2
 ⇒
𝑥 = 30° + 𝑘 ∙ 360°, 𝑘 ∈ ℤ
 
𝑜𝑢
 
𝑥 =
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 + 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑, 𝑘 ∈ ℤ
 
 
 
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6. Questões de vestibulares anteriores 
1. (ENEM PPL/2019) 
As coordenadas usualmente utilizadas na localização de um ponto sobre a superfície 
terrestre são a latitude e a longitude. Para tal. considera-se que a Terra tem a forma de uma 
esfera. 
Um meridiano é uma circunferência sobre a superfície da Terra que passa pelos polos 
Norte e Sul, representados na figura por 𝑃𝑁 e 𝑃𝑆. O comprimento da semicircunferência que 
une os pontos 𝑃𝑁 e 𝑃𝑆 tem comprimento igual a 20.016 𝑘𝑚. A linha do Equador também é 
uma circunferência sobre a superfície da Terra, com raio igual ao da Terra, sendo que o plano 
que a contém é perpendicular ao que contém qualquer meridiano. 
Seja 𝑃 um ponto na superfície da Terra, 𝐶 o centro da Terra e o segmento 𝑃𝐶̅̅ ̅̅ um raio, 
conforme mostra a figura. Seja 𝜑 o ângulo que o segmento 𝑃𝐶̅̅ ̅̅ faz com o plano que contém a 
linha do Equador. A medida em graus de 𝜑 é a medida da latitude de 𝑃. 
 
Suponha que a partir da linha do Equador um navio viaja subindo em direção ao Polo 
Norte, percorrendo um meridiano, até um ponto 𝑃 com 30 graus de latitude. 
Quantos quilômetros são percorridos pelo navio? 
a) 1.668 
b) 3.336 
c) 5.004 
d) 6.672 
e) 10.008 
2. (ENEM/2018) 
Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel 
transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda 
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inferior. O raio da base do cilindro mede 
6
𝜋
 𝑐𝑚, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em 
formato de hélice, como na figura. 
 
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é 
a) 36√3 
b) 24√3 
c) 4√3 
d) 36 
e) 72 
3. (ENEM/2018) 
Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las 
Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto 𝐴 representa uma 
de suas cadeiras: 
 
A partir da posição indicada, em que o segmento 𝑂𝐴 se encontra paralelo ao plano do 
solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em tomo do ponto 𝑂. Sejam 𝑡 o ângulo 
determinado pelo segmento 𝑂𝐴 em relação à sua posição inicial, e 𝑓 a função que descreve a 
altura do ponto 𝐴, em relação ao solo, em função de 𝑡. 
 Após duas voltas completas, 𝑓 tem o seguinte gráfico: 
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A expressão da função altura é dada por 
a) 𝑓(𝑡) = 80 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 88 
b) 𝑓(𝑡) = 80 𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 88 
c) 𝑓(𝑡) = 88 𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 168 
d) 𝑓(𝑡) = 168 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 88 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 
e) 𝑓(𝑡) = 88 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 168 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 
4. (Fuvest/2018) 
 
Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e que 
a linha contínua represente o gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝛼. 𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑥), segue que 
𝑎) 0 < 𝛼 < 1 e 0 < 𝛽 < 1 𝑏) 𝛼 > 1 𝑒 0 < 𝛽 < 1 𝑐) 𝛼 = 1 𝑒 𝛽 > 1 
𝑑) 0 < 𝛼 < 1 𝑒 𝛽 > 1 𝑒) 0 < 𝛼 < 1 𝑒 𝛽 = 1 
5. (Fuvest/2017) 
Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume 
varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: 𝑉(𝑡) = 𝑙𝑜𝑔2(5 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡)), 0 ≤
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𝑡 ≤ 2, em que 𝑡 é medido em horas e 𝑉(𝑡) é medido em 𝑚3. A pressão máxima do gás no 
intervalo de tempo [0,2] ocorre no instante 
a) 𝑡 = 0,4 b) 𝑡 = 0,5 c) 𝑡 = 1 d) 𝑡 = 1,5 e) 𝑡 = 2 
6. (Fuvest/2013) 
Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Erastóstenes, estudioso 
grego que viveu, aproximadamente entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade 
localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava 
sombra, Erastóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em 
Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia 
do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo 𝜃 entre 
as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir 
de 𝜃 e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7.500 km. 
 
O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de 𝜃 são 
(Note e adote: Distância aproximada por Erastóstenes entre Assuã e Alexandria = 900 
km; 𝜋 = 3.) 
a) junho; 7°. b) dezembro; 7°. c) junho; 23°. d) dezembro; 23°. e) 
junho; 0,3°. 
7. (Fuvest/2012) 
O numeral real 𝑥, com 0 < 𝑥 < 𝜋, satisfaz a equação log3(1 − cos(𝑥)) + log3(1 +
cos(𝑥)) = −2. Então, cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) vale 
𝑎)
1
3
 𝑏)
2
3
 𝑐)
7
9
 𝑑)
8
9
 𝑒)
10
9
 
 
8. (Fuvest/2011) 
Sejam 𝑥 e 𝑦 números reais positivos tais que 
𝑥 + 𝑦 =
𝜋
12
. 
Sabendo-se que 
sen(𝑦 − 𝑥) =
1
3
 , 
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o valor de tg2(𝑦) − tg2(𝑥) é igual a 
𝑎)
3
2
 𝑏)
5
4
 𝑐)
1
2
 𝑑)
1
4
 𝑒)
1
8
 
9. (Fuvest/2002) 
A soma das raízes da equação sen2(𝑥) − 2 ∙ cos4(𝑥) = 0, que estão no intervalo [0,2𝜋], é: 
𝑎) 2𝜋 𝑏) 3𝜋 𝑐) 4𝜋 𝑑) 6𝜋 𝑒) 7𝜋 
10. (Fuvest/2002) 
Se α está no intervalo [0, 𝜋 2⁄ ] e satisfaz sen4(𝛼) − cos4(𝛼) = 
1
4
, então, o valor da 
tangente de α é: 
𝑎) √
3
5
 𝑏) √
5
3
 𝑐) √
3
7
 𝑑) √
7
3
 𝑒) √
5
7
 
11. (Fuvest/2001) 
O quadrado adiante tem O como centro e M como ponto médio de um de seus lados. 
Para cada ponto 𝑋 pertencente aos lados do quadrado, seja θ o ângulo 𝑀Ô𝑋, medido em 
radianos, no sentido anti-horário. O gráfico que melhor representa a distância de O a 𝑋, em 
função de θ, é: 
 
 
 
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12. (Fuvest/2001) 
Se tg(𝜃) = 2, então o valor de 
cos(2𝜃)
1+sen(2𝜃)
 é: 
𝑎) − 3 𝑏) −
1
3
 𝑐)
1
3
 𝑑)
2
3
 𝑒)
3
4
 
13. (Fuvest/2000) 
O dobro do seno de um ângulo θ, 0 < 𝜃 < 𝜋
2⁄ , é igual ao triplo do quadrado de sua 
tangente. Logo, o valor de seu cosseno é: 
𝑎)
2
3
 𝑏)
√3
2
 𝑐)
√2
2
 𝑑)
1
2𝑒)
√3
3
 
14. (Fuvest/1999) 
Se α é um ângulo tal que 0 < 𝜃 < 𝜋
2⁄ e sen(𝛼) = 𝑎, então tg(𝜋 − 𝛼) é igual a 
𝑎)
−𝑎
√1 − 𝑎2
 𝑏)
𝑎
√1 − 𝑎2
 𝑐)
√1 − 𝑎2
𝑎
 𝑑)
−√1 − 𝑎2
𝑎
 𝑒) −
1 + 𝑎2
𝑎
 
15. (Fuvest/1998) 
Qual das afirmações a seguir é verdadeira? 
𝑎)𝑠𝑒 𝑛(210°) < 𝑐𝑜 𝑠(210°) < 𝑡 𝑔(210°) 𝑏)𝑐𝑜𝑠 (210°) < 𝑠𝑒𝑛 (210°) < 𝑡𝑔 (210°) 
𝑐)𝑡𝑔 (210°) < 𝑠𝑒𝑛 (210°) < 𝑐𝑜𝑠 (210°) 𝑑)𝑡𝑔 (210°) < 𝑐𝑜𝑠 (210°) < 𝑠𝑒𝑛 (210°) 
𝑒)𝑠𝑒𝑛 (210°) < 𝑡𝑔 (210°) < 𝑐𝑜𝑠 (210°) 
16. (Fuvest/1997) 
Sendo sen(𝛼) = 9
10⁄ , com 0 < 𝛼 < 𝜋
2⁄ , tem-se 
𝑎) sen(𝛼) < sen (
𝜋
3
) < sen(2𝛼) 𝑏) sen (
𝜋
3
) < sen(𝛼) < sen(2𝛼) 
𝑐) sen(𝛼) < sen(2𝛼) < sen (
𝜋
3
) 𝑑) sen(2𝛼) < sen (
𝜋
3
) < sen(𝛼) 
𝑒) sen(2𝛼) < sen(𝛼) < sen (
𝜋
3
) 
17. (Fuvest/1996) 
A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: 
 
𝑎) sen(𝑥) 𝑏) 2 ∙ sen (
𝑥
2
) 𝑐) 2 ∙ sen(𝑥) 𝑑) 2 ∙ sen(2𝑥) 𝑒) sen(2𝑥) 
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18. (Fuvest/1995) 
Considere um arco 𝐴𝐵 e 110° numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, 
um arco 𝐴′𝐵′ de 60° numa circunferência de raio 5 cm. 
Dividindo-se o comprimento do arco 𝐴𝐵 pelo do arco 𝐴′𝐵′ (ambos medidos em cm), 
obtém-se: 
𝑎)
11
6
. 𝑏) 2. 𝑐)
11
3
. 𝑑)
22
3
. 𝑒) 11. 
19. (Fuvest/1995) 
Dentre os números a seguir, o mais próximo de sen(50°) é: 
𝑎) 0,2. 𝑏) 0,4. 𝑐) 0,6. 𝑑) 0,8. 𝑒) 1,0. 
20. (Fuvest/1995) 
O menor valor de 
1
3−cos(𝑥)
, com 𝑥 real, é: 
𝑎)
1
6
. 𝑏)
1
4
. 𝑐)
1
2
. 𝑑) 1. 𝑒) 3. 
21. (Fuvest/1994) 
O valor de (tg(10°) + cotg(10°)) ∙ sen(20°) é: 
𝑎)
1
2
 𝑏) 1 𝒄) 𝟐 𝑑)
5
2
 𝑒) 4 
22. (Fuvest/1993) 
O valor máximo da função 𝑓(𝑥) = 3 cos(𝑥) + 2 sen(𝑥) para 𝑥 real é: 
𝑎)
√2
2
 𝑏) 3 𝑐)
5√2
2
 𝑑) √13 𝑒) 5 
23. (Fuvest/1991) 
A equação 𝑓(𝑥) = −10 tem solução real se 𝑓(𝑥) é: 
𝑎) 2𝑥 𝑏) log10(|𝑥| + 1) 𝑐) sen(𝑥) 𝑑) tg(𝑥) 𝑒) 𝑥
2 + 2𝑥 − 4 
24. (Fuvest/1989) 
A tangente do ângulo 2𝑥 é dada em função da tangente de 𝑥 pela seguinte fórmula: 
tg(2𝑥) =
2 tg(𝑥)
1 − tg2(𝑥)
. 
Calcule um valor aproximado da tangente do ângulo 22°30′. 
𝑎) 0,22 𝑏) 0,41 𝑐) 0,50 𝑑) 0,72 𝑒) 1,00 
 
 
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7. Gabarito das questões de vestibulares anteriores 
1. A 
2. B 
3. B 
4. A 
5. D 
6. A 
7. E 
8. A 
9. C 
10. B 
11. A 
12. B 
13. B 
14. A 
15. B 
16. D 
17. B 
18. C 
19. D 
20. B 
21. C 
22. D 
23. D 
24. B 
 
 
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8. Questões de vestibulares anteriores resolvidas e comentadas 
1. (ENEM PPL/2019) 
As coordenadas usualmente utilizadas na localização de um ponto sobre a superfície 
terrestre são a latitude e a longitude. Para tal. considera-se que a Terra tem a forma de uma 
esfera. 
Um meridiano é uma circunferência sobre a superfície da Terra que passa pelos polos 
Norte e Sul, representados na figura por 𝑃𝑁 e 𝑃𝑆. O comprimento da semicircunferência que 
une os pontos 𝑃𝑁 e 𝑃𝑆 tem comprimento igual a 20.016 𝑘𝑚. A linha do Equador também é 
uma circunferência sobre a superfície da Terra, com raio igual ao da Terra, sendo que o plano 
que a contém é perpendicular ao que contém qualquer meridiano. 
Seja 𝑃 um ponto na superfície da Terra, 𝐶 o centro da Terra e o segmento 𝑃𝐶̅̅ ̅̅ um raio, 
conforme mostra a figura. Seja 𝜑 o ângulo que o segmento 𝑃𝐶̅̅ ̅̅ faz com o plano que contém a 
linha do Equador. A medida em graus de 𝜑 é a medida da latitude de 𝑃. 
 
Suponha que a partir da linha do Equador um navio viaja subindo em direção ao Polo 
Norte, percorrendo um meridiano, até um ponto 𝑃 com 30 graus de latitude. 
Quantos quilômetros são percorridos pelo navio? 
a) 1.668 
b) 3.336 
c) 5.004 
d) 6.672 
e) 10.008 
Comentários 
 Apesar de o problema ter sido construído tendo como base a esfera, podemos reduzi-lo 
à circunferência que passa por 𝑃𝑁, 𝑃 e 𝑃𝑆, onde 𝜑 = 30°. 
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104 
Podemos calcular o comprimento do setor circular em questão pela fração que ele 
representa da semicircunferência, multiplicado pelo comprimento informado. 
𝐶𝑆 =
𝜑
180°
⋅ 20.016 𝑘𝑚 
𝐶𝑆 =
30°
180°
⋅ 20.016 𝑘𝑚 
𝐶𝑆 =
1
6
⋅ 20.016 𝑘𝑚 
𝐶𝑆 = 3.336 𝑘𝑚 
 Note que utilizamos a fração com denominador de 180° e não de 360°, pois o enunciado 
informou o comprimento da semicircunferência, não da circunferência completa, ok? 
Gabarito: b) 
2. (ENEM/2018) 
Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel 
transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda 
inferior. O raio da base do cilindro mede 
6
𝜋
 𝑐𝑚, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em 
formato de hélice, como na figura. 
 
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é 
a) 36√3 
b) 24√3 
c) 4√3 
d) 36 
e) 72 
Comentários 
Se o raio da base do cilindro mede 
6
𝜋
 𝑐𝑚, podemos calcular o comprimento do cilindro: 
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𝐶 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅 
𝐶 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅
6
 𝜋 
 𝑐𝑚 
𝐶 = 12 𝑐𝑚 
Perceba que, pela imagem, podemos ver que o a diagonal desenhada passa seis vezes 
completas ao redor do cilindro, ou seja, seis voltas. Chamando 𝐶𝐹 como o comprimento da faixa, 
temos: 
𝐶𝐹 = 6 ⋅ 𝐶 
𝐶𝐹 = 6 ⋅ 12 𝑐𝑚 
𝐶𝐹 = 72 𝑐𝑚 
Chamando 𝐻 a altura do cilindro, temos um triângulo formado por 𝐶𝐹, 𝐻 e uma hipotenusa 
que forma 30° com o cateto horizontal. 
Dessa forma, podemos dizer que: 
𝑡𝑔(30°) =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
𝑡𝑔(30°) =
𝐻
𝐶𝐹
 
√3
3
=
𝐻
72
 
 72 ⋅ √3
 3 
= 𝐻 
24 ⋅ √3 𝑐𝑚 = 𝐻 
Gabarito: b) 
3. (ENEM/2018) 
Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las 
Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto 𝐴 representa uma 
de suas cadeiras: 
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A partir da posição indicada, em que o segmento 𝑂𝐴 se encontra paralelo ao plano do 
solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em tomo do ponto 𝑂. Sejam 𝑡 o ângulo 
determinado pelo segmento 𝑂𝐴 em relação à sua posição inicial, e 𝑓 a função que descreve a 
altura do ponto 𝐴, em relação ao solo, em função de 𝑡. 
 Após duas voltas completas, 𝑓 tem o seguinte gráfico: 
 
A expressão da função altura é dada por 
a) 𝑓(𝑡) = 80 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 88 
b) 𝑓(𝑡) = 80 𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 88 
c) 𝑓(𝑡) = 88 𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 168 
d) 𝑓(𝑡) = 168 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 88 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 
e) 𝑓(𝑡) = 88 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 168 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 
Comentários 
Perceba que o problema trouxe uma translação da função seno, uma vez que a altura da 
cadeira é representada na posição vertical. 
Vamos relembrar o que sabemos sobre translação da função em questão. 
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Deslocamento horizontalDeslocamento vertical 
Número de ciclos em 360° 
Amplitude 
 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ sen(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 
 
 
 
Não há ordem específica para decifrarmos cada parte da função. Vamos analisar primeiro o 
deslocamento vertical, representado pela altura inicial da cadeira com relação ao chão. 
A função seno original tem início no zero, enquanto a função da altura, apresentada na 
função, tem início no 88, indicando que 𝑑 = 88. 
Agora, vamos à amplitude. A amplitude original da função seno é igual a um. Perceba que, no 
gráfico da questão, temos uma amplitude de 168 − 88 = 80. Isso significa que a altura máxima é 
de 88 + 80 = 168 e a altura mínima é de 88 − 80 = 8. Assim, temos 𝐴 = 80. Note que não 
utilizamos o sinal de negativo, pois a função do problema não sofreu inversão com relação à função 
seno original. Ambas tem “início” de forma crescente. 
Outro aspecto interessante para analisarmos é a constante 𝑏 que representa o número de 
ciclos (revoluções) executados em uma volta (360° ou 2𝜋 𝑟𝑎𝑑). Veja que o gráfico nos informa 
exatamente uma revolução (uma onda completa) em 2𝜋 𝑟𝑎𝑑, ou seja, um ciclo em uma volta. 
Podemos, então, deduzir que 𝑏 = 1. 
Por fim, temos o deslocamento horizontal representado pela constante 𝑐. Note que, na função 
fornecida no enunciado, não há deslocamento horizontal. Isso é facilmente percebido quando 
olhamos para o “início” do gráfico. Tanto a função seno quanto a função 𝑓 têm início no eixo vertical. 
Assim, 𝑐 = 0. 
 De posse dos valores de todas as constantes, podemos, finalmente, escrever nossa função 𝑓. 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ sen(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 
𝑓(𝑡) = +80 ∙ sen(1𝑡 + 0) + 88 
𝑓(𝑥) = 80 ∙ sen(𝑡) + 88 
Gabarito: a) 
 
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4. (Fuvest/2018) 
 
Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e que 
a linha contínua represente o gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝛼. 𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑥), segue que 
𝑎) 0 < 𝛼 < 1 𝑒 0 < 𝛽 < 1 𝑏) 𝛼 > 1 𝑒 0 < 𝛽 < 1 𝑐) 𝛼 = 1 𝑒 𝛽 > 1 
𝑑) 0 < 𝛼 < 1 𝑒 𝛽 > 1 𝑒) 0 < 𝛼 < 1 𝑒 𝛽 = 1 
Comentários 
Analisando a função de 𝛼: 
A função sen(𝑥) é limitada de forma que −1 ≤ sen(𝑥) ≤ 1. 
Dessa forma, quando multiplicamos a função seno por uma constante, essa constante altera 
esse limite, veja: 
−1 ≤ sen(𝑥) ≤ 1 
−1 ∙ 𝛼 ≤ 𝛼 ∙ sen(𝑥) ≤ 𝛼 ∙ 1 
Como vemos que o gráfico da nossa função 𝑔(𝑥) = 𝛼. 𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑥) tem amplitude menor do 
que a amplitude de 𝑓(𝑥) = sen(𝑥), podemos concluir que |𝛼| < 1, ou seja, −1 < 𝛼 < 1. Além 
disso, não há inversão de sinais, portanto, 𝛼 não pode ser negativo. Assim, 0 < 𝛼 < 1. 
Analisando a função de 𝛽: 
A função sen(𝑥) = sen(1 ∙ 𝑥) realiza um ciclo, uma volta completa, em 360° ou 2𝜋 𝑟𝛼𝑑. 
Podemos pensar que, quanto multiplicamos o argumento da função seno por um número 
diferente de 1, estamos condicionando a função sen(𝛽 ∙ 𝑥) a realizar 𝛽 ciclos em 360° ou 2𝜋 𝑟𝛼𝑑. 
Perceba que a função 𝑔(𝑥) = 𝛼. 𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑥) realiza menos ciclos que a função sen(𝑥), o que 
nos leva a concluir que |𝛽| < 1, ou seja, −1 < 𝛽 < 1. Do mesmo modo que analisamos o coeficiente 
𝛼, vemos que não houve inversão da função seno, portanto, 𝛼 não pode ser negativo e, 0 < 𝛽 < 1. 
Além disso, podemos dizer que a função 𝑔(𝑥) = 𝛼. 𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑥) realiza metade dos ciclos que a função 
𝑓(𝑥) = sen(𝑥), ou seja, 𝛽 = 0,5, mas não há indicação desse valor nas alternativas. 
Gabarito: a) 
 
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5. (Fuvest/2017) 
Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume 
varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: 𝑉(𝑡) = 𝑙𝑜𝑔2(5 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡)), 0 ≤
𝑡 ≤ 2, em que 𝑡 é medido em horas e 𝑉(𝑡) é medido em 𝑚3. A pressão máxima do gás no 
intervalo de tempo [0,2] ocorre no instante 
𝑎) 𝑡 = 0,4 𝑏) 𝑡 = 0,5 𝑐) 𝑡 = 1 𝑑) 𝑡 = 1,5 𝑒) 𝑡 = 2 
Comentários 
𝑉(𝑡) = 𝑙𝑜𝑔2(5 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡)), 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 (5 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡)) → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡) 
 
sen(𝜋 ∙ 𝑡) = −1 
sen(𝜋 ∙ 𝑡) = sen (
3𝜋
2
+ 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋) 
𝜋 ∙ 𝑡 =
3𝜋
2
+ 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 
𝜋 ∙ 𝑡 =
3𝜋
2
+ 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 
𝜋 ∙ 𝑡 = 𝜋 ∙ (
3
2
+ 2 ∙ 𝑘) 
𝜋 ∙ 𝑡
𝜋
=
𝜋
𝜋
∙ (
3
2
+ 2 ∙ 𝑘) 
𝜋 ∙ 𝑡
𝜋
=
𝜋
𝜋
∙ (
3
2
+ 2 ∙ 𝑘) 
𝑡 =
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 
Agora, precisamos ver para quais valores de 𝑘 nosso 𝑡 está dentro do intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 2. 
0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
0 ≤
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 ≤ 2 
0 −
3
2
≤
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 −
3
2
≤ 2 −
3
2
 
Pressão Máxima Volume Mínimo 𝑉(𝑡)Mínimo
5 + 2 ∙ sen 𝜋 ∙ 𝑡 Mínimosen 𝜋 ∙ 𝑡 Mínimo
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−
3
2
≤
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 −
3
2
≤
4 − 3
2
 
−
3
2
≤ 2 ∙ 𝑘 ≤
1
2
 
−
3
2
∙
1
2
≤ 2 ∙ 𝑘 ∙
1
2
≤
1
2
∙
1
2
 
−
3
4
≤ 2 ∙ 𝑘 ∙
1
2
≤
1
4
 
−
3
4
≤ 𝑘 ≤
1
4
 
Sabemos que o valor de 𝑘 é inteiro e que está entre −3 4⁄ e 1 4⁄ . O único valor inteiro possível 
para 𝑘 nessas condições é 𝑘 = 0. 
Assim, 
𝑡 =
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 → 𝑡 =
3
2
+ 2 ∙ 0 → 𝑡 =
3
2
= 1,5 
Gabarito: d) 
6. (Fuvest/2013) 
Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é 
atribuída a Erastóstenes, estudioso grego que viveu, 
aproximadamente entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em 
Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício 
de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, 
Erastóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas 
condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O 
estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do 
solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e 
determinou o ângulo 𝜃 entre as direções do bastão e de 
incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a 
partir de 𝜃 e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, 
aproximadamente, 7.500 km. 
O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de 𝜃 são 
(Note e adote: Distância aproximada por Erastóstenes entre Assuã e Alexandria = 900 
km; 𝜋 = 3.) 
a) junho; 7°. b) dezembro; 7°. c) junho; 23°. d) dezembro; 23°. e) 
junho; 0,3°. 
Comentários 
𝑆 = 𝜃 ∙ 𝑟 
900 = 𝜃 ∙ 7500 
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900
7500
=
𝜃 ∙ 7500
7500
 
𝜃 =
900
7500
=
9
75
=
3
25
 𝑟𝑎𝑑 
𝜃 =
180
𝜋
∙
3
25
=
180
𝜋
∙
3
25
=
180
3
∙
3
25
= 60 ∙
3
25
= 7,2° 
Ok, professor, até aqui eu entendi. Mas e essa parte da data? Não me lembro de ter visto 
esse tipo de matéria no ensino médio. 
Pois bem, é verdade. Aqui teremos que ir um pouco além do âmbito da matemática pura. 
Vejamos o que o enunciado tem a nos oferecer que possa nos ajudar a decifrar a data das 
observações. 
 
Note que o exercício deu ênfase à ideia de aproximação dos valores: 
“O valor do raio da Terra, obtido a partir de 𝜃 e da distância entre Alexandria e Assuã foi 
de, aproximadamente, 7.500 km.” 
“O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de 𝜃 são” 
“Distância aproximada por Erastóstenes entre Assuã e Alexandria = 900 km; 𝜋 = 3.)” 
Desse modo, a que melhor se encaixa aos dados é alternativa a) junho; 7°. 
Gabarito: a) 
7. (Fuvest/2012) 
O numeral real 𝑥, com 0 < 𝑥 < 𝜋, satisfaz a equação log3(1 − cos(𝑥)) + log3(1 +
cos(𝑥)) = −2. Então, cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) vale 
𝑎)
1
3
 𝑏)
2
3
 𝑐)
7
9
 𝑑)
8
9
 𝑒)
10
9
 
Comentários 
log3(1 − cos(𝑥)) + log3(1 + cos(𝑥)) = −2 
Egito fica no hemisfério norte
“Sabendo que em Assuã, cidade localizada no
sul do Egito, ...”
“... Alexandria, cidade no 
norte do Egito, ...”No hemisfério norte, 
o solstício de verão acontece em
21 de junho
“... ao meio dia do solstício de verão ...”
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log3(1 − cos(𝑥)) + log3(1 + cos(𝑥)) = −2 
log3[(1 − cos(𝑥)) ∙ (1 + cos(𝑥))] = −2 
log3[(1 − cos(𝑥)) ∙ (1 + cos(𝑥))] = −2 
log3[(1
2 − cos2(𝑥))] = −2 
log3[(1
2 − cos2(𝑥))] = −2 
3−2 = 12 − cos2(𝑥) 
3−2 + cos2(𝑥) = 12 − cos2(𝑥) + cos2(𝑥) 
3−2 + cos2(𝑥) = 12 − cos2(𝑥) + cos2(𝑥) 
3−2 + cos2(𝑥) = 12 
1
9
+ cos2(𝑥) = 1 
1
9
+ cos2(𝑥) −
1
9
= 1 −
1
9
 
1
9
+ cos2(𝑥) −
1
9
= 1 −
1
9
 
cos2(𝑥) = 1 −
1
9
 
Frações: MMC. 
cos2(𝑥) =
9 − 1
9
 
cos2(𝑥) =
8
9
 
Como o enunciado pediu cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥), não é necessário, a princípio, encontrar o 
próprio cosseno. Utilizemo-nos, nesse caso, da relação fundamental da trigonometria para 
encontrar algo acerca do seno de 𝑥. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
Para esse caso específico, sabemos 
cos2(𝑥) =
8
9
 
sen2(𝑥) +
8
9
= 1 
sen2(𝑥) +
8
9
−
8
9
= 1 −
8
9
 
sen2(𝑥) +
8
9
−
8
9
= 1 −
8
9
 
sen2(𝑥) = 1 −
8
9
 
Frações: MMC. 
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Professor, você vai falar isso pra sempre? 
Talvez. 
Mas você vai acertar na prova, nem que seja de raiva. 
Continuando. 
sen2(𝑥) =
9 − 8
9
 
sen2(𝑥) =
1
9
 
Voltando ao enunciado, a questão pede cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥), precisaremos, portanto, 
calcular sen(𝑥). 
sen2(𝑥) =
1
9
 
Extraindo raiz quadrada de ambos os termos: 
√sen2(𝑥) = √
1
9
 
Já aprendemos que a raiz quadrada de algo elevado ao quadrado é igual ao módulo do 
argumento. Assim, 
|sen(𝑥)| = √
1
9
 
|sen(𝑥)| =
1
3
 
O argumento de um módulo pode ser tanto positivo quanto negativo, então: 
sen(𝑥) = ±
1
3
 
E qual usaremos? O positivo? O negativo? Os dois? 
Vejamos se o enunciado nos esclarece isso. 
 “O numeral real 𝑥, com 0 < 𝑥 < 𝜋,… " 
Bom, se nosso ângulo está entre 0 e 𝜋, o seno só pode ser positivo. 
Desse modo, podemos concluir que 
sen(𝑥) = +
1
3
 
Sempre de olho no enunciado. Estamos procurando o valor da expressão cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥). 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
Pelo cosseno do arco duplo, temos: 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
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cos2(𝑥) − sen2(𝑥) + sen(𝑥) 
Professor, nós não temos o valor de sen2(𝑥), como faremos? 
Simples. Recorreremos à equação fundamental da trigonometria. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
Voltemos ao andamento de nossa resolução. Partimos de 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
e chegamos a 
cos2(𝑥) − sen2(𝑥) + sen(𝑥) 
Fazendo a substituição do quadrado do seno, ficamos com: 
cos2(𝑥) − (1 − cos2(𝑥)) + sen(𝑥) 
cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) + sen(𝑥) 
2 cos2(𝑥) − 1 + sen(𝑥) 
Já temos os valores de 
cos2(𝑥) =
8
9
 
sen(𝑥) = +
1
3
 
Substituindo novamente, temos: 
2 cos2(𝑥) − 1 + sen(𝑥) 
2 ∙
8
9
− 1 +
1
3
 
2 ∙
8
9
− 1 +
1
3
 
16
9
− 1 +
1
3
 
Frações? 
Exatamente, MMC. 
16
9
−
9
9
+
3
9
 
10
9
 
Gabarito: e) 
 
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8. (Fuvest/2011) 
Sejam 𝑥 e 𝑦 números reais positivos tais que 
𝑥 + 𝑦 =
𝜋
2
. 
Sabendo-se que 
sen(𝑦 − 𝑥) =
1
3
 , 
o valor de 
tg2(𝑦) − tg2(𝑥) 
é igual a 
𝑎)
3
2
 𝑏)
5
4
 𝑐)
1
2
 𝑑)
1
4
 𝑒)
1
8
 
Comentários 
A primeira equação, 
𝑥 + 𝑦 =
𝜋
2
 
apresenta uma informação importantíssima para o exercício. 
Como a soma dos ângulos 𝑥 e 𝑦 é 𝜋 2⁄ , ou seja, 90°, temos que 
sen(𝑥) = cos(𝑦) 
e 
cos(𝑥) = sen(𝑦). 
O enunciado também nos informa que 
sen(𝑦 − 𝑥) =
1
3
. 
Desenvolvendo o seno da diferença, temos: 
sen(𝑦 − 𝑥) =
1
3
 
sen(𝑦) ∙ cos(𝑥) − sen(𝑥) ∙ cos(𝑦) =
1
3
 
Para ficarmos com uma só variável, faremos uma substituição. Optaremos aqui a ficar apenas 
com a variável 𝑥, mas ficar somente com a variável 𝑦 também é um caminho viável. 
sen(𝑦) ∙ cos(𝑥) − sen(𝑥) ∙ cos(𝑦) =
1
3
 
cos(𝑥) ∙ cos(𝑥) − sen(𝑥) ∙ sen(𝑥) =
1
3
 
cos2(𝑥) − sen2(𝑥) =
1
3
 
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Para reduzir a apenas uma função trigonométrica, podemos contar com a equação 
fundamental da trigonometria: 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
Isolemos sen2(𝑥), subtraindo cos2(𝑥) de ambos os membros da equação. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
Podemos, então, fazer a substituição: 
cos2(𝑥) − sen2(𝑥) =
1
3
 
sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
cos2(𝑥) − (1 − cos2(𝑥)) =
1
3
 
cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) =
1
3
 
cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) =
1
3
 
2 ∙ cos2(𝑥) − 1 =
1
3
 
Somando 1 a ambos os membros da equação: 
2 ∙ cos2(𝑥) − 1 + 1 =
1
3
+ 1 
2 ∙ cos2(𝑥) − 1 + 1 =
1
3
+ 1 
2 ∙ cos2(𝑥) =
1
3
+ 1 
Frações... 
MMC... 
2 ∙ cos2(𝑥) =
1 + 3
3
 
2 ∙ cos2(𝑥) =
4
3
 
Dividindo por 2 ambos os membros da equação: 
2 ∙ cos2(𝑥)
2
=
4
3
∙
1
2
 
2 ∙ cos2(𝑥)
2
=
4
3
∙
1
2
 
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104 
cos2(𝑥) =
4 
2
3
∙
1
2
 
cos2(𝑥) =
2
3
 
De posse do cosseno ao quadrado, recorramos novamente à equação fundamental da 
trigonometria para encontrar o valor de seno ao quadrado. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
sen2(𝑥) +
2
3
= 1 
Subtraindo 2 3⁄ de ambos os membros da equação. 
sen2(𝑥) +
2
3
−
2
3
= 1 −
2
3
 
sen2(𝑥) +
2
3
−
2
3
= 1 −
2
3
 
sen2(𝑥) = 1 −
2
3
=
3 − 2
3
=
1
3
 
Ok. Perceba que, até aqui, só trabalhamos com as duas informações iniciais fornecidas pelo 
enunciado: 
𝑥 + 𝑦 =
𝜋
2
. 
sen(𝑦 − 𝑥) =
1
3
 
E chegamos às seguintes conclusões: 
sen(𝑥) = cos(𝑦) cos(𝑥) = sen(𝑦) cos2(𝑥) =
2
3
 sen2(𝑥) =
1
3
 
Agora temos condições de responder, efetivamente, à questão feita: qual o valor da 
expressão 
tg2(𝑦) − tg2(𝑥). 
Como 
tg(𝑎) =
sen(𝑎)
cos(𝑎)
 
podemos dizer que 
tg2(𝑦) − tg2(𝑥) =
sen2(𝑦)
cos2(𝑦)
−
sen2(𝑥)
cos2(𝑥)
 
Para transformarmos toda a expressão em apenas uma variável, façamos 
sen(𝑥) = cos(𝑦) cos(𝑥) = sen(𝑦) 
sen2(𝑦)
cos2(𝑦)
−
sen2(𝑥)
cos2(𝑥)
 
Professor Marçal 
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Aula 03 – Exponenciais, Logaritmos e Trigonometria 
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cos2(𝑥)
sen2(𝑥)
−
sen2(𝑥)
cos2(𝑥)
 
Como já temos os valores 
cos2(𝑥) =
2
3
 sen2(𝑥) =
1
3
 
Podemos, finalmente, chegar ao valor da expressão: 
cos2(𝑥)
sen2(𝑥)
−
sen2(𝑥)
cos2(𝑥)
 
2
3
1
3
−
1
3
2
3
=
2
3
∙
3
1
−
1
3
∙
3
2
=
2
3
∙
3
1
−
1
3
∙
3
2
= 2 −
1
2
=
4 − 1
2
=
3
2
 
Finalmente, podemos dizer que tg2(𝑦) − tg2(𝑥) = 3
2⁄ , equivalência apresentada 
corretamente na alternativa a). 
Professor, esse exercício ficou muito grande, nem me lembro mais de onde saímos! 
Realmente foi um exercício extenso, com muitos passos. 
Vamos fazer um diagrama para entendermos melhor o processo feito? 
 
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Gabarito: a) 
9. (Fuvest/2002) 
A soma das raízes da equação sen2(𝑥) − 2 ∙ cos4(𝑥) = 0, que estão no intervalo [0,2𝜋], é: 
𝑎) 2𝜋 𝑏) 3𝜋 𝑐) 4𝜋 𝑑) 6𝜋 𝑒) 7𝜋 
Comentários 
Inicialmente, vemos duas funções trigonométricas em uma