d Álgebra Vetorial

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MATEMÁTICA IV 
2º Sem/2020 
 MATERIAL DE APOIO 
d – Álgebra Vetorial 
 
 
 
 
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1 – AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
São sinônimos: 
• Valores e vetores característicos 
• Valores e vetores próprios 
Objetivo: usar Operadores Lineares que preser-
vam nos vetores do conjunto imagem a mesma 
direção dos vetores do conjunto domínio. 
 
Um operador Linear é tipo de Transformação Li-
near onde o conjunto domínio é o mesmo do con-
junto contradomínio: 
 
𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑛 
 
Definição: 
Considere uma matriz quadrada A. Os autovetores 
de A são os vetores v, não nulos, que satisfazem a 
relação: 
 
𝑨𝒗 = 𝝀𝒗 
 
Em que o número real 𝜆 é o autovalor associado a 
esses autovetores. Temos que: 
 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 ⟹ 𝐴𝑣 = 𝜆𝐼𝑣 
 
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐼 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
𝐴𝑣 − 𝜆𝐼𝑣 = 0 ⟹ (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣 = 0 
 
Se 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) ≠ 0, então o sistema tem uma so-
lução única, e essa solução é o vetor nulo. Entre-
tanto, estamos interessados em soluções não nulas. 
Assim fazemos: 
 
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 
 
Suponha uma matriz 𝐴2×2 = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
) 
 
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 (
𝑎11 − 𝜆 𝑎12
𝑎21 𝑎22−𝜆
) = 0 
 
Resolvendo temos um polinômio de grau 2 cha-
mado de polinômio característico de A: 
 
𝑃(𝜆) = (𝑎11 − 𝜆)(𝑎22 − 𝜆) − 𝑎12𝑎21 
 
𝑃(𝜆) = 𝑎11𝑎22 − 𝑎11 𝜆 − 𝜆𝑎22 + 𝜆
2 − 𝑎12𝑎21 
 
𝑃(𝜆) = 𝜆2 − 𝜆(𝑎11 + 𝑎22) + (𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21) 
 
𝑃(𝜆) = 𝜆2 − 𝜆(𝑡𝑟𝑎ç𝑜 𝑑𝑒 𝐴) + (𝑑𝑒𝑡𝐴) 
 
As raízes do polinômio característico são os auto-
valores (𝜆´𝑠) da matriz A. 
 
Representação Gráfica: 
 
Os autovalores (𝜆´𝑠) são escalares que expandem 
ou reduzem o comprimento de um determinado 
vetor v. Exemplo: 
 
Seja a matriz 𝐴 = (
3 0
8 −1
). O vetor 𝑣 = (
1
2
) é 
um autovetor associado ao autovalor 𝜆 = 3: 
 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 ⟹ (
3 0
8 −1
) (
1
2
) = 3 (
1
2
) 
 
 
 
 
Exemplos: calcule os autovalores e autovetores 
das matrizes abaixo 
 
𝟏)𝑩 = (
𝟐 𝟐
𝟏 𝟑
) 
 
𝑑𝑒𝑡 (
2 − 𝜆 2
1 3 − 𝜆
) = (2 − 𝜆)(3 − 𝜆) − 2 
 = 𝜆2 − 5𝜆 + 4 
 
Outra maneira: 
𝑝(𝜆) = 𝜆2 − (𝑡𝑟𝑎ç𝑜𝐵)𝜆 + 𝑑𝑒𝑡𝐵 
 ⟹ 𝜆2 − 5𝜆 + 4 
 
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 ⟹ 𝜆1 = 1 𝑒 𝜆2 = 4 
 
Os autovalores são 1 e 4. 
 
Para calcular os autovetores associados a cada au-
tovalor devemos usar a relação 𝑨𝒗 = 𝝀𝒗. Os au-
tovetores associados a 𝜆 são os vetores não nulos 
do espaço solução da equação 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 . Chama-
mos este espaço de espaço solução de A associado 
a 𝜆. Assim temos: 
 
• Para 𝜆1 = 1 : 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 
[
2 2
1 3
] [
𝑣1
𝑣2
] = 1 [
𝑣1
𝑣2
] ⇒ {
2𝑣1 + 2𝑣2 = 1𝑣1
1𝑣1 + 3𝑣2 = 1𝑣2
⇒
𝑣1 = −2𝑣2
𝑣1 = −2𝑣2
 
Assim, quaisquer vetores (𝑣1, 𝑣2), tais que 𝑣1 =
−2𝑣2 é um autovetor associado ao autovalor 𝜆1 =
1 . Exemplos: 
 
(−2, 1), (1, −
1
2
) , (−4, 2), … 
 
Generalizando temos: 
 
{(−2, 1)𝑣2/𝑣2 ∈ ℝ 𝑒 𝑣2 ≠ 0} 𝑜𝑢 {(1, −
1
2
) 𝑣1/𝑣1 ∈ ℝ 𝑒 𝑣1 ≠ 0} 
 
• Para 𝜆1 = 4 : 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 
[
2 2
1 3
] [
𝑣1
𝑣2
] = 4 [
𝑣1
𝑣2
] ⇒ {
2𝑣1 + 2𝑣2 = 4𝑣1
1𝑣1 + 3𝑣2 = 4𝑣2
 
 
⇒
𝑣1 = 𝑣2
𝑣1 = 𝑣2
 
 
Assim, quaisquer vetores (𝑣1, 𝑣2), tais que 𝑣1 =
𝑣2 é um autovetor associado ao autovalor 𝜆1 = 4 . 
Exemplos: 
(1, 1), (2, 2), (
√2
2
,
√2
2
) , … 
 
Generalizando temos: 
 
{(1, 1)𝑣2/𝑣2 ∈ ℝ 𝑒 𝑣2 ≠ 0} 𝑜𝑢 {(1, 1)𝑣1/𝑣1 ∈ ℝ 𝑒 𝑣1 ≠ 0} 
 
Atenção: em alguns casos queremos descobrir um 
autovetor que possua comprimento unitário, ou 
seja, ‖𝑣‖ = √𝑣1
2 + 𝑣2
2 = 1. Para o exercício te-
mos: 
 
• Quando 𝜆1 = 1 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣1 = −2𝑣2 ⇒
√(−2𝑣2)2 + 𝑣2
2 = 1 ⇒ 
√5𝑣2
2 = 1 ⇒ 5𝑣2
2 = 1 ⇒ 𝑣2 = ±
1
√5
 𝑜𝑢 ±
√5
5
 
 
Assim {
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣2 = −
1
√5
⇒ 𝑣1 =
2
√5
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣2 = +
1
√5
⇒ 𝑣1 = −
2
√5
 
 
∴ 𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 (
2
√5
, −
1
√5
 ) 𝑒 (−
2
√5
, +
1
√5
 ) 
 
• Quando 𝜆1 = 4 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣1 = 𝑣2 ⇒
√𝑣1
2 + 𝑣1
2 = 1 ⇒ 
√2𝑣1
2 = 1 ⇒ 2𝑣1
2 = 1 ⇒ 𝑣1 = ±
1
√2
 𝑜𝑢 ±
√2
2
 
 
Assim {
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣2 = −
1
√2
⇒ 𝑣1 = −
1
√2
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣2 = +
1
√2
⇒ 𝑣1 = +
1
√2
 
 
∴ 𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 (−
1
√2
, −
1
√2
 ) 𝑒 (+
1
√2
, +
1
√2
 ) 
𝟐)𝑨 = (
𝟑 𝟎
𝟒 𝟓
) 
 
𝑑𝑒𝑡 (
3 − 𝜆 0
4 5 − 𝜆
) = (3 − 𝜆)(5 − 𝜆) − 0 
 = 𝜆2 − 8𝜆 + 15 
 
Outra maneira: 
 
𝑝(𝜆) = 𝜆2 − (𝑡𝑟𝑎ç𝑜𝐵)𝜆 + 𝑑𝑒𝑡𝐵
⟹ 𝜆2 − 8𝜆 + 15 ⟹ 𝜆1
= 3 𝑒 𝜆2 = 5 
 
Os autovalores são 3 e 5. 
 
 
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Atenção: Em uma matriz quadrada triangular (su-
perior, inferior ou diagonal), os autovalores de A 
são dados pelas entradas da diagonal principal. 
 
• Para 𝜆1 = 3 : 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 
[
3 0
4 5
] [
𝑣1
𝑣2
] = 3 [
𝑣1
𝑣2
] 
 
⇒ {
3𝑣1 + 0𝑣2 = 3𝑣1
4𝑣1 + 5𝑣2 = 3𝑣2
 
 
⇒
0 = 0
4𝑣1 = −2𝑣2 ⇒ 𝑣1 = −
1
2 𝑣2
 
Assim, quaisquer vetores (𝑣1, 𝑣2), tais que 
−2𝑣1 = 𝑣2 é um autovetor associado ao autovalor 
𝜆1 = 3 . Exemplos: 
 
(1, −2), (3, −6), … 
 
{(1, −2)𝑣1/𝑣1 ∈ ℝ 𝑒 𝑣1 ≠ 0} 𝑜𝑢 {( −
1
2
, 1) 𝑣2/𝑣2 ∈ ℝ 𝑒 𝑣2 ≠ 0} 
 
• Para 𝜆1 = 5 : 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 
[
3 0
4 5
] [
𝑣1
𝑣2
] = 5 [
𝑣1
𝑣2
] ⇒ {
3𝑣1 + 0𝑣2 = 5𝑣1
4𝑣1 + 5𝑣2 = 5𝑣2
 
 
⇒
−2𝑣1 = 0 ⇒ 𝑣1 = 0
4𝑣1 = 0 ⇒ 𝑣1 = 0
 
 
Assim, quaisquer vetores (0, 𝑣2) é um autovetor 
associado ao autovalor 𝜆1 = 5 . Exemplos: 
(0, −2), (0, −6), (0, √2), … 
 
{(0, 1)𝑣2/𝑣2 ∈ ℝ 𝑒 𝑣2 ≠ 0} 
 
Atenção: Neste exercício achamos os autovetores 
(1, −2) associado ao autovalor 3 e (0, 1) associ-
ado ao autovalor 5. Esses dois vetores formam 
uma base do ℝ2. 
 
𝟑) 𝑨 = (
𝟎 𝟎 −𝟐
𝟏 𝟐 𝟏
𝟏 𝟎 𝟑
) 
 
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 ⇒ |
0 − 𝜆 0 −2
1 2 − 𝜆 1
1 0 3 − 𝜆
| = 0 
 
⇒ 𝜆3 − 5𝜆2 + 8𝜆 − 4 = 0 
 
Atenção: 
Seja 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) 
 
𝑃(𝜆)𝑑𝑒 𝐴 = 𝜆3 − 𝑡𝑟(𝐴)𝜆2 + (𝐴11 + 𝐴22 + 𝐴33)𝜆 − det (𝐴) 
 
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴11 = |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| , 𝐴22 = |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| , 
 
 𝐴33 = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| 
 
Para o exercício temos: 
𝑡𝑟(𝐴) = 5 , 𝐴11 = |
2 1
0 3
| = 6 , 
 
 𝐴22 = |
0 −2
1 3
| = 2 , 𝐴33 = |
0 0
1 2
| = 0 
 
|𝐴| = 4 
 
𝑃(𝜆)𝑑𝑒 𝐴 = 𝜆3 − 𝑡𝑟(𝐴)𝜆2 + (𝐴11 + 𝐴22 + 𝐴33)𝜆 − det (𝐴) 
 
𝑃(𝜆)𝑑𝑒 𝐴 = 𝜆3 − 5𝜆2 + (6 + 2 + 0)𝜆 − 4 
 
⇒ 𝜆3 − 5𝜆2 + 8𝜆 − 4 = 0 
 
Precisamos calcular as raízes dessa equação cú-
bica. Lembre-se que todas as soluções inteiras da 
equação acima (se houver) são números divisores 
de −4 (±1, ±2, ±4). Assim vamos substituir 
cada um na equação cúbica: 
 
𝑃(−1) = (−1)3 − 5(−1)2 + 8(−1) − 4 < 0 
𝑃(+1) = (+1)3 − 5(+1)2 + 8(+1) − 4 = 0 
𝑃(+2) = (+2)3 − 5(+2)2 + 8(+2) − 4 = 0 
 
Assim, a forma fatorada de 𝜆3 − 5𝜆2 + 8𝜆 − 4 =
0 deve conter (𝜆 − 1) 𝑒 (𝜆 − 2). Vamos então di-
vidir a equação cúbica para descobrir a sua forma 
fatorada: 
 
 
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Com isso temos: 
 
𝜆3 − 5𝜆2 + 8𝜆 − 4 = 0 
⇒ (𝜆 − 1)(𝜆2 − 4𝜆 + 4 ) = 0 
⇒ (𝜆 − 1)(𝜆 − 2)2=0 
 
Portanto os autovalores são iguais a 𝜆1 =
1 𝑒 𝜆2 = 2. 
 
Para calcular os autovetores fazemos: 
 
• Para 𝜆1 = 1: 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 
(
0 0 −2
1 2 1
1 0 3
) (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) = 1 (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) 
 
⇒ {
−2𝑣3 = 1𝑣1 ⇒ 𝑣1 = −2𝑣3
1𝑣1 + 2𝑣2 + 1𝑣3 = 1𝑣2 ⇒ 𝑣2 = 𝑣3
1𝑣1 + 3𝑣3 = 1𝑣3 ⇒ 1𝑣1 = −2𝑣3
 
 
Assim, quaisquer vetores (−2𝑣3, 𝑣3, 𝑣3 ) é um au-
tovetor associado ao autovalor 𝜆1 = 1 . Exem-
plos: 
 
(−2, 1, 1), (−4, 2, 2), … 
 
{(−2, 1 , 1)𝑣3/𝑣3 ∈ ℝ 𝑒 𝑣3 ≠ 0} 
 
• Para 𝜆1 = 2: 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 
(
0 0 −2
1 2 1
1 0 3
) (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) = 2 (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) 
 
⇒ {
−2𝑣3 = 2𝑣1 ⇒ 𝑣1 = −𝑣3
1𝑣1 + 2𝑣2 + 1𝑣3 = 2𝑣2 ⇒ 𝑣1 = −𝑣3
1𝑣1 + 3𝑣3 = 2𝑣3 ⇒ 1𝑣1 = −𝑣3
 
 
Observe que não temos nenhuma restrição para o 
valor de 𝑣2. Assim, quaisquer vetor (−𝑣3,𝑣2, 𝑣3 ) 
é um autovetor associado ao autovalor 𝜆1 = 2 . 
Exemplos: 
 
(−1, 0, −1), (0, 1, 0), … 
 
Observe que (−𝑣3, 𝑣2, 𝑣3 ) = 𝑣3(−1, 0, −1) +
𝑣2 (0, 1, 0) . 
 
Esses dois vetores são LI, ou seja, um vetor não é 
uma combinação linear do outro. 
 
 
2 – EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
1) Dada a matriz A abaixo, verifique que x é um 
autovetor de A e encontre o autovalor correspondente 
 
𝐴 = (
4 0 1
2 3 2
1 0 4
) , 𝑥 = (
1
2
1
) 
 
2)Calcule o polinômio característico das matrizes 
abaixo: 
 
𝑎) [
3 0
8 −1
] 𝑏) [
−2 −7
1 2
] 
 
3) Encontre os autovalores e os respectivos autovetores 
das matrizes abaixo: 
 
𝑎) 𝐴 = [
1 3
−1 5
] 𝑏)𝐴 = [
2 1
3 4
] 
 
𝑐) [
1 −1 0
2 3 2
1 1 2
] 𝑑) [
3 −1 −3
0 2 −3
0 0 −1
] 
 
4) Determinar os valores próprios e os vetores 
próprios das seguintes Transformações Lineares: 
 
𝑎) 𝑇: ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2𝑦, −𝑥 + 4𝑦) 
 
𝑏) 𝑇: ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 2𝑦, 𝑥 + 3𝑦) 
 
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𝑐) 𝑇: ℝ3 → ℝ3, 
 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧) 
 
5) Determinar o operador Linear 𝑇: ℝ2 → ℝ2 
cujos valores próprios são 𝜆1 = 1 𝑒 𝜆2 = 3 e 
estão associados, respectivamente, aos vetores 
próprios 𝑣1 = (𝑦, −𝑦) e 𝑣2 = 𝑦(0, 𝑦). 
 
 
RESPOTAS 
 
1) 5 
 
2)𝑎) 𝜆2 − 2𝜆 − 3 = 0 
 
𝑏) 𝜆2 + 3 = 0 
 
 
3) 𝑎) 𝜆1 = 2 𝑣1 = 𝑦(3,1); 𝜆2 = 4 𝑣2 = 𝑦(1,1) 
 
𝑏) 𝜆1 = 1 𝑣1 = 𝑦(−1,1); 𝜆2 = 5 𝑣2 = 𝑥(1,3) 
 
𝑐) 𝜆1 = 1 𝑣1 = (𝑥, 0, −𝑥); 
𝜆2 = 2 𝑣2 = (−2𝑧, 2𝑧, 𝑧) 
𝜆3 = 3 𝑣3 = (𝑥, −2𝑥, −𝑥) 
 
𝑑) 𝜆1 = −1 𝑣1 = 𝑥(1,1,1); 
𝜆2 = 2 𝑣2 = 𝑥(1,1,0) 
𝜆3 = 3 𝑣3 = 𝑥(1,0,0) 
 
4) 𝑎) 𝜆1 = 3 𝑣1 = (𝑦, 𝑦); 𝜆2 = 2 𝑣2 = (2𝑦, 𝑦) 
 
𝑏) 𝜆1 = 1 𝑣1 = 𝑦(−2,1); 𝜆2 = 4 𝑣2 = 𝑥(1,1) 
 
𝑐) 𝜆1 = 𝜆2 = 1 𝑣1 = 𝑣2 = (𝑥, 𝑦, −𝑦); 
𝜆3 = 4 𝑣3 = 𝑥(1,1,2) 
 
 
5)𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 2𝑥 + 3𝑦)