Aula07 - sistema_equacoes_de_1_grau

Prévia do material em texto

Fundamentos Tecnológicos
Sistemas de equações 
de 1º Grau
Início da aula 07
Sistemas de Equações de 1º Grau – Forma 
Geral de um sistema com duas variáveis.
 A forma genérica de um sistema de equações de 1º grau é dada por:
 Onde a, b, m e n são os coeficientes da equação, c e p são os termos 
independentes da equação e , x e y são as variáveis (incógnitas).
ቊ
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝
Sistemas de Equações de 1º Grau – Forma 
Geral de um sistema com duas variáveis.
 Resolver um sistema de equações, consiste de determinar os valores de
x e y que satisfaçam simultaneamente às duas equações.
 Por exemplo, o sistema:
, pois apenas estes valores satisfazem ambas as igualdades.
൝
5𝑥 + 𝑦 = 16
2𝑥 − 3𝑦 = 3
tem solução para ቊ
𝑥 = 3
𝑦 = 1
൜
5𝑥 + 𝑦 = 5 . 3 + 1 = 15 + 1 = 16
2𝑥 − 3𝑦 = 2 . 3 − 3 .1 = 6 − 3 = 3
Problema envolvendo sistema de equação de 
1º Grau
 Antônio e Gustavo vão disputar uma partida de lançamento de
dardos.
 Combinaram só valer ponto quando acertassem o centro do
alvo.
 Cada um lançaria dez vezes.
 Terminada a partida, os dois, juntos, marcaram 12 pontos e
Antônio ganhou por uma diferença de 8 pontos.
 Quantos pontos fez cada um?
Exemplo
Problema envolvendo sistema de equação de 
1º Grau
 O primeiro passo é montar o sistema onde representamos os
pontos feitos por Antônio por x e os pontos feitos por Gustavo
por y.
 Definidas as variáveis o próximo passo, consiste de montar o
sistema de equações com duas variáveis:
൜
𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥 − 𝑦 = 8
Problema envolvendo sistema de equação de 
1º Grau
 Este sistema pode ser resolvido de duas maneiras:
 A primeira é através do método da substituição, método que
consiste em isolar uma das incógnitas, numa das equações e
substituir a expressão encontrada na outra equação.
 A segunda é através do método da adição, método que consiste
em somar as equações anulando uma das variáveis.
Método da Substituição
 Dado o sistema:
1º) Escolhe-se uma das equações e isola-se um dos termos (x ou y).
2º) Substitui o valor do termo isolado na outra equação e
determina-se o valor da outra variável.
൜
𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥 − 𝑦 = 8
𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥 = 12 − 𝑦
𝑥 − 𝑦 = 8
12 − 𝑦 − 𝑦 = 8
−2𝑦 = 8 − 12
−2𝑦 = −4
𝑦 =
−4
−2
= 2
𝑦 = 2
Método da Substituição
4º) Substituindo y=2 , em uma das equações tem-se:
Portanto temos que a solução do sistema é dada por x=10 e y = 2
ou seja:
𝑆 = {(10 , 2)}
𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥 = 12 − 𝑦
𝑥 = 12 − 2 = 10
𝑥 = 10
Exercícios – Método da Substituição
 Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando o método
da substituição:
a) ൜
𝑥 = 5𝑦
𝑥 + 𝑦 = 12
b) ൜
𝑥 − 𝑦 = 10
2𝑥 + 3𝑦 = 10
c) ൜
𝑥 = 𝑦 + 3
4𝑥 + 𝑦 = −3
𝑆 = {(10 , 2)}
𝑆 = {(8 , −2)}
𝑆 = {(0 , −3)}
Método da Adição
 Dado o sistema do problema anterior.
1º) Somando-se as equações temos:
2º) Isolando o termo anterior tem-se que:
൜
𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥 − 𝑦 = 8
2𝑥 = 20
𝑥 =
20
2
= 10
𝑥 = 10
+
𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥 − 𝑦 = 8
2𝑥 = 20
Método da Adição
4º) Substituindo x=10 , em uma das equações tem-se:
Portanto temos que a solução do sistema é dada por x=10 e y = 2
ou seja:
𝑆 = {(10 , 2)}
𝑥 + 𝑦 = 12
𝑦 = 12 − 𝑥
𝑦 = 12 − 10
𝑦 = 2
Exercícios – Método da Adição
 Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando o método
da adição:
a) ൜
𝑥 + 𝑦 = 6
2𝑥 − 𝑦 = 24
b) ൜
𝑥 + 2𝑦 = 5
𝑥 + 3𝑦 = 8
c) ൜
3𝑥 + 4𝑦 = −5
𝑥 − 2𝑦 = 5
𝑆 = {(10 , −4)}
𝑆 = {(−1 , 3)}
𝑆 = {(1 , −2)}
Exercícios – Extraclasse
 Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando qualquer
um dos métodos de resolução vistos em sala de aula.
a) ൜
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
b) ൜
3𝑥 − 𝑦 = −2
2𝑥 − 𝑦 = −4
c) ൜
𝑥 + 𝑦 = 20
𝑥 − 3𝑦 = −12
𝑆 = {(3 , 2)}
𝑆 = {(12 , 8)}
𝑆 = {(2 , 8)}
Exercícios – Extraclasse
 Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando qualquer
um dos métodos de resolução vistos em sala de aula.
d) ቐ
3𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1
−𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 2
e) ቐ
−𝑦 + 2𝑥 − 6𝑧 = 2
−4𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦 = 4
−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 3
𝑆 =
47
3
,
10
3
,
13
3
𝑆 =
1
4
,−
13
4
,
5
2
Exercícios – Extraclasse 
Problemas envolvendo sistemas de equações
de 1º Grau
1. Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em duas
etapas, de modo que na primeira etapa percorra 60 km a mais
que na segunda. Quantos quilômetros ele deverá percorrer em
cada etapa? R: (420 Km e 360 Km).
2. A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3.
Determinar esses números. R: (9 e 6).
3. Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de
rodas é 130, e o número de bicicletas é o triplo do número de
automóveis. Qual é o números de automóveis e bicicletas que
se encontram no pátio? R: (13 carros e 39 bicicletas).
Exercícios – Extraclasse
 Dado o sistema abaixo resolva o seguinte sistema de frutas:
R: (uva = 12, banana=2 e maça+banana+uva=21)
Exercícios – Extraclasse
 Considerando as balanças em equilíbrio, monte o sistema de
equações correspondente e determine o peso em gramas da
pera e da maçã.
R: (pera=270kg e maça=170kg)
Exercícios – Desafio
 Qual é o valor da corrente e da tensão no resistor de 4 para o
circuito mostrado abaixo sendo as seguintes equações de malha.
ቐ
2𝐼1 − 𝐼2 = −2
−𝐼1 + 6𝐼2 − 3𝐼3 = 4
−3𝐼2 + 7𝐼3 = 5
Exercício para pensar
 Um bêbado disse a seguinte frase:
“ Se ontem fosse amanhã, hoje seria sexta-feira”.
a) Qual foi o dia em que ele fez esta afirmação?
Utilizando os conceitos de sistema de equações vistos em sala
de aula como que este problema poderia ser resolvido?
Fim da Aula 07