Lagrange macroeconomia

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Questão 1:
U(X,Y) = 120X + 30Y - 3X2 -	32 Y2
s.a. = 12x + 6y = 246 → 12x + 6y - 246 = 0
Passo 1: Montar a equação de Lagrange 120x + 30y - 3x2 - 32 y2 + λ. (12x + 6y - 246)
Passo 2: Derivar Lagrange em relação à X, Y e λ.
· Derivando em X
𝐷𝑥𝐷𝑙 = 120x - 3x1-1 2 + 12x 2-1λ	1-1
= 1.120x	- 2.3x	+ 1.12x	. λ
= 1.120.1 - 2.3x2-1+1.12x1-1. λ
= 120 - 6x + 12 λ λ= −12012 + 6𝑥 , ou = simplificando tudo por 6, obtemos: = −202 + 𝑥 
· Derivando em Y
𝐷𝑦𝐷𝑙 = 30y - 32 y2+ 6y λ
= 1.30y1-1-2. 32 y2-1+1.6y1-1. λ
= 30 - 62 y + 6 λ= 30-3 y+6 λ
●= Derivando em −306 + 3𝑦 , ou = simplificando tudoλ	por 3, obtemos: = −102 + 𝑦 𝐷𝐷𝑙λ = 12x + 6y - 246
Passo 3: Fazer λ = λ −202 + 𝑥 = 10 2+ 𝑦 
-40+2x = -20+2y
-40+20+2x=2y −202+2𝑥 = y
-10+x = y
Passo 4: Resolver o sistema de equações
12x + 6. (-10.x) - 246 = 0
12x - 60 + 6x - - 246= 0
18x - 60 - 246 = 0
18x - 306 = 0
18x = 306 X = 30618 X = 17
-10 + X = Y
- 10 + 17 = Y
7 = Y
7 refrigerantes e 17 cervejas Questão 2:
Máx U(X,Y) = 3X4Y
s.a. 10X + 30Y = 1200
10x + 30y = 1200 → 10x + 30y - 1200
Passo 1: Montar a equação de Lagrange
L = UTILIDADE + λ. (RESTRIÇÃO)
3x4y + λ . (10x + 30y - 1200)
3x4y +10xλ + 30yλ - 1200λ
Passo 2: Derivar Lagrange em relação à X, Y e λ.
· Derivando em X
𝐷𝐷𝑙 𝑥 = 3x4y - 10x1-1	λ	1-1
= 1.3x	. 4y - 1.10 x	. λ
→ X0= 1
= 1.3.1. 4y - 10.1. λ
= 3.4y - 10λ
= 12y-10λ=0
12y = 10λ λ =	1210𝑦 ou = simplificando tudo por 2, obtemos: 65𝑦
· Derivando em Y
𝐷𝑦𝐷𝑓 = 3x4y+ 30yλ
= 3x.4y1-1 - 30. y1-1 . λ
→ X0= 1
= 3x.4.1-30.1. λ
= 3x.4-30 λ
= 12x-30 λ=0
12x= 30λ
= 1230𝑥 ou dividindo tudo por 6, obtemos: 25𝑥
· Derivando λ 𝐷𝐷𝑙λ = 10x + 30y - 1200
Passo 3: Fazer λ = λ
65𝑦 = 25𝑥 → 10x =30y X= 3010𝑦
X= 3y
Passo 4: Resolver o sistema de equações
10x+30y-1200=0
10(3y) + 30y-1200=0
30y+30y-1200=0
60y=1200
y = 120060	= 20
x=3y
x= 3.20 x= 60
Logo, as escolhas ótimas sao y= 20 e x=60