Questão 15/20 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável Suponha a confecção de uma caixa de lados regulares com base quadrada de lados x e al...

Para determinar as dimensões que exigem o mínimo de material na confecção da caixa, podemos utilizar o conceito de otimização de funções em Cálculo. Neste caso, como queremos minimizar a quantidade de material utilizado, devemos minimizar a área total da caixa. A área total da caixa é dada pela soma da área da base (que é um quadrado de lado x * x = x²) com a área lateral (que é dada pela altura y multiplicada pela soma dos quatro lados da base, ou seja, 4x). Assim, a área total A em função de x e y é dada por A = x² + 4xy. Como o volume da caixa é 1 m³, temos que x² * y = 1. Podemos então substituir y = 1/x² na expressão da área total A, obtendo A = x² + 4x/x² = x² + 4/x. Para encontrar o valor mínimo de A, podemos derivar em relação a x e igualar a zero: dA/dx = 2x - 4/x² = 0. Resolvendo essa equação, encontramos x = 2. Substituindo x = 2 na expressão de y = 1/x², obtemos y = 1/4. Portanto, as dimensões que exigem o mínimo de material na confecção da caixa são lados x e y com dimensões aproximadas, respectivamente, de 2m e 0,25m. Assim, a alternativa correta é: D) Lados x e y têm dimensões aproximadas, respectivamente, de 1,26m e 0,63m.