Suponha a confecção de uma caixa de lados regulares com base quadrada de lados X e altura y, sem tampa, com 1 de volume. Determine as dimensões que...

Para determinar as dimensões que exigem o mínimo de material na confecção da caixa, devemos encontrar as dimensões que minimizam a área total da caixa. A área total da caixa é dada pela soma das áreas das faces laterais e da base. Como a base é quadrada, sua área é X^2. As áreas das faces laterais são dadas por X * y. Portanto, a área total da caixa é A = X^2 + 4 * X * y. Para encontrar as dimensões que minimizam a área total, podemos derivar a função A em relação a X e igualar a zero: dA/dX = 2X + 4y = 0. Isolando X, temos: 2X = -4y, X = -2y. Substituindo esse valor de X na equação da área total, temos: A = (-2y)^2 + 4 * (-2y) * y, A = 4y^2 - 8y^2, A = -4y^2. Como o coeficiente de y^2 é negativo, isso indica que a área total é máxima quando y é mínimo. Portanto, devemos escolher a opção que possui a menor altura y. Analisando as opções fornecidas, a alternativa correta é: D) Lados e y têm dimensões aproximadas, respectivamente, de 1,26m e 0,63m. Nessa opção, a altura y é a menor entre todas as opções, o que resulta na menor área total e, consequentemente, no mínimo de material necessário para a confecção da caixa.