Considere a transformação T:R2→R2 definida por T(x,y)=(−x+y,x−y). Sobre T é correto afirmar Escolha uma opção: a. T é linear e o núcleo e a im...

Para determinar se a transformação T é linear, precisamos verificar se ela preserva a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Vamos analisar: Seja u = (x1, y1) e v = (x2, y2) dois vetores em R2 e α um escalar qualquer. 1. T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (-(x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) = (-x1 - x2 + y1 + y2, x1 + x2 - y1 - y2) = ((-x1 + y1) + (-x2 + y2), (x1 - y1) + (x2 - y2)) = (-(x1 + y1) + (x2 + y2), (x1 - y1) + (x2 - y2)) = T(u) + T(v) 2. T(αu) = T(αx1, αy1) = (-αx1 + αy1, αx1 - αy1) = α(-x1 + y1, x1 - y1) = αT(u) Portanto, a transformação T é linear. Agora, sobre o núcleo e a imagem de T, podemos observar que o núcleo de T (ker(T)) é o conjunto de vetores u = (x, y) em R2 tal que T(u) = (0, 0). Analisando a transformação T(x, y) = (-x + y, x - y), podemos ver que T(u) = (0, 0) implica em -x + y = 0 e x - y = 0. Resolvendo esse sistema, obtemos x = y. Portanto, o núcleo de T é o conjunto de todos os vetores da forma (t, t), onde t é um número real. Já a imagem de T (Im(T)) é o conjunto de todos os vetores em R2 que podem ser escritos como T(u) para algum vetor u em R2. Observando a transformação, podemos ver que a imagem de T é o conjunto de todos os vetores da forma (-a, a), onde a é um número real. Assim, a afirmativa correta seria: a. T é linear e o núcleo é o conjunto de todos os vetores da forma (t, t), onde t é um número real, e a imagem é o conjunto de todos os vetores da forma (-a, a), onde a é um número real.