Álgebra Linear: Produto Interno

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Álgebra Linear
Produto Interno
Prof. Kênio Alexsom de Almeida Silva 1
April 22, 2021
1
Curso de Bacharelado em Ciência e Tecnologia - Universidade Federal do Maranhão
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Definição 1 (Produto Interno Geral)
Seja V um espaço vetorial sobre R ou C. Um produto interno é uma
função que associa a cada dupla de vetores x , y um escalar 〈x |y〉 tal que
as seguintes propriedades são satisfeitas:
1 〈x |x〉 ≥ 0 e 〈x |x〉 = 0 ⇔ x = 0;
2 〈x |αy〉 = α〈x |y〉 ∀α;
3 〈x |y + z〉 = 〈x |y〉+ 〈x |z〉;
4 〈x |y〉 = 〈y |x〉.
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Exerćıcio 2
Seja V um espaço vetorial sobre R ou C. Considere 〈x |y〉 um produto
interno sobre V. Para cada x ∈ V defina a função φ(y) = 〈x |y〉. Mostre
que φ é uma transformação linear entre V e R, chamada funcional linear.
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Exemplo 3
Verifique que as seguintes funções são produtos internos sobre os
respectivos espaços vetoriais:
1 〈x |y〉 = xT y para x , y ∈ Rn, e 〈x |y〉 = x∗y para x , y ∈ Cn;
2 Seja A, uma matriz inverśıvel, 〈x |y〉 = x∗A∗Ay para x , y ∈ Cn;
3 〈A|B〉 = traço(ATB) para A, B ∈ Rm×n, e 〈A|B〉 = traço(A∗B) para
A, B ∈ Cm×n;
4 〈f |g〉 =
∫ b
a
f (t)g(t) dt para f , g ∈ F , o espaço vetorial das funções
reais a valores reais cont́ınuas.
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Proposição 4 (Desigualdade de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz:)
Seja V um espaço vetorial com produto interno, defina ‖ x ‖=
√
〈x |x〉,
então vale a desigualdade de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz:
|〈x |y〉| ≤‖ x ‖‖ y ‖ ∀ x , y .
A igualdade está garantida se, e somente se, y = αx com
α =
〈x |y〉
〈x |x〉
, x 6= 0.
Proposição 5 (Normas em espaços com produto interno:)
Seja V um espaço vetorial com produto interno, defina ‖ x ‖=
√
〈x |x〉,
então ‖ ∗ ‖ é uma norma.
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Proposição 4 (Desigualdade de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz:)
Seja V um espaço vetorial com produto interno, defina ‖ x ‖=
√
〈x |x〉,
então vale a desigualdade de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz:
|〈x |y〉| ≤‖ x ‖‖ y ‖ ∀ x , y .
A igualdade está garantida se, e somente se, y = αx com
α =
〈x |y〉
〈x |x〉
, x 6= 0.
Proposição 5 (Normas em espaços com produto interno:)
Seja V um espaço vetorial com produto interno, defina ‖ x ‖=
√
〈x |x〉,
então ‖ ∗ ‖ é uma norma.
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Exemplo 6
Descreva a norma proveniente dos seguintes produtos internos sobre os
respectivos espaços vetoriais:
1 〈x |y〉 = xT y para x , y ∈ Rn, e 〈x |y〉 = x∗y para x , y ∈ Cn;
2 Seja A, uma matriz inverśıvel, 〈x |y〉 = x∗A∗Ay para x , y ∈ Cn;
3 〈f |g〉 =
∫ b
a
f (t)g(t) dt para f , g ∈ F , o espaço vetorial das funções
reais a valores reais cont́ınuas.
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Exemplo 7
A norma proveniente do produto interno canônico sobre o espaço vetorial
de matrizes é chamada de norma de Frobenius:
1 〈A|B〉 = traço(ATB) para A, B ∈ Rm×n, e 〈A|B〉 = traço(A∗B) para
A, B ∈ Cm×n;
2 ‖ A ‖F=
∑
i ,j
|aij |2
1/2
=
(
m∑
i=1
‖ Ai∗ ‖2
2
)1/2
=
 n∑
j=1
‖ A∗j ‖2
2
1/2
.
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Exemplo 8
Calcule a norma de Frobenius das seguintes matrizes:
1 A =
(
1− i 3− i
3 + i 2 + i
)
;
2 B =
 0 1 0
0 1 1
1 0 0
;
3 C =
 4 −2 4
−2 1 −2
4 −2 4
;
4 BC ;
5 CB.
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Exemplo 9
Verifique que a norma de Frobenius satisfaz as seguintes propriedades:
1 ‖ A ‖F≥ 0;
2 ‖ A ‖F= 0⇔ A = 0;
3 ‖ αA ‖F= |α| ‖ A ‖F , ∀α ∈ C;
4 ‖ A + B ‖F≤‖ A ‖F + ‖ B ‖F , ∀A, B ∈ Cm×n;
5 ‖ Ax ‖2≤‖ A ‖F‖ x ‖2, ∀ x ∈ Cn×1, A ∈ Cm×n;
6 ‖ AB ‖F≤‖ A ‖F‖ B ‖F , ∀A ∈ Cm×p, B ∈ Cp×n.
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Exerćıcio 10
Calcule a norma de Frobenius das seguintes matrizes:
1 B =
 0 1 0
0 1 1
1 0 0
; 2 C =
 4 −2 4
−2 1 −2
4 −2 4
;
3 BC ;
4 CB.
Verifique que
‖ BC ‖F≤‖ B ‖F‖ C ‖F e ‖ CB ‖F≤‖ C ‖F‖ B ‖F .
É ‖ BC ‖F=‖ CB ‖F ?
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Exemplo 11
Mostre que
1 ‖ In ‖F=
√
n;
2 ‖ A ‖F=‖ A∗ ‖F .
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Definição 12 (Normas de matrizes)
Uma norma de matriz é uma função ‖ ∗ ‖ de Cm×n sobre R que satisfaz
as seguintes propriedades:
1 ‖ A ‖≥ 0;
2 ‖ A ‖= 0⇔ A = 0;
3 ‖ αA ‖= |α| ‖ A ‖, ∀α;
4 ‖ A + B ‖≤‖ A ‖ + ‖ B ‖;
5 ‖ AB ‖≤‖ A ‖‖ B ‖.
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Proposição 13
Sejam A, B ∈ Rm×n, então (traço(ATB))2 ≤ traço(ATA)traço(BTB).
Proposição 14 (Identidade do Paralelogramo:)
Seja V um espaço vetorial com uma norma ‖ ∗ ‖. Existe um produto
interno sobre V tal que ‖ x ‖=
√
〈x |x〉 se, e somente se, a Identidade do
paralelogramo for satisfeita:
‖ x + y ‖2 + ‖ x − y ‖2= 2(‖ x ‖2 + ‖ y ‖2), ∀ x , y ∈ V.
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Proposição 13
Sejam A, B ∈ Rm×n, então (traço(ATB))2 ≤ traço(ATA)traço(BTB).
Proposição 14 (Identidade do Paralelogramo:)
Seja V um espaço vetorial com uma norma ‖ ∗ ‖. Existe um produto
interno sobre V tal que ‖ x ‖=
√
〈x |x〉 se, e somente se, a Identidade do
paralelogramo for satisfeita:
‖ x + y ‖2 + ‖ x − y ‖2= 2(‖ x ‖2 + ‖ y ‖2), ∀ x , y ∈ V.
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Exerćıcio 15
Mostre que as normas 1, ∞ sobre Cn×1 não satisfazem a Identidade do
paralelogramo.
Exerćıcio 16
Considere em R3 as seguintes funções, quais delas são um produto
interno?
1 〈x |y〉 = x1y1 + x3y3;
2 〈x |y〉 = x1y1 − x2y2 + x3y3;
3 〈x |y〉 = 2x1y1 + x2y2 + 4x3y3;
4 〈x |y〉 = x2
1y
2
1 + x2
2y
2
2 + x2
3y
2
3 .
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Exerćıcio 15
Mostre que as normas 1, ∞ sobre Cn×1 não satisfazem a Identidade do
paralelogramo.
Exerćıcio 16
Considere em R3 as seguintes funções, quais delas são um produto
interno?
1 〈x |y〉 = x1y1 + x3y3;
2 〈x |y〉 = x1y1 − x2y2 + x3y3;
3 〈x |y〉 = 2x1y1 + x2y2 + 4x3y3;
4 〈x |y〉 = x2
1y
2
1 + x2
2y
2
2 + x2
3y
2
3 .
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Exerćıcio 17
Seja V um espaço vetorial com um produto interno 〈∗|∗〉. Mostre que as
seguintes propriedades são verdadeiras:
1 Se 〈x |y〉 = 0∀ x , então y = 0;
2 〈αx |y〉 = α〈x |y〉;
3 〈x + y |z〉 = 〈x |z〉+ 〈y |z〉.
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Exerćıcio 18
Seja V um espaço vetorial com um produto interno real 〈∗|∗〉 tal que
‖ x ‖=
√
〈x |x〉 é uma norma. Mostre que vale a desigualdade
〈x |y〉 ≤ 1
2
(‖ x ‖2 + ‖ y ‖2).
Sugestão: Calcule ‖ x − y ‖2.
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Exerćıcio 19
Sejam A, B ∈ Cn×n. Mostre que as seguintes propriedades são
verdadeiras:
1 |traço(B)|2 ≤ n(traço(B∗B)). Sugestão: Use a desigualdade CBS
com a norma de Frobenius e faça A = In;
2 traço(B2) ≤ traço(BTB) para matrizes reais. Sugestão: Use a
desigualdade CBS com a norma de Frobenius e faça A = BT e use
traço(BTB) = traço(BBT );
3 traço(ATB) ≤ 1
2
(
traço(ATA) + traço(BTB)
)
para matrizes reais.
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Exerćıcio 20
Mostre que a norma de Frobenius sobre Cn×n satisfaz a Identidade do
paralelogramo.
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MEYER, C. D., Matrix Analysis and applied Linear Algebra, SIAM,
Philadelphia, PA, 2000.
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