Matrizes e Formas Quadráticas

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Álgebra Linear
Matriz Definida Positiva e Formas Quadráticas
Prof. Kênio Alexsom de Almeida Silva 1
April 30, 2021
1
Curso de Bacharelado em Ciência e Tecnologia - Universidade Federal do Maranhão
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Definição 1
Seja A uma matriz de ordem n, dizemos que A é uma matriz diagonalizável
se existir P inverśıvel tal que P−1AP = diagonal(λ1, ..., λn) é uma matriz
diagonal. Se P−1 = PT , dizemos que P é matriz ortogonal. Se U−1 = U∗,
dizemos que U é matriz unitária, neste caso temos UU∗ = U∗U = In.
Proposição 2 (Autovalores de Matrizes Simétricas, Hermitianas)
Seja A uma matriz de ordem n. Então,
1 Os autovalores de A matriz simétrica real ou hermitiana, são reais;
2 A é uma matriz real simétrica se, e somente se, A é uma matriz
diagonalizável com P matriz ortogonal e
P−1AP = diagonal(λ1, ..., λn) uma matriz real;
3 Os autovalores de A matriz anti-simétrica real ou anti-hermitiana, são
imaginários puros.
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Exerćıcio 3
Calcule os autopares para A, e decida se A é diagonalizável:
1 A =
 1 1 −1
1 1 1
−1 1 1
 ,
Autovalores: −1, 2, 2;
2 A =
 0 1 −1
−1 0 1
1 −1 0
 ,
Autovalores:
√
3i , −
√
3i , 0;
3 A =
 1 1 + i 1− i
1− i 1 −1 + i
1 + i −1− i 1
 ,
Autovalores: −
√
3,
√
3, 3;
4 A = 0 1 + i 1− i
−1 + i 0 −1 + i
−1− i 1 + i 0
 ,
Autovalores:
−(1 +
√
3)i , (
√
3− 1)i , 2i .
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Exemplo 4
Seja A uma matriz m × n. Então,
As matrizes A∗A e AA∗ são hermitianas (ou reais simétricas) e são
matrizes diagonalizáveis por transformação de semelhança unitária (
ou ortogonal). Os valores singulares de A são as ráızes quadradas dos
autovalores não-nulos de A∗A. Os autovalores não-nulos de A∗A e
AA∗ são iguais e positivos.
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Definição 5 (Matriz Definida Positiva)
Seja A uma matriz hermitiana ( ou real simétrica). As seguintes
afirmações são equivalentes, e qualquer uma delas serve como a definição
de uma matriz definida positiva:
1 x∗Ax > 0, ∀ x 6= 0;
2 Todos os autovalores de A são positivos;
3 A = B∗B para alguma matriz B não-singular;
4 A = LU para matrizes L triangular inferior e U triangular superior
com todas as entradas diagonais positivas.
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Exerćıcio 6
Calcule os autovalores de A, e decida se A é matriz definida positiva:
1 A =
 1 −1 −1
−1 5 1
−1 1 5
;
2 A =
 20 6 8
6 3 0
8 0 8
 , Tem um autovalor nulo.;
3 A =
 2 0 2
0 6 2
2 2 4
.
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Definição 7 (Formas Quadráticas)
Seja A uma matriz real de ordem n. A função f : Rn → R definida por
f (x) = xTAx é chamada de forma quadrática. Uma forma quadrática é
definita positiva quando A é uma matriz definida positiva.
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Exemplo 8
Seja f a forma quadrática definida pela matriz A de ordem n. Então, a
matriz simétrica
1
2
(A + AT ) também define a forma quadrática f .
Proposição 9 (Diagonalização de uma forma quadrática)
Uma forma quadrática f é uma forma diagonal se for definida por uma
matriz diagonal. Dada uma matriz simétrica A que define f . Então, existe
uma mudança de coordenadas em Rn, y = QT x tal que QTAQ = D e
f (x) = xTAx = yTDy =
∑n
i=1 λiy
2
i , onde λi são os autovalores de A.
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Exemplo 8
Seja f a forma quadrática definida pela matriz A de ordem n. Então, a
matriz simétrica
1
2
(A + AT ) também define a forma quadrática f .
Proposição 9 (Diagonalização de uma forma quadrática)
Uma forma quadrática f é uma forma diagonal se for definida por uma
matriz diagonal. Dada uma matriz simétrica A que define f . Então, existe
uma mudança de coordenadas em Rn, y = QT x tal que QTAQ = D e
f (x) = xTAx = yTDy =
∑n
i=1 λiy
2
i , onde λi são os autovalores de A.
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Exemplo 10 (Método de Lagrange)
Seja f a forma quadrática definida pela matriz A de ordem n. Então, existe
uma mudança de coordenadas em Rn, y = QT x tal que QTAQ = D é
uma matriz diagonal com elementos não-nulos iguais a 1 ou −1.
1 Se aii = 0∀ i = 1 : n, escolha os menores r 6= s tais que ars 6= 0. Faça
a mudança de variáveis xr = yr + ys , xs = yr − ys , xi = yi ∀ i /∈ {r , s}
A parcela 2arsxrxs em f (x) é transformada
2ars(yr + ys)(yr − ys) = 2arsy
2
r − 2arsy
2
s . Assim, crr = 2ars e
css = −2ars ;
2 Seja i o menor ı́ndice tal que cii 6= 0, faça a mudança de variáveis
w1 = yi , wi = y1, wk = yk ∀ k /∈ {1, i}
Então,
f (x) = f1(w) = cii
(
w2
1 + 2w1
∑n
j=2 cjwj
)
+ g(w
′
), cj = cij/cii e g é
uma forma quadrática nas variáveis w2, · · · ,wn;
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3- Completando os quadrados: a2 + 2ab = (a + b)2 − b2, com a = w1 e
b =
∑n
j=2 cjwj faça a mudança de variáveis
z1 = a + b, zk = wk ∀ k = 2 : n
Então,
f (x) = f2(z) = ciiz
2
1 − cii
(∑n
j=2 cjzj
)2
+ g(z
′
) = ciiz
2
1 + g2(z
′
) e g2
é uma forma quadrática nas variáveis z2, · · · , zn;
4- Faça a mudança de variáveis z1 =
t1√
|cii |
, zk = tk ∀ k = 2 : n
obtemos f (x) = f3(t) = ±t2
1 + g2(t
′
) e g2 é uma forma quadrática
nas variáveis t2, · · · , tn;
5- Repita os passos anteriores para a forma quadrática g2, e
sucessivamente, para obter f (x) =
∑
±x2
k .
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Exemplo 11
Seja f a forma quadrática sobre R3 definida por
f (x , y , z) = 2x2 + 2y2 − 2z2 + 4xy − 4xz + 8yz . Ache uma matriz A tal
que f (x1, x2, x3) =
∑
±x2
k .
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MEYER, C. D., Matrix Analysis and applied Linear Algebra, SIAM,
Philadelphia, PA, 2000.
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