Prévia do material em texto

158. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \ln x \) e \( y = 
\ln(2x) \) no intervalo \( [1, e] \). 
 - **Resolução:** Determine os pontos de interseção e a área usando integração. 
 
159. **Problema:** Determine a derivada de \( y = e^{\sin x} \). 
 - **Resolução:** Use a regra da cadeia para derivar a função. 
 
160. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \). 
 - **Resolução:** Use a expansão de Taylor para \( \tan x \) próximo de zero. 
 
161. **Problema:** Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 
2x - x^2 \). 
 - **Resolução:** Determine os pontos de interseção e a área usando integração. 
 
162. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \frac{1}{ 
 
1 + e^{-x}} \). 
 - **Resolução:** Use a regra da cadeia para derivar a função. 
 
163. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin x \) e \( y = 
\cos x \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \). 
 - **Resolução:** Determine os pontos de interseção e a área usando integração. 
 
164. **Problema:** Determine a equação da reta que passa pelo ponto \( (2, 5) \) e é 
paralela à reta \( 3x + y = 7 \). 
 - **Resolução:** Determine o coeficiente angular da reta dada e use o ponto dado para 
encontrar a equação da reta. 
 
165. **Problema:** Resolva a inequação \( \frac{x - 2}{x + 1} \geq 1 \). 
 - **Resolução:** Encontre os intervalos de \( x \) que satisfazem a inequação. 
 
166. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \arctan(3x + 2) \). 
 - **Resolução:** Use a regra da cadeia para derivar a função. 
 
167. **Problema:** Determine a área da região delimitada pela curva \( y = e^{-x^2} \), o 
eixo \( x \) e os pontos \( x = -1 \) e \( x = 1 \). 
 - **Resolução:** Determine a integral definida da função no intervalo dado. 
 
168. **Problema:** Determine a equação da reta que é perpendicular à reta \( 2x + 3y = 4 
\) e passa pelo ponto \( (1, -1) \). 
 - **Resolução:** Determine o coeficiente angular da reta perpendicular e use o ponto 
dado para encontrar a equação da reta. 
 
169. **Problema:** Resolva a inequação \( \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0 \). 
 - **Resolução:** Encontre os intervalos de \( x \) que satisfazem a inequação. 
 
170. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \arctan \left( \frac{x}{2} \right) \). 
 - **Resolução:** Use a regra da cadeia para derivar a função. 
 
171. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y 
= 2x - 1 \) no intervalo \( [0, 1] \). 
 - **Resolução:** Determine os pontos de interseção e a área usando integração. 
 
172. **Problema:** Calcule a derivada de \( y = \ln(\sin x) \). 
 - **Resolução:** Use a regra da cadeia para derivar a função. 
 
173. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x} \). 
 - **Resolução:** Use a expansão de Taylor para \( \sin(2x) \) próximo de zero. 
 
174. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' = 2y \) com a condição inicial \( y(0) 
= 1 \). 
 - **Resolução:** Use a separação de variáveis para resolver a equação diferencial. 
 
175. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \sqrt{x + \sqrt{x}} \). 
 - **Resolução:** Use a regra da cadeia para derivar a função.