Álgebra Vetorial - Parte II

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UFRN

Luis Freire
28/06/2024
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Fundamentos de Matemática
Francisco Edson da Silva
Simone Batista
Josinaldo Menezes da Silva
Parte II
Álgebra Vetorial
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Conteúdo
II – Álgebra Vetorial 3
1 Noções Iniciais 6
1.1 Grandezas Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Grandezas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Sistema de Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Sistema de Coordenadas no Plano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Distância entre Dois Pontos do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Sistema de Coordenadas no Espaço Tridimensional . . . . . . . . . 29
1.3.4 Distância entre Dois Pontos do Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4 Vetores no Plano e no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.1 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.2 Vetores no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4.3 Coordenadas de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5 Vetor Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6 Igualdade de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7 Norma de Vetor: Versão Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.8 Coplanariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.9 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2 Multiplicação de Número Real por Vetor 63
2.1 Definição e Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2 Propriedades da Multiplicação de Número Real por Vetor . . . . . . . . . . 65
2.3 Versão Algébrica da Multiplicação de Número Real por Vetor . . . . . . . 66
2.4 Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3
3 Adição de Vetores 75
3.1 Versão Geométrica da Adição de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 Regra do Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.2 Regra do “Fim de um no começo do outro” . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Propriedades da Adição de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3 Adição de Vetores: Versão Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Resumo das Propriedades da Multiplicação de Número Real por Vetor e
da Adição de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 Adição de Ponto com Vetor 91
4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Propriedades da Adição de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Versão Algébrica de Adição de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Coordenadas do Ponto Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5 Produto Escalar 100
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 Produto Escalar: forma geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4 Produto Escalar e Ângulo entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5 Versão Algébrica de Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.6 Desigualdade de Schwartz e Desigualdade Triangular . . . . . . . . . . . . 114
5.7 Trabalho de uma Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.8 Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.9 Decompondo Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 Dependência Linear, Independência Linear e Base 126
6.1 Representação de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2 Dependência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3 Propriedade da Dependência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.4 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.5 Propriedade de Conjunto de Vetores LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.6 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.7 Bases e Sistemas de Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4
7 Produto Vetorial 151
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2 Definição Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Produto Vetorial e Área de Poĺıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.5 Versão Algébrica de Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.6 Torque de uma Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8 Duplo Produto Vetorial e Produto Misto 170
8.1 Duplo Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2.1 Propriedades do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2.2 Produto Misto e Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.2.3 Versão Algébrica de Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
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Caṕıtulo 1
Noções Iniciais
Ao estudarmos a Álgebra Vetorial queremos entender, definir e aprender o que são
segmentos orientados, pontos e vetores e como representá-los geométrica e algebricamente,
bem como queremos aprender a trabalhar e realizar as diversas operações matemáticas
com estes elementos matemáticos e as principais aplicações destas operações.
Para realizarmos a contento estes objetivos no decorrer desta parte de nosso livro, va-
mos começar, neste caṕıtulo, definindo e discutindo as grandezas escalares e as grandezas
vetoriais e suas diferenças. Assim como aprenderemos a classificar e deferenciar diferentes
tipos de grandezas vetoriais, segmentos orientados e vetores, para, nos caṕıtulos seguintes,
aprendermos a trabalhar e operar com os vetores.
Uma noção extremamente necessária à representação de vetores no plano e no espaço
é a noção de sistema de coordenadas e, mais precisamente, a noção de sistemas de coor-
denadas cartesianas que estudaremos, também neste caṕıtulo, tanto no plano quanto no
espaço tridimensional.
Para completar este caṕıtulo sobre as noções iniciais necessárias ao estudo da Álgebra
Vetorial vamos apresentar nas forma geométrica e algébrica as noções de vetor nulo,
igualdade entre vetores, norma de vetor e coplanariedade.
A noção de vetores paralelos, que também é extremamente importante e necessária
aos nossos estudos de vetores, será apresentada no caṕıtulo sobre a multiplicação de
número real por vetor, pois assim poderemos apresentar uma definição matematicamente
completa.
61.1 Grandezas Escalares
Algumas das grandezas podem ser totalmente caracterizadas por sua magnitude (ou
intensidade) associada a uma unidade. Estas grandezas são chamadas grandezas es-
calares.
Temos como exemplo deste tipo de grandeza:
1. O comprimento de um terreno. 20 m.
2. A temperatura da sala: 21o C.
3. A duração de uma aula: 50 min.
Assim temos que, por definição, as grandezas que podem ser completamente definidas
por sua magnitude são chamadas de grandezas escalares.
As grandezas escalares, como vimos pelos exemplos, são onipresentes em nosso dia-
a-dia. Trabalhar com grandezas escalares é simples e já estamos bastante acostumados.
Por isto, vamos passar direto ao estudo das grandezas vetoriais.
1.2 Grandezas Vetoriais
1.2.1 Introdução
Há grandezas que precisam de mais que uma magnitude (ou intensidade) para serem
descritas. Elas precisam de direção, sentido e uma intensidade (associada a uma unidade)
para serem totalmente caracterizadas. Estas grandezas são chamadas grandezas veto-
riais.
Para entender estas grandezas, vamos a um exemplo:
Exemplo: A professora Simone estava com problemas com seu carro e pediu ajuda
para dois jovens que estavam passando na rua. Cada jovem concordou em dar uma
forçinha de 10 N , conforme a figura:
7
O problema da professora Simone não foi resolvido! Ela precisava ser mais espećıfica,
pois força é uma grandeza vetorial, precisamos especificar: intensidade, direção e
sentido.
A professora explicou que os dois rapazes deveriam unir forças, pediu que os dois
aplicassem a força de 10 N na direção horizontal no sentido da esquerda para direita,
assim a ajuda dos jovens ficou organizada como a figura abaixo:
O problema foi resolvido! A Professora ficou satisfeit́ıssima. Os rapazes ficaram mais
felizes ainda pois, além de ajudar, aprenderam que força é uma grandeza vetorial.
E que uma grandeza vetorial é caracterizada por: intensidade, direção e sentido.
Como pudemos perceber pelo exemplo acima, para especificar completamente uma
grandeza vetorial precisamos explicitar:
¦ a intensidade ou o tamanho (ou comprimento ou magnitude);
¦ a direção; e
¦ o sentido.
Exemplos:
1. A força exercida sobre um corpo é uma grandeza vetorial.
Sobre uma bola pendurada no teto atua uma força de 2 N , na direção vertical, de
baixo para cima.
8
2. O deslocamento de um corpo é uma grandeza vetorial.
O livro dafigura foi deslocado de 75 cm sobre a mesa, na direção horizontal e no
sentido da esquerda para direita.
3. A velocidade de um carro é uma grandeza vetorial.
O carro da figura está a 50 quilômetros por hora, na direção que forma 30◦ com a
horizontal no sentido de baixo para cima.
1.2.2 Segmentos Orientados
Agora, queremos apresentar o conceito de vetor, este é um conceito um pouco deli-
cado, portanto vamos apresenta-lo com cuidado e atenção. Inicialmente vamos definir
segmento orientado para, a partir deste, definirmos vetor.
Segmento orientado é um segmento de reta (pedaço de reta), com um sentido fixado.
Um segmento de reta liga dois pontos do plano ou do espaço tridimensional.
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Um segmento orientado pode ser definido e define dois pontos: o ponto de ińıcio
do segmento que chameremos de ponto inicial e o ponto de término do segmento que
chamaremos de ponto final.
O segmento orientado que tem o ponto A como ponto inicial e o ponto B como ponto
final será denotado por:
−→
AB
Um segmento orientado tem direção, sentido e magnitude, mas ele não é totalmente
determinado por estas suas caracterist́ıcas pois dois segmentos orientados com mesma
direção, mesmo sentido e mesmo comprimento que tem, por exemplo, pontos iniciais
diferentes são segmentos orientados diferentes.
Um segmento orientado é totalmente determinado por seu ponto inicial e seu ponto
final. Dois segmentos orientados com mesmo ponto inicial e ponto final são o mesmo
segmento orientado.
O ponto inicial e o ponto final de um segmento orientado determinam a direção, o
sentido e o comprimento deste segmento orientado. Por exemplo, o segmento orientado−→
AB (mostrado na figura abaixo) tem:
¦ Direção: a direção da reta que passa pelos pontos A e B;
¦ Sentido: do ponto A para o ponto B;
¦ Comprimento: o comprimento do segmento de reta AB (medido em cm, mm, m
ou outra medida qualquer de comprimento).
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Observações:
1. O segmento orientado
−→
AB é diferente do segmento orientado
−→
BA. Eles tem a
mesma direção, o mesmo comprimento mas, tem sentidos diferentes. Dizemos que−→
AB e
−→
BA tem sentidos opostos ou que são antiparalelos.
2. Será útil considerarmos segmentos que tem ponto inicial igual ao ponto final.
Chamamos estes segmentos orientados de ‘degenerados’, pois, na ‘verdade’ eles não
são segmentos orientados. Os segmentos orientados que tem ponto inicial igual
ao ponto final serão denominados de segmentos orientados nulos. Exemplos:−→
AA,
−→
OO,
−−→
BB.
No conjunto dos segmentos orientados vamos definir uma relação. Diremos que dois
segmentos orientados se relacionam se eles tem a mesma direção, o mesmo sentido, e o
mesmo comprimento. Se o segmento orientado
−→
AB se relaciona com o segmento orientado−−→
GH escreveremos
−→
AB ∼ −−→
GH.
Esta relação tem propriedades bastante interessantes.
Dados os segmentos orientados
−→
AB,
−−→
CD e
−→
EF , temos as seguintes propriedades:
1.
−→
AB ∼ −→
AB.
Propriedade Reflexiva.
2. Se
−→
AB ∼ −−→
CD então
−−→
CD ∼ −→
AB
Propriedade Simétrica.
3. Se
−→
AB ∼ −−→
CD e
−−→
CD ∼ −→
EF , então
−→
AB ∼ −→
EF .
Propriedade Transitiva.
Quando uma relação tem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva dizemos
que esta relação é uma relação de equivalência. A relação entre segmentos orienta-
dos, definida acima é uma relação de equivalência. Esta relação de equivalência ‘divide’
(ou particiona) o conjunto dos segmentos orientados em subconjuntos que são chamados
classes de equivalência ou classes de equipolência. Esta ‘divisão’ é uma ‘boa’ divisão
pois, cada segmento orientado pertence a uma, e somente uma, classe de equivalência.
As relações de equivalência foram apresentadas aqui apenas como uma curiosidade
para maiores detalhes você pode consultar um livro de Álgebra 1.
1Sugestão: Álgebra Abstrata de Nathan Jacobson.
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1.2.3 Vetores
Um vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados do espaço que tem mesma
direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Neste caso, cada segmento orientado é
chamado de representante do vetor.
Chamamos de espaço vetorial e denotamos por V o conjunto de todos os vetores no
plano ou no espaço tridimensional.
Em geral, usaremos letras minúsculas, do nosso alfabeto, com uma seta em cima para
designar um vetor (exemplos: ~v, ~u, ~w). Alguns autores usam letras minúsculas, do nosso
alfabeto, em negrito para designar vetores (exemplos: v, u, w).
O conceito de vetor é, em algum sentido, parecido (e algumas vezes até “confundido”)
com o conceito de segmento orientado. Mas, existem diferenças.
As principais diferenças entre segmentos orientados e vetores estão listadas a aeguir:
1. Um segmento orientado tem lugar fixo no plano ou no espaço. Enquanto um vetor
não tem lugar fixo no plano ou no espaço.
2. Um segmento orientado não é totalmente caracterizado por sua direção, seu sentido
e seu comprimento. Já um vetor é totalmente caracterizado por sua direção, seu
sentido e seu comprimento.
3. Um segmento orientado está totalmente caracterizado por seu ponto inicial e por
seu ponto final. E um vetor não tem ponto inicial fixo ou ponto final fixo no espaço.
4. Um segmento orientado não ‘anda’ no espaço, o segmento orientado está fixado no
espaço, tem um ponto inicial A e um ponto final B fixos no plano ou no espaço. E
um vetor ‘anda’ no espaço, ou seja, fixado um vetor e dado um ponto A existe um
representante deste vetor que tem ponto inicial em A, e dado um ponto Bexiste
um representante deste vetor que tem ponto inicial em B .
Exemplos
1. Um segmento orientado com:
• Direção: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1 cm,
• Pontos inicial e final: ińıcio no ponto A e término no ponto B.
NÃO É IGUAL
A um segmento orientado com:
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• Direção: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1 cm,
• Pontos inicial e final: ińıcio no ponto C e término no ponto D (A 6= C e
B 6= D).
Assim:
2. Um segmento orientado com:
• Direção: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1cm,
• Pontos inicial e final: ińıcio no ponto A e término no ponto B.
REPRESENTA O MESMO VETOR
Que um segmento orientado com:
• Direção: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1cm,
• Pontos inicial e final: ińıcio no ponto C e término no ponto D (A 6= C e
B 6= D).
Assim:
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Do exposto até o momento, podemos apresentar o seguinte conceito para vetor.
Vetor: é o conjunto de todos segmentos orientados de mesma direção, mesmo sentido
e mesmo comprimento.
E com a relação de equivalência que definimos no conjunto dos segmentos orientados,
na secção anterior, podemos completar a definição de vetor definindo um vetor como uma
classe de equivalência ou classe de equipolência.
Esta é uma definição, matematicamente, mais precisa. Com esta definição, vetor,
por ser uma classe de equivalência, já tem várias propriedades. Mas, para um primeiro
curso de graduação podemos ficar com a definição de vetor como conjunto de segmentos
orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.
Alguns autores tratam o assunto vetores com todo ‘formalismo’ e ‘rigor’ matemático.2
Exemplos
1. Na figura abaixo contida no plano (R2) temos 30 segmentos orientados. Quantos
vetores temos na figura?
Resposta: Destacando com cores diferentes os diferentes vetores (ver figura a
seguir) vemos que há 5 vetores na figura.
2 Álgebra Abstrata de Nathan Jacobson; ou Geometria Anaĺıtica de Paulo Boulos.
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2. Na figura abaixo contida no espaço tridimensional (R3) temos 20 segmentos orienta-
dos. Quantos vetores temos na figura? (Obs.: Apesar de ser uma figura no espaço,
para facilitar a visualização, os vetores não foram desenhados em profundidade.)
Resposta: Novamente, marcamos os vetores diferentes com cores diferentes (ver
figura a seguir). Desta forma percebemos que há 4 vetores na figura.
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3. Na figura abaixo temos um cubo, onde marcamos 12 segmentos orientados. Quantos
vetores temos?
Resposta: Marcando os vetores diferentes com cores diferentes (ver figura a seguir),
percebemos que há 7 vetores na figura.
Vamos querer fazer operações com vetores, assim vamos estudar e estruturar melhor
o conjunto V de todos os vetores no espaço.
1. Se ~v é um vetor, ou seja, ~v ∈ V então ~v é um conjunto de segmentos orientados.
Cada elemento de V é um conjunto. V é um conjunto de conjuntos.
2. Se ~v é um vetor, então ~v é um conjunto de segmentos orientados, todos com mesma
direção, mesmo sentido e mesmo tamanho. Cada elemento de ~v é denominado
representante de ~v.
Muitas vezes, inclusive nas operações entre vetores, usaremos representantes dos ve-
tores.
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Dado um vetor ~v e fixado um ponto A no espaço, existe um representante de ~v que
tem ińıcio em A. Fixado outro ponto B, temos outro representante de ~v que tem ińıcio
em B. Por isso, algumas vezes dizemos que vetor ‘anda’ no espaço.
Dado um vetor, ~v ∈ V definimos:
¦ Direção: A direção do vetor ~v é a direção de um (qualquer) representante deste
vetor.
¦ Sentido: O sentido do vetor ~v é o sentido de um (qualquer) representante deste
vetor.
¦ Norma: A norma ou módulo de ~v é o comprimento ou tamanho de um (qualquer)
representante deste vetor. A notação que vamos usar para norma do vetor ~v é |~v|.
Exemplo: Considere o cubo da figura abaixo com vértices ABCDEFGH.
i) Os segmentos orientados
−→
AB,
−−→
DC,
−→
EF,
−−→
HG são alguns representantes de um vetor
que denotaremos por ~u.
ii) Os segmentos orientados
−→
BA,
−−→
CD,
−→
FE,
−−→
GH são alguns representantes de um vetor
que denotaremos por ~w.
iii) Os segmentos orientados
−→
AE,
−→
CG,
−−→
DH,
−−→
BF são alguns representantes de um vetor
que denotaremos por ~t.
iv) Os segmentos orientados
−−→
EC,
−→
GA não são representantes de um único vetor, eles
representam vetores distintos. Também não confundir os segmentos orientados
−−→
HB
e
−−→
FD.
Estes vetores são destacados nos cubos da figura abaixo.
17
1.3 Sistema de Coordenadas Cartesianas
Nas secções anteriores começamos a estudar os vetores e a entender sua definição
matemática, bem como aprendemos as diferenças entre vetores e segmentos orientados
e o que é espaço vetorial. Porém, para que nos próximos caṕıtulos possamos realizar
operações aritméticas envolvendo vetores, precisamos aprender a representar os vetores
no plano e no espaço e, por isto, vamos apresentar aos leitores nesta secção a noção de
sistemas de coordenadas cartesianas no plano e no espaço e veremos como localizar pontos
e a calcular a distância entre eles, tanto no plano quanto no espaço. Devemos lembrar que
existem vários outros sistemas de coordenadas, mas o sistema cartesiano é o mais usado.
1.3.1 Sistema de Coordenadas no Plano R2
Para localizar pontos no plano usaremos a noção de Sistema de Coordenadas
Cartesianas. Este sistema de coordenadas também é chamado de Sistema de Co-
ordenadas Retangulares, pois os eixos formam ângulos de 90◦ entre si.
Para definirmos um sistema de coordenadas:
1. Fixamos um ponto no plano que será chamado de origem e será denotado por O.
2. Escolhemos duas retas do plano (que denotaremos por x e y) perpendiculares, que
passem pela origem O. Chamaremos estas retas de eixos (eixo x e eixo y). Em
geral, escolhemos uma reta horizontal, que chamamos de eixo x e uma reta vertical
que chamamos de eixo y.
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3. Para cada um dos eixos fixamos um sentido que será considerado positivo. Em geral,
da esquerda para a direita para o eixo x e de baixo para cima, para o eixo y.
4. Para cada um dos eixos definimos uma escala, associando assim cada ponto do eixo
a um número real. Associamos a origem O ao número zero 0. A partir da origem, no
sentido positivo do eixo associamos, de forma crescente, os números reais positivos.
E a partir da origem no sentido negativo (sentido oposto ao positivo) associamos,
de forma decrescente, os números reais negativos.
Os procedimentos descritos acima nos dão o seguinte sistema de eixos coordenados,
onde a origem é a intersecção dos eixos.
Neste texto escolhemos sempre escalas iguais para o eixo x e y. As escalas dos eixos
podem ser diferentes. Quando escolhemos escalas diferentes para os eixos muitas das
fórmulas também serão diferentes.
Fixado um ponto A do plano, chamaremos:
¦ y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A,
¦ Ax o ponto de intersecção entre esta reta e o eixo x.
A coordenada xA (componente do ponto A em relação ao eixo x) é o número associado
ao ponto Ax. Ela é chamada de abscissa do ponto A.
19
Analogamente, fixado um ponto A do plano, chamaremos:
¦ x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A,
¦ Ay o ponto de intersecção entre esta reta e o eixo y.
A coordenada yA (componente do ponto A em relação ao eixo y) é o número associado
ao ponto Ay.Ela é chamada de ordenada do ponto A.
Assim, cada ponto A do plano será associado a um par de números reais xA e yA.
Chamamos (xA, yA) ∈ R2 de coordenadas (ou componentes) cartesianas do ponto A
no plano. Chamamos xA ∈ R de abscissa do ponto A. E yA ∈ R de ordenada do ponto
A.
Exemplos:
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, representemos os pontos:
a) A = (0, 3);
b) B = (−2,−4);
20
c) C = (0, 2);
d) D = (3,−5);
e) E = (1, 6);
f) F = (−4, 0);g) G = (−1, 1);
h) O = (0, 0);
i) H =
(
0,−1
3
)
.
Na figura a seguir é mostrada a representação destes pontos no sistema cartesiano.
21
Quando fixamos um sistema de coordenadas no plano R2 dividimos o plano em quatro
quadrantes.
¦ Primeiro Quadrante: {(x, y) ∈ R2 | x > 0 e y > 0}.
¦ Segundo Quadrante: {(x, y) ∈ R2 | x < 0 e y > 0}.
¦ Terceiro Quadrante: {(x, y) ∈ R2 | x < 0 e y < 0}.
¦ Quarto Quadrante: {(x, y) ∈ R2 | x > 0 e y < 0}.
Estes quadrantes estão destacados e nomeados na figura a seguir.
Após apresentadas estas noções sobre sistemas de coordenadas cartesianas no plano
vamos, nos exemplos a seguir onde usamos estas noções e o conteúdo aprendido nos
caṕıtulos anteriores, aprender a localizar pontos e regiões de pontos no plano cartesiano.
Exemplos
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano R2 represente as estruturas
geométricas descritas algebricamente abaixo:
a) Todos os pontos do plano com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0.
Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo y, destacado na figura a seguir.
22
b) Todos os pontos do plano com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0.
Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo x, destacado na figura a seguir.
c) Todos os pontos do plano com abcissa igual a um, ou seja, x = 1.
Resposta: Estes pontos correspondem à reta destacada na figura a seguir.
d) Todos os pontos do plano com abcissa igual a ordenada, ou seja, x = y.
Resposta: Estes pontos correspondem à reta destacada na figura a seguir.
e) Todos os pontos do plano que distam 1 u.c. do ponto P = (−2, 1).
Resposta: Estes pontos correspondem à circunferência de raio 1 e centrada
no ponto P = (−2, 1).
23
f) Todos os pontos do plano que distam 1 u.c. do ponto P = (−2, 1) e distam
3 u.c. do ponto Q = (−1,−2).
Resposta: Estes pontos obedecem, simultaneamente, à equação das duas cir-
cunferências especificadas. Portanto, são os dois pontos mascados na figura a
seguir.
g) Todos os pontos do plano que satisfazem as inequações x ≥ −3, y ≤ 0 e distam
no máximo 4 u.c. da origem O = (0, 0).
Resposta: A região explicitada está marcada na figura a seguir.
24
1.3.2 Distância entre Dois Pontos do Plano
Tendo aprendido a localizar pontos no plano cartesiano, faz-se necessário aprendermos
a calcular a distância entre dois pontos quaisquer deste plano.
Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano R2, vamos deduzir a
fórmula matemática para a distância entre dois pontos.
Sejam A = (xA, yA) e B = (xB, yb) dois pontos do plano.
Sejam:
¦ s a reta que passa pelos pontos A e B;
¦ r a reta que passa por B e é paralela ao eixo y;
¦ t a reta que passa por A e é paralela ao eixo x.
Vamos chamar de C = (xC , yC) o ponto de intersecção entre as retas r e t.
Assim, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC para
determinar a distância entre A e B.
25
Usando d(A,B) para indicar a distância entre os pontos A e B temos:
[ d(AB) ]2 = |xB − xA|2 + |yB − yA|2
Ou seja,
d(AB) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, determine a
distância entre os pontos A e B:
a) A = (0, 0) e B = (1, 1).
Resolução: Usando que:
d(AB) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
obtemos, imediatamente que:
d(AB) =
√
(1− 0)2 + (1− 0)2 =
√
1 + 1
d(AB) =
√
2 u.c.
b) A = (0, 0) e B = (−1,−1).
Resolução: Analogamente ao item (a), temos que
d(AB) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(AB) =
√
(−1− 0)2 + (−1− 0)2 =
√
1 + 1
d(AB) =
√
2 u.c.
26
c) A = (1, 0) e B = (3,−1).
Resolução: Para os pontos A e B deste item temos:
d(AB) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(AB) =
√
(3− 1)2 + (−1− 0)2 =
√
4 + 1
d(AB) =
√
5 u.c.
d) A = (1,−1) e B = (−3,−1).
Resolução:
d(AB) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(AB) =
√
(−3− 1)2 + (−1− (−1))2 =
√
(−4)2 + (−2)2
d(AB) =
√
16 + 4 =
√
20
d(AB) = 2
√
5 u.c.
e) A = (1,−3) e B = (−3,−1).
Resolução:
d(AB) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(AB) =
√
(−3− 1)2 + (−1− (−3))2 =
√
(−4)2 + (−1 + 3)2
d(AB) =
√
16 + 4 =
√
20
d(AB) = 2
√
5 u.c.
2. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, para cada afirmação
abaixo, esboce uma figura e apresente uma equação para representá-la.
a) A distância entre o ponto (x, y) e o ponto (2, 1) é de 3 u.c..
O ponto (x, y) corresponde a todos os pontos do plano que distam 3 u.c. do
ponto (1, 2). São os pontos do ćırculo representado na figura.
Como
d(AB) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
3 =
√
(1− x)2 + (2− y)2
Assim:
27
(1− x)2 + (2− y)2 = 9
ou
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 9
b) A distância entre o ponto (x, y) e o ponto (10,−5) é de 15 u.c..
O ponto (x, y) corresponde a todos os pontos do plano que distam 15 u.c. do
ponto (10,−5). São os pontos do ćırculo representado na figura.
Como
d(AB) = 15 =
√
(10− x)2 + (−5− y)2
Mas (−5− y)2 = (5 + y)2
28
Assim
(10− x)2 + (5 + y)2 = 225
ou
(x− 10)2 + (y + 5)2 = 225
c) A distância entre o ponto (x, y) e o ponto (xc, yc) é de R u.c..
Para este ćırculo geral.
Neste caso
(xc − x)2 + (yc − y)2 = R2
ou
(x− xc)
2 + (y − yc)
2 = R2
1.3.3 Sistema de Coordenadas no Espaço Tridimensional
Para localizar pontos no espaço R3 vamos estender a noção de Sistema de Coordenadas
Cartesianas do plano para o espaço.
O procedimento é análogo ao procedimento para definir o sistema de coordenadas
cartesianas no plano. Assim, vamos:
1. Fixar um ponto no plano que será a origem O.
2. Escolher três retas do espaço, perpendiculares duas a duas, que passem por O, que
serão os eixos x, y e z.
29
3. Para cada um dos eixos x, y e z fixamos um sentido que será considerado positivo.
4. Para cada um dos eixos x, y e z definimos uma escala.
Fixado um ponto A do plano, chamaremos de:
¦ x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A,
¦ y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A,
¦ z′ a reta paralela ao eixo z que passa por A,
¦ Ax o ponto de intersecção entre a reta x′ e o plano yz
¦ Ay o ponto de intersecção entre a reta y′ e o plano xz
¦ Az o ponto de intersecção entre a reta z′ e o plano xy
30
As coordenadas do ponto A no espaço tridimensional serão os números xA, ya e zA.
Assim, temos:
A = (xA, yA, zA) ∈ R3
• xA é a abscissa do ponto A,
• yA é a ordenada do ponto A,
• zA é a cota do ponto A.
Exemplos
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional, represen-
tamos os pontos:
a) A = (0, 3, 1),
b) B = (−2,−4,−1),
c) C = (0, 2, 0),
d) D = (3,−5, 4),
e) E = (1, 6,−1),
f) F = (−4, 0, 2),
g) G = (−1,−1, 1),
h) O = (0, 0, 0).
Resposta: Estes pontos estão marcados nos gráficos da figura a seguir.
31
Quando fixamos um sistema de coordenadas no espaço tridimensional R3 dividimos o
espaço tridimensional em oito octantes.
¦ Primeiro Octante: {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0, y > 0 e z > 0}
¦ Segundo Octante: {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0, y < 0 e z > 0}
32
¦ Terceiro Octante: {(x, y, z) ∈ R3 | x < 0, y < 0 e z > 0}
¦ Quarto Octante: {(x, y, z) ∈ R3 | x < 0, y > 0 e z > 0}
¦ Quinto Octante: {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0, y > 0 e z < 0}
¦ Sexto Octante: {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0, y < 0 e z < 0}
¦ Sétimo Octante: {(x, y, z) ∈ R3 | x < 0, y < 0 e z < 0}
¦ Oitavo Octante: {(x, y, z) ∈ R3 | x < 0, y > 0 e z < 0}
Na figura a seguir temos uma representação gráfica destes octantes.
33
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional R3
represente as estruturas geométricas descritas algebricamente abaixo:
a) Todos os pontos com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0.
Resposta: A região destada na figura a seguir representa todos os pontos que
obedecem a esta condição, ou seja, os pontos do plano yz são os pontos do
espaço com abcissa nula.
b) Todos os pontos com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0.
Resposta:
34
c) Todos os pontos com abcissa igual a zero e com ordenada igual a zero, ou seja,{
x = 0
y = 0
.
Resposta:
d) Todos os pontos com abcissa igual a ordenada, ouseja, x = y.
Resposta:
35
e) Todos os pontos que distam 4 u.c. do ponto P = (−3, 6, 3).
Resposta:
f) Todos os pontos que distam 4 u.c. do ponto P = (−3, 6, 3) e tem cota igual a
zero z = 0.
Resposta:
36
g) Todos os pontos que distam 4 u.c. do ponto P = (−3, 6, 3) e tem cota igual a
menos um z = −1.
Resposta:
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, apresente uma equação, ou
um conjunto de equações que caracterizem as estruturas geométricas:
a) Os pontos do eixo x.
Resposta: y = 0 e z = 0, ou seja,
{
y = 0
z = 0
.
b) Os pontos do eixo y.
Resposta: x = 0 e z = 0, ou seja,
{
x = 0
z = 0
.
c) Os pontos do eixo z.
Resposta: x = 0 e y = 0, ou seja,
{
x = 0
y = 0
.
d) Os pontos do plano xy (ou plano Oxy).
Resposta: z = 0.
e) Os pontos do plano xz.
Resposta: y = 0.
f) Os pontos do plano yz.
Resposta: x = 0.
g) Os pontos do plano perpendicular ao eixo x no ponto x = 2.
Resposta: x = 2.
h) Os pontos do plano perpendicular ao xy que contém o ponto P = (3, 3, 0).
Resposta: x = y.
37
1.3.4 Distância entre Dois Pontos do Espaço
Agora que sabemos localizar pontos no espaço, precisamos aprender a calcular a
distância entre dois pontos quaisquer presentes neste espaço e com coordenadas expressas
em termos de coordendas cartesianas.
A expressão matemática para a distância entre dois pontos no espaço é uma extensão
natural da expressão para a distância entre dois pontos no plano. Assim, fixado um
sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional R3 e dados os pontos A =
(xA, yA, zA) e B = (xB, yb, zB), a distância entre A e B é dada por:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, determine a
distância entre os pontos A e B:
a) A = (0, 0, 0) e B = (1, 1, 1).
Resolução:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =
√
(1− 0)2 + (1− 0)2 + (1− 0)2 =
√
3 u.c.
b) A = (0, 0, 0) e B = (−1,−1,−1).
Resolução:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =
√
(−1− 0)2 + (−1− 0)2 + (−1− 0)2 =
√
1 + 1 + 1
d(A,B) =
√
3 u.c.
c) A = (1, 0,−2) e B = (3,−1,−3).
Resolução:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =
√
(3− 1)2 + (−1− 0)2 + (−3− (−2))2
d(A,B) =
√
4 + 1 + 25 =
√
30 u.c.
38
d) A = (1, 0, 0) e B = (−3, 0, 0).
Resolução:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =
√
(−3− 1)2 + (0− 0)2 + (0− 0)2 =
√
16 + 0 + 0
d(A,B) = 4 u.c.
e) A = (1,−3,−2) e B = (3,−1, 2).
Resolução:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =
√
(3− 1)2 + (−1− (−3))2 + (2− (−2))2
d(A,B) =
√
4 + 16 + 0 =
√
20 = 2
√
5 u.c.
d(A,B) = d(A,B) = 2
√
5 u.c.
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, apresente uma
equação que represente afirmação:
a) A distância entre o ponto (x, y, z) e o ponto (1, 2, 3) é de 10 u.c..
Resolução:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
10 =
√
(1− x)2 + (2− y)2 + (3− z)2
(1− x)2 + (2− y)2 + (3− z)2 = 100
ou
(x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 100
b) A distância entre o ponto (x, y, z) e o ponto (−1, 2,−3) é de 5 u.c..
Resolução:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
5 =
√
(−1− x)2 + (2− y)2 + (−3− z)2
(x + 1)2 + (2− y)2 + (z + 3)2 = 25
ou
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 25
39
c) A distância entre o ponto (x, y, z) e o ponto (xc, yc, zc) é de R u.c..
Resolução:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
R =
√
(xc − x)2 + (yc − y)2 + (zc − z)2
(xc − x)2 + (yc − y)2 + (zc − z)2 = R2
ou
(x− xc)
2 + (y − yc)
2 + (z − zc)
2 = R2
1.4 Vetores no Plano e no Espaço
Dando seguimentos aos nossos estudos das noções iniciais da Álgebra Vetorial vamos,
nesta secção, aprender a localizar vetores no plano e no espaço descritos por um sistes de
coordenadas cartesianas e a escrever as coordenadas de um vetor a partir das coordenadas
dos pontos inicial e final de um segmento orientado que representa este vetor.
1.4.1 Vetores no Plano
Quando não houver nenhum comentário do contrário vamos sempre consi-
derar que está fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano ou no
espaço.
Ao fixamos um sistema de coordenadas no plano ou no espaço nossas estruturas
geométricas ‘ganham’ representações algébricas. Por exemplo, um ponto no plano agora
é representado por uma dupla de números reais, uma reta será representada por uma
equação, um ćırculo por uma inequação.
Dentro deste esquema, queremos saber como ficam nossos vetores quando fixamos
um sistema de coordenadas no plano.
Um vetor ~v, será representado por uma dupla de números reais, que chamaremos
de coordenadas. As coordenadas do vetor ~v serão as coordenadas do ponto final do
representante do vetor ~v que tem ponto inicial na origem O = (0, 0) do sistema de
coordenadas.
Na figura a seguir é mostrado o vetor ~v que tem como coordenadas as coordenadas do
ponto P = (xP , yP )
40
Ou seja, fixado um sistema de coordenadas no plano R2, um vetor será representado,
algebricamente, pelas coordenadas do ponto final de seu representante que tem ponto
inicial na origem O = (0, 0).
Exemplos
1. Consideremos um vetor ~v que tenha:
i) Direção: horizontal,
ii) Sentido: da esquerda para direita,
iii) Norma: 3 u.c.
Este vetor tem um representante com ponto inicial na origem O = (0, 0) e ponto
final em C = (3, 0), como mostrado na figura abaixo.
Assim, as coordenadas deste vetor ~v serão: ~v = (3, 0).
41
2. Sejam A, B, C e D pontos do plano com coordenadas: A = (1, 1), B = (3, 4),
C = (4, 3), D = (2, 0). ABCD é o paralelogramo representado na figura abaixo.
i) Como podemos observar no primeiro plano cartesiano da figura seguinte, o seg-
mento orientado
−→
AB e o segmento orientado
−−→
DC representam o mesmo vetor ~v.
Desenhando o representante do vetor ~v que tem ponto inicial na origem O, obser-
vamo que as coordenadas do vetor ~v são as coordenadas do ponto P = (2, 3). Este
representante do vetor ~v está desenhado no segundo plano cartesiano da figura a
seguir.
Pela figura, vemos que: P = (2, 3).
42
ii) O segmento orientado
−−→
BC e o segmento orientado
−−→
DA representam vetores (~u e
~w), que tem a mesma direção, sentidos opostos e mesma norma (neste caso são
chamados vetores opostos). Podemos observar isto no primeiro plano cartesiano
mostrado na figura a seguir.
Desenhando, no segundo plano cartesiano da figura seguinte, o representante destes
vetores, que tem ponto inicial na origem e observamos que as coordenadas do vetor
~u são ~u = (1,−1) e do vetor ~w são ~w = (−1, 1).
1.4.2 Vetores no Espaço
A extensão direta do estudo de vetores no plano é o estudo de vetores no espaço
tridimensional.
Assim, precisamos então estudar a representação algébrica dos vetores no espaço tridi-
mensioal. Ou seja, queremos saber como ficam nossos vetores quando fixamos um sistema
de coordenadas no espaço tridimensional.
Um vetor ~v , será representado por uma tripla de números reais, que chamaremos de
coordenadas.
As coordenadas do vetor ~v serão as coordenadas do ponto final do representante do
vetor ~v que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) do sistema de coordenadas.
Exemplo: Considere um vetor ~v com:
¦ Direção: paralelo ao eixo z,
¦ Sentido: da baixo para cima,
¦ Norma: 4 u.c.
43
Ese vetor tem um representante com ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) e ponto
final em C = (0, 0, 4), como podemos observar na figura seguinte. Assim, as coor-
denadas do vetor ~v serão: ~v = (0, 0, 4).
Generalizando este conceito temos que, fixado um sistema de coordenadas cartesianas
no espaço R3, um vetor será representado, algebricamente, pelas coordenadas do ponto
final de seu representante que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0). Na figura a seguir
temos a representação gráfica de um exemplo genérico de um vetor ~v = (xP , yP , zP )
Exemplos
1. Sejam A, B, C, D, E, F , G e H pontos do plano comcoordenadas: A = (1, 1, 0),
B = (3, 4, 0), C = (4, 3, 0), D = (2, 0, 0), E = (1, 1, 1), F = (3, 4, 1), G = (4, 3, 1) e
H = (2, 0, 1).
Estes pontos definem o paraleleṕıpedo mostrado na figura seguinte. Ou seja,
ABCDEFGH é um paraleleṕıpedo. Portanto, o segmento orientado
−→
AB e o
segmento orientado
−−→
DC representam o mesmo vetor ~v.
44
a) Desenhe o representante do vetor ~v que tem ponto inicial na origem O e observe
que as coordenadas do vetor ~v são as coordenadas do ponto P = (2, 3, 0).
Resposta: Tomando o representante de ~v que tem como ponto inicial a origem
do sistema de coordenadas, obtemos o vetor representado na figura abaixo.
b) O segmento orientado
−−→
EG e o segmento orientado
−→
CA representam vetores ( ~u
e ~w ), que tem a mesma direção, sentidos opostos e mesma norma (neste caso
são chamados vetores opostos).
Desenhe o representante destes vetores, que tem ponto inicial na origem e
observe que as coordenadas do vetor ~u são ~u = (3, 2, 0) e do vetor ~w são
~w = (−3,−2, 0).
Resposta: Tomando os representantes de ~u e ~w que tem como pontos inici-
ais a origem do sistema de coordenadas, obtemos os vetores representados no
segundo plano cartesiano da figura abaixo, onde no primeiro plano cartesiano
temos a reapresentação do paraleleṕıpedo ADCDEFGH.
45
1.4.3 Coordenadas de um Vetor
Dados os pontos inicial e final de um segmento orientado (no plano ou no espaço)
devemos saber determinar as coordenadas do vetor que tem neste segmento orientado um
de seus representantes.
As coordenadas deste vetor são obtidas a partir das coordenadas dos pontos inicial e
final do seguimento orientado. Vejamos como.
B No plano
Fixado um sistema de coordenadas no plano ou no espaço poderemos calcular as
coordenads de um vetor subtraindo as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do
ponto final.
Ou seja, no plano: dado o vetor ~v = (v1, v2) se
−→
AB é um representante deste vetor,
com A = (xA, yA) e B = (xB, yB), temos:
~v = (v1, v2) = (xB − xA, yB − yA).
46
B No espaço
Por extensão, para vetores no espaço podemos definir as coordenadas do vetor da
mesma forma. Assim, dado o vetor ~v = (v1, v2, v3) se
−→
AB é um representante deste vetor,
com A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), temos:
~v = (v1, v2, v3) = (xB − xA, yB − yA, zB − zA).
Muitas vezes, por abuso de linguagem, escrevemos: “O vetor
−→
AB”. Pode-se também
usar a notação de Grassmann para vetores: ~v = B − A.
Vamos a alguns exemplos.
Exemplos
1. Sejam A = (2, 3), B = (5,−2) dois pontos do plano, quais as coordenadas do vetor
~v que tem
−→
AB como (um dos) representantes?
Resolução: As coordenadas de ~v são determinadas por:
~v = B − A = (5,−2)− (2, 3) = (5− 2,−2− 3) = (3,−5).
2. Sejam A = (2, 3,−1), B = (5,−2,−5) dois pontos do espaço, quais as coordenadas
do vetor ~v que tem
−→
AB como (um dos) representantes?
Resolução:
~v = B − A = (5,−2,−5)− (2, 3,−1) =
(
5− 2,−2− 3,−1− (−5)
)
~v = (3,−5, 4).
1.5 Vetor Nulo
A partir do próximo caṕıtulo estudaremos as operações envolvendo vetores. Queremos
que estas operações sejam fechadas. Ou seja, queremos, por exemplo, que: a soma de dois
vetores sempre resulte em um vetor; a multiplicação de um número real por um vetor
sempre resulte em um vetor.
Para isto, precisamos definir o vetor nulo, ou vetor zero. Pois, queremos, por
exemplo, que a multiplicação entre o número real 0 pelo vetor ~v, resulte em um vetor.
Chamamos de vetor nulo e indicamos por ~0, o vetor que tem as seguintes carac-
teŕısticas:
47
B Direção: O vetor que tem todas as direções.
Obs: Será interessante definir a direção do vetor nulo como todas as direções para
podermos dizer que o vetor nulo é paralelo a todos os vetores.
B Sentido: O vetor nulo tem todos os sentidos.
B Norma: O vetor nulo tem norma nula, ou seja, o vetor nulo tem norma igual a
zero, ou ainda, |~0| = 0.
Denotamos o vetor nulo de V por ~0 .
Os segmentos orientados que representam o vetor nulo tem comprimento nulo. Por-
tanto são os segmentos orientados que tem ponto inicial igual ao ponto final. Por exemplo,
o segmento orientado
−→
AA é um representante do vetor nulo.
Fixado um sistema de coordenadas no plano, por definição as coordenadas do vetor
nulo são as coordenadas do ponto final de um representante do vetor nulo que tem ponto
inicial na origem O = (0, 0) do sistema de coordendas.
As coordenadas do vetor nulo são as coordenadas do ponto final do segmento orientado−→
OO. Ou seja, são as coordenadas do ponto O = (0, 0).
Assim, temos que:
B Vetor nulo no plano: ~O = (0, 0)
B Vetor nulo no espaço: ~O = (0, 0, 0)
1.6 Igualdade de Vetores
Outro conceito importante e necessário que precisamos ter em mente antes de
começarmos a estudar as operações envolvendo vetores e é a igualdade entre vetores.
Vamos apresentar esta importatne definição em suas versões geométrica e algébrica.
a) Versão geométrica da igualdade entre vetores.
Dois vetores ~v e ~w são iguais se, e somente se, eles tem:
1. A mesma direção,
2. O mesmo sentido,
3. A mesma norma.
48
b) Versão algébrica da igualdade entre vetores.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, temos:
B No plano: Os vetores ~v = (v1, v2) e ~w = (w1, w2) são iguais se, e somente se,
v1 = w1 e v2 = w2.
B No espaço tridimensional: Os vetores ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3) são
iguais se, e somente se, v1 = w1, v2 = w2 e v3 = w3.
Observações:
1. Dados dois vetores paralelos (~v, ~w ∈ V tal que ~v ‖ ~w):
B Se o vetor ~v, tem sentido diferente do sentido do vetor ~w, dizemos que ~v e ~w
tem sentidos opostos.
B Se o vetor ~v, sentido igual que o vetor ~w, dizemos que ~v e ~w tem mesmo
sentido.
2. Dados dois vetores paralelos e com mesma norma: (~v, ~w ∈ V tal que ~v ‖ ~w e
|~v| = |~w|),
B Se o vetor ~v, tem sentido diferente ao sentido do vetor ~w, dizemos que ~v e ~w
são vetores opostos.
B Se o vetor ~v, tem mesmo sentido de ~w, dizemos que ~v e ~w são o mesmo vetor.
1.7 Norma de Vetor: Versão Algébrica
Dado um vetor sua norma, por definição, é o comprimento de qualquer representante
deste vetor. Ou seja é a distância entre o ponto final e o ponto inicial de um (qualquer)
representante deste vetor.
49
a) No plano.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, temos que se, ~v = (a, b) então
a norma do vetor ~v no plano é dada por:
|~v | = | (a, b) | =
√
a2 + b2
Se o vetor ~v tem o segmento orientado
−→
AB como representante então a norma do
vetor ~v no plano é dada por:
|~v | = | −→AB | = | ( xB − xA, yB − yA ) |
|~v | =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
b) No espaço.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, temos que se o vetor ~v =
(a, b, c) então a norma do vetor ~v no espaço é dada por:
|~v | = | (a, b, c) | =
√
a2 + b2 + c2
Se o vetor ~v tem o segmento orientado
−→
AB como representante, com A = (xA, yA, zA)
e B = (xB, yB, zB), então a norma do vetor ~v no espaço é dada por:
|~v | = | −→AB | = | ( xB − xA, yB − yA, zB − zA ) |
|~v | =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 .
Uma importante definição relacionada à norma de um vetor é o conceito de versor.
Se ~v tem norma 1 (|~v| = 1), então chamamos ~v de versor. Ou seja, versor é um vetor
unitário.
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, sendo ~v =
(1,−1), ~w =
(
1
2
,−1
2
)
, ~u =
(
1√
2
, 1√
2
)
e ~t =
(−4
5
, 3
5
)
calcule:
a) |~v|
Resposta: |~v| = |(1,−1)| =
√
(1)2 + (−1)2 =
√
2
b) |~w|
Resposta: |~w| =
∣∣(1
2
,−1
2
)∣∣ =
√(
1
2
)2
+
(−1
2
)2
=
√
1
2
c) |~u|
Resposta: |~u| =
∣∣∣
(
1√
2
, 1√
2
)∣∣∣ =
√(
1√
2
)2
+
(
1√
2
)2
= 1
~u =
(
1√
2
, 1√
2
)
é um versor.
50
d)
∣∣~t
∣∣
Resposta:
∣∣~t
∣∣ =
∣∣(−4
5
, 3
5
)∣∣ =
√(−4
5
)2
+
(
3
5
)2
=
√
16
25
+ 9
25
= 1
~t =
(−4
5
, 3
5
)
é um versor.
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional,
sendo ~v = (1,−1, 1), ~w =
(
1
3
,−13
, 1
3
)
, ~u =
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
, calcule:
a) |~v|
Resposta: |~v| = |(1,−1, 1)| =
√
(1)2 + (−1)2 + (1)2 =
√
3
b) |~w|
Resposta: |~w| =
∣∣(1
3
,−1
3
, 1
3
)∣∣ =
√(
1
3
)2
+
(−1
3
)2
+
(
1
3
)2
=
√
1
3
c) |~u|
Resposta: |~u| =
∣∣∣
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)∣∣∣ =
√(
1√
3
)2
+
(
1√
3
)2
+
(
1√
3
)2
= 1
~u =
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
é um versor.
1.8 Coplanariedade
Ao estudarmos conjuntos com vários vetores precisaremos, em alguns casos, determinar
se estes vetores são coplanares entre si. Por isto vamos definir a coplanariedade de vetores
e estudá-la em sua forma geométrica e algébrica.
Dados n vetores: ~v1, ~v2, . . . , ~vn , dizemos que estes vetores são coplanares se existe um
plano no espaço que contém representantes de todos estes vetores.
Da definição, podemos concluir que quando estudamos vetores representados no plano
R2, todos os vetores representados são coplanares. Este fato é descrito pelo seguinte lema.
Lema 5.1: Dois vetores são sempre coplanares.
Demonstração:
Dados dois vetores ~v1 e ~v2, seja A um ponto no espaço, tomemos um representante
do vetor ~v1 que tem ponto inicial A e seja B o ponto final do segmento orientado
que representa o vetor ~v1.
Tomemos agora um representante do vetor ~v2 que com ponto inicial em B e deno-
taremos por C o ponto final do representante do vetor ~v2.
51
Se os pontos A, B e C são não colineares (não alinhados) então estes pontos deter-
minam um plano α. Este plano contém os representantes
−→
AB e
−−→
BC dos vetores ~v1
e ~v2, respectivamente.
Se os pontos A, B e C são colineares (alinhados) então existem vários (infinitos)
planos que contém os representantes
−→
AB e
−−→
BC dos vetores ~v1 e ~v2, respectivamente.
Assim, conclúımos que existe (pelo menos) um plano que contém representantes dos
vetores ~v1 e ~v2.
Exemplo: Verifique se os vetores em destaque na figura são coplanares ou não.
a)
Resposta: SIM.
b)
Resposta: SIM.
52
Para termos a noção de vetores não coplanares precisamos ter três dimensões.
Dados três vetores no espaço, ~v, ~w e ~u, para verificarmos, geometricamente, se estes
vetores são coplanares devemos proceder da seguinte forma:
1. Colocamos um representante de ~v e de ~w que tenham origem em um mesmo ponto.
2. Verificamos qual é o plano que contém estes vetores.
3. Colocamos o representante de ~u que tem o mesmo ponto inicial dos representantes
de ~v e de ~w e verificamos a disposição de ~w em relação ao plano que contém ~v e ~w.
4. Se o representante de ~u também estiver contido no plano, os três vetores são
coplanares. Se o representante de ~u não estiver contido no plano, os vetores não são
coplanares.
A verificação descrita pelo procedimento acima advém diretamente da definição de
coplanariedade.
Exemplo: Verifique se os vetores em destaque na figura são coplanares ou não.
a)
Resposta: SIM, pois o vetor que tem como representante o segmento orien-
tado
−→
AB também tem como representante o segmento orietado
−→
EF que está
no plano definido pelos segmentos
−−→
EC e
−−→
DF .
53
b)
Resposta: NÃO. Pois, como podemos observar, o vetor que tem
−→
CG como
representante é o mesmo que tem
−→
AE como representante. Este vetor, junto
com o vetor que tem
−→
AB estão contidos num plano que não contém nenhum
representante de
−−→
FD.
Como observamos acima, a noção de coplanariedade precisa ser estudada no espaço
tridimensional. Para definirmos a versão algébrica de coplanariedade vamos considerar
dados os vetores, com suas coordenadas em um sistema de coordenadas cartesianas no
espaço R3, ~v = (v1, v2, v3), ~w = (w1, w2, w3) e ~u = (u1, u2, u3), temos que:
Se ~v, ~w e ~u são coplanares, então
∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣
= 0
Se ~v, ~w e ~u são não coplanares, então
∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣
6= 0
Assim, para determinarmos se três vetores são coplanares devemos calcular o deter-
minante 3× 3 de suas coordenadas.
Há diversas maneiras práticas de se calcular um determinante 3× 3. Apresentaremos,
a seguir, uma destas formas posśıveis, de fazer a conta dada por:∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣
=
54
1. Acrescentamos duas coluna à direita, repetindo a segunda e terceira coluna:
∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2
w1 w2
u1 u2
2. Multiplicamos os números de cada uma das três diagonais (indicadas pelas flechas)
e somamos os resultados, obtendo S1.
3. Multiplicamos os números de cada uma das três diagonais inversas (indicadas pelas
flechas) e somamos os resultados, obtendo S2.
4. O resultado da conta é
∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣
= S1 − S2
Exemplos
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, determine se os vetores são
coplanares:
a) ~v = (1,−2, 3) e ~w = (−4, 3, 9)
Resposta: Dois vetores são sempre coplanares, portanto os vetores ~v =
(1,−2, 3) e ~w = (−4, 3, 9) são coplanares.
b) ~v = (1,−2, 5), ~w = (2, 3,−4) e ~u = (1, 0,−2)
Resposta: Como:
Os vetores ~v = (1,−2, 5), ~w = (2, 3,−4) e ~u = (1, 0,−2) não são coplanares.
55
c) ~v = (1, 2, 5), ~w = (2, 3,−4) e ~u = (−1, 0, 23)
Resposta: Calculando o determinante:
Vemos que os vetores ~v = (1, 2, 5), ~w = (2, 3,−4) e ~u = (−1, 0, 23) são
coplanares.
Para o caso de termos mais de três vetores, por exemplo quatro, devemos verificar
algebricamente se os três primeiros são coplanares e: (i) em caso negativo concluimos que
o grupo de vetores não é coplanar; (ii) em caso positivo, verificamos se o quarto vetor é
coplanar aos outros três fazendo a conta para este vetor e para os dois primeiros.
Pelo estudo de vetores no espaço e lembrando da coplanariedade entre vetores, pode-
mos ver que:
1. Dado um vetor, sempre existe um plano que contém este vetor.
2. Dado dois vetores, sempre existe um plano que contém estes vetores.
3. Dados três vetores, nem sempre existe um plano que contém estes vetores.
Exemplo:
1. Fixado um sistema de coordenadas, não existe um plano que contém os vetores:
~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1).
“Pense no plano que contém dois destes vetores, observe que o terceiro vetor ‘fura’
este plano.”
56
1.9 Exerćıcios
Antes de começar os exerćıcios a seguir, refaça todos os exemplos deste caṕıtulo!
1. Encontre as componentes do vetor:
(a) Os vetores
−→
PQ e
−→
QP onde P = (1, 4, 2) e Q = (1,−2, 0)
(b) O vetor a partir do ponto A = (2, 3, 1) até a origem (preste atenção no sentido).
2. Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes equações:
a) x = 2
b) x = 2 e y = −3
c) y = −3
d) x2 + y2 = 3
e) 3x2 + 3y2 + 6xy = 9
3. Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes inequações e/ou conjunto de inequações ou equações:
a) x ≤ 2
b) x ≤ 2 e y ≥ −3
c) x ≤ 4 e y = −3
d) x2 + y2 = 16, x ≤ 3 e y ≥ 4
57
e) (x− 1)2 + (y + 2)2 ≥ 4 e (x− 1)2 + (y − 1)2 ≤ 9
f) x2 + y2 − 2x + 4y − 11 ≤ 0 e x ≥ 1
4. Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes igualdades:
a) x = 2
b) x = 4 e y = −3
c) x = 4, y = 0 e z = −2
d) x2 + (y + 3)2 = 16
e) (x− 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 36 e x = −2
f) z2 + x2 + y2 + 8x− 6y + 21 = 0
g) x2 + y2 − 2x + 2y − 14 = 0 e z = 2
h) x2 + y2 − 6x + 9 = 0
5. Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes conjuntos de inequações e equações:
a) x ≤ 2
b) x ≤ 4 e y = −3
c) x2 + y2 = 16, x ≤ 3 e y ≥ 4
d) x = 2y
e) x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 3
f) x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 10 e z = 1
g) x2 + y2 ≤ 4 e z = 2
h) x2 + (y + 1)2 − 4 e 0 ≤ z ≤ 3
i) x2 + y2 + z2 < 25, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 1
6. Descreva o conjunto do plano através de equações:
a) A reta perpendicular ao eixo y em (0, 2)
b) A reta paralela ao eixo y que passa peloponto (1,−3)
c) A circunferência de raio 4 centrado em (−1, +3)
d) Os pontos do plano que distam 2 do ponto (−1, 3) e distam 5 do ponto (1, 1)
58
e) Os pontos do plano equidistantes do ponto (2,−1) e do ponto (1, 1) que per-
tencem a reta y = x
7. Descreva o conjunto do espaço através de equações:
a) O plano perpendicular ao eixo x em (0, 1, 2)
b) O plano pelo ponto (1, 0, 0) paralelo ao plano xy
c) O plano pelo ponto (−1, 2, 4) paralelo ao plano yz
d) O ćırculo de raio 1 centrado em (−1, 1, 2) pertencente a um plano paralelo ao
plano xz
e) A reta pelo ponto 1 (1, 2,−5) paralela ao eixo z
f) O conjunto de pontos no espaço equidistantes da origem e do ponto (0, 2, 0)
g) O ćırculo no qual o plano que passa pelo ponto (1, 1, 3) perpendicular ao eixo
z encontra a esfera de raio 5 centrada na origem
8. Descreva o conjunto através de equações e/ou inequações:
a) A fatia do plano limitada pelas retas x = −2 e x = 1
b) A fatia limitada pelas retas y = −2 e y = 1
c) Os pontos do plano pertencente ao exterior da circunferência de raio 16 cen-
trada em (-1,2) e ao exterior da circunferência de raio 4 centrada em (2,-1)
acima da reta y = 2x
d) Os pontos do plano pertencente ao interior da circunferência de raio 16 centrada
em (-1,2) e ao exterior da circunferência de raio 4 centrada em (2,-1) e acima
da reta y = −x
9. Descreva o conjunto do espaço através de equações e/ou inequações:
a) A fatia do espaço limitada pelos planos z = 0 e z = 2 (inclusive z = 2).
b) O semi-espaço formado pelos pontos sobre o plano xy e abaixo dele
c) O interior da esfera centrada em (1, 3,−1) (inclusive)
d) O exterior da esfera centrada na intersecção das retas x = 2, y = 3 e x = 2,
y = −4
10. Encontre a distância entre os pontos A e B:
a) A = (1, 2) e B = (0, 1)
59
b) A = (3, 5) e B = (0, 0)
c) A = (1, 2, 0) e B = (0, 1, 0)
d) A = (3, 5,−8) e B = (0, 0, 0)
e) A = (3, 5,−8) e B = (x, y, z)
11. Encontre o centro e o raio das circunferências:
a) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 5
b) (x +
√
2)2 +
(
z + 3
2
)2
= 17
c) x2 + y2 + 6x− 5y − 2 = 0
d) 9x2 + 6x + 9y2 − 36y + 1 = 0
12. Encontre o centro e o raio da esfera:
a) (x− 3)2 + (y + 2)2 + z2 = 25
b) (x +
√
3)2 +
(
y − 1
4
)2
+
(
z −
√
2
2
)2
= 7
c) x2 + y2 + z2 − 6y + 8z = 0
a) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 2y − 2z = 9
13. Encontre o peŕımetro do triângulo com vértices nos pontos A, B e C:
a) A = (−2, 1), B = (2, 2) e C = (0, 1)
b) A = (−2, 1, 0), B = (2, 2,−3) e C = (0, 1, 0)
c) A = (−2, 1, 0), B = (2, 2,−3) e C pertence ao eixo z e ao plano 2x+3y+z = 4
14. Mostre que o ponto M = (3, 1) é equidistante dos pontos P1 = (2,−1) e P2 = (4, 3)
15. Mostre que o ponto M = (3, 1, 2) é equidistânte dos pontos P1 = (2,−1, 3) e P2 =
(4, 3, 1)
16. Encontre a fórmula da distância do ponto P = (x, y, z) ao eixo y
17. Um pássaro voa do seu ninho 5 km a 60◦ norte de leste, onde pousa em uma árvore
para descançar. então, ele voa 10 km no sentido sudeste e pousa em um poste
telefônico. Estabeleça um sistema de coordenadas xy de maneira que a origem seja
o ninho do pássaro, o eixo x aponte para leste e o eixo y para o norte. Responda:
a) Em que ponto está localizada a árvore?
60
b) Em que ponto está localizado o poste telefônico?
c) Qual a distância que o pássaro se deslocou na direção norte?
d) Qual a distância que o pássaro se deslocou na direção leste?
18. Em cada item abaixo, verifique se os vetores destacados nas figuras são coplanares
ou não são coplanares.
a)
b)
61
c)
d)
∗ ∗ ∗
62
Caṕıtulo 2
Multiplicação de Número Real por
Vetor
Neste e nos próximos caṕıtulos de nosso livro estudaremos as operações envolvendo
vetores e números. São elas:
• produto de número real por vetor,
• soma de vetores,
• soma de ponto por vetor,
• produto escalar (entre dois vetores),
• produto vetorial (entre dois vetores),
• duplo produto vetorial (entre três vetores),
• produto misto (entre três vetores).
Estudaremos cada uma destas operações e suas propriedades em versão geométrica e
algébrica, porém é precisamos ter sempre muito cuidado: vetor é vetor; número é número;
ponto é ponto.
Vetor 6= Número. Vetor 6= Ponto. Ponto 6= Número.
A primeira destas operações, a multiplicação denúmero real por vetor, vamos definir
e estudar neste caṕıtulo. A partir dela iremos, também, aprender a determinar se dois ou
mais vetores são paralelos entre si.
63
2.1 Definição e Interpretação Geométrica
Dados um vetor (~v ∈ V) e um número real (a ∈ R), a operação de multiplicação de
número real por vetor é definida como:
R× V → V
( a,~v ) → a~v
O resultado é um vetor (a~v ∈ V), definido por:
¦ Direção:
{
Se a 6= 0 então a~v tem a mesma direção que ~v,
Se a = 0 então a~v tem todas as direções, pois a~v = ~0.
¦ Sentido:



Se a > 0 então a~v tem o mesmo sentido que ~v,
Se a < 0 então o vetor a~v tem o sentido oposto a ~v,
Se a = 0 então o vetor a~v tem todos os sentidos, pois ~v = ~0.
.
¦ Norma: A norma do vetor a~v é igual a norma do vetor ~v multiplicada pelo número
real positivo |a|, ou seja, | a~v | = |a| |~v |.
Exemplo: Dado o vetor ~v da figura:
Represente os vetores:
a) 2~v,
b) −2~v,
c) 0~v,
d)
1
2
~v,
e)
3
10
~v.
Resposta: Os vetores resultado dos itens acima estão mostrados nas figuras
abaixo.
64
2.2 Propriedades da Multiplicação de Número Real
por Vetor
A operação tem algumas propriedades muito importantes e que podemos enunciar a
partir de sua definição. São elas as propriedades listadas abaixo:
M1 1~v = ~v para todo ~v ∈ V .
M2 a(b~v ) = ab(~v ), para todos a, b ∈ R e ~v ∈ V .
3. −1~v = −~v é o vetor oposto a ~v, para todo ~v ∈ V .
4. −a~v é o vetor oposto a a~v, para todos a ∈ R e ~v ∈ V .
5. |a~v| = | a | |~v |, para todos a ∈ R e ~v ∈ V .
65
5.1. Se a > 0 então | a~v | = a |~v |, para todo ~v ∈ V .
5.2. Se a < 0 então | a~v | = −a |~v |, para todo ~v ∈ V .
6. Temos |a~v| 6= |~v |, para todos a 6= 1 ∈ R e ~v ∈ V .
6.1. Se |a| > 1 então | a~v | > |~v |, para todo ~v ∈ V .
6.2. Se 0 ≤ |a| < 1 então | a~v | < |~v |, para todo ~v ∈ V .
Antes de darmos seguimento ao nosso estudo da multiplicação de número real por ve-
tor, devemos ressaltar nos estudantes um simples e muito necessário cuidado ao trabalhar
com vetores: não existe divisão de vetores.
Podemos dividir um vetor por um número real não nulo. Pois, isto é igual a multiplicar
o inverso deste número real pelo vetor, ou seja, dado a ∈ R com a 6= 0 e seja ~v ∈ V , temos:
~v
a
=
1
a
~v
Mas, não existe divisão por vetor.
~v
~w
∖
2.3 Versão Algébrica da Multiplicação de Número
Real por Vetor
Fixado um sistema de coordenadas no plano ou no espaço e dados um vetor (~v ∈ V) e
um número real (a ∈ R), vamos definir a operação de multiplicação de número real por
vetor, em sua forma algébrica, é definida como:
R× V → V
( a,~v ) → a~v
O resultado é um vetor (a~v ∈ V), definido por:
B No plano: a~v = a(v1, v2) = (av1, av2)
B No espaço: a~v = a(v1, v2, v3) = (av1, av2, av3)
66
Exemplos
1. Dados ~v = (−1, 2) ∈ V e a = 2 ∈ R
Temos a~v = 2(−1, 2) = (−2, 4) ∈ V .
2. Dados ~v =
(−1
3
, 5
6
) ∈ V e a = 3 ∈ R,
Temos a~v = 3
(−1
3
, 5
6
)
=
(−1, 5
2
) ∈ V .
3. Dados ~v = (−√2,−√3) ∈ V e a =
√
3 ∈ R
Temos a~v =
√
3(−√2,−√3) = (−√6,−3) ∈ V .
4. Dados ~v = (1, 0,−4) ∈ V e a = −√3 ∈ R
Temos a~v = −√3(1, 0,−4) = (−√3, 0, 4
√
3) ∈ V .
5. Dados ~v = (1,−8,−4) ∈ V e a = 0 ∈ R
Temos a~v = 0(1,−8,−4) = (0, 0, 0) ∈ V (vetor nulo).
6. Dados ~v = (1
5
,−7
3
,−2) ∈ V e a = −15 ∈ R
Temos a~v = −15(1
5
,−7
3
,−2) = (−3, 35, 30) ∈ V .
Lema 6.1: Se ~v é não nulo, então o vetor
1
|~v | ~v é um versor com mesma direção e
mesmo sentido que ~v.
Demonstração:
1
|~v | é um número real positivo.
Assim, os vetores
1
|~v | ~v e ~v tem a mesma direção e o mesmo sentido.
∣∣∣∣
1
|~v | ~v
∣∣∣∣ =
1
|~v | |~v | = 1
Assim, o vetor:
1
|~v | ~v é um versor.Portanto, está provado que o vetor 1
|~v | ~v é um versor com mesma direção e mesmo
sentido que ~v.
67
Observações
1. Alguns autores usam comprimento ao invés de norma.
2. Dado um vetor não nulo ~v, alguns autores chamam de direção de ~v, o versor que
é paralelo a ~v e que tem o mesmo sentido de ~v.
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, sendo P = (−1, 0)
e Q = (2, 1), calcule:
a) As coordenadas do vetor
−→
PQ;
Resposta:
−→
PQ = Q− P = (2, 1)− (−1, 0) = (3, 1)
b) A norma do vetor
−→
PQ.
Resposta: |−→PQ| = |(3, 1)| =
√
(3)2 + (1)2 =
√
10
c) A direção do vetor
−→
PQ.
Resposta: 1
|~v|~v = 1√
10
(3, 1)
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, sendo P =
(−1, 0, 3) e Q = (2, 1, 4), calcule:
a) As coordenadas do vetor
−→
PQ.
Resposta:
−→
PQ = Q− P = (2, 1, 4)− (−1, 0, 3) = (3, 1, 1)
b) A norma do vetor
−→
PQ.
Resposta: |−→PQ| = |(3, 1, 1)| =
√
(3)2 + (1)2 + (1)2 =
√
11
c) A direção do vetor
−→
PQ.
Resposta: 1
|~v|~v = 1√
11
(3, 1, 1)
2.4 Paralelismo
Tendo definido a multiplicação de número real por vetor, podemos definir o paralelismo
entre vetores em termos dessa operação que envolve um número real e um vetor. Mas, o
que estamos chamando de vetores paralelos?
Dois vetores são ditos paralelos se possuem a mesma direção.
68
Lema 6.2: Se ~v1 e ~v2 são paralelos então existe a ∈ R tal que ~v1 = a ~v2 ou b ∈ R
tal que ~v2 = b ~v1 ou ambos.
Demonstração:
Um vetor é determinado por sua direção, seu sentido e sua norma.
Sabemos que, por hipótese, ~v1 e ~v2 são paralelos, assim sabemos que os dois vetores
tem a mesma direção. Primeiro vamos considerar o caso em que ~v1 6= ~0 e ~v2 6= ~0.
Podemos pensar nos versores destes dois vetores, ~w1 =
1
|~v1| ~v1 e ~w2 =
1
|~v2| ~v2.
Os versores tem a mesma direção, e ambos são unitários.
Agora quanto ao sentido podemos ter duas opções:
• Os versores tem o mesmo sentido. Neste caso ~w1 = ~w2.
• Os versores tem sentido oposto. Neste caso ~w1 = − ~w2.
No primeiro caso temos: ~w1 = ~w2 ⇒ 1
|~v1| ~v1 =
1
|~v2| ~v2 ⇒ ~v1 =
|~v1|
|~v2| ~v2 ou
~v2 =
|~v2|
|~v1| ~v1. Basta então escolhermos a = | ~v1|
| ~v2| ou b = | ~v2|
| ~v1| e teremos ~v1 = a ~v2 e
~v2 = b ~v1.
Agora vamos considerar o segundo caso, onde temos: ~w1 = − ~w2 ⇒ 1
|~v1| ~v1 =
− 1
|~v2| ~v2 ⇒ ~v1 = −|~v1|
|~v2| ~v2 ou ~v2 = −|~v2|
|~v1| ~v1. Basta então escolhermos a = − | ~v1|
| ~v2| ou
b = − | ~v2|
| ~v1| e teremos ~v1 = a ~v2 e ~v2 = b ~v1.
Falta estudarmos o caso onde temos vetores nulos.
Se ~v1 = ~0 podemos escrever ~v1 = 0 ~v2. Observe que neste caso, se ~v2 6= ~0 então não
existe a ∈ R tal que ~v2 = a~v1.
Se ~v2 = ~0 podemos escrever ~v2 = 0 ~v1. Observe que neste caso, se ~v1 6= ~0 então não
existe a ∈ R tal que ~v1 = a~v2.
Assim, concluimos a demonstração.
69
Observações:
1. Como para qualquer vetor, ~v ∈ V , temos que ~0 = 0~v, faz sentido dizer que o vetor
nulo é paralelo a todos os vetores no espaço, e portanto o vetor nulo tem todas as
direções.
2. Alguns livros-texto da área de F́ısica referem-se a vetores paraleloscomo sendo aque-
les que possuem mesma direção e sentido. Nestes casos, usa-se o termo antiparalelo
para os vetores que possuem mesma direção e sentidos opostos. Não usaremos, em
nosso livro, esta definição para vetores paralelos e, provavelmente, não usaremos
novamente o termo antiparalelo.
Explicados estes pontos e definida a versão algébrica do paralelismo entre vetores,
vamos a alguns exemplos para podermos fixar melhor estas idéias e conceitos.
Exemplos
1. Considere o hexágono regular abaixo e, para cada item, determine a ∈ R, se posśıvel,
tal que ~v1 = a ~v2.
a) Para ~v1 =
−→
AB e ~v2 =
−→
CF .
Resposta: O vetor ~v1 é paralelo ao vetor ~v2, tendo mesma direção e sentido
contrário, como poderemos observar marcando os segmentos orientados que os
representam no hexágono regular ABCDEF .
Além disso, por construção, o lado de um hexágono regular é igual a duas vezes
a sua diagonal. Por isto, o tamanho do vetor ~v2 é duas vezes o tamanho do
vetor ~v1, de forma que: ~v1 =
1
2
~v2.
70
b) Para ~v1 =
−−→
BC e ~v2 =
−→
AF .
Resposta: O vetor ~v1 NÃO é paralelo ao vetor ~v2, portanto temos que @a ∈
R⇒ ~v1 = a ~v2.
Nos hexágonos regulares da figura abaixo indicamos os vetores ~v1 e ~v2 dos itens
(a) e (b) do exemplo 1.
2. Considere o cubo abaixo e, para cada item, determine a ∈ R, se posśıvel, tal que
~v1 = a ~v2.
a) Para ~v1 =
−→
EF e ~v2 =
−−→
DC.
Resposta: Como podeŕıamos observar marcando os vetores na figura, o vetor
~v1 é paralelo ao vetor ~v2, tendo mesma direção e mesmo sentido e, além disso,
tendo o mesmo módulo. Portanto, temos que: ~v1 = 1̇~v2, ou seja, a = 1.
b) Para ~v1 =
−−→
ED e ~v2 =
−→
CF .
Resposta: O vetor ~v1 é paralelo ao vetor ~v2, tendo mesma direção, sentido
contrário e o mesmo módulo. Portanto, temos que: ~v1 = −~v2, ou seja, a = −1.
71
Após definirmos a versão geométrica do paralelismo entre vetores, o passo seguinte é
apresentarmos a sua versão algébrica.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano temos que, se ~v e ~w são
vetores não nulos paralelos, então existe um número real a tal que ~v = a~w ou ~w = a~v.
Vamos supor, sem perda de generalidade que, ~v = a~w. Assim ~v = (v1, v2) = a~w =
a(w1, w2) ⇒ (v1, v2) = (aw1, aw2). Portanto,{
v1 = aw1
v2 = aw2
Ou seja, 


a =
v1
w1
se w1 6= 0
a =
v2
w2
se w2 6= 0
Podemos concluir que, se ~v = (v1, v2) ‖ ~w = (w1, w2), então
v1
w1
=
v2
w2
se w1 6= 0 e
w2 6= 0.
Analogamente, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimen-
sional temos que se ~v e ~w são vetores não nulos paralelos, então existe um número real
a tal que ~v = a~w ou ~w = a~v.
Vamos supor, sem perda de generalidade que, ~v = a~w.
Assim ~v = (v1, v2, v3) = a~w = a(w1, w2, w3) ⇒ (v1, v2, v3) = (aw1, aw2, aw3)
Portanto,



v1 = aw1
v2 = aw2
v3 = aw3
Ou seja, a =
v1
w1
=
v2
w2
=
v3
w3
se w1 6= 0, w2 6= 0 e w3 6= 0
Podemos concluir que:
Se ~v = (v1, v2, v3) ‖ ~w = (w1, w2, w3)
Então
v1
w1
=
v2
w2
=
v3
w3
se w1 6= 0, w2 6= 0 e w3 6= 0
Exemplo: Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas1, verifique se os
vetores ~v e ~w são paralelos:
a) ~v = (−2, 3) e ~w = (2, 5)
Resposta: Como
−2
2
6= 3
5
. Portanto os vetores ~v = (−2, 3) e ~w = (2, 5) não
são paralelos.
1Não precisa ser cartesianas.
72
b) ~v = (−2, 3) e ~w = (6,−9)
Resposta: Como
−2
6
=
3
−9
. Portanto os vetores ~v = (−2, 3) e ~w = (3,−9)
são paralelos.
c) ~v = (−2, 3, 0) e ~w = (−4, 6,−8)
Resposta: Temos
−2
−4
=
3
6
Mas,
3
6
6= 0
−8
. Portanto os vetores ~v =
(−2, 3, 0) e ~w = (−4, 6,−8) não são paralelos.
d) ~v = (−2, 3, 1) e ~w = (6,−9,−3)
Resposta: Como
−2
6
=
3
−9
=
1
−3
. Portanto os vetores ~v = (−2, 3, 1) e
~w = (2, 5,−3) são paralelos.
e) ~v = (−2, 3, 1) e ~w = (−4, 0,−8)
Resposta: Como
−4
−2
6= 0
3
. Os vetores ~v = (−2, 3, 0) e ~w = (−4, 6,−8) não
são paralelos.
f) ~v = (−2, 3, 0) e ~w = (−4, 6, 0)
Resposta: Como
−2
−4
=
3
6
. Os vetores ~v = (−2, 3, 0) e ~w = (−4, 6, 0) são
paralelos.
2.5 Exerćıcios
Antes de começar os exerćıcios a seguir, refaça todos os exemplos deste caṕıtulo!
1. Prove que se ~v é paralelo a ~w e ~w 6= ~0 então existe a ∈ ~R tal que ~v = a~w
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, verifique se os vetores ~v e
~w especificados a seguir são paralelos.
a) ~v = (−2, 7) e ~w = (2, 3);
b) ~v = (−2, 3) e ~w = (8,−12);
c) ~v = (−2, 3, 0) e ~w = (−4, 6,−8);
d) ~v = (−2, 3, 1) e ~w = (6,−9,−3);
e) ~v = (−2, 3, 1) e ~w = (−4, 0,−8);
f) ~v = (−2, 3, 0) e ~w = (−4, 6, 0);
g) ~v = (−0, 3, 5) e ~w = (−0, 5, 3);
73
3. Verifique se os pontos enunciados a seguir formam um triângulo
a) A = (0, 4), B =
(
5
2
,−2
)
e C = (0,−2);
b) A = (0, 4), B =
(
5
2
,−2
)
e C = (5,−8);
c) A = (0, 4, 1), B =
(
5
2
,−2, 1
)
e C=
(
1,
12
5
, 1
)
;
d) A = (0, 0, 1), B = (0,−2, 1) e C = (0, 5, 1).
4. Considere os pontos A, B e C no espaço. Sabendo-se que A = (1,−3, 2); B =
(2, 6, 4); e que C está no plano xy e obedece às equações x+y = 1 e 3x2+3y2+6x = 9
com y ≥ 0, prove, algebricamente, que estes pontos formam um triângulo.
∗ ∗ ∗
74
Caṕıtulo 3
Adição de Vetores
Após estudarmos, no caṕıtulo anterior, a multiplicação de número real por vetor,
vamos dar seguimento aos nossos estudos das operações aritméticas envolvendo vetores
estudando, neste caṕıtulo de nosso livro, a adição de vetores.
Assim com no caso da multiplicação de um número real por um vetor queremos que
a operação adição de vetores seja uma operação fechada, ou seja, queremos que o
resultado da soma de dois vetores seja sempre um vetor. Desta forma, a adição de vetores
é uma operação:
V × V → V
(~v, ~w ) → ~v + ~w
Vamos estudar esta operação em suas versões geométrica e algébrica, sendo que na
versão algébrica apresentaremos duas regras para a obtenção do vetor resultante.
3.1 Versão Geométrica da Adição de Vetores
Há duas regras simples e equivalentes para fazermos, geometricamente, a adição de
vetores.
A primeira, a regra do paralelogramo, é usada de forma direta apenas para se somar
dois vetores, mas podemos usá-la para somar mais de dois vetores fazendo-se a soma deles
dois-a-dois. A segunda, regra do “fim de um no começo do outro”, é equivalente à regra
do paralelogramo e pode ser usada diretamente para se somar um número qualquer de
vetores.
Vamos descrever estas regras a seguir.
75
3.1.1 Regra do Paralelogramo
O procedimento para se somar dois vetores usando a regra do paralelogramo pode ser
descrito pelos passos a seguir:
1. Escolhe-se um ponto A no espaço.
2. Toma-se o representante do vetor ~v que inicia-se em A.
3. Chama-se de B o ponto final do representante do vetor ~v que inicia-se em A.
4. Toma-se o representante do vetor ~w que inicia-se em A.
5. Chama-se de C o ponto final do representante do vetor ~w que inicia-se em A.
6. Constrói-se segmentos paralelos ao representantes dos vetores ~v e ~w. Formando um
paralelogramo.ABCD.
7. O resultado da soma ~v + ~w é o vetor ~u que tem o segmento orientado
−−→
AD como
representante.
Este procedimento está esquematizado na figura abaixo onde são mostrados os vetores
~v e ~w e sua soma com os referidos pontos que são os vértices do paralelogramo.
76
Exemplo: Considere os vetores ~v e ~w marcados nas figuras a seguir e obtenha,
geometricamente, a soma dos vetores usando a regra do paralelogramo.
a) Os segmentos orientados
−→
AB e
−→
AF do hexágono regular ABCDEF .
b) Os segmentos orientados
−→
AB e
−−→
AH do cubo.
3.1.2 Regra do “Fim de um no começo do outro”
O procedimento para se obter, geometricamente, a soma de dois vetores usando esta
regra é descrita pelos seguintes passos:
1. Escolhe-se um ponto A no espaço.
2. Toma-se o representante do vetor ~v que inicia-se em A.
3. Chama-se de B o ponto final do representante do vetor ~v.
4. Toma-se o representante do vetor ~w que inicia-se em B.
77
5. Chama-se de C o ponto final do representante do vetor ~w.
6. O resultado da soma ~v + ~w é o vetor ~u que tem como representante o segmento
−→
AC.
Este procedimento está esquematizado na figura abaixo onde são mostrados os vetores
~v e ~w e sua soma com os referidos pontos de ińıcio e fim de cada vetor.
Exemplo
1. Considere os vetores ~v e ~w marcados nas figuras a seguir e obtenha, geometricamente,
a soma dos vetores usando a regra de colocar o ińıcio do segundo vetor no final do
primeiro.
a) Os segmentos orientados
−→
AB e
−→
AF do hexágono regular ABCDEF .
78
b) Os segmentos orientados
−→
AB e
−−→
AH do cubo abaixo.
c) Os vetores ~v1, ~v2, ~v3 e ~v4 marcados no plano abaixo.
d) Os vetores ~v1, ~v2, ~v3 e ~v4 marcados no cubo abaixo.
79
Desta segunda regra geométrica para a soma de vetores, advém uma importante regra
algébrica para a soma de vetores escrita em termos dos segmentos orientados que os
representam.
Considere que queremos somar dois vetores ~v e ~w. Se ~v tem
−→
AB como representante,
e ~w tem
−−→
BC como representante, então o vetor soma tem como representante o segmento
orientado
−→
AC.
Em termos algébricos, temos:
~v + ~w =
−→
AB +
−−→
BC =
−→
AC = ~u
Assim, temos a regra:
−→
AB\+
−−→
BC\ =
−→
AC
Exemplo: Dados os segmentos orientados
−→
AB e
−−→
BC, a soma dos vetores de que
eles são representados é dada por
−→
AB +
−−→
BC =
−→
AC, como pode ser verificar, geo-
metricamente, pela figura a seguir.
80
3.2 Propriedades da Adição de Vetores
A adição de vetores algumas importantes propriedades que podem ser enunciadas e
mostradas a partir de sua versão geométrica.
Dados ~v, ~w, ~u ∈ V e a ∈ R, temos as seguintes propriedades para a soma de vetores:
S1 ~v + ~w = ~w + ~v
Propriedade comutativa.
S2 ~v + ( ~w + ~u ) = (~v + ~w ) + ~u
Propriedade associativa.
Portanto, podemos escrever ~v + ~w + ~u.
S3 ~0 ∈ V é tal que ~0 + ~v = ~v
Propriedade do elemento neutro.
S4 Dado ~v ∈ V existe −~v ∈ V tal que ~v + (−~v ) = ~0
Propriedade do elemento oposto.
D1 a(~v + ~w ) = a~v + a~w
Propriedade distributiva 1.
D2 (a + b)~v = a~v + b~v
Propriedade distributiva 2.
As propriedades distributivas, D1 e D2, relacionam a operação multiplicação de
número real por vetor e soma de vetores.
A soma do vetor ~v com o vetor oposto a ~w, ou seja, ~v+(−~w ), por abuso de linguagem,
pode ter a notação: ~v − ~w. Assim, temos que:
~v + (−~w ) = ~v − ~w
Além das propriedades acima enumeradas, a soma de vetores ainda tem as pro-
priedades de cancelamento e as propriedades da regra de sinais, abaixo enu-
meradas.
Dados ~v, ~w, ~u, ~x, ~y ∈ V e a, b ∈ R, temos:
a) ~v + ~w = ~v + ~u ⇒ ~w = ~u.
b) ~x + ~v = ~y + ~v ⇒ ~x = ~y.
c) Se a~v = a~w, com a 6= 0 então ~v = ~w.
81
d) Se a~v = ~0, com a 6= 0 então ~v = ~0.
e) (−a)~v = −( a~v ) = a(−~v ).
f) (−a)(−~v ) = a~v.
Exemplo: Resolva as equações a seguir onde a incógnita é o vetor ~x.
a) 2~x− 5~w = ~t
Resolução:
2~x− 5~w = ~t ⇒ 2~x = 5~w + ~t ⇒ ~x =
5
2
~w +
1
2
~t
b) 2~x− 5~w = 7(~t + 3~x )
Resolução:
2~x− 5~w = 7(~t + 3~x ) ⇒ 2~x− 5~w = 7~t + 21~x ⇒
⇒ 2~x− 21~x = 7~t + 5~w ⇒ −19~x = 7~t + 5~w ⇒
⇒ 19~x = −7~t− 5~w ⇒ ~x = − 7
19
~t− 5
19
~w
3.3 Adição de Vetores: Versão Algébrica
Considerando, novamente, a adição de vetores, operação definida como:
V × V → V
(~v, ~w ) → ~v + ~w
Vamos apresentar a sua versão algébrica. Ou seja, vamos aprender a fazer algebrica-
mente a soma de vetores.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano ou no espaço, temos:
• No plano: os vetores ~v = (v1, v2) , ~w = (w1, w2) ∈ V , assim sua soma, na forma
algébrica, vale:
~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2)
• No espaço: os vetores ~v = (v1, v2, v3) , ~w = (w1, w2, w3) ∈ V , desta forma sua soma
é:
~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)
82
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sendo ~v = (−1, 3,−6), ~w =
(−2, 4, 0), ~u = (1, 0,−1), ~t = (5, 8, 7). Calcule:
a) ~v + ~w
Resposta:
~v + ~w = (−1, 3,−6) + (−2, 4, 0) = (−3, 7,−6)
b) ~v − ~w
Resposta:
~v − ~w = (−1, 3,−6)− (−2, 4, 0) = (1,−1,−6)
c) ~v + ~w + ~u
Resposta:
(−1, 3,−6) + (−2, 4, 0) + (1, 0,−1) = (−2, 7,−7)
d) −3~v +
3
2
~w − ~u + 5~t
Resposta:
−3~v +
3
2
~w − ~u + 5~t = −3(−1, 3,−6) +
3
2
(−2, 4, 0)− (1, 0,−1) + 5(9, 8, 7)
= (3,−9, 18) + (−3, 6, 0) + (−1, 0, 1) + (45, 40, 35)
= (44, 37, 54)
e)
∣∣∣∣−
5
4
~v
∣∣∣∣
Resposta:
∣∣∣∣−
5
4
~v
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣−
5
4
(−1, 3,−6)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣
(
5
4
,− 15
4
,
30
4
) ∣∣∣∣
=
√(
5
4
)2
+
(
−15
4
)2
+
(
30
4
)2
=
25
16
+
225
16
+
900
16
=
1150
16
83
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, e sendo ~v = (−1, 2)
e ~w = (3,−2), calcule:
a) |~v |
Resposta:
|~v | = | (−1, 2) | =
√
(−1)2 + (2)2 =
√
5
b) | ~w |
Resposta:
| ~w | = | (3,−2)