Problemas de Cálculo e Álgebra

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30. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \ln x \), o eixo \( x 
\) e as retas \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 - **Resolução:** Determine a integral definida da função no intervalo dado. 
 
31. **Problema:** Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 - **Resolução:** Use a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar a função. 
 
32. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y' + 2y = e^{-x} \). 
 - **Resolução:** Use o método da integração direta para resolver a equação diferencial. 
 
33. **Problema:** Encontre o valor de \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right) \). 
 - **Resolução:** Simplifique a expressão e calcule o limite. 
 
34. **Problema:** Determine o valor de \( \int \frac{1}{x \ln x} \, dx \). 
 - **Resolução:** Use substituição \( u = \ln x \) para resolver a integral. 
 
35. **Problema:** Encontre a derivada da função \( y = x^x \). 
 - **Resolução:** Use a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a função. 
 
36. **Problema:** Calcule a soma dos coeficientes binomiais na expansão de \( (x + 1)^5 
\). 
 - **Resolução:** Use a propriedade dos coeficientes binomiais na expansão de um 
binômio. 
 
37. **Problema:** Determine a equação da hipérbole que tem centro em \( (2, -3) \), focos 
\( (4, -3) \) e \( (0, -3) \). 
 - **Resolução:** Use a definição da equação da hipérbole e os focos dados. 
 
38. **Problema:** Resolva a inequação \( \frac{x - 2}{x + 1} > 0 \). 
 - **Resolução:** Encontre os intervalos de \( x \) que satisfazem a inequação. 
 
39. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \ln(\cos x) \). 
 - **Resolução:** Use a regra da cadeia para derivar a função. 
 
40. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \sin x \), o eixo \( x 
\) e os pontos \( x = 0 \) e \( x = \pi \). 
 - **Resolução:** Determine a integral definida da função no intervalo dado. 
 
41. **Problema:** Determine a equação da reta normal à curva \( y = \sqrt{x} + \frac{1}{x} \) 
no ponto \( x = 4 \). 
 - **Resolução:** Calcule a derivada da função e determine a equação da reta normal. 
 
42. **Problema:** Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \). 
 - **Resolução:** Use a expansão de Taylor para \( \ln(1 + 2x) \) próximo de zero. 
 
43. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \arcsin(2x) \). 
 - **Resolução:** Use a regra da cadeia para derivar a função. 
 
44. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln 
x \) no intervalo \( [1, 2] \). 
 - **Resolução:** Determine os pontos de interseção e a área usando integração. 
 
45. **Problema:** Calcule o produto vetorial dos vetores \( \vec{u} = (1, 2, -1) \) e \( \vec{v} 
= (3, -2, 4) \). 
 - **Resolução:** Use a definição de produto vetorial. 
 
46. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \tan^2 x \). 
 - **Resolução:** Use a regra da cadeia para derivar a função. 
 
47. **Problema:** Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos \( (1, -2) 
\), \( (3, 4) \) e \( (-1, 5) \). 
 - **Resolução:** Use a forma geral da equação da circunferência e substitua os pontos 
para formar um sistema de equações. 
 
48. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' - 4y = 12e^{4x} \).