A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL (EDO) não é apenas uma função, mas uma família de funções indexadas por um ou mais parâmetros. Quando resolvem...

Para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) \(2y' - 6y = 12\) sujeito à condição inicial \(y(0) = 4\) por meio do fator integrante, primeiro precisamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é \(y' + P(x)y = Q(x)\). Dada a equação \(2y' - 6y = 12\), podemos dividi-la por 2 para obter: \[y' - 3y = 6\] Agora, identificamos \(P(x) = -3\) e \(Q(x) = 6\). O fator integrante é dado por \(e^{\int P(x)dx}\). Neste caso, o fator integrante é \(e^{-3x}\). Multiplicamos toda a equação por esse fator integrante: \[e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = 6e^{-3x}\] Agora, aplicamos a regra do produto da derivada para obter: \[(e^{-3x}y)' = 6e^{-3x}\] Integrando ambos os lados em relação a \(x\), obtemos: \[e^{-3x}y = -2e^{-3x} + C\] Aplicando a condição inicial \(y(0) = 4\), temos: \[e^0 \cdot 4 = -2e^0 + C\] \[4 = -2 + C\] \[C = 6\] Portanto, a solução do PVI \(2y' - 6y = 12\) sujeito à condição inicial \(y(0) = 4\) por meio do fator integrante é: \[e^{-3x}y = -2e^{-3x} + 6\]