Calcular a integral ∫S z dS sendo S a superfície dada por {(x, y, z) : z = √a2 − x2 − y2}, com a > 0. A integral é igual a 0. A integral é igual a...

Para calcular a integral ∫S z dS, onde S é a superfície dada por {(x, y, z) : z = √a2 − x2 − y2}, com a > 0, podemos utilizar o Teorema de Gauss: ∫S z dS = ∫∫T div(F) dV, onde T é o sólido delimitado pela superfície S e F = (0, 0, z) é um campo vetorial. Calculando a divergência de F, temos: div(F) = 0 + 0 + 1 = 1. Agora, precisamos encontrar o volume do sólido T. Podemos fazer isso utilizando coordenadas esféricas: x = r sin(θ) cos(φ) y = r sin(θ) sin(φ) z = r cos(θ) A equação da superfície S pode ser escrita como: z = √a² - x² - y² z = √a² - r² Substituindo as coordenadas esféricas na equação acima, temos: r cos(θ) = √a² - r² r² cos²(θ) = a² - r² r² = a² sin²(θ) Portanto, o volume do sólido T é dado por: ∫∫∫T dV = ∫0^2π ∫0^π/2 ∫0^a sin(θ) r² dr dθ dφ ∫∫∫T dV = 4π/3 a³ Substituindo na fórmula do Teorema de Gauss, temos: ∫S z dS = ∫∫T div(F) dV ∫S z dS = ∫∫T dV ∫S z dS = 4π/3 a³ Portanto, a integral é igual a a³/3. A alternativa correta é a letra B).