ep3_matemática financeira_2021_2_tutor

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Matemática Financeira
2o Semestre de 2021
Gabarito - Exerćıcios Programados 3
Questão 1: Angeli tomou um empréstimo de R$4.000, 00, por 10 meses.
Os juros forma de 3% ao mês durante os quatro primeiros meses, de 5% ao
mês nos 5 meses seguintes e de 9% ao mês no último mês. Calcule
a) a taxa média de juros.
b) o montante pago.
Solução: Vamos calcular o montante
M = 4.000×(1+0, 03)4×(1+0.05)5×(1+0.09) = 4000×1, 56575 = 6.262, 99.
Para calcular a taxa média de juros i é dado por resolver
(1 + 0, 03)4 × (1 + 0.05)5 × (1 + 0.09) = (1 + i)10 ⇒ i = 4, 586%.
Questão 2: Hipácia deveria efetuar seis pagamentos mensais sucessivos, de
R$150, 00 cada. Renegociou a divida, para efetuar apenas dois pagamentos
iguais, nas épocas do segundo e do quinto pagamentos. Se a taxa de juros é
de 4% ao mês, qual o valor desses pagamentos?
Solução: Vamos representar o dinheiro na linha do tempo, e então obtemos
0 1 2 3 4 5
150 150 150 150 150 150
0 1 2 3 4 5
P P
Agora é só comparar estes montantes na mesma época e usar que a taxa
é de i = 0, 04. Vou fazer isso em t = 1, dáı temos
150(1 + i) + 150 +
150
1 + i
+
150
(1 + i)2
+
150
(1 + i)3
+
150
(1 + i)4
= P +
P
(1 + i)3
Resolvendo em P, obtemos P = 450, 23.
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Questão 3: Nabucodonosor recebeu uma oferta de investimento a juros
de 2% ao mês. Calculando quanto obteria em um ano, Nabucodonosor con-
siderou o investimento pouco atraente, pois queria obter o mesmo montante
em apenas seis meses. Qual a taxa mı́nima (mensal) de atratividade de
Nabucodonosor?
Solução: Se C é o capital empenhado por Nabucodonosor. O montante
em 12 meses a 2% ao mês será dado por M = C(1 + 0, 02)12, mas como ele
queria receber este mesmo montante em apenas 6 meses, isto é, C(1 + i)6.
Comparando tempos
C(1+0, 02)12 = C(1+i)6 ⇒ (1+0, 02)2 = 1+i⇒ i = (1+0, 02)2−1 = 0, 0404.
Portanto a taxa mı́nima de atratividade de Nabucodonosor i = 4, 04% ao
mês.
Questão 4: Noether investiu 30% do seu capital a juros de 18% ao ano e
os outros 70% a 10% ao ano. Qual a taxa média de juros obtida?
Solução: Esta questão fica muito fácil de resolver se admitir C = 100,
portanto,
30× (1 + 0, 18) + 70× (1 + 0, 1) = 112, 40.
Portanto, a taxa média de juros é de 12, 4% ao ano.
Questão 5: O valor atual racional simples de um t́ıtulo é igual a 45 de seu
valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento
desse t́ıtulo foi antecipado em cinco meses.
Solução: Admitindo que o valor do desconto depende do valor atual racional
Ar. Considerado i é taxa e n é o prazo de antecipação, então o desconto
d = Ar× i×n. Como Ar = F −d, onde F é o valor de face do t́ıtulo. Então
Ar = F − d⇒ Ar = F −Ar × i× n⇒ i =
F −Ar
Ar × n
.
Dáı,
i =
F − 45F
4
5F × 5
=
5F−4F
5
4F
=
1
20
= 0, 05⇒ i = 5% ao mês.
Questão 6: O cliente de um banco descontou um t́ıtulo de valor nominal
igual a R$15.000, 00 seis meses antes de seu vencimento, a uma taxa de
desconto comercial simples de 1, 2% ao mês. Além disso, o banco cobra uma
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taxa de serviço de 0, 6% sobre o valor nominal do t́ıtulo, descontado do valor
a ser recebido pelo cliente. Calcular o valor do desconto, o valor atual do
t́ıtulo, o valor ĺıquido recebido e a taxa de ganho efetiva linear do banco.
Solução: Sabemos que o desconto comercial simples é dado por d = F×i×n.
Onde F é o valor de face do t́ıtulo. Portanto, o valor atual comercial Ac do
t́ıtulo é
Ac = F − d = 15.000− 15.000× 0, 012× 6 = 15.000− 1.080 = 13.920
Mas além disso, tem a despesa de serviço bancário que é 0, 006×15.000 =
90.
Segue que o valor ĺıquido recebido pelo cliente será dado por 13.920−90 =
13.820.
Do ponto de vista do banco foi uma aplicação de R$13.830, 00, que em
6 meses terá o montante de R$15.000, 00. Portanto, se considerar a capital-
ização simples teremos
15.000 = 13.830× (1 + 6× i)⇒ i = 0, 0140998 ao mês.
Se considerarmos a capitalização normal teŕıamos
15.000 = 13.830× (1 + i)6 ⇒ i = 0, 013627 ao mês.
Questão 7: O desconto comercial composto de um t́ıtulo descontado
seis meses antes do seu vencimento a uma taxa de 18% ao ano, capitalizada
mensalmente, é R$866, 92. Calcular o valor do desconto correspondente caso
fosse adotado o critério do desconto racional composto.
Solução: No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual
Ac e o valor nominal ou de face F é dada por Ac = F × (1 − i)n. Como o
desconto é dc = F −Ac, então, dc = F × [1− (1− i)n].
Observe que no problema a taxa de juros é dado em anos e a taxa de
juros, mas capitalizada mensalmente. Portanto, 1812 = 1, 5% ao mês. Dáı
temos,
666, 92 = F × [1− (1− 0, 015)6]⇒ F ∼= 10.000, 00.
Por outro lado, no desconto racional composto, a relação entre o valor
nominal F e o valor atual Ar é dado através da equação F = Ar × (1 + i)n.
Portanto, Ar = 9.145, 42 e, neste caso, o desconto é
dr = F −Ar = 10.000− 9.145, 42 = 854, 58.
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